Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовой системе с векторной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЙ ЦИКЛОВ В ФАЗОВОЙ СИСТЕМЕ С ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ*

В. Б. Смирнова1, Н. В. Утина2, А. И. Шепелявый3, А. А. Перкин4

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, root@AL2189.spb.edu

2. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель, unv74@mail.ru

3. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, as@AS1020.spb.edu

4. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, аспирант, root@AL2189.spb.edu

Введение. Задача о числе проскальзываний циклов для фазовых (маятникоподобных) систем была поставлена Дж. Стокером в 1950 г. [1]. Дж. Стокер решал эту задачу для математического маятника, испытывающего лишь силу тяжести и силу сопротивления среды, пропорциональную квадрату его скорости и направленную противоположно ей. Движение такого маятника представляет собой вращение около точки подвеса, переходящее в затухающие колебания относительно нижнего положения равновесия. Число проскальзываний циклов для маятника — это число полных оборотов маятника около точки подвеса (отсчет оборотов ведется от начального отклонения маятника от нижнего положения равновесия). Задача состоит в определении или оценке числа проскальзываний циклов в зависимости от параметров маятника. Сам Стокер ставил эту задачу несколько иначе. Именно, требовалось определить интервал таких начальных скоростей маятника, при которых маятник совершит заданное число оборотов.

Вообще же, для фазовой системы со скалярной нелинейной функцией периода Д и одной угловой координатой а(Ь) числом проскальзываний циклов называется такое натуральное число к, что

|<г(£) — <г(0)| > кД

для какого-то значения £ € И.+ , и

|а(г) — <г(0)| < (к + 1)Д

для всех £ € И.+ . Задача о числе проскальзываний циклов оказалась актуальной для ряда технических систем. Так, число проскальзываний циклов является важной характеристикой переходного процесса систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

Задачи, возникающие в связи с проскальзыванием циклов в системах ФАПЧ, в том числе задачи о среднем времени первого проскальзывания, о частоте проскальзываний, активно исследовались в 60-е — 70-е годы прошлого века наряду с другими задачами фазовой автоподстройки. Различным аспектам проскальзывания циклов посвящены статьи [2-5]. Точные результаты в этих работах получены лишь для систем ФАПЧ первого порядка. Для систем более высокого порядка были установлены асимптотические формулы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1). © В.Б.Смирнова, Н.В.Утина, А.И.Шепелявый, А.А.Перкин, 2009

Начало изучению явления проскальзывания циклов для фазовых систем произвольного порядка было положено в статье [6]. В ней рассматривались непрерывные многомерные фазовые системы со скалярной нелинейной функцией. Задача о числе проскальзываний циклов рассматривалась авторами как прямое продолжение задачи о глобальной асимптотике фазовых систем [7, 8]. Исследование проводилось теми же методами, что и исследование глобальной асимптотики, т. е. прямым методом Ляпунова, сопряженным с процедурой Бакаева—Гужа [9] и методом нелокального сведения [10]. Применение леммы Якубовича—Калмана позволило сформулировать результаты в терминах передаточной фунции линейной части системы в виде частотных неравенств с варьируемыми параметрами. На варьируемые параметры налагались дополнительные условия.

Результаты статьи [6] были затем распространены на бесконечномерные фазовые системы, описываемые интегродифференциальными уравнениями Вольтерра [11]. Основным инструментом исследования выступил здесь метод априорных интегральных оценок В. М. Попова. В статье [12] частотные оценки числа проскальзываний циклов, полученные в [6], модифицированы для дикретных фазовых систем.

Все перечисленные выше работы рассматривают системы с одной периодической нелинейностью. Однако в последнее время появился интерес к фазовым системам, содержащим несколько нелинейностей [14]. Следует отметить, что частотные условия глобальной асимптотики фазовых систем с несколькими нелинейностями установлены еще в работах [7, 15]. Они дают основу для распространения результатов [6, 12] на системы со многими нелинейностями.

