Покоординатные оценки векторного выхода многомерных систем с фазовым управлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОКООРДИНАТНЫЕ ОЦЕНКИ

ВЕКТОРНОГО ВЫХОДА МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ*

В. Б. Смирнова1, Н. В. Утина2, А. И. Шепелявый3, А. А. Перкин4

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

4. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, аспирант, [email protected]

Введение. Фазовые (маятникоподобные) системы широко распространены в технике. Они находят применение в радиотехнике, радиоэлектронике, связи, механике, электротехнике. Математическое описание фазовых систем характеризуется двумя отличительными особенностями: их линейная часть имеет «критическое» собственное значение, их нелинейная часть является периодической по пространственным координатам. Фазовым системам присуща неединственность состояний равновесия.

Основная задача устойчивости, связанная с фазовыми системами, состоит в определении условий на параметры системы, гарантирующих наличие глобальной асимптотики, т. е. стремления любого решения системы к какому-либо положению равновесия. Решению этой задачи посвящена обширная литература. Возникнув в 1933 г. в работе Ф. Трикоми [1] для уравнения математического маятника, эта задача решалась различными методами для различных классов фазовых систем. Подробная библиография по этому вопросу приведена в работах [2, 3]. Исследования в этом направлении продолжаются и в настоящее время [4-6].

Одним из основных методов исследования глобальной асимптотики фазовых систем является прямой метод Ляпунова. Эффективные условия глобальной асимптотики были получены путем использования новых классов функций Ляпунова: периодических функций [7-9] и функций, содержащих траектории устойчивых систем сведения [9, 10]. Применение леммы Якубовича—Калмана дало возможность формулировать условия глобальной асимптотики в виде частотных неравенств с варьируемыми параметрами.

Параллельно с задачей о глобальной асимптотике, дополняя ее, для фазовых систем развивалась задача о числе проскальзываний циклов. Впервые поставленная для уравнения математического маятника [11] эта задача должна была решать вопрос о максимальном отклонении текущих значений угловых координат от их начальных значений. Оценки при этом строились с помощью величин, кратных периоду нелинейной функции.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1). © В.Б.Смирнова, Н.В.Утина, А.И.Шепелявый, А.А.Перкин, 2009

К задаче о числе проскальзываний циклов естественно было применить те же методы, что и к задаче о глобальной асимптотике. Первой работой, в которой задача

о числе проскальзываний циклов решалась для многомерной фазовой системы, была статья [12]. Полученные в этой работе частотные критерии были последовательно распространены на бесконечномерные фазовые системы [13] и на многомерные дискретные фазовые системы [14, 15]. Во всех перечисленных работах задача о числе проскальзываний циклов рассматривалась для систем со скалярной нелинейностью. В статье [16] частотные критерии работ [12] и [14] обобщаются для многомерных систем с векторной нелинейностью.

Данная статья развивает результаты статьи [16]. Приведенные в ней частотные неравенства содержат дополнительные варьируемые параметры и, тем самым, являются более гибкими в приложениях, чем неравенства, на которых основаны частотные оценки статьи [16].

1. Рассмотрим многомерную фазовую систему с векторным управлением

= Аг(г) +В(р(а(г)),

(1)

^Р- = С*г{Ь) + Ир(а{Ь)) (*€Й+). аЬ

Здесь А, В, С, К — действительные матрицы порядков т х т, т х I, т х I, I х I соответственно, знаком * обозначено эрмитово сопряжение, г(Ь) и а(Ь) —вектор-функции размеров т и I соответственно. Предполагается, что пара (А, В) управляема, пара (А, С) наблюдаема, матрица А гурвицева. Предполагается, что векторная функция у>(а) имеет вид

<р(а) = (^1(а1), ...,¥1((Г1)),

где каждая функция ^ (а^) является Д;-периодической непрерывно дифференцируемой функцией с конечным числом простых нулей на периоде [0, Aj). Предполагается также, что

Д,

J ^fj(а) а,а < 0.

