О применении метода периодических функций Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

А. А. Перкин1, В. Б. Смирнова2, Н. В. Утина3, А. И. Шепелявый4

1. СПбГАСУ,

аспирант, ofercinn@qmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, root@AL2189.spb.edu

3. СПбГАСУ,

канд. физ.-мат. наук, ст. преп., unv74@mail.ru

4. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, as@AS1020.spb.edu

1. Введение. Метод периодических функций Ляпунова начал развиваться в связи с изучением асимптотического поведения фазовых систем управления. Первой работой в этом направлении стала статья [1]. В работах [2, 3] ее результаты были обобщены на многомерные фазовые системы.

Необходимость в развитии новых классов функций Ляпунова была обусловлена спецификой задач устойчивости, решаемых в связи с фазовыми системами. Фазовые системы управления — системы непрямого управления с периодическими нелинейностями — обладают, как правило, счетным множеством положений равновесия как устойчивых в малом, так и неустойчивых. Устойчивость фазовой системы характеризуется наличием у нее глобальной асимптотики, т. е. асимптотического стремления любого решения к одному из положений равновесия.

Стандартные в теории абсолютной устойчивости функции Ляпунова вида «квадратичная форма» и «квадратичная форма плюс интеграл от входящей в состав системы нелинейной функции» (функция Лурье—Постникова) не дают возможности решать задачу глобальной асимптотики. Для решения этой задачи в рамках прямого метода Ляпунова было развито несколько новых методов [4]. Метод периодических функций Ляпунова — один из них.

Периодические функции Ляпунова имеют такой же вид, как функции Лурье— Постникова, однако функция, стоящая под знаком интеграла, отличается от исходной нелинейности. Она имеет тот же период и те же нули, что и исходная нелинейность, но другое среднее значение на периоде. Использование различных нелинейных функций под знаком интеграла порождает различные функции Ляпунова [1, 5].

Параллельно с методом периодических функций Ляпунова для решения задачи глобальной асимптотики был разработан метод нелокального сведения [4, 6]. Последний основан на введении в состав функции Ляпунова для фазовой системы высокого порядка траекторий фазовых систем более низкого порядка, обладающих свойством глобальной асимптотики.

Совместное применение двух описанных здесь методов позволяет получать для конкретных систем управления весьма хорошее приближение истинных областей глобальной асимптотики в пространстве параметров системы [3].

© А. А. Перкин, В. Б. Смирнова, Н. В.Утина, А. И. Шепелявый, 2011

Оба метода были распространены на фазовые системы с распределенными параметрами [7, 8] и на дискретные фазовые системы [7, 9—11]. С их помощью решались и другие задачи, связанные с асимптотическим поведением фазовых систем: задача об отсутствии циклов второго рода определенной частоты [8, 12], задача о числе проскальзываний циклов [13-17].

Данная статья посвящена развитию метода периодических функций Ляпунова. В ней рассматриваются как непрерывные, так и дискретные системы. Она опирается на работы [1, 5, 8, 18]. В ней предлагаются функции и последовательности Ляпунова, обобщающие функции и последовательности, использованные в указанных работах. Необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова формулируются, как и в монографиях [3, 8], с помощью частотной теоремы Якубовича—Калмана [19]. Они имеют вид частотных неравенств с варьируемыми параметрами. Полученные многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотики позволяют выделять в пространстве параметров системы более обширные гарантированные области глобальной асимптотики, чем критерии, полученные в монографиях [3, 8]. С помощью предложенных в данной статье функций Ляпунова получены также новые частотные оценки числа проскальзываний циклов, являющиеся обобщением оценок, полученных в статье [16].

2. Частотный критерий глобальной асимптотики для непрерывных фазовых систем. Рассмотрим автономную фазовую систему

= Аг(г) + В/(сг(»), (1)

^1 = С*г(г) + П/(а(г)), ((ей+).

