Оценка снизу числа проскальзываний циклов в дискретных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.511.42 Н. В. Утина

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№ 1)

ОЦЕНКА СНИЗУ ЧИСЛА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЙ ЦИКЛОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Впервые задача о числе проскальзываний циклов была поставлена и решалась Дж. Стокером [1] на примере уравнения, описывающего свободное движение маятника в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату угловой скорости:

Х + cx\x| + k sin x = 0, (1)

где x обозначает угол отклонения маятника от нижнего положения равновесия. Задача заключалась в поиске интервала начальных скоростей, при которых движение маятника осуществляется с предварительно заданным числом оборотов (циклов) прежде, чем он перейдет в режим затухающих колебаний около состояния равновесия.

Имеются многочисленные приложения этой задачи в технике, в частности, в теории систем фазовой автоподстройки частоты, синхронных электрических машин, синхронно следящих систем.

Число проскальзываний циклов (перескок разности фаз) является важной характеристикой переходных процессов (режима захвата) в системах фазовой синхронизации и определяет их работоспособность в целом. Эта характеристика позволяет оценить максимум модуля разности между значением функции выхода системы в любой дискретный момент времени и ее значением в начальный момент. Число проскальзываний циклов определяется точной нижней гранью чисел, кратных периоду нелинейной функции и превосходящих указанную величину.

Рассматривается аналог задачи Стокера для многомерной дискретной системы вида

z(n + 1) = Az(n) + b£(n),

a(n + l) = a(n) + c*z(n), (2)

£(n) = v(a(n)) n = 0, 1,2,...,

где A — постоянная вещественная (v x v)-матрица, b,c — постоянные вещественные v-векторы, z, a — соответственно v-мерная и скалярная компоненты вектора состояния системы, y>(a) — скалярная непрерывно дифференцируемая Д — периодическая функция.

Линейная часть системы характеризуется передаточной функцией от входа £ к приращению выхода -(a(n + 1) — a(n)):

X(p) = c*(A — pEv )-1 b, (3)

где Ev —единичная (v x v)-матрица, p — комплексная переменная. Предполагаем, что пара (A, b) управляема.

Определение. Решение (z(n), a(n)) системы (2) с начальными данными (a(0), z(0)) проскальзывает т циклов, если для всех натуральных n выполняется неравенство

\a(n) — a(0)\ < Д(т + 1),

© Н. В. Утина, 2003

и хотя бы для одного натурального числа по справедливо неравенство

|<г(по) - а(0)| > Дш.

Введем в рассмотрение следующие квадратичные формы ^-вектора г и скалярной величины

Ш(г,£) = Л-2(Аг + Ъ£)*Н(Аг + Ь£) - г*Нг + С(г,£), (4)

С(г,С) = -Л-2£с*г + кЛ-2 (с* г )2 + /ЗЛ-2(с* Аг)2, (5)

где Н = Н*, Л, к, в — некоторые параметры.

В данной работе сформулировано утверждение, в котором при выполнении условий неравенств для варьируемых параметров, частотного условия и имеющихся оценок числа проскальзываний циклов для дифференциального уравнения второго порядка получена оценка множества тех начальных состояний многомерной дискретной фазовой системы, для которых соответствующие решения имеют заданное число проскальзываний циклов.

Теорема. Предположим, что существуют числа к € К, Л € (0,1), @> 0,

1 - Л2

а > -г~!=, 6

такие, что для них выполнены следующие условия

1) матрица

Л-1 А имеет только одно собственное число вне .замкнутого единичного круга;

2) все собственные числа матрицы В = Л-1(Е - Ъс*/с*Ъ)А расположены в открытом единичном круге;

3) уравнение

в" + ав' + у(в) = 0 (7)

имеет 'решение в(4) такое, что при начальных данных в(0), в'(0) существует ^ > 0 для которого

в(^) - в(0) > Дk, (8)

и для любого 4 € (0,41) выполнено неравенство в'(4) > 0;

4) для любого р € С, |р| = 1, выполнено частотное условие

Яе[х(Лр)} + к1х(Лр)12 + в|Лр х(Лр) + с*Ъ|2 < 0, (9)

