CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 2 (2013)
УДК 511.3
ОЦЕНКА СУММ ХАРАКТЕРОВ ПО СПЛОШНОМУ ПРОМЕЖУТКУ СУММИРОВАНИЯ
А. А. Копанева (г. Москва), Е. А. Бурлакова (г. Орел)
Аннотация
В статье приводится доказательство нескольких теорем. Теорема 1, для оценки сумм характеров по сплошному промежутку основано на использовании формулы А.Г. Постникова и теорема 2, для правильного выбора параметров, оценки сумм такого вида.
Ключевые слова: простое число, суммы характеров Дирихле, простые модули, сплошной промежуток суммирования, неглавный характер, оценка сумм, формула А. Г. Постникова, короткие суммы характеров, степенное понижение, тригонометрическая сумма.
EVALUATION OF CHARACTER SUMS OVER THE CONTINUOUS INTERVAL OF SUMMATION
A. A. Kopaneva (Moscow), E. A. Burlakova (Orel)
Abstract
In this paper we prove several theorems. Theorem 1, to assess the character sums over the continuous interval based on the use of the formula A. Postnikov and Theorem 2, for the right choice of parameters, estimates of this kind.
Keywords: A Prime number, the sum of Dirichlet characters, simple modules, continuous period of summation, nonprincipal character estimate of amounts formula A. G. Postnikova, short amount of characters, the exponential decrease, trigonometric sum.
Результаты полученные в статье являются прямым продолжением исследований А. Г. Постникова, связанные с применением его формулы, позволяющей выразить значение суммы характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа, через тригонометрическую сумму специального вида. В работе А. А. Карацубы "Тригонометрические суммы специального вида и их приложения" (1964г.) такие суммы названы L-суммами. Они оценивались А. Г. Постниковым, В. Н. Чубариковым, Б. А. Турешбаевым и другими авторами. В работах тех же авторов данные оценки применялись к оценкам сумм характеров
Дирихле. Ранее авторами была доказана теорема, которая при фиксированном значении простого для характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа дает оценку коротких сумм характеров по сдвинутым простым числам. Ранее оценки коротких сумм характеров оценивались только для простого модуля, причем они были получены в работах И. М. Виноградова "Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии" 1966г. и А. А. Карацубы "Суммы характеров с простыми числами" (1970г.).
В теореме 2 получен результат касающийся оценок сумм характеров Дирихле и получено явное значение константы, показателя степенного понижения. Заметим, что теперь можно ставить вопрос о получении новых степенных понижений в этой оценке.
а числа Ьр при р = 1, ...,т
Теорема 1. Пусть f (х,у) = Ъ1(ху) + Ъ2(ху)2 + ... + Ът(ху)т - многочлен с
вещественными коэффециентами, где т = --------------
1_ 5
определяются равенством Ър = а^зр-п+1, где Q - сфиксированное простое, (ар^) = 1. Тогда для суммы Б вида
р р я = ££ е2т/(ху) х=1 у=1
при достаточно больших т > т0 имеет место следующая оценка
£ < Р2-А
где А > —-------- f( ). Здесь предполагается выполнение следующих дополни-
12, 7т2 тельных условий:
!) f (*) = 1 - - 7^2 + 2
г + 1 2г + 1 (г + 1)2 (2 г + 1)2’
2) г = пт Є [г1,г2], где 0 < г1 < г2 - некоторые постоянные, 1п Р
3) п =
(п — 1) 1п Q
Лемма 1. (Лемма Постникова). Пусть к = Qn,Q ^ 3 - простое число, в и т - натуральные числа, причем в ^ п — 1,п — в ^ вт < п + в — 1, гпди -индекс числа V по модулю к.
Тогда
гП<1(1 + ^ ^ = аі Qs и + 1 а2№и)2 + ... + - аm(QsиГ(modQn-1),
Q — 1 2 т
где (а1^) = (а2^) = ... = (ат^) = 1 и число V-1(modQn-1) определяется из сравнения vv1 = 1(modQn-1).
Доказательство. Доказательство леммы см. [1].
Применение теоремы 1 для оценки сумм характеров по сплошному промежутку основано на использовании формулы А.Г. Постникова сформулированного в лемме. Для этого необходимо произвести правильный выбор параметров. Оценке сумм такого вида посвящена следующая теорема.
Теорема 2. Пусть х - неглавный характер по модулю д = Qn, где Q -фиксированное простое число и д ^ <х>. Рассмотрим сумму Ш = ^ х(У + а),
У^о
где (а^) = 1 и N < Qn. Тогда справедлива оценка \Ш\ ^ М(^-Ао, где Д0 = _2 1п Qn-1
с5ф 2, ф = ————, с5 = 0,000151... - положительная постоянная и ф > ф0 1п N0
достаточно велико.
Доказательство.
Все значения, которые принимает переменная суммирования у, разобьем на прогрессии по модулю Qs , где в - натуральное число, удовлетворяющее условию Qs ^ N0. Тогда сумма Ш будет представлена в виде отдельных сумм Ш0 по этим прогрессиям в количестве Qs.
