О дисперсии числа нулей некоторых стационарных гауссовских процессов: малые отклонения от простых решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.511.42

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

В. Б. Смирнова, Н. В. Утина, А. И. Шепелявый

АСИМТОТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ АМПЛИТУДЫ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Рассматривается многомерная дискретная система вида

где А — постоянная вещественная (V х V)-матрица, Ь,с — постоянные вещественные ^-векторы, р > 0 — число, х,а — соответственно v-мерная и скалярная компоненты вектора состояния системы, — скалярная непрерывно дифференцируемая Д-периодическая функция.

Система (1) обладает следующим свойством. Если (х(п),а(п)) является решением системы (1), то (х(п), а(п) + jД) (где ] —любое целое число) также является решением этой системы. Тем самым система (1) относится к классу фазовых систем [1].

Дискретными и непрерывными фазовыми системами описываются, например, системы фазовой автоподстройки частоты, электрические машины, синхронно следящие системы. Любая из этих систем в случае «устойчивости» может работать в двух различных режимах: синхронном режиме (который часто называют режимом сопровождения) и режиме захвата (который иначе называют режимом установления, или переходным процессом). Каждый из этих режимов имеет определенные физические ограничения и характеристики.

Одной из основных характеристик переходного процесса является число проскальзываний циклов. Эта характеристика отражает нарастание или уменьшение ошибки по фазовой компоненте вектора состояния системы на величины, кратные периоду входящей в систему нелинейности. Впервые она была введена в рассмотрение Дж. Стокером [2] для уравнения маятника. Затем она изучалась в работах А. Дж. Витерби [3], Р. Тасворса [4] и других авторов [5] в основном для дифференциальных уравнений первого и второго порядков. В работе [6] получены оценки числа проскальзываний циклов для многомерных непрерывных фазовых систем, а в работе [7] эти оценки распространены на случай распределенных фазовых систем.

Для многомерной фазовой дискретной системы (1) данная характеристика переходного процесса рассматривалась в работах [8], [9]. Проведенные в них исследования опирались на второй метод Ляпунова, частотную теорему Якубовича-Калмана [10] и метод нелокального сведения Леонова [11].

В предлагаемой работе для решения задачи об оценке числа проскальзываний циклов многомерной дискретной фазовой системы аппарат второго метода Ляпунова и частотная теорема сочетаются с методом, получившим название «процедура Бакаева— Гужа» по имени исследователей, впервые его применивших [12]. Согласно процедуре Бакаева—Гужа, исходная нелинейная функция, имеющая ненулевое среднее значение на периоде, путем вычленения из нее функции с нулевым средним на периоде заменяет© В. Б. Смирнова, Н. В. Утина, А. И. Шепелявый, 2006

х(п +1) = Ах(п)+Ь^(п), а(п + 1) = а(п) + с*х(п) — р£(п), а>п) = ф(*(п)), п =0, 1,22,..

(1)

ся в функциях Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности» на функцию с теми же нулями, но меньшую по модулю.

Сочетание второго метода Ляпунова, процедуры Бакаева—Гужа и частотной теоремы Якубовича—Калмана неоднократно успешно использовалось при исследовании асимптотического поведения решений фазовых систем с различным математическим описанием. Частотный критерий глобальной асимптотики фазовой системы дифференциальных уравнений, полученный с помощью этой методики, был опубликован в [13]. В статье [14] этот критерий был распространен на случай дискретных систем, а в статье [15]—на случай систем интегродифференциальных уравнений. Эта же методика позволила получить эффективно проверяемые оценки сверху для числа проскальзываний циклов в случае непрерывных фазовых систем [6], [7].

Описанная здесь методика уже применялась авторами для оценивания числа проскальзываний циклов для дискретных фазовых систем. В статье [16] с помощью второго метода Ляпунова и процедуры Бакаева—Гужа установлена частотная оценка числа проскальзываний циклов для многомерной дискретной системы (1).