где

ж = тах ^ 0, тах

©е[©(0),©(«1)]

(10)

а функция Г (в) > 0, в € [в(0), в(41)] является решением уравнения

Г'Г + аГ + у = 0 (11)

с начальными данными

Г (в(0))=в'(0). (12)

Тогда для любого решения (г(п), а(п)) системы (2) с начальными данными, удовлетворяющими условиям

в'(0)2

<г(0) = ©(0), с*г(0) >0, г(0)*Нг(0)<--^Ц (13)

где Н = Н* обеспечивает Ш(г,£) < 0, существует N > 0 такое, что

) - а(0) > Дк.

Замечание. Матрица Н = Н*, обеспечивающая Ш(г,£) < 0, существует и может быть найдена по алгоритмам, описанным, например, в [2, 3].

В доказательстве используется второй метод А. М. Ляпунова, дискретный вариант частотной теоремы В.А.Якубовича [4] и метод нелокального сведения Г.А.Леонова, распространенный на дискретные системы [5].

Доказательствотеоремы. Пусть уравнение Т'Т + аТ + ^ = 0 имеет решение Т(©) с начальными данными Т(©(0)) = ©'(0) такое, что существует ¿1, обеспечивающее Т(©) > 0 для © е [©(0), ©(¿1)]. Определим множество

Т = {п | п > 0, а(п) е [©(0), ©(¿1)]}.

Рассмотрим функцию

V (г,а) = г *Нг + Т 2(а)/2, (15)

где Н = Н* —некоторая вещественная (V х ^)-матрица, а Т(а) > 0 для любого

а е [©(0), ©(¿1)].

Построим множества

Г = {(г, а) | V(г, а) < 0}, (16)

П = {г | с*г> 0}рГ. (17)

Покажем, что в условиях теоремы найдется матрица Н = Н* такая, что для нее и указанной выше функции Т(а) имеет место следующее свойство множества П. Для любого п > 0, п е Т, п + 1 е Т из (г(п), а(п)) е П, следует (г(п + 1), а(п + 1)) е П.

Докажем сначала выполнение более широкого свойства: для любого п > 0, п е Т, п +1 е Т из (г(п), а(п)) е П, следует (г(п + 1), а(п + 1)) е Г.

Для этого рассмотрим на решениях системы (2) приращение функции Ляпунова

Д^(г(п),а(п),£(п))) = Л-^(г(п + 1),а(п + 1)) - V(г(п),а(п)). (18)

Очевидно, что ДаV(г(п), а(п), £(п))) можно записать следующим образом:

ДЛV(г(п), а(п), £(п))) = Ш(г(п), £(п)) + ¿(г(п), а(п), £(п)), (19)

где

Ш(г(п), £(п)) = Л-2(Лг + 6£)*Н(Аг + 6£) - г*Н,г + С(,г(п), £(п)), (20)

С(,г (п),£(п)) = -Л-2£е*,г + кЛ-2(е*,г )2 + вЛ-2 (е*А,г)2, (21)

а(п), £(п)) = ± А^^п + I))2 - ^(а(п))2 - С(г(п), £(п)), (22)

число в > 0 подлежит выбору, а к определяется по формуле (10).

Оценим Ш(г(п),£(п)). Из частотного условия (9) и управляемости пары (А, 6) по частотной теореме [4] следует существование матрицы Н* = Н и числа 3 > 0 таких, что при всех г имеет место неравенство

Ш(г, О < —31г|2. (23)

Действительно, по частотной теореме для существования матрицы Н* = Н и числа 6 > 0 таких, что при всех г имеет место неравенство

Ш(г, О < —61г|2,

необходимо и достаточно, чтобы О (г, £) < 0 для г = -(А - ЛрЕ )-1 Ь£.

Рассмотрим О(-(А - ЛрЕ)-1Ъ£,£). Учитывая вид функции О(г,е), получаем

О(-(А - ЛрЕ)-1Ъе, е) = ^е([х(Лр)] + к|х(Лр)|2 + в|Лр х(Лр) + сЩ2}^2,

и в силу частотного условия 4) теоремы имеем О(г, £) < 0.