1. Рассмотрим многомерную фазовую систему управления в векторном случае

+ В1р(а(Ь)),

М (1)

= С* г (г) + Пр(а(г)),

где А, В, С, К — действительные матрицы порядков т х т, т х I, т х I, I х I соответственно, символ «*» означает эрмитово сопряжение, ¿(¿) — т-мерный вектор состояния системы, а(£) — 1-мерный вектор выхода системы. Предполагается, что пара (А, В) управляема, пара (А, С) наблюдаема, все собственные значения матрицы А имеют отрицательную вещественную часть. Предположим, что векторная функция ¿(а) имеет вид

¿(а) = (^1 (^1),--.,^г Ы),

где каждая компонента (аj) является Дj-периодической, непрерывно дифференцируемой функцией с конечным числом простых нулей на периоде [0, Дj). Пусть далее

«у < < «2^ (ст € И.), (2)

где ау < 0 < a2j (з = 1,... ,1). Будем также предполагать для определенности, что

^■3

J ^pj(а) ¿а < 0.

о

Введем обозначения:

П(1) = {а : а € [0, Дj) : ¿j(а) > 0}, = {а : а € [0, Дj) : ¿j(а) < 0},

г

/ Ь,(а)| ¿а ъ = (а) ¿а

0(2) 0(1)

р 2^7^ 7^- Г,-

Ко - Г—ГГ->

Г, + 7/ 3 Г, + lj ’

и + Х]г = 1 г=3 |кг|^г

'Уч' — 1 п -|- I — И -

V,- ^ (к, к, ад) =

,., 77 — Г,-+ ( — 1)*-----------------------1—

I. „л - а________________^

ъ + г,

где г = 1, 2, к — натуральное число, к, € И., к = diag{кl,..., к;} —диагональная матрица.

Введем в рассмотрение передаточную матрицу линейной части системы от векторного входа к векторному выходу (-а):

К(р) = С*(А - рЕт)-1В - К (р € С),

где Ет — т х т-мерная единичная матрица.

Рассмотрим также квадратичные формы векторов г € Ит и £ € И;:

Ф(г,£) = 2г*Н (Аг + В£) + Р (г,£),

Р(г, £) = £*к(С*г + Д£) + £*п£ + (С* г + Д£)*е(С*г + Д£).

Здесь Н = Н* — некоторая т х т-матрица, е = diag{еl, ...,£;}, п = diag{nь..., пг} — диагональные матрицы.

Теорема 1. Предположим, что существуют такие диагональные матрицы е > 0, П > 0, к = 0 и такие натуральные числа т1, т2, .. ., т;, что выполняются условия:

1) для всех и > 0 матрица

Же{кК (ги) — К*(ги)еК (ги) — п}

является положительно определенной (ЖеА = (1/2)(А* + А));

2) справедливы неравенства

г ,Л т2

4е,п, > к, V, (к, т, ,г *(0)Нг (0)) (3 = 1, 2, ...,/, г = 1, 2), (3)

где Н = Н* — такая вещественная т х т-матрица, что Ф(г, £) < 0 для всех г € Ит,

£ € Иг.

Тогда для любого решения системы (1) с начальными данными (г(0), а(0)) для всех 4 > 0 выполнены неравенства

|а,(4) - а,(0)| < т,Д, (з = 1,..., 1).

Замечание. Выполнение частотного условия 1 теоремы обеспечивает существование матрицы Н, фигурирующей в условии 2.

Докажем сперва вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть для чисел е, > 0, п, > 0, к, =0 (3 = 1,. .., /), натуральных чисел т, (3 = 1,...,/), Д,-периодических функций (а), удовлетворяющих неравенствам (2), непрерывно дифференцируемых функций а, (4) и ^(4) справедливы условия:

1) №(г) > 0, г € И+;

2)

(г)

+ Е

,=1

3)

4е, п, > к, , (к, т, , № (0)) (3 = 1, 2,...,/, г = 1, 2),

где к = diag{кl,. .., к;}.

Тогда для всех г € И+ справедливы неравенства

|а,(г) - а,(0)| < т,Д, (з = 1,..., 1).

(4)

(5)

(¿)

Доказательство. Из условия 3 леммы 1 и вида функций V, следует, что для некоторого ео > 0 справедливы неравенства

4е, п, >

к,^(г) (к, т,, №(0) + ео) (3 = 1, 2,...,/, г = 1, 2).