Здесь А, В, С, К —действительные т х т, т х /, т х /, / х / — матрицы соответственно, ,г(£) и а(Ь) —вектор-функции размеров т и / соответственно, символом * обо-

значено эрмитово сопряжение, а /(а) —векторная функция с элементами ^ (а3-)

(з = 1,...,/).

Предполагается, что матрица А гурвицева, пара (А, В) управляема, а пара (А, С) наблюдаема. Функция ^ (а3-) (з = 1,...,/) —непрерывно дифференцируемая, Д3--периодическая функция, имеющая два простых нуля на периоде [0, Д3-). Пусть для определенности

^■3

1^3 (а) йа < 0 (з = 1,...,/). (2)

о

Пусть далее числа ау (к = 1, 2; з = 1,..., /) таковы, что

«у < ^ аЬ (а € К)- (3)

Заметим, что а у«23 < 0.

Передаточная матрица линейной части системы (1) от входа / к выходу (-а) имеет вид

К(р) = -К + С*(А -рЕт)-1В (р е С), где через Ет обозначена т х т — единичная матрица.

Введем в рассмотрение числа

/оА <Рз

/о3 ^ИК/(і - а- ч>’іИ)(1 - «ь- ч>’іИМо-

(з = 1,...,1).

Введем также в рассмотрение диагональные матрицы Лі = diag{аil,..., ац} (і = 1, 2).

Сформулируем теперь частотный критерий глобальной асимптотики системы (1). Используем при этом обозначение

ЖеМ = (М + М *)/2,

где М — квадратная матрица.

Теорема 1. Пусть для диагональной матрицы ж = diag{жl,..., ж;}, положительно определенных диагональных матриц є = diag{єl,..., є;}, £ = diag{£l, ..., £;} т = diag{тl, ..., т;} и чисел ак Є [0, 1] (к = 1, ..., 1) выполнены следующие условия:

1) для всех и > 0 справедливо частотное неравенство

Же{жК(іи) - К*(іи)єК(іи) - (К(іи) + Л-1іи)*т(К(іи) + Л-1іи)} - £ > 0; (4)

1 — і •

2) матрицы

Є к о 0

1 ^ я і

2 (Вк&к^к Ок 2

0

і

Тк

(5)

2 ^к&Ок^Ок

где аок = 1 — ак (к = 1,...,/), являются положительно определенными.

Тогда справедливы соотношения

Иш /(а(4)) = 0, Иш г (4) = 0, Иш а(4) = а, где /(а) = 0.

ь—

Доказательство. Теорема 1 является обобщением частотных теорем главы 2 монографии [8]. Будем следовать схеме, реализованной при доказательстве указанных теорем. Учитывая дифференцируемость функций , построим расширение фазового пространства системы (1). Введем в рассмотрение матрицы

л в о о

ь

о

Е;

Б =

С

Е*

У =

г(г)

/

, ей = Р(«т

где буквой О обозначена нулевая матрица, и преобразуем систему (1) к виду

йу(4)

Л

= ду(і) + ь£(г),

(6)

сі<т(і)

сМ

= Б*у(і).

Рассмотрим квадратичную форму переменных у Є Кт+;, £ Є И.;:

С(у, Є) = 2у*Н(ду+Ь£)+у*БєБ*у+у*ЬжБ*у+у*Ь£Ь*у-(Б*у-Л-1^)*т(Л-Ч-Б*у) где Н = Н* — симметричная (т + 1) х (т + 1)-матрица.

Частотное условие (4) гарантирует [3, 8] существование такой симметричной матрицы Н, что

с(у,0 < 0, V у е Ит+г, е е И1. (7)

Введем в рассмотрение периодические функции

^(а) = уч(а) - ^|уч(а)|, (8)

Ф*(а) = V (1 - «Н1 ^(а))(1 - (а) ) , (9)

Ф*(а) = <^(а) - ^Ф*(а)|^(а)| (г = 1,...,1). (10)

Очевидно, что

{' {'

/ ^(а)^а = 0,1 ФДа)^а = 0. (11)

7о ./о

Построим теперь функцию Ляпунова

1 ' / (*) /• сть(ь) \

«(4)= у*(4)Ну(4) + 2_^Жк ( а^ / (а)йа + аок/ Фк(а)йа .