Данная работа является продолжением статьи [16]. Ее цель состоит в расширении возможности применения описанной выше методики и, как следствие, улучшении получаемых результатов. Так трехпараметрический критерий оценки числа проскальзываний циклов, приведенный в [16], не учитывает свойств дифференцируемости нелинейной функции у>(ст). В данной работе приведены многопараметрические частотные критерии, эксплуатирующие условия, наложенные на производную у>(ст). Тем самым предоставлена возможность уточнения верхних оценок числа проскальзываний циклов.

Для многомерной дискретной системы (1) определение рассматриваемой характеристики переходного процесса можно сформулировать следующим образом.

Определение. Говорят, что решение (х(п),а(п)) системы (1) с начальными значениями (х(0),о(0)) проскальзывает т циклов, если

1) для всех натуральных п выполняется \о(п) — о(0)\ < Д(т + 1),

2) хотя бы для одного натурального числа по справедливо неравенство \а(по) — а(0)\ > Дт.

В дальнейшем будем предполагать, что все собственные числа матрицы А лежат внутри единичного круга, пара (А, Ь) управляема, пара (А, с) наблюдаема. Предположим также, что функция <^(о) имеет на периоде [0, Д) два однократных нуля: о\ < оч, причем у/(о\) > 0, ^/(ач) < 0. Не умаляя общности, можно считать, что

J ц>(а) За < 0. (2)

Пусть числа а\,а^ таковы, что

0.1 < — < «2- (3)

аа

Заметим, что а\а2 < 0.

Введем в рассмотрение передаточную функциию линейной части системы (1) от входа £ к приращению выхода —(а(п + 1) — а(п)):

Х(р) = с* (А — рЕ„ )-1Ь + р, (4)

где Еи —единичная (и х ^)-матрица, р — комплексная переменная.

Введем полезные в дальнейшем обозначения:

<71 А 7 2

J |у>(а)| ¿а + J |у>(а)| ¿а, 7 = J <-р(а) ¿а, Я

2Г7 Г + 7'

0 72 71

В силу (2) имеет место Г > ^ и, кроме того, справедливы соотношения А А

J а) Ла = 7 — Г, J |у>(а)| ¿а = 7 + Г.

00 С помощью величин Г и 7 определим функции

w + \к\R

т, т)

7 — Г —

7"

¡Л2 (к, т,т)

7 — Г +

w + \к\ R

7 ■

(5)

Эти функции нужны непосредственно для реализации процедуры Бакаева—Гужа.

Следуя [1], расширим пространство состояний системы (1). Для этого введем обозначения:

X , Р = А Ь , Ь = 0

у = ¥(а) 0 1 1

(6)

С1 = 11 с —Р\\

и £1(п) = <р(а(п + 1)) — ц>(а(п)). Тогда рассматриваемая система (1) примет вид

у(п +1) = Ру(п) + Ь&(п), а(п +1) = а(п) + с1 у(п), п = 0,1, 2,....

Рассмотрим квадратичные формы (V + 1)-вектора у и скалярной величины £1:

М(у, £1) = (Ру + Ш*Н(Ру + — у*Ну + Е1(у, £1),

Р1(у,&) = ку* Ьс\у + еу*С1С*1 у + пу*ЬЬ*у + т (аС у — £1)* (£1 — а2с\ у),

где Н = Н* —некоторая (V х ^)-матрица, е, п, к, т —числа. Сделаем ряд замечаний. Замечание 1 [1]. Из управляемости пары (А, Ь) следует управляемость пары (Р, Ь). Замечание 2 [1]. При р = 1 справедливы равенства

с\(Р — рЕ)-1Ь =

р — 1

X(P),

Ь*(Р — рЕ)-1Ь = —

р — 1

(7)

(8)

Лемма 1. Пусть все собственные числа .матрицы А содержатся внутри единичного круга. Если можно указать такие числа е > 0, п > 0, к = 0, т > 0, что для всех р, Р = 1, выполнено частотное неравенство

Жв{кх(р) — еХШ2 — п + т(а1 х(р) + (р — 1))*((р — 1) + а2х(р))} > 0,

(9)

то существует (V +1) х (V + 1)-матрица Н = Н* такая, что М(у,£1) < 0 для всех у е £1 е и..