Пусть числа (г = 1, 2; ] = 1,..., I) таковы, что

(а)

«у < (сг € И). (2)

Ясно, что ауа2j < 0. Составим диагональные матрицы

Аг = diag{аjl,..., а.ц} (г = 1, 2).

Цель данного исследования — получить условия на параметры системы (1), гарантирующие для ее решения справедливость оценок

|аj(Ь) -аj(0)| < т(з =1...,1)

(3)

при всех £ € И+, где ш, € N. Исследование проводится прямым методом Ляпунова с привлечением частотной теоремы Якубовича—Калмана. Результаты формулируются в терминах передаточной матрицы линейной части системы (1):

К(р) = С*(А -рЕт)-1В - Д (р € С),

где Ет — ш х ш-мерная единичная матрица.

Исследование опирается на лемму ляпуновского типа, доказанную в статье [16]. Чтобы сформулировать это вспомогательное утверждение, введем обозначения (7 = 1,...,/):

, = (а € [0, Д,) : (-1)>, (а) < 0} (г = 1, 2),

Го

-,(2)

о

+ Ъ ’

(к, к, -ш) =

7, - Г, + (-1)

.ад + Е^=1,г^- ЫДг

к, к

Ъ + Г,

(г = 1, 2),

где к € N к = diag(кl,..., к;} —диагональная матрица, к, € И (7 = 1,..., 1).

Лемма 1. [16] Пусть функции Ш(£), а,(£) (7 = 1, ...,/) дифференцируемы при £ € И+, а функции ъ,(а) (7 = 1, ...,/) обладают всеми свойствами, перечисленными выше. Пусть для чисел е, > 0, п, > 0, к, = 0 (7 = 1, ...,/), натуральных чисел ш, (7 = 1, ..., /), функций ъ, (а), а, (£) (7 = 1, ..., /) и Ш(£) справедливы условия:

1) Ш (£) > 0 при £ € И+;

2)

сШ^(»

Л

) + %^(сг5'(^)) }> < о £ К-+); (4)

3)

4е, п, >

к,(к, ш,, Ш(0)) (7 = 1, ..., /, г =1, 2),

где к = diag{кl, ..., к;}.

Тогда для всех £ € И+ справедлива оценка

|а,(£) - а,(0)| < ш,Д, (7 = 1 ...,/).

(5)

Расширим теперь фазовое пространство системы (1), следуя первым работам, в которых решалась задача о глобальной асимптотике фазовых систем [8, 9]. Для этого введем обозначения

й

X А В 0

у = Ъ(а) , Р = 0 0 , Ь = Е;

С* = |\С*, Д||, ф) = -^а(г)). (6)

Здесь Р, Ь и С1 —матрицы размеров ((ш + /) х (ш + /)), ((ш + /) х /) и ((ш + /) х /) соответственно, у и £ — векторы длины (ш + /) и / соответственно. Из управляемости пары (А, В) следует управляемость пары (Р, Ь) [9].

3

3

Пусть (х(£),а(£)) —решение системы (1). Тогда функции (у(£),а(£)) удовлетворяют системе

где Н = Н* — (т + 1) х (т + 1)-матрица, є = сііа§{єі, п = diag{nь •••, п}, т =

diag{rl,т;}, к = diag{кl,к;} —диагональные матрицы. Обозначим через Ф(у, £) и Р(у, £) распространение форм Ф(у, £) и Р(у, £) на комплексные значения аргументов с сохранением эрмитовости. В [9] показано, что при всех комплексных значениях р, отличных от 0 и от собственных значений матрицы А, справедливо равество

F((pEm+; - P)-1Le, Є) = -H-^^^K(p) - K(p)*eK(p) - n+

+ (AiK(p)+ pE;)*т(pE; + A2K(p))}e (V Є Є C;) (В)

где Q — п х п-матрица. Будем им пользоваться и в дальнейшем.