к=1 \ ^стк(0) -'ак(0) /

Ее производная в силу системы (6) имеет вид

= 2у*(£)Я(<3?/(£) + ££(£)) + ж/, + ао^Ф^(сг^^))) <тд.(г).

к=1

Из (7) следует, что

< -&*{ь)е&(г) - /*(а(г))ее&(г) - /*(а(г))б/(а(г))-

1

- (а(£) - А-1^))* т (а(£) - А-1^)) + Х^к (ак (ак (4)) + аок Фк (ак (4)))сг к (4),

к=1

или

Т //\ 1

< -^3 (£к&1(г) + &кЧ>к{°к^))сТк^) + 5к^Рк{(тк^)) +

к=1

+тк(Фк(ак(4))ак(4))2 - Жк(ак(ак(4)) + аокФк(ак(4)))ак(4)) . (12)

Из формул (8) и (10) следует, что

^><У

А

< -^2 (£к^) + дк^1(ак(г)) + тк(Фк(сгк^))&к^))2

к=1

+Жк ак ^к |^к (ак (4))|<а к (4) + Жк аок ^ок Фк (ак (4))|^к (ак (4))|а к (4)) . (13)

Каждое слагаемое, стоящее под знаком суммы в правой части формулы (13), является квадратичной формой аргументов <Гк (4), |у>к (ак )|, Фк (ак )<7к. Из условия 2 следует, что эти формы являются положительно определенными. Так что

< ~У~УокфЦук^)) (50к > 0; к = 1,2,.../), (14)

к=1

откуда вытекает, что

; р t

v(t) < v(0) — ^/ £ofc (afc (t))dt, v t > 0. (15)

fc=^0

Из равенств (11) и гурвицевости матрицы A следует, что функция v(t) ограничена снизу. Таким образом, справедливо соотношение

(afc(t)) € L2[0, +го) (k = 1, 2,.../). (16)

Функции (afc(t)) равномерно непрерывны на полуоси [0, +то). Тогда из (16) по

лемме Барбалата [20] следует, что

(ok(t)) ^ 0 при t ^ (k = 1,.../),

откуда

Ofc (t) ^ >Jk при t ^ +ro,

где (<7fc) = 0 (k = 1,.../).

С другой стороны, в силу справедливости (16) и гурвицевости матрицы A легко показать [8], что

z(t) ^ 0 при t ^ +то.

Теорема 1 доказана.

3. Частотный критерий глобальной асимптотики для дискретных фазовых систем. Рассмотрим дискретную систему

z(n + 1) = Az(n) + В/ (a(n)), ( )

a(n + 1) = a(n) + C*z(n)+ Д/(a(n)) (n = 0, 1, 2,...). ( )

Матрицы A, B, C, Д и векторные функции z, a, / описаны в пункте 2. Оставим в силе предположение об управляемости пары (A, B) и наблюдаемости пары (A, C) и потребуем, чтобы все собственные значения матрицы A лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга. Оставим также в силе все предположения и обозначения, сделанные в пункте 2 относительно функции /(a). Для системы (17) сохраняется та же передаточная матрица K(p), что и для системы (1).

Введем в рассмотрение числа ky = 2 а у — и k2j = 2«2j — «у и диагональные

матрицы Kj = diagjkji,..., k*;} (i = 1, 2).

Теорема 2. Предположим, что существуют такие положительно определенные диагональные матрицы е = diagjei, ...,£;}, т = diagjri, ...,т;}, £ = diag{£i, ...,£;}, диагональная матрица ж = diag{«i,..., ж;} и числа afc € [0,1] (k = 1, ..., /), что выполняются следующие условия:

1) для всех p € C, удовлетворяющих условию |p| = 1, справедливо неравенство

Жв{жК(p) — K*(p)eK(p) — (K(p) + (p — 1)Kf 1)*t(K(p) + (p — 1)K-i)} — £ > 0;

2) матрицы

efc — °.5жй «0k (afc (1 + |vfc |) + 2 СВ^ак^к 0

+«ofc(l + r, ; l^ofcl)) V |a1k |a2fc

2 £fc 2 ^к&Ок^Ок

0 2 /fe feifcfe2fc

где ао^ — 1 — ,

аок —

при ж > 0, при ж < 0,

являются положительно определенными.