Каждая из указанных сумм Ш0 имеет вид Ш0 = ^2 х^**^ + а' + а), где N = ^^-,?\, а' - некоторое фиксированное число
из промежутка [1^^. Если при этом оказывается, что а1 + а делится на Q, то сумма Ш0 = 0, поэтому достаточно ограничиться оценкой сумм Ш0 вида Шо = Е Х^* + а), где (а, Q) = 1.
<N1
Сумму Ш0 сравним с суммой Ш\(ху) вида
N1 N1
Ш1(ху) = ^ Х(а + + ху)) = ^ Х(а{Ъ) + Qsxy),
г=1 г=1
где 1 ^ х,у ^ Р и число Р > 1 - произвольное, а (а(Ь), Q) = 1 Поскольку \х(Н)\ ^ 1 при любом Н, то
ху Nl+xy
^2х(а+Qst) - ^2 х(а
г=1 г=^+1
Если в качестве Р выбрать значение Р = №’5 • N 0,5Ло, то получим равенство
Шс = Ш1(ху) + 0(^^-До).
Суммируя последнее равенство по ху с условием 1 ^ х,у ^ Р, получим
р р N1
Р2Шо = Е Е Е х(а(*) + <^’ху) + О(Р2№^0-а°) «
х=1 у *=1
р
Хд(а° + Я*ху)
Х=1
у=1
+ Р 2^-До
Здесь число а0 в последней сумме равно одному из значений а(*) и удовлетворяет условию (а0^) = 1.
Значение характера х(а0 + Qsxy) выразим через тригонометрическую сумму по формуле А. Г. Постникова (лемма). Тогда, при некотором Ь0 с условием а0Ь0 = 1(modQ) получим:
гид(1 + QsЬ0xy)
2пг---------------
х(ао + Qsxy) = Хо(ао)х(1 + QsЬoxy) = е ^ ^ - 1) =
Хое
2жі(а^еЬоху+1 а2(Я3Ъ0 ху)2+...+т ат^еЬоху)т)^1
где т =
п — 1
Отсюда для Ь1,..., Ьт, удовлетворяющих равенствам Ьр = а^>^р п+1 с условием (ар^) = 1 будем иметь
Р2Ш0 < ^Е + Р2^-Ао, причем
рр
Е = ^ X] е2пг?(ху),/ (ху) = Ь1ху + Ь2(ху)2 + ... + Ьт(ху)т.
х=1 у=1
К оценке суммы Е можно применить утверждение теоремы 1, если только
за счет выбора значения параметра в обеспечить выполнение условия г = пт £ 1п Р
[21, 22], где п = 1п Qn-1. Тогда получим:
2-До
где До >
0,95 - /(г)
12, 7т2
Подстановка этой оценки в последнее равенство для суммы Ш0 приводит к следующему результату:
Р2Ш0 < N1P1-Д + Р2N1N0■До,
Ш < ^Р-Д + NlN0-До.
Займемся теперь набором значений параметров Р, в с таким расчетом, чтобы значение константы с5 сделать как можно большим.
Положим в
п1
п — 1
5ф
. Тогда т
п1
п — 1
5ф
5ф
5ф
5ф
п1
+ в1, где 0 ^ в1 < 1, откуда т
5ф — в2, где 0 ^ в2 < 1, если
1
только и достаточно велико, так как при достаточно малом е имем, [5ф(1 + е)] равна 5ф при целом 5ф и равна [5ф], если 5ф - нецелое.
Значение параметров N1, тогда, будут удовлетворять следующим условиям:
N1 = [N0^%Р = <’5^0,5До = д~0^^’5~0’5До + вз, где 0 ^ вз < 1
1 1п N ф 1п Qn
Учитывая, что — = ---------- получим
' і- оп— 1
1п Р _ -0,5в 1п Q 0,5(1 — Д0^П\ 1 1 - Д0 , ,, / П
+ ф + °\Р) = — 2т + _^+°{т)
1п Qn~1 (п — 1)1п Q ф \Р / 2т 2ф \т2
Далее,
т(1 — Д0) 5^ д , 1^(1
г =пт = ""'‘2- — 2+=5(1 — Д0) — 2+Чї^з)
2ш 2 ' " \т3 ) 2~ 0) 2 ' ~ 'уф3
=2р-Д+Чф^з
Так величина п имеет порядок т-1, порядок величины ф и т одинаков. Кроме того, по условию теоремы порядок величины Д0 равен ф-2. Следовательно
2 = 2 + О(ф-2). Подставим указанные значения параметров т и 2 в последнее неравенство для Д0. Тогда получим:
Д > 0,95 - /(2) = 0,95 - /(2 + О(ф-2)) = 0,95 - /(2) + () (1 , >
12,7т2 12,7(5ф — в2)2 12.7 • 25ф2 \^ф
0, 95 — 0, 902 0, 048... _2
> 12, 7 • 25ф2 = 317,5ф2 = , ...ф
если только ф > ф0 достаточно велико.
Теорема 2 доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. КарацубаА.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983. 240 с.
2. Постников А. Г. Избранные труды / под ред. В. Н. Чубарикова. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 512 с.
Московский государственный университет технологий и управления Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс, г. Орел
Поступило 23.05.2013