Согласно частотной теореме Якубовича—Калмана [17] выполнение для всех ш > 0 частотного неравенства

Ke^K(iw) - K(iw^K(iw) - n + (AiK(iw) + iwE;)*T(iwE; + A2K(iw))} > 0 (9)

Предположим, что частотное неравенство (9) выполнено для всех ш > 0, и определим функцию

где y(t) является решением системы (7). Так как матрица A гурвицева, а функции yj (а) (j = 1,..., 1) ограничены, ||y(t)|| < const для всех t > 0. Следовательно, и квадратичная форма Wo(t) ограничена при t > 0.

Теорема 1. Предположим, что существуют такие диагональные матрицы е > 0, П> 0, т> 0, к = 0 и такие натуральные числа mi, ..., ш;, что выполняются следующие условия:

1) для всех ш > 0 справедливо частотное неравенство (9);

2) справедливы неравенства

(7)

Здесь использовано обозначение

жед = ^(q + q*),

(i2 = -1) обеспечивает существование такой эрмитовой (m + l) x (m + ^-матрицы H, что

ф(у,е) < 0, V у Є Rm+;, е Є R

(І0)

Wo(t)= y*(t)Hy(t),

г ел 1 2

4є^-nj > кvj (к, mj,y*(0)Hy(0) - I) (j = 1, ■■■, l, i = 1, 2), (ІІ)

где H = H* —такая вещественная (m + 1) х (m + 1)-матрица, что выполнено соотношение (10), а

I < inf y*(t)Hy(t).

Тогда для любого решения системы (1) с начальными данными (г(0),а(0)) для всех

і > 0 справедливы неравенства

к-(0) -к(і)| < т-(і = 1 ...,1). (12)

Доказательство. Воспользуемся леммой 1. Функцию Ш(і) выберем в виде

Ш(і) = Шо(і) - I = у*(і)Ну(і) - I.

Очевидно, что Ш(і) > 0 при і Є Д+. Таким образом, условие 1 леммы 1 выполнено. Покажем, что функция Ш(і) удовлетворяет и остальным условиям леммы 1. Вычислим ее производную в силу системы (7):

^1 = 2у*т(Ру(і)+Щі))-

Тогда из вида форм Ф(у, £) и Р(у, £) следует, что

в! + £ + '+,„^(())) =

= Ф(у(і), £(і)) - (АіС*у(і) - £(і))*т(£(і) - А2с*у(*)). (13)

Проанализируем второе слагаемое правой части равенства (13):

(АіС*у(і) - £(і))*т(Є(і) - А2С*у(і)) =

I

= Y^ ^ (alj а(t) - (а (t)))(^j(а(t)) - a2j <Tj(t)) =

j=l

I

V- _ • 2 м / &Рз (а3 (*))\ ( &Рз (а3 (*) ) ,

- Ь-----------------------Та----; -------Та-------

В силу неравенств (2) получаем

(А1С?у(*) - £(*))*т(£(£) - А2С?у(*)) > 0. (14)

Так как условие 1 теоремы 1 обеспечивает справедливость неравенства (10), из (13) и (14) следует, что условие 2 леммы 1 выполнено. Условие 3 леммы 1 совпадает с условием 2 доказываемой теоремы. Таким образом, для решений системы (1) и построенной

в начале доказательства функции Ш (£) выполнены все условия леммы 1. В силу леммы

1 оценки (12) справедливы для всех £ € И+. Теорема 1 доказана.

2. Рассмотрим многомерную дискретную фазовую систему с векторной нелинейной функцией

х(п + 1) = Ах(п) + В£(п),

а(п + 1) = а(п) + С*х(п) + Д£(п), (15)

£(п) = ъ(а(п)), п = 0,1, 2,...