Тогда справедливы соотношения

Иш / (а(п)) — 0, Иш г(п) — 0,

П——+ ^ П——+ ^

Иш (а(п +1) — а(п)) — 0, Иш а(п) — а, где /(а) — 0.

П—— + ^ П—— + ^>

Доказательство. Используем расширение фазового пространства [18] системы (17). Введем в рассмотрение матрицы

Р

О

Ег

В

с

д*

г(п)

/(а(п))

и последовательность

£1(п) — / (а(п + 1)) — / (а(п)).

Запишем систему (17) в виде

у(п + 1) — Ру(п) + £&(п),

а(п + 1) — а(п) + В*у(п), п — 0, 1, 2,...

Рассмотрим квадратичную форму переменных у € Ит+г и £1 € И1:

(19)

М (у, £1) — (Ру + ьа)*я (Ру + ьа) — у*Ну+

+ у*ЬжВ*у + у*ВеВ*у + у*мь*у — (В* у — К^ £1 )*т (К^1 £1 — В*у),

где Н — Н* — симметричная (т + 1) х (т + 1)-матрица.

Как следует из [18], условие 1 гарантирует существование такой симметричной (т + 1) х (т + 1)-матрицы Н, что для всех у € Ит+г и £1 € И.1 выполнено неравенство

М(у, £1) < 0.

(20)

Из условия, наложенного на матрицу А, и ограниченности фунции /(а) следует, что решения у(п) системы (19) ограничены. Следовательно, ограничена и последовательность Ш (п) — у*(п)Ну(п).

Определим последовательность Ляпуновского типа

( <—(п)

V (п) — Ш (п) +

к=1

о-(п)

ак J ^ (ст)йст + аок J (ст)йст

\ сть (0) сть (0)

где функции РЦст) и Ф*(<г) определены в тексте доказательства теоремы 1.

у

Рассмотрим разность

V (п +1) — V (п) —

I / сть(п+1) СТк(п+1)

Ш (п +1) — Ш (п) + У^ЖЙ

к=1

к(

\ Стк(п) Стк(п)

Из (20) следует, что

Ш (п + 1) — Ш (п) <

I

< [—ЖкУк(ай(п))(ай(п +1) — ай(п)) — ей(<гй(п + 1) — ай(п))2 —

к=1

— 4 (ай (п)) — тй (к^1^ (ай (п + 1)) — ^ (<гй (п))) — (ай (п + 1) — (п)))х

х(к21г1(^й(а&(п + 1)) — ^(ай(п))) — (стй(п + 1) — (п)))] . (22)

Используем теперь заимствованные из [18] и [21] оценки

сть(п+1)

Жк У ^(ст)йст < жй^(ай(п))(ай(п + 1) — (п))+

сть (п)

сть(п+1)

+ 2Ж*а0*(1 + |г/й|)(<тА:(п + 1) — 0~к{п))2, (23)

Жй У (ст)йст < жй(^(ай(п))+0й|^й(ай(п))|)(ай(п + 1) — (п))+

сть (п)

+ 2Ж*а0*(1 + <Эй)(СГА:(п + 1) — 0~к{п))2, (24)

где 0Й — |^0йФ(ст£.п)|, а (п) ^ ст£,п ^ ай(п + 1). Заметим, что

а2к — а1к /окч

ФйИ < /, , • (25)

V |«1й |«2й

В [21] установлено также, что

(^(^ (а& (п + 1)) — ^ (<гй (п))) — (стй (п + 1) — (п)))х

х (к^1 (¥к(а&(п + 1)) — ^(ай(п))) — (<гй(п + 1) — ай(п))) >

~ фк(а'кп)(ак(п + 1) - сгк(п))2. (26)