1

1

Доказательство леммы 1. Согласно частотной теореме [10] для того, чтобы существовала матрица Н = Н* такая, что для всех у € и £1 € И. выполнялось

М(у, £1) < 0, (10)

необходимо и достаточно, чтобы при всех р, \р\ = 1, р = 1 выполнялось неравенство

Ё1(-(Р - рЕ)-1Ь£1,£1) < 0, (11)

где форма Р1(у,£1) получена распространением формы ^ на комплексные значения аргументов с сохранением эрмитовости. Рассмотрим

Ё1(-(Р - рЕ)-1Ь£1,£1) = [кЬ* ((Р - рЕ)-1)* Ьс\(Р - рЕ)-1 Ь+

+ еЬ*((Р - рЕ)-1)*с1с*1(Р - рЕ)-1Ь + пЬ*((Р - рЕ)*)-1ЬЬ*(Р - рЕ)-1Ь-

- т(аю!(Р - рЕ)-1 Ь + 1)*(1 + а2с\(Р - рЕ)-1Ь)]£1}.

Используя (7) и (8), получим

— уЫ+££* Ш{2 , \р-1\2ХУР) \р-1\2

Fi(-(P -рЕ)-1^, £1) = Же{---—х(р) + еЬ*^^- +

+ т{а 1-7 + 1) (1 + «2-г)I £1 •

p — 1 p — 1

Следовательно, выполнение частотного неравенства (9) обеспечивает выполнение неравенства (11). Тем самым доказывается существование матрицы H = H*, обеспечивающей выполнение неравенства (10) для всех y G и £1 G R. Лемма 1 доказана.

Нам понадобится далее следующее утверждение ляпуновского типа.

Лемма 2. Пусть .заданы последовательности ff(n) и W(n) (n = 1,2,...) и А-периодическая непрерывно дифференцируемая, функция р(о'), удовлетворяющая условиям (2) и (3). Пусть существуют такие числа £ > 0, п > 0, к = 0 и такое натуральное число т, что выполняются условия

1) W(n +1)— W(n) + xp(a(n))[a(n+1)— ff(n)]+ £[a(n +1)— ff(n)]2 + n^2(a(n)) < 0;

2) 477 [e - zf- (1 + m, W(0))|)] > m, W(0))f, где i = 1, 2, ao = a2, если к > 0, и ao = ai, если к < 0.

Тогда для всех натуральных n, для которых W(n) > 0, имеет место оценка

\a(n) — ст(0)| <тА. (12)

Лемма 2 является модификацией леммы ляпуновского типа, доказанной в статье [16], и доказательство Леммы 2 непосредственно вытекает из доказательства этой леммы. Лемма 2 является центральным моментом при доказательстве последующих теорем 1, 2, 3. Именно при доказательстве этой леммы и использована процедура Бакаева—Гужа.

Рассмотрим последовательность y*(n)Hy(n), где H = H*, y(n) —решение системы (6). Так как все собственные значения матрицы A лежат внутри единичного круга, а функция р(о') ограничена, то \y(n)\ < const при всех n > 0. Таким образом, функция y* (n)Hy(n) ограничена при n > 0.

Теорема 1. Пусть все собственные числа матрицы A содержатся внутри единичного круга, пара (A, b) управляема, пара (A, с) наблюдаема. Пусть также существуют

такие числа £ > 0, ц > 0, к = 0, т > 0 и натуральное т, что выполнены следующие условия:

1) справедливо частотное неравенство (9);

2) справедливы неравенства

4:1] [ £ — + то, у* (О)Ну(О) — г)|) ] > [ то, у*(0)Яу(0) - г) ]2, (13)

где г = 1, 2, ао = а2, если к > 0, и ао = а\, если к < 0,

г < М у* (п)Ну(п), у(0)

х(0) <(а(0))

Н = Н* —вещественная (у +1) х (у + 1)-матрица, для которой при любых у, £1 выполнено неравенство М(у, £1) < 0.