Получив таким образом матрицу Н и число 6, получим ряд полезных для оценки Ь(г, а, е) следствий.

Положим в (23) е = 0, тогда имеем

Ш (г (п), 0) = Л-2(Аг )*Н (Аг) - г*Нг + О (г (и), 0),

О(г(п), 0) = кЛ-2(с*г)2 + вЛ-2(с*Аг)2,

т. е.

Ш(г(п), 0) = Л-2(Аг)*Н(Аг) - г*Нг + кЛ-2(с*г)2 + рЛ-2(с*Аг)2 < -6|г|2.

Поскольку к > 0 и в > 0, два последних слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, и поэтому

Л-2г*А*НАг - г*Нг < -6|г|2. (24)

Так как по предположению матрица

Л-1А

имеет только одно собственное значение вне замкнутого единичного круга, у матрицы Н одно собственное значение отрицательное, а (V - 1) значений положительных (теорема 10.1.4 [6]).

Поскольку Ъ = 0 и О(г, 0) > 0, из последнего свойства матрицы Н и неравенства (23) по лемме Райтмана [7] следует справедливость соотношения

{г | г*Нг < 0} Р|{г | с*г = 0} = {0}. (25)

Отсюда же следует существование числа т > 0 такого, что при всех г справедливо

г*Нг + т(с*г)2 > 0. (26)

Рассмотрим теперь неравенство (23) при г = 0. В этом случае имеем

ш (0,е) = Л-2 е*Ъ*НЪе < 0.

Следовательно,

Ъ*НЪ < 0. (27)

Так как Ъ = 0, то из (25) и (27) (т.е. применяя лемму Райтмана с заменой х на Ъ) заключаем

с*Ъ = 0. (28)

Теперь оценим сверху параметр т > 0 в неравенстве (26). Для этого к обеим частям неравенства (23) прибавим квадратичную форму

О1(г,е) = тЛ-2(Аг + Ъе)*сс*(Аг + Ъе) - тг*сс*г. (29)

Тогда из (23) получим при всех г, е

Л-2 (Аг + Ъе)*Н(Аг + Ъе) - г*Нг + О(г, е)+

+ тЛ-2(Аг + Ъе)*сс*(Аг + Ъе) - тг*сс*г < -6|г|2 + О1(г,е),

т. е. справедливость неравенства

Л-2(Аг + Ъе)*(Н + тсс*)(Аг + Ъе) - г*(Н + тсс*)г < -6|г|2 + О1(г,е) - О(г,е). (30)

Выберем вектор е таким образом, чтобы

с*(Аг + Ъ£) = 0, (31)

т. е. положим

; с* Аг , ч

£=--7Г- 32

с* Ъ

Это можно сделать, так как с*Ъ = 0. Имеет место равенство

Ъс*

(Аг + Ь£) = (Е-—)Аг. (33)

Введем обозначение С = (Е — Подставляя £ в неравенство (30) получим

Л-2г*С*(Н + тсс*)Сг - г*(Н + тсс*)г < -6|г|2 + О1(г,г) - О(г,£). (34)

Получим теперь условия, при которых правая часть в неравенстве (34) отрицательная. Первое слагаемое отрицательно, рассмотрим второе и третье слагаемые,

О1 (г, е) - О(г, е) = -[т(с*г)2 - (Л2с*Ъ)-1(с*Аг)(с*г) + вЛ-2(с*Аг)2] - кЛ-2(с*г)2.

Ясно, что последнее слагаемое отрицательно, а в квадратные скобки заключена квадратичная форма от с*г и с*Аг. По критерию Сильвестра для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны.