«1й «2й

Из соотношений (21)—(26) следует, что

I

V(п + 1) — V(п) <^ ^(п), (27)

где

Zk(n) =

= — \ £к — ХжйаОйвОА:(1 + \Щк\—=) — X Ж^СКОй «А; (1 + |^й|) ] {&к (”-+1) — & к (п) )2 —

\ 2 УІ“1й |«2к 2 /

- М!К(«0) - Ф&КпЖ(та + !) - ак(п))2 —

Мк &2к

-ж к^к а й |^ й (ак (п))|(ак (п+1)-а к (п))+ж к ао к V к |Ф к (^к п )Ь к (ак (п))|(ак (п+1)-а к (п)).

Заметим, что Zk (п) можно рассматривать как квадратичную форму величин Ь к(ак(п))|, (стк(п + 1) - а к(п)), Ф к(^кп)(^к(п + 1) - а к(п)). Согласно требованию 2 эти квадратичные формы являются отрицательно определенными. Тогда

V(п + 1) - V(п) <-5о|/(а(п))|2 (£о > 0), (28)

где через |/1 обозначена евклидова норма вектора /. В силу ограниченности Ш (п) и равенств (11) последовательность V(п) (п = 0,1, 2,...) также является ограниченной. Тогда из (28) следует, что ряд

|/(а(п))|2

п=1

сходится, откуда

Ііт |/(а(п))| =0. (29)

п——+ ^

Из (29), учитывая расположение собственных чисел матрицы А, получаем, что

Ііт г(п) = 0.

п—— + ^>

Тогда из (19) следует, что

а(п +1) - а(п) ^ 0 при п ^ +то. (30)

Из (29) и (30) вытекает [18], что

а(п) = а при п ^ +го, где /(а) = 0. Теорема 2 доказана.

4. Частотные оценки фазовых координат для непрерывных систем. Частотные неравенства с варьируемыми параметрами позволяют не только устанавливать наличие у фазовой системы глобальной асимптотики, но и получать оценки отклонений фазовых координат от их начального значения.

Схема построения таких оценок изложена в статьях [16, 22]. Укажем здесь лишь

на те изменения, которые следует произвести в этой схеме в связи с изменением

условий на варьируемые параметры. Ограничимся случаем А = -Аі.

Рассмотрим систему (1) и введем дополнительные обозначения для функций (а) (І = 1,...,1):

= {а Є [0, Д,-): (-1)^(а) < 0} (І = 1, 2);

г,

[ 1^-(сг)Исг; ъ = [ ^'И^ег; Щ = 2ГЛд ; 3 3 1, + 7,

0(2) 0(1)

Д.

о,

/(1 - ф,(а))|^>,(а)Иа _0______________________

7

/ Ф,(а)|^,(а)Иа

где функции Ф, (а) определены формулами (9). Введем в рассмотрение функции

и]г)(Ж, к ш) — 7, - Г, + (-1)

I

Ш |жг |(Дг + а0г Д0г )

; Г=1,Г=,

ж, к

СО? (ж, к, ш)

£/^(ж, к, го)

/ Ф,(а)|^,(а)Иа

/,-ч и,(г)(ж, к, ш)

^\к,к,го) = ДД/

/ ^(а)Иа

0

где г — 1, 2, 3 — 1, ..., 1, к € К, ш € И, ж — diag{жl,..., ж;} —диагональная матрица, ж, € И..

Лемма. Пусть для чисел е, > 0, т, > 0, > 0, ж, — 0, а, € [0,1], т, € К, Д,-пе-

риодических функций у>, (а), удовлетворяющих неравенствам (2) и (3) (3 — 1, ...1), и непрерывно дифференцируемых функций Ш(£) и а, (£) (3 — 1, ...1) справедливы следующие утверждения:

1) Ш (£) > 0 при £ € И+;

2)

сШ^(»

сМ

^а,(£) / ^а,(£)

,=1

V &

+<, ^2(а, (£))+Т,Ф2(а(£))

<и

0,

где функции Ф, (а) определяются формулой (9); 3) матрицы Т, (Ш(0)) (г — 1, 2; 3 — 1, ...,/), где

Т«(я)

0

\а^(Е0^^ то.,-,ж)

(31)

а ао, — 1 — а,, являются положительно определенными.