Размеры матриц А, В, С, Д и векторов г, ст, описаны в пункте 1. Предполагается, что все собственные значения матрицы А лежат внутри единичного круга. Пары (А, В) и (А, С) предполагаются соответственно управляемой и наблюдаемой. Все свойства функции у>(<г) и связанные с ней обозначения остаются такими же, как и в пункте 1. Введем дополнительные обозначения (параметры к, к описаны в пункте 1):

w + J2r=l |к|Rr

7,.г. + (-1)і~ ' ^г=1І ГІ г

СМ(>, к,ад) =-------------------—----------------- и = 1,2, ...,/,* = 1,2).

3 7- +г-

Система (15) имеет ту же передаточную матрицу, что и система (1).

Для исследования асимптотики дискретной системы (15) применим лемму ляпунов-ского типа, являющуюся дискретным аналогом леммы 1.

Лемма 2 [16]. Пусть определены последовательности Ш(п) ^ 0, а-(п) (7 = 1, ...,/, п = 0,1, 2,...), а Д--периодические функции (а) (7 = 1, ...,/) обладают всеми свойствами, описанными выше. Пусть существуют такие числа є- > 0, п- > 0, к- =0 и т- Є N (7 = 1, ..., /), что выполнены следующие условия:

1)

і

Ш (п + 1) - Ш (п) + ^{к- (а- (п))[а-(п + 1) - а- (п)]+

-=1

+є-[а-(п +1) - а(п)]2 + п-^2(а-(п))} < 0 (п = °1,2,...);

2)

4n

2

(1 + |j(к, mj, W(0))|) > кcf^mj,W(0)) (j = 1•■■■•l; i = 1, 2)

где ао- = а2-, если к- > 0, и ао- = а-, если к- < 0.

Тогда для всех п Є N справедливы оценки

|а-(п) - а-(0)| < т-Д- (7 = 1, ...,/).

Так же, как и в случае непрерывной системы, осуществим расширение фазового пространства системы (15). Пусть вектор у, матрицы Ь и Сі сохранят тот же смысл, что и в пункте 1. Введем в рассмотрение (т + /) х (т + /)-матрицу

(16)

A B

0 E;

Pl

и последовательность

eo(n) = ^(а(п + 1)) - ^(а(п))^

Система (15) может быть записана в виде

y(n + 1) = Ply(n) + Leo(n),

а(п + 1) = а(п) + C*y(n), n = 0, 1, 2, ■ ■ ■

Введем в рассмотрение квадратичную форму переменных у Є Rm+; и Є Є R;:

Фі(у, Є) = (Ply + Le)*H(Ply + Le) - y*Hy + F(у, Є),

(І7)

2

где H = H* — (m + l) x (m + ^-матрица. Далее нетрудно показать [З], что

F((PEm+l -P^L^O = -^-1^Ст^К(р)-К*(р)єК(р)-г]+

+ (AlK(p) + (p - 1)E;)*т((p - 1)E; + A2K(p)K (е Є C;)

Следовательно, если для всех р € С, |р| = 1, выполнено частотное неравенство

Же{кК(p) - К»єК(p) - n + (A1K(p) + (p - 1)E;)*т((p - 1)E; + A2K(p)} > О, (1З)

то согласно дискретному аналогу частотной теоремы Якубовича—Калмана [17] существует такая эрмитова (т + /) х (т + /)-матрица Н, что

где y(n) —решение системы (17). Поскольку все собственные значения матрицы A расположены внутри единичного круга, а функции yj(a) (j = 1, ...,1) ограничены, можем утверждать, что ||y(n)|| < const для всех n > 0. Так что и последовательность Wo(n) ограничена при n > 0.