Матрица коэффициентов квадратичной формы от с* г и с* Аг имеет вид

т -(2Л2с*Ъ)-1

-(2Л2с* Ъ)-1 вЛ-2

Соответственно, условия положительности квадратичной формы будут следующими:

т > 0 и твЛ-2 >

(Л2 с*Ъ)

2

4

Значит, выражение в квадратных скобках будет положительным при т > то, где

то = [4вЛ2 (с*Ъ)2 ]-1. (35)

Итак, из (34) следует справедливость для всех г и при всех т > то следует справедливость неравенства

Л-2г*С* (Н + тсс*)Сг - г*(Н + тсс*)г < -6|г|2. (36)

Так как у матрицы A-1C по предположению теоремы все собственные числа лежат в открытом единичном круге, у матрицы H + тсс* все собственные числа положительные. Следовательно, для всех т > то справедливо неравенство

z*Hz + т(c*z)2 > 0.

Оценим функцию L(z, а, £), определенную по формуле (22). Перепишем ее в виде

L(z(n), а(п), £(n)) = (2A2)-1[F2(а(п + 1)) - F2(a(n))]+

+ ^(А-2 - 1 )F(a(n) f - G(z(n),£(n)). (37)

Воспользовавшись формулой Тейлора для приращения функции, получим

(2A2)-1[F2(а(п +1)) - F2(а(п))] =

= A-2F'(a(n))F(a(n))(a(n + 1) - a(n))+ + (2A2)-1 [F"(*(**))F(а(а*)) + F'2(а(а*))](a(n + 1) - a(n))2, (38)

где а(а*) G [a(n), a(n + 1)].

По предположению, функция F(©) > 0 для любого © G [©(0), ©(¿1)] при начальных данных F(©(0)) = ©'(0) удовлетворяет уравнению

F 'F + aF + у>(а)=0. (39)

Поэтому для F(а) справедливо соотношение

A-2[F'(a(n))F(a(n)) + £(n)](a(n + 1) - a(n)) + aA-2F(a(n))(a(n + 1) - a(n)) = 0. (40) Тогда, в силу формул (38), (40), функцию L(z,a, £) перепишем в виде

L(z(n), a(n), £(n )) = A-2F'(a(n))F(a(n))(a(n + 1) - a(n))+ + (2A2)-1 [F''(а(а*))F(а(а*)) + F'2(a(a*))](a(n +1) - a(n))2 + + l(X-2-l)F2(a(n))-G(z(n)^(n)) =

= -aA-2F(a(n))(a(n +1) - a(n)) - A-2£(n)(a(n +1) - a(n))+ + (2A2)-1 [F''(а(а*))F(а(а*)) + F'2(a(a*))](a(n +1) - a(n))2 +

+ i(A-2 - 1 )F{a{n)f + A~2£(n)c*z - x\-2{c*zf - /ЗА"2(с*Az(n))2

и, поскольку c*z(n) = a(n +1) - a(n),

L(z(n), a(n), £(n)) = -aA-2F(a(n))(a(n + 1) - a(n))

+ (2A2)-1 [F"(ct(ct*))F(а(а*)) + F'2(a(a*))](a(n +1) - a(n))2 +

+ i(A~2 - l)F(a(n))2 - xA-2(a(n + 1) - a(n))2 - /ЗА-2(с*Лг(п))2. (41)

51

Для к > 0, определенной соотношением (10), верно следующее неравенство

+ Р<2(а(а*))) - ж

(а(п + 1) - а(п))2 < 0.

Действительно,

2

[Г"(а(а*))Г(а(а*)) + (Г'(а(а*)))2] < к,

поскольку (Г'Г)' = Г'Г + Г'2

и, так как Г 'Г = -аГ - у,

где а(а*) € [а(п + 1),а(п)], п,п + 1 € Т. Значит, для обеспечения неравенства (42) следует взять к, определенное соотношением (10).

Последнее слагаемое в (41) также неположительно, поскольку в > 0. Для оценки первого слагаемого воспользуемся полученным ранее соотношением (26), справедливым при всех т > то, где т0 определяется формулой (35). Пусть (г, а) € О, т.е. справедливы неравенства

I + о,

| с*г > 0. Отсюда и из неравенства (26) имеем

ЕМ < г*Нг + ЕМ + т(с^)2 < т(с^)2)

(43)

то есть

Г 2(а)

< т(с*г)2.