Тогда для решения (х(п),а(п)) системы (1) с начальными данными (х(0),а(0)) при всех натуральных п выполняется неравенство (12).

Замечание 3. В силу леммы 1 справедливость частотного неравенства (9) обеспечивает существование матрицы Н, используемой в условии 2 теоремы 1.

Замечание 4. Указанная в теореме матрица Н может быть построена согласно алгоритмам, изложенным, например, в [17], [18].

Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение последовательность Ш(п) = у* (п)Ну(п) — г. Заметим, что Ш(п) > 0 для всех натуральных п. Применим к этой последовательности лемму 2. Рассмотрим

Z = Ш (п +1)— Ш (п) + к<(а(п))[а(п +1) — а(п)] + ф(п + 1) — а(п)]2 + п<2(а(п)) и преобразуем это выражение в силу системы (6) и соотношения <(а) = Ь*у. Тогда

2 = (Ру(п) + Ь&(п))* Н (Ру(п) + Ь&(п)) — у*(п)Ну(п)+

+ ку* (п)Ье* у(п) + ф*у(п)\2 + цу*(п)ЬЬ*у(п) =

= М(у(п), £1) — т(а.1С*у(п) — £1(п))*(£1(п) — а2с*у(п)).

Далее, в силу системы (6) имеем

а1С*у(п) — £1 (п) = а1(с*х(п) + р<(а(п)) — <(а(п + 1)) + <(а(п)) =

= а1((а(п +1) — а(п)) — (<(а(п + 1)) — <(а(п));

£1(п) — а2С* у(п) = <(а(п + 1)) — <(а(п)) — а2(с* х(п) + р<(а(п)) =

= <(а(п + 1)) — <(а(п)) — а2((а(п +1) — а(п)).

Учитывая, что <(а(п + 1)) — <(а(п)) = <' (а')(а(п + 1) — а(п)), где а(п) > а' > а(п + 1) или а(п) < а' < а(п + 1), а <'(а') € [а1, а2], установим, что

(а1 с\у(п) — £1(п))*(£1(п) — а2С*у(п)) > 0.

В результате получим 2 < М(у(п),£1(п)). В силу (9) по лемме 1 устанавливаем, что 2 < 0, что означает выполнение для выбранной функции Ш(п) неравенства 1 леммы 2. Неравенство 2 леммы 2 совпадает с неравенством 2 теоремы 1. Тогда, поскольку Ш (п) >

0 для всех натуральных п, оценка (12) справедлива для всех натуральных п, и теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1, но в условии 2) число г = 0, т.е. неравенства (13) .заменены неравенствами

4п

£ _ + т,у*(0)Ну(0т] > [ т,у*(0)Яу(0))]2 , (г = 1,2). (14)

Тогда для любого решения системы (1) с начальными данными (х(0), а(0)) справедливы предельные соотношения

х(п) ^ 0 при п ^

у(а(п)) ^ 0 при п ^ а(п) ^ а при п ^

(15)

(16) (17)

где у (а) =0 и

|а(0) - а\ < шД. (18)

Доказательство теоремы 2. Заметим, что из справедливости неравенств (14) следует справедливость неравенств

4п

г -1

> ж—

г + 7.

2 V Г + 7

Действительно, в случае, когда

у* (0)Ну(0) + \н\Е

(г = 1, 2).

(19)

имеем

|М1 (к,ш,у*(0)Ну(0))\ >

> 0, г - 7

г + 7'

(20)

В случае же, когда

получаем

у*(0)Ну(0) + \к\Е

Ы.к,ш,у*(0)Ну(0))\ >

< 0, Г - 7

(21)

Г + 7

Так как а0к > 0, то из (14), (20) и (21) следует (19).

Условия теоремы 2, в которых неравенства (14) заменены неравенствами (19), совпадают с условиями теоремы 5.4.1 [1], согласно которой справедливы соотношения (15)-(17).