Тогда

|а,(£) - а,(0)| < т,Д, (3 — 1, .., /) (32) Доказательство данной леммы проводится аналогично доказательству леммы Ляпуновского типа из статьи [22]. Оно основано на рассмотрении функций Ляпунова

3

2

2

,

0

е

,

,

V(i)(t) = w (t) + ffij

fj(t) f j (t) /»

a ( )(a)da + a0j Ф*;г) (a)da +

f j(0) (0) i fr (t) 1

+ / (ar Fr (a) + a0r Фг (a))da

r = 1,r=j fr (0)

где функции Fj(а) и Ф(a) определены формулами (8) и (10),

F(i)(a) = (a) - cfVj(a)|, фг)и = (a) - c0j)фj(a)|^j(a)

j = СГ(®j,mj, W(0) + eo),CoV = C0V (®j,mj, W(0) + e0) (i = 1, 2; j = 1, ...,1),

>(i)

*(i)

z0j

>(i)

z0j

а ео > 0 и столь мала, что Т(г)(^(0) + ео) > 0 V г, з. При этом дополнительно используются легко устанавливаемые оценки

/ ф (a)|Vj (a)|da I |Vj (a)|da

< R

/ ф(a)|Vj(a)|da f |Vj(a)|da

0 0

где ay ,ej e [0, Aj ] j = 1,...,1

Предположим, что для системы (1) выполнено частотное условие 1 теоремы 1. Тогда, как установлено в процессе доказательства теоремы 1, существует такая симметричная (m + l) х (m + 1)-матрица H, что для квадратичной формы G(y, £) (y e Rm+i,£ e Rl ) выполнено неравенство (7).

Определим функцию Wci(t) = y*(t)Hy(t), где y(t) —решение системы (6). Она ограничена. Пусть

I = inf W0(t).

t£R+

Теорема 3. Предположим, что существуют такие диагональные матрицы £> 0, т > 0, £ > 0, ж = 0 и числа aj e [0, 1], mj e N (j = 1, ..., I), что выполняют-

ся следующие условия:

1) для всех ш > 0 справедливо частотное неравенство (4);

2) матрицы Tj(i)(W0(0) — I), где Tj(i)(x) определены в условии леммы, а H = H* такова, что выполнено неравенство (7), являются положительно определенными.

Тогда для любого решения системы (1) справедливы оценки (32). Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2 статьи [16].

5. Оценка областей глобальной асимптотики в пространстве параметров системы фазовой автоподстройки частоты. Продемонстрируем полученные результаты на примере системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с пропорци-онально-интегрирующим фильтром (ПИФ) и синусоидальной характеристикой фазового детектора. Для рассматриваемой системы m = n = 1,

К{р) =Tl + , f(a) = ^i(cr) = sin(cr) -7,

1+ Tp

где T > 0, в e (0, 1), y e (0, 1).

Асимптотическому поведению системы ФАПЧ с ПИФ посвящен ряд исследований. В них либо установлены области глобальной асимптотики в пространстве параметров системы (численными или качественно-численными методами [23, 24]), либо приведены условия на параметры системы, гарантирующие наличие у нее глобальной асимптотики [3, 8]. Такие условия позволили построить ряд оценок областей глобальной асимптотики [3, 8].

Теорема 1 также дает возможность строить оценки областей глобальной асимптотики. Граница области-оценки, полученной применением теоремы 1 в случае в = 0.2, приведена на рис. 1 и обозначена как (3).