Так как Г (а) > 0 и с* г > 0, то из (44) получаем

ад

л/2г '

с* г

и поскольку с* г = а(п + 1) - а(п), отсюда следует справедливость неравенства

а(п +1) - а(п) >

П<?(п))

(44)

(45)

(46)

Умножая обе части этого неравенства на отрицательное число - аГ(а(п))Л 2, получим неравенство

аЛ-2

-аЛ"2^(сг(п))(сг(п + 1) - а(п)) <--=^(сг(п))2.

2т

(47)

С помощью этого неравенства и выбора к по формуле (10), функцию Ь(г(п),а(п), е(п)) можно оценить следующим образом:

1

2

Ь{г{п),а{п),Цп)) < + ^(А"2 - 1 )*>(«))

^(А-2 - 1) -

Т 2(а(п)).

Выберем параметр а > 0 таким, чтобы коэффициент при Т2(а(п)) был отрицательным.

*> ^(12"Л2)=/|(1-А2). (48)

Очевидно, что в (48) следует положить т = то, т. е. выбрать параметр а > 0, удовлетворяющим условию (6).

Таким образом, ¿(г, а, £) < 0, и показано, что при выполнении условий теоремы если (г(п),а(п)) е П, то выполнена оценка

ДлV (г (п),а(п),£(п)) = (49)

Л-^(г(п + 1),а(п + 1)) - V(г(п),а(п)) < -3|г(п)12 ( )

Рассмотрим V(г, а) при начальных данных, удовлетворяющих условиям а(0) = ©(0), г(0)*Нг(0) <-1/2©' 2(0):

1/«0),а(0)) = г*(0)Нг(0) + ^2(а(0)) < 2(0) + ^2(©(0)) =

= -Ьэ,2(о) + Ьэ'2(о) = о.

И, поскольку V(г(0),а(0)) < 0 и ДЛV(г(п), а(п), £(п)) < 0 для всех г(п),а(п), то V(г(п), а(п)) < 0 для всех г(п), а(п), то есть (г(п + 1), а(п + 1)) е Г.

Теперь покажем, что имеет место следующее свойство множества П. Для любого п > 0, п е Т, п +1 е Т из (г(п), а(п)) е П, следует (г(п + 1), а(п + 1)) е П.

Предположим противное. Пусть существует пара (ао, ао) е П, ао е , ао е И1, такая, что (г(1, ао,ао), а(1, ао, ао)) е П, т.е. решение покинуло множество П. Но так как уже доказано, что (г(1, ао, ао), а(1, ао, ао)) е Г, последнее предположение справедливо только в случае, когда выполнено неравенство

с*г(1,ао,ао) < 0. (50)

С другой стороны, покажем, что найдется точка а1 е такая, что (а1,ао) е П и (г(1, а1, ао), а(1, а1,ао)) е П, т.е., в частности, выполнено

с*г(1,а1,ао) > 0. (51)

Действительно, пусть мЛ-1 —единственное собственное число матрицы располо-

женное вне единичного круга, т.е. |мЛ-11 > 1. По условию теоремы такое число существует. Так как матрица

вещественная и других собственных чисел вне замкнутого единичного круга по условию теоремы у матрицы Л-1 А нет, то м — вещественное число. Пусть £ = 0 — собственный вектор матрицы

соответствующий собственному числу мЛ-1, т.е.

Л-1АС = мЛ-1 С. (52)

Из неравенства (24) с помощью (52) получим

(Л-1 AZ)* Н(Л-1ЛС) - С*НС < -¿1С|2,

т. е.

(|М-1|2 - l) С*НС < 0. (53)

Следовательно, так как |^Л-1| > 1 и С = 0, справедливо

С * НС < 0. (54)

Отсюда и из соотношения (25), поскольку С = 0, заключаем, что с* С = 0. Собственный вектор С определен с точностью до знака, поэтому можно считать выполненным неравенство

с*С > 0. (55)

Возьмем вектор

а1 = ЛшС, (56)

где число ш > 0 выбрано так, чтобы (ai,ao) G О. Для этого сначала добьемся, чтобы (ai,ao) G Г, т.е. выполнения V(ai,ao) < 0. Имеем

V(ab <то) = а\На, + = AVC*fff + (57)

Очевидно, что V(ai,ao) < 0 если

W > /М ■ (58)

у/-2 ХЧ*Щ

Итак, пара (а\,ао), где а^ определяется формулой (56) с ш, удовлетворяющей условию (58), такова, что (а1,ао) € Г.