Покажем теперь справедливость оценки (18). Рассмотрим (V + 1) х (V + 1)-матри-цу Н, фигурирующую в неравенствах (14). (Напомним, что в силу (9) при любых у, £1 справедливо неравенство М(у, £1) < 0.) Представим ее в виде

Н

Но Н Н* по

где Но — (V х ^)-матрица, Н — ^-вектор, а по —число.

2

И

Рассмотрим квадратичную форму М(у,0), где

х

у = 0 Получим

М (у,0) = х* (А* Н0А - Но)х + е\\с*х\\2 - та1а2\\с* х||2. Отсюда, так как М(у, 0) < 0 и а1а2 < 0, имеем

х*(А*Н0А - Н0)х < -(е + т\а1а2\)\\с*х\\2. (22)

Из неравенства (22), наблюдаемости пары (А, с) и того, что все собственные числа матрицы А расположены внутри единичного круга, вытекает, что Но > 0 [19].

Заметим, что из справедливости неравенств (14) следует существование такого положительного числа Ео, что справедливы неравенства

4?? [£-^(1 + Ы^т,у*(0)Яу(0)+ео)|)] > I ^(^т,у*(0)Ну(0) + е0)]2,(г = 1/2).

(23)

Положим теперь

Ш (п) = у* (п)Ну(п) + Ео.

В силу положительности Но, ограниченности последовательности х(п) и соотношения (16) можно указать такое N0 > 0, что при всех п > N0 выбранная последовательность Ш(п) оказывается положительно определенной. Для выбранной последовательности можно повторить доказательство теоремы 1 вплоть до установления справедливости для нее условия 1 леммы 2. Условие 2 леммы 2 совпадает с неравенствами (23) (ао = а2, если к > 0, и ао = а1, если к < 0). По лемме 2 для всех п > N0 справедлива оценка (12). Отсюда в силу (17) справедлива и оценка (18). Теорема 2 доказана. Сопоставим теперь каждому х € И^ множество векторов

Ух.

х

ф

, ф € [ ^Рлч ^(a), ^Ии .

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме условия 2, которое .заменяется следующим условием: 2') для всех у € Ух(о) справедливы неравенства

^[е-^{\ + Ыя,т,у*Ну)\)}> [ Ну)}2, (24)

где 1=1,2, число ао и матрица Н определены в условии 2 теоремы 1.

Тогда для любого решения (х(п), а(п)) системы (1) с начальными данными (х(0), а), где а € И, справедливо соотношение

\а(п) - а\ < (т + 1)Д (п = 1, 2,...). (25)

Доказательство теоремы 3. Пусть при каком-либо начальном условии а о и каком-то значении п = по окажется, что одно из неравенств в (25) нарушено. Предположим конкретно, что нарушено неравенство

а(п) - а > -(т + 1)Д. (26)

Обозначим решение системы (1) с начальными данными (х(0), оо) через (х(0)(п), а(0) (п)). Тогда

а(0)(по) < ао — (т + 1)Д. (27)

Покажем, что предположение о выполнении последнего неравенства приведет к противоречию. С этой целью для каждого п = 1, 2,... введем в рассмотрение функцию Я(п)(а), ставящую каждому а € И^ в соответствие значение а(п), где (х(п),а(п)) —решение системы (1) с начальными данными (х(0),а). При фиксированном п функция Х!(п)(а) непрерывна для любого а € И.

Обозначим через (х(1)(п),а(1)(п)) решение системы (1) с начальными данными (х(0),ао + Д). Оно удовлетворяет соотношениям

х(1) (п) = х(0) (п), а(1) (п) = а(0) (п) + Д.

Пусть теперь а € Оо, ао + Д]. Рассмотрим функцию Х!(по)(а) на этом промежутке. Ее наименьшее значение не превосходит а(0)(по). Ее наибольшее значение не меньше, чем а(1) (по) = а(0) (по) + Д. Следовательно, найдется такое а* € [0о,0о + Д], что решение с начальными данными (х(0), а*) — обозначим его через (х(2) (п), а(2) (п)) — обладает свойствами

^(а(2)(по)) = 0, а(2)(по) < а(0)(по) + Д.