Кривая (2) на этом рисунке представляет собой границу области-оценки, полученной в [8] с помощью периодических функций Ляпунова, соответствующих случаю ах = 1 (ао1 = 0) теоремы 1. Кривая (1) на этом рисунке представляет собой границу области глобальной асимптотики, полученную численно в работе [23]. Сами области расположены ниже своих границ.

Сравнение кривых (1), (2), (3) позволяет сделать вывод, что применение обобщенной периодической функции Ляпунова дает возможность улучшить оценку области глобальной асимптотики системы ФАПЧ, полученную в [8]. При этом различие между истинной областью и ее оценкой уменьшается в среднем на 25 процентов.

Литература

1. Бакаев Ю. И., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Допплера // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10, №1. С. 175-196.

2. Корякин Ю. А., Леонов Г. А. Процедура Бакаева—Гужа для систем со многими угловыми координатами // Изв. АН Каз-ССР. 1976. Сер. физ.-мат., №3. С. 41-46.

3. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

4. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. 2006. №10. С. 47-85.

5. Brokett. On the asymptotic properties of solutions of differential equations with multiple equilibria // J.Diff.Equations. 1982. Vol. 44. P. 249-262.

6. Леонов Г. А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. №6. С. 238-244.

7. Leonov G. A., Reitmann V., Smirnova V. B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgard-Leizig, 1992. 242 p.

8. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-Dopmain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications. World Scietific, Syngapore; New Jersey; London; Hong Kong, 1996. 498 p.

9. Корякин Ю.А., Леонов Г. А. Определение полос захвата в системе импульснофазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. 1977. №6. С. 65-72.

10. Duan Zh., Wang J., Huang L. Criteria for dichotomy and gradient-like behavior of a class of nonlinear systems wih multiple equilibria // Automatica. 2007. Vol. 43. P. 1583-1589.

11. Леонов Г. А., Шепелявый А. И. Частотный критерий неустойчивости дискретных фазовых систем. Деп. в ВИНИТИ, №4502-84 от 2 июля 1984 г.

12. Леонов Г. А., Сперанская Л. С. Оценки частоты биений в многомерных системах ФАП // Радиотехника. 1985. №3. С. 32-35.

13. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1983. №5. С. 65-72.

14. Киселева О. Б., Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Оценка числа проскальзываний циклов в фазовых системах с распределенными параметрами // Численные методы в краевых задачах математической физики. Межвуз. тематич. сб. тр. Ленинград, ЛИСИ, 1985. С. 116124.

15. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Асимптотические частотные оценки амплитуды выходного сигнала для дискретных фазовых систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. С. 60-68.

16. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И., Перкин А. А. Покоординатные

оценки векторного выхода многомерной системы с фазовым управлением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 3. С. 70-78.

17. Lu P., Yang Y., Huang L. Dynamic feedback control for cycle slipping in a phase-

controlled system // Nonlinear analysis. 2008. T. 69. P. 314-322.

18. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000. 400 с.

19. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журнал. 1973. Т. 14, №2. С. 265-289.

20. Popov V. M. Hyperstability of Control Systems. Springer, Berlin. 1973.

21. Smirnova V. B., Shepeljavyi A. I. A modified frequency-domain criterion for gradient-like behavior of discrete phase systems // Proceedings of Third IFAC Workshop “Periodic Control Systems”. St.Petersburg, Russia. 2007, http://lib.physcon.ru/getfile.html7item1427.

22. Смирнова В.Б., Утина Н.В., Шепелявый А. И., Перкин А. А. Частотные оценки

числа проскальзываний циклов в фазовой системе с векторной нелинейностью // Вестн.

С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 1. С. 33-43.

23. Первачев С. В. Исследование режима захвата следящего автоселектора // Радиотехника. 1962. Т. 17. №2. С. 51-55.

24. Белюстина Л.Н., Быков В. В., Кивелева К. Г., Шалфеев В. Д. О величине полосы захвата системы ФАП с пропорционально-интегрирующим фильтром // Известия вузов, радиофизика. 1970. Т. 12, №4. С. 561-567.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.