(6)

Заметим, что справедливы также неравенства

2

4е,п, > [ к,м,] (3 = 1, 2,...,/, г = 1, 2).

(7)

Введем в рассмотрение функции

Ф,(а) = (а) - М,Ь,(а)| (3 = ^...^^

Р,(г)(а) = (а) - ,^(а)| (3 = 1,...,/,г = 1,2).

(О

Здесь vJ(г) = vJ(г) (к, т,, №(0) + ео). Определим теперь функции

г <Г (4) <т (4)

Р,(г)(г) = № (г) + ^ кг ^ Фг (а) ¿а + к, У Р,(г) (а) ¿а.

(0)

г=1,г=,

стг (0)

Рассмотрим выражение:

г = 1,г=,

Заметим, что

т*3

J Фг (а) ¿а =0

(8)

Л3 г

[ ^)(а) ^ = (-1)т^°) + £0 + ^=1.^1^^.

3 к, т,

(9)

2

и

В силу условия 2 леммы 1 получим

dVj(i)(t) ' 2 2

----^---- < 2^ {->ír^r(o-r)ó-r - £r(¿r) - Г)г<Рг{аг) + >СгФг(аг)&г} +

r=1,r=j

+ {-Kj‘j(oj)oj - £j (oj)2 - nj‘2(oj) + KjF( (oj)oj} =

^2 _„2^Л , _.p(i)/

■j

l

22

= 53 {-£r (<^r )2 - Пг ‘2(^r ) - Mr Kr |‘r (ar )|(jr } +

r = 1,r=j

+ {-£j(oj)2 - nj‘(oj) - vji)Kj|‘j(oj)|oj}.

В силу неравенств (6) и (7) можно утверждать, что

dVj(i)(t)

3 7 < 0. dt

Следовательно, для всех t £ R+ справедливы соотношенния

V(i)(t) < Vj(i) (0) = W (0) (i = 1, 2, j = 1,...,1). (10)

Предположим теперь, что при каком-то значении T > 0 хотя бы одна из оценок (5) нарушена, т. е. существует такое целое j £ [1,1], что

|oj(T) - о(0)| = mj д- •

Заметим, что при t £ [0, T) справедливы оценки

|or(t) - or(0)| < mrДг (r = 1,. .., 1).

Рассмотрим сначала случай, когда

oj(T ) = oj (0) + mj Д- . (11)

Для r = j установим равенства

оr (T) = or (0) ± kr Дг ± вг, (12)

где kr £ Z, 0 < kr < mr, в £ [0, Дг].

Обратимся к функции Vj(1)(T) и рассмотрим по отдельности слагаемые, входящие

в выражение для Vj(1) (T).

А. Справедливы равенства

« (Т) m¿ Д Aj

Kj J F(1)(o) do = Kj J Fj(1)(o) do = Kjmj j Fj(1) (о) do.

«(0) 0 0

Тогда в силу (9)

-(T) i

Kjf F(1)(o) do = W (0)+ £0 + ¿ |Kr |Rj. (13)

« (0) r=1-r=j

Б. Если справедлива формула (12), то в случае верхнего ряда знаков справедлива цепочка равенств

Œr (Т ) / Дг ^г(0)+вг \ CTr(0) + er

кг J Фг (a) da = Kr kr J Фг (a) da + J Фг (a) dal = кг J Фг (a) da =

Œr (0) \ 0 Œr (0) y Œr (0)

( Œr(0)+er Œr(0)+er \

J <pr(a) da - +рГ J |^r(cr)|dcr .

\ Œr(0) Œr(0) J

Введем обозначения

Y

/ = J ifr (a) da, Г/ = J j^r (a)| da.

H|(œr (0),Œr(0)+^r ) пГ2) H|(œr (0),Œr(0)+^r )

Ясно, что 0 < 7Г < Yr, 0 < ГГ < Гг. Тогда

( Œr(0)+er Œr(0) + er \

J Lpr(a)dcr - +рГ J |уг(сг)| da\=Hr ^ - Г; - ^ + ^ (7; + =

Œr(0) Œr(0)

_ 2хг(Гг7г — 7ГГГ) ^ ! |D

—----------““P------- ^ —\xr\nr.

