Оценка коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)

УДК 517.5

ОЦЕНКА КОРОТКИХ СУММ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СДВИНУТЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ

А. А. Копанева (г. Орел)

Аннотация

В статье получены оценки коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам в случае, когда модуль характера является степенью фиксированного простого числа.

В работе 1938 г. И. М. Виноградова [1] впервые была рассмотрена задача об оценке суммы символов Лагранжа, распространенной на значения «сдвинутых» простых чисел, то есть чисел х вида, х = р + а, где р - простое число и (а, ц) = 1. Здесь через ц обозначено простое число, являющееся модулем символа Лежандра.

В указанной работе была получена нетривиальная оценка таких сумм при условии, что верхняя граница N промежутка суммирования по р удовлетворяет неравенству N > N0 = Я3+£, где £ > 0 - произвольно. И.М.Виноградов дал существенное усиление этого результата. Он распространил его на все характеры Дирихле по простому подулю ц и понизил величину параметра N до значения N0 = я°-75+£ [2].

В 1970 г. А. А. Карацуба в работе [3] еще более понизил границу изменения параметра N из работы [1]. Он получил нетривиальную оценку суммы характеров по сдвинутым простым, доказав его со значением N° = ц0,5+£.

Если вместо простого модуля ц в данной задаче рассматривать модуль к, являющийся высокой степенью простого числа (р, то использование формулы А. Г. Постникова, выражающая значение характера Дирихле через тригонометрическую функцию от многочлена с рациональными коэффициентами позволяет получить существенно более сильный результат. В частности, при фиксированном значении (р и растущем к можно получить нетривиальную оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам даже в случае, когда промежуток суммирования N имеет порядок к£ для любого сколь угодно малого положительного £.

Выводу этого результата и посвящена данная статья. Здесь доказывается следующее утверждение.

Основная теорема. Пусть фиксированное - простое число большее 2, к - натуральное число вида где п - натуральное и к —> оо. х(^) -

характер Дирихле по модулю k, a - натуральное число с условием (a, Q) = 1. Тогда имеет м,есто оценка.

I = X Х(у + а)Л(у) <<N1-^2,

y<N

ln N

где ф = ---- и Л (у) есть функция Мангол ьдта и с - некоторая константа.

ln к

Доказательство теоремы основано на применении леммы А.Г.Постникова. Лемма 1. Пусть k = Qn, Q > 3 - простое число, s и m - натуральные

числа, причем, s < n — 1,n — s < sm < n + s — 1, ind v - индекс числа v no

модулю к.

Тогда

WdQ + Q SU) = aiQSu + |a2(Qsu)2 + • • • + -^am(Qsu)m(modQn-1),

Q — 1 2 m

где (ai,Q) = (a2, Q) = • • • = (am, Q) = 1 и число v-1(modQn-1) определяется из сравнения vv1 = 1 (modQn-1)

Доказательство леммы см.[4, с. 156 задача 7].

Нам потребуется также известная лемма Р.Вона, являющаяся одной из модификаций метода сглаживания И.М.Виноградова.

Лемма 2. Пусть 1 < u < N. Тогда для любой комплекснозначной функции f(y) справедливо тождество

У Л(уЖу) = X ц(у) X (log l)f(ld) — X fJ-(d) X Л(у) X f(ydr)—

u<n<N d<u l<Nd-1 d<u y<u r<N(dy)-1

L

u<m<Nu-1

( \

У M-(d)

d\m \d<u )

У Л(у )f(ym)

u<y<Nm-1

Доказательство см. [1 с. 60 задача 9].

Опишем схему доказательства основной теоремы, через Єї, С2, С3,... будем обозначать положительные постоянные.

Применим лемму 2 к сумме I, указанной в формулировке теоремы. Для этого положим в лемме 2 и = №’4. Тогда учитывая, что ^ Л(у) ^ и, получим

I = X х(у + а)Л(у) + 0(№’4) = Бї + Б2 + Бз + 0(№’4),

и<у^

ГД6

Бї =у_ ц(а) у_ (log 1)х(Ш + а),

а<и 1<т-1

Б2 = Х М-^Х. Л(у) X. х(уйт + а),

Л<и у<и г<М(Лу)-1

/ \

8з = £

u<m<Nu-1

У ц-№

d\m \d<u )

У Л(у)х(ут + а).

и<у<Мт-1

Заметим, что кратные суммы Б-1 и Б2 содержат «длинный» сплошной промежуток суммирования по переменным I, т. Более точно, длина N ^ I ^ Nu-1 = №>б, а N > т > Nu-2 = №’2.

Применение леммы 2