Из (27) следует, что

а(2) (п0) < а0 — тД < а* — тД. (28)

К решению (х(2)(п),а(2)(п)) системы (1) применим лемму 2. Последовательность Ш(п) построим в виде Ш(п) = у(2)*(п)Иу(2)(п), где

У(2)(п)

x(2) (n) ^(а(2) (n))

а (v +1) х (v + 1)-матрица (H, H = H*), такова, что при любых y и £i справедливо неравенство M(y, £1) < 0.

Заметим, что W(no) = x(2)*(no)Hox(2) (no) > 0. Используемая здесь матрица Ho введена в доказательстве теоремы 2. Там же доказано, что Ho > 0. Тогда по лемме 2

|а(2) (no) - <г* | < тД,

в частности,

а(2) (no) > а* — тД,

что противоречит неравенству (28). Следовательно, неравенство (26) всегда справедливо.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что в условиях теоремы 3 ни при каких n = 1, 2,... и а G R не может быть нарушено неравенство

a(n) <а+(т + 1)Д. (29)

В итоге устанавливается справедливость неравенства (25), чем и доказана теорема 3.

Summary

V. B. Smirnova, N. V. Utina, A. I. Shepeljavyi. Asymptotic frequency-domain estimates for the amplitude of the output in discrete phase systems.

A number of multiparametric frequency-domain theorems is proved for discrete phase control systems. These theorems make it possible to establish estimates for the amplitude of the output signal.

Литература

1. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.

2. Stoker J. J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, 1950. (Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М., Изд-во иностранной лит-ры, 1952.)

3. Viterbi A. J. Phase-locked loop dynamics in presence of noise by Fokker-Planck techniques // Proc. IEEE. Vol.51. Dec., 1963.

4. Tausworthe R. Cycle slipping in phase-locked loops // IEEE Trans. on Com. Technology. Vol. 15. N3. 1967.

5. Bozzoni E.A., Marchetti G., Mengali U., Russo F. An extension of Viterbi'sanalysis of the cycle slipping in a first-order phase-locked loop // IEEE Trans. on AES. Vol. 6. N4. 1970.

6. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. №5. 1983.

7. Киселева О. Б., Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Оценка числа проскальзываний циклов в фазовых системах с распределенными параметрами // Численные методы в краевых задачах математической физики. 1985. С. 116-124.

8. Утина Н. В. Оценка снизу числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 1. №1. С. 46-56.

9. Утина Н. В., Шепелявый А. И. Задача Стокера для многомерных дискретных фазовых систем управления // Автоматика и телемеханика. №11. 2005.

10. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журнал. Т. 14. №2. 1973.

11. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., Наука, 1978.

12. Бакаев Ю.И., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Доплера // Радиомеханика и электроника. Т. 10. №1. 1965.

13. Корякин Ю. А., Леонов Г. А. Процедура Бакаева—Гужа для систем со многими угловыми координатами // Изв. АН Каз-ССР. Сер. физ.-мат. №3. 1976.

14. Корякин Ю. А. Процедура Бакаева—Гужа для дискретных систем // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск, 1977.

15. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Асимптотика решений системы интегродифференциаль-ных уравнений с периодическими нелинейными функциями // Сиб. мат. журнал. Т. 19. №6. 1978. С. 1406-1412.

16. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 2. №9. С. 48-57.

17. Андреев В. А., Шепелявый А. И. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем в задаче минимизации квадратичного функционала // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. Vol. 8. 1971.

18. Андреев В. А., Шепелявый А. И. Синтез оптимальных управлений для амплитудно-импульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа // Сиб. матем. ж. Т. 14. №2. 1973.

19. Leonov G. A., Reitman V., Smirnova V. B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgard-Leizig, 1992.

Статья поступила в редакцию 1 октября 2005 г.