7r + Г r

Таким образом, справедлива оценка

Œr (T)

Kr j Фг (a) da > —|кг |Дг . (14)

Œr(0)

В. Легко установить, что оценка (14) справедлива и для нижнего ряда знаков в формуле (12).

Оценивая с помощью (13) и (14) выражение для Vj(1)(T), получаем, учитывая неотрицательность функции W (t),

V(1)(T) > W(0) + £0. (15)

Оценка (15) противоречит оценке (10) и, следовательно, предположение (11) неверно.

(2)

Аналогичными рассуждениями с использованием функции Vj( )(T) исключается

возможность равенства

а,(т) =а,(0) - т,Д,.

Таким образом, лемма 1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Согласно частотной теореме Якубовича— Калмана [8] для того, чтобы существовала такая матрица Н = Н*, что для всех г € Ит, £ € Иг выполнено неравенство

Ф(г,£) < 0, (16)

достаточно, чтобы для всех £ € С;, и € И выполнялось

Р((гиЕ - А)-1 В£,£) < 0, (17)

где форма Р(г,£) получена распространением формы Р(г,£) на комплексные значения аргументов с сохранением эрмитовости.

Неравенство (17) эквивалентно частотному условию 1 теоремы 1. Действительно,

Р((рЕ - А)-1 В£, £) = Же{£*к(С* (рЕ - А)-1В£ + Д£) + £*п£+

+ (С*(рЕ - А)-1В£ + Д£)*е(С* (рЕ - А)-1В£ + Д£)} =

= -£*Же{кК(р) - п - К(р)*еК(р)}£)(р € С).

Пусть (г(г),а(г)) —решение системы (1). Воспользуемся леммой 1. Пусть функции а, совпадают с компонентами решения системы (1). Функцию № (г) выберем в виде

№ (г) = г*(г)Нг(г).

Для нее выполнены все условия леммы. Действительно,

= 2г*(*)Я(Аф) + В¥>(<7(*))).

Следовательно, в силу условия 1 теоремы 1 справедливо неравенство

+ 13 + £з = ФОК^И*))) < °-

Таким образом, условие 2 леммы 1 выполнено. Условие 3 леммы 1 совпадает с условием 2 теоремы 1.

Отметим, что

Р(г, 0) = г*СеС*г.

Тогда в силу наблюдаемости пары (А, С) и гурвицевости матрицы А устанавливаем [8], что Н > 0. Таким образом, условие 1 леммы также выполнено. Итак, заключение леммы верно. Тогда верно и заключение теоремы 1.

2. Рассмотрим теперь многомерную дискретную фазовую систему с векторной нелинейной функцией

г(п + 1) = А^ (п) + В£(п),

а(п + 1) = а(п) + С *г(п) + Д£(п), (18)

£(п) = у>(а(п)), п = 0,1, 2,...

Размеры матриц А, В, С, Д и векторов г, а, ^ описаны в пункте 1. Предполагается, что все собственные значения матрицы А лежат внутри единичного круга. Пары (А, В) и (А, С) по-прежнему предполагаются, соответственно, управляемой и наблюдаемой. Все свойства функции у>(а) и связанные с ней обозначения остаются такими же, как и в пункте 1. Система (18) имеет ту же передаточную матрицу, что и система (1). Для системы (18) справедлив аналог теоремы 1, доказанной для системы (1). Чтобы ее сформулировать, нам понадобится аналог введенной ранее квадратичной формы

Ф(г, £):

Ф0(г, £) = (Аг + В£)*Н(Аг + В£) - ,г*Н,г (г € Ит, £ € Иг).

Введем также обозначения

Л( т1 і ( 1 м ™+Х)г=і \xARr Ъ-*-э + \-Ч Щк

Ъ + гз

(з = 1, 2,..., 1, і = 1, 2).