Из выполнения неравенства (55) следует, что (а1,ао) € О. По уже доказанному (г(1,аьао),а(1,аьао)) € Г. Рассмотрим

с* г(1, а1, а о) = с* Аа\ + с*Ьу(ао) = Лшс* АС, + с*Ьу(ао) = шЛ^с*С + с*Ьу(ао). (59)

Отсюда видно, что для выполнения неравенства с*г(1, а^,ао) > 0 достаточно выбрать число ш, исходя из условия шЛ^с*С + с*Ьу(ао) > 0, т.е.

с > (60)

Итак, если число ш удовлетворяет неравенствам (58),(60), то для пары (а1, ао) € О справедливо (г(1, а1, ао), а(1, а1 ,ао)) € О, т.е., в частности, справедливо неравенство (51).

Рассмотрим теперь функцию /(а) = с*г(1,а,ао). Она непрерывна, определена при всех а € И^ и, в частности, при всех а € О. Из связности множества О, непрерывности функции /(а) и неравенств (50), (51) следует существование вектора а' € О такого, что /(а') = 0, т.е.

с* г (1,а',ао)=0. (61)

Так как (а', сто) € О, то (z(1, a', сто), ст(1, a', сто)) € Г. То есть V(a', сто) < 0, а именно z(l, a', <7о№(1, а', ст0) + W'^o)]2 < ^

т. е.

z(1, а', ст0)*Hz(1, a', ст0) < 0. (62)

Из (61) и (25) следует z(1, a', сто) = 0, что противоречит неравенству (62). Итак, доказано, что множество О таково, что для любого n > 0, n € T, n + 1 € T из (z(n), ст(п)) € О, следует (z(n + 2), ст(п + 1)) € О.

Докажем теперь, что для любого решения z(п),ст(п) системы (2) с начальными данными, удовлетворяющими следующим условиям

В'(3)2

ст(0) = 0(0), c*z(0) >0, z(0)*Vz(0)<--

существует дискретный момент времени N > 9 такой, что <r(N) — ст(0) > Дк.

Предположим противное. Пусть ст(п) — ст(0) < Дк для любого n > 0. Тогда это верно для любого n > 0, для которого выполнено ст(п) € [ö(0), ö(ti)j и верны все вышеприведенные рассуждения относительно положительной инвариантности множества Г2, и, в частности, верна оценка (45); с*z > F(<j)/\f2т, т.е.

ст(п + 1) - ст(п) = c*z(n) > F(o-(n))/V27 (63)

По предположениям теоремы т > 0, F(ст) > 0, и поэтому

ст(П +1) — СТ(П) > 4.

Отсюда следует ст(п) ^ при n ^ что в свою очередь противоречит сделанному предположению ст(п) — ст(0) < Дк. Теорема доказана.

Summary

Utina N. V. Lower estimation of the number of cycle-slip periods of phase-locked loops in discrete systems.

The number of cycle-slip periods of phase-locked loops is estimated in the terms of frequent characteristics using the non-local reducing method and the Lyapunov one.

Литература

1. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М., 1952.

2. Андреев В.А., Шепелявый А.И. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем в задаче минимизации квадратичного функционала // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 8 (1971) 8/9.

3. Андреев В.А., Шепелявый А.И. Синтез оптимальных управлений для амплитудно-импульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 14, №2.

4. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 14, №2.

5. Леонов Г.А., Шепелявый А.И. Частотный критерий неустойчивости дискретных фазовых систем // ВИНИТИ. Депонирована от 02.07.84 г. №4502-84.

6. Leonov G.A., Reitman V., Smirnova V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgard; Leizig, 1992.

7. Райтман Ф. Частотные условия колебательности и неустойчивости дискретных систем автоматического управления: Дисс. канд. наук. СПб., 1979.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.