Теорема 2. Пусть существуют такие диагональные матрицы е > 0, п > 0, т > 0, к и такие натуральные числа mi, m2, ..., m;, что выполнены следующие условия:

1) для всех p £ C, |p| = 1 справедливо частотное неравенство (18);

2) справедливы неравенства

Доказательство. Применим к решению системы (15) лемму 2. Построим последовательность

Фі(у,Є) < 0, V у Є Rm+;, е є R;■

(19)

Определим последовательность

Wo(n) = y*(n)Hy(n), n = 0,1, 2, ■ ■ ■,

4Vj ~ ^|^(1 + \Cjt)(x,mj,y*(0)Hy(0) - I)\) >

r t-\ 12

> кQ (к, mj, y*(0)Hy(0) - I) (j = 1, 2, ■■■, l, i = 1, 2), (20)

Тогда для любого решения (,г(п),ст(п)) системы (15) с начальными условиями (^(0),ст(0)) при всех п > 0 справедливы оценки

kj(n) - а(0)| < mjД (j = 1 ■■■•l)■

(2І)

W(n) = Wo(n) - I.

Рассмотрим

Z(n) = W(n + 1) - W(n) + J^{к^j(а(п))[а(n + 1) - а(n)]+

j=l

+ є5' К' (n + 1) - ^ (n)]2 + nj vj^j (n))}

В силу системы (17) получим

Z(n) = Ф1(у(п), Co(n)) - (AiC*y(n) - Co(n))*T(Co(n) - A2C*y(n)).

Заметим, что справедлива цепочка соотношений

(AiC*y(n) - £o(n))*т(£o(n) - A2C*y(n)) =

I

= ^Z Tj (a1j - yj (aj ))(yj (aj ) - a2j )(aj (n + 1) - aj (n))2 > 0, j=1

где aj (n) ^ aj ^ aj (n +1). В результате установим, что

Z(n) < Ф1(у(п), £o(n)).

В силу условия 1 теоремы 2 выполнено соотношение (19). Следовательно,

Z(n) < 0.

Таким образом, условие 1 леммы 2 выполнено. Условие 2 леммы 2 совпадает с условием 2 теоремы 2. Тем самым теорема 2 доказана.

Литература

1. Tricomi F. // Annali della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa Scienza. Physiche e Mathematiche. 1933. Vol. 2. N 2. P. 1-20.

2. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 47-85.

3. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000. 400 с.

4. Zhisheng Duan, Jinzhi Wang, Lin Huang. Criteria for dichotomy and gradient-like behavior of a class of nonlinear systems wih multiple equilibria // Automatica. 2007. Vol. 43. P. 1583-1589.

5. Yang Y., Huang L. Cycle slipping in phase synchronization systems // Physics Letters A 362. 2007. P. 183-188.

6. Леонов Г. А. Математические модели систем фазовой синхронизации с квадратурными и фазово-квадратурными элементами // Автоматика и телемеханика. 2008. №9. С. 33-43.

7. Бакаев Ю. И., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Допплера // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10. №1. С. 175-196.

8. Корякин Ю. А., Леонов Г. А. Процедура Бакаева—Гужа для систем со многими угловыми координатами // Изв. АН Каз-ССР. 1976. Сер. физ.-мат. №3. С. 41-46.

9. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

10. Леонов Г. А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1984. №2. С. 45-53; №3. С. 48-56.

11. Stoker J. J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, 1950. 273 p.

12. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1983. №5. С. 65-72.

13. Киселева О. Б., Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Оценка числа проскальзываний циклов в фазовых системах с распределенными параметрами // Численные методы в краевых задачах математической физики. Л.: ЛИСИ, 1985. С. 116-124.

14. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 2. №9. С. 48-57.

15. Смирнова В. Б., Утина Н.В., Шепелявый А. И. Асимптотические частотные оценки амплитуды выходного сигнала для дискретных фазовых систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 1. 2006. С. 60-68.

16. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И., Перкин А. А. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовой системе с векторной нелинейностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 1. С. 33-43.

17. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журнал. 1973. Т. 14. №2. С. 265-289.

Статья поступила в редакцию 12 марта 2009 г.