Теорема 2. Предположим, что существуют такие диагональные матрицы е > 0, п > 0, к = 0 и такие натуральные числа т1, т2, .. ., т;, что выполнены следующие условия:

1) для всех р € С, |р| = 1 матрица

Же{кК(р)} - К*(р)еК(р) - п}

является положительно определенной;

2) справедливы неравенства

І а0'

(1 + ' (к, Ш'*(0)Яг(0))|) > К'І (к, Ш'*(0)Яг(0))

(з = 1, 2,...,/, і =1, 2),

где ао, = «2,, если к, > 0, и ао, = «1,, если к, < 0, а матрица Н = Н* такова, что Фо(г,£) < 0 для всех г € И™, £ € И.;.

Тогда для любого решения (г(п),а(п)) системы (18) с начальными условиями (г(0),а(0)) при всех натуральных п справедливы оценки

|а'(п) - а'(0)| < тіДі (І = 1,...! /).

(19)

Доказательство теоремы 2 опирается на лемму ляпуновского типа.

Лемма 2. Пусть для чисел £' > 0, П' > 0, К' = 0, натуральных чисел Ш', Д'-периодических функций ф'(а), удовлетворяющих условиям (2), последовательностей Ш(п), (п) (з = 1,..., /; п = 0,1, 2,...) выполнены условия:

1) Ш(п) > 0 (п = 0,1, 2,...);

2)

Ш(п + 1) - Ш(п) + ^{к'ф(а'(п))[а'(п + 1) - а'(п)]+

' = 1

+ єі[а(п + 1) -а(п)] + піфі(аі(п))} < 0 (п = 0,1,2,...);

3)

4Пі

'(к,Ш', Ш(0))) > К'с'г)(к,Ш', Ш(0))

(з = 1,...,/; і = 1, 2),

где ао, определены в тексте теоремы 2, а к = diag{кl,. .., к;}. Тогда для всех натуральных п справедливы оценки

|а,(п) - а,(0)| < т,Д, (з = 0.

Доказательство леммы 2. Введем функции

Р,(г)(а) = фі(а) - '|фі(а)| (і = 1,...,/; * = 1,2).

(20)

2

к

'

2

2

£

'

Здесь

, = , (к, 1, ,Ш (0) + ео), (22)

где 1, > т,, а ео столь мало, что неравенства (20) верны при замене Ш(0) на Ш(0) + ео. Для функций Р,(г) справедливы неравенства [12]

(23)

Построим последовательность Ляпунова вида

где , может принимать значение либо 1, либо 2, а I — векторный параметр, I* = (¿1, ¿2, • • •, *п). На основе условия 3 и оценок (23) такими же рассуждениями, как в [12] устанавливаем, что для любого вектора I и любого выбора значений 1, > т, в формуле (22) справедлива оценка

V(1)(п + 1) - V(1)(п) < 0,

откуда

V(1)(п) < V(1 )(0) = Ш(0) (п = 1, 2, •••)• (24)

Предположим теперь, что при по € N какие-то к < 1 оценок (21) нарушены. Пусть для ^ € N и [1,1] (* = 1, • • •, к) справедливо одно из равенств

ащ (по) = ащ (0) ± р9г Ддг ± в1д^, Ад* € [0, Дщ), р^ > т*, р^ € N• (25)

Если не совпадает ни с одним из ^, то справедливо одно из равенств

а,(по) = а,(0) ± р,Д, ± ^2,, в2, € [0, Д,), 0 < р, < т,, р, € 2^ (26)

Проведем оценки сверху интегралов

Т(п)

У , )(а) ¿а,

Т (о)

выбрав при этом = 1 для верхнего ряда знаков в формулах (25) и (26), = 2 для

нижнего ряда и назначив 1, = рдг для формул (25), 1, = т, для формул (26). Механизм оценки указанных интегралов с выбранными параметрами описан в статье [12] при доказательстве леммы. Суммируя оценки рассматриваемых интегралов, получим оценку для ляпуновской последовательности:

; к

> ТУ(п0) + ТУ(0) + е0 + ^3 \ Кз\Из ~ 53 ^ |,

- 1 - 1 "ГОг + Г Ог

,= 1 г=1 4

где число г принимает значение 1 или 2 и использованы обозначения

7г, = J ^(а) ¿а, Гг, = J |^(а)| ¿а,

п^.1)ппгз- п^2)ппгз-

Пг, = {а : а,(0) ^ а ^ а,(0) - (-1)г^г,}•

Нетрудно установить, что

д. _ 2|Гд-7гд- — Ггд-7д-| ^

^ 7^ + Г; ~~ ’

откуда следует, что

V(1)(по) > Ш(по) + Ш(0) + ео^ (27)

В силу условия 1 леммы 2 оценка (27) противоречит оценке (24). Этим противоречием лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 2. Как установлено при доказательстве теоремы 1, из условия 1 теоремы 2 следует, что при всех р € С, |р| = 1 справедливо неравенство

Р((р£ - А)-1В£,£) < 0^ (28)

Согласно дискретному аналогу частотной теоремы Якубовича—Калмана [16] неравенство (28) обеспечивает существование такой матрицы Н = Н*, что

Фо(*,0 < 0 (г € Ит,£ € И.1)- (29)

Так как при £ = 0 из (29) вытекает, что

г*(А*НА + Н)г < -г*СеС*г,

в силу полной наблюдаемости (А, С) и расположения всех собственных значений А внутри единичного круга устанавливаем, что Н > 0 [16]. Применим к решению

(г(п),а(п)) (а = ||а,||,= 1,...,г) системы (18) лемму 2. Определим Ш(п) = г*(п)Нг(п).

Нетрудно установить, что в силу (29) для последовательности Ш(п) выполнено условие 2 леммы 2. Условие 3 леммы 2 совпадает с условием 2 теоремы 2. Кроме того, Ш(п) > 0, п € N и {0}. Все условия леммы 2 для рассматриваемых последовательностей а,(п) (з = 1,...,1), Ш(п) выполнены. Следовательно, справедливы оценки (21). Этим теорема 2 доказана.

Литература

1. Stoker J. J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, 1950. 273 p.

2. Viterbi A. J. Phase-locked loop dynamics in the presence of noise by Fokker-Planck techniques // Proc. IEEE. 1963. Vol. 51. Dec. P.1737-1753.

3. Bozzoni E.A., Marchetti G., Mengali U., Russo F. An extension of Viterbi’s analysis of the cycle slipping in a first-order phase-locked loop // IEEE Trans. on AES. 1970. Vol. 6, N4, July. P. 484-489.

4. Tausworthe R. Cycle slipping in phase-locked loops // IEEE Trans. on Com. Technology. 1967. Vol. 15, N3. June. P. 417-421.

5. Tausworthe R. Simplified formula for mean cycle-slip time of phase-locked loops with steady-state phase error // IEEE Trans. on Com. Technology. 1972. Vol. 20, N 3, June. P. 331-337.

6. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1983. №5. С. 65-72.

7. Корякин Ю. А., Леонов Г. А. Процедура Бакаева—Г ужа для систем со многими угловыми координатами // Изв. АН КазССР. 1976. Сер. физ.-мат., №3. С. 41-46.

8. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

9. Бакаев Ю. И., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Допплера // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10, №1. С. 175-196.

10. Леонов Г. А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем// Автоматика и телемеханика. 1984. №2. С. 45-53; №3. С. 48-56.

11. Киселева О. Б., Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Оценка числа проскальзываний циклов в фазовых системах с распределенными параметрами // Численные методы в краевых задачах математической физики. Межвуз. тематич. сб. тр. Ленинград: ЛИСИ, 1985. С. 116-124.

12. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 2 (№9). С. 48-57.

13. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Асимптотические частотные оценки амплитуды выходного сигнала для дискретных фазовых систем. Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 1, 2006. С. 60-68.

14. Zhisheng Duan, Jinzhi Wang, Lin Huang. Criteria for dichotomy and gradient-like behavior of a class of nonlinear systems wih multiple equilibria // Automatica. 2007. Vol. 43. P. 1583-1589.

15. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Асимптотика решений системы интегродифференциаль-ных уравнений с периодическими нелинейными функциями // Сиб. мат. журнал. 1978. Т. 19, №6. С. 1406-1412.

16. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления. Сиб. мат. журнал. 1973. Т. 14, №2. С. 265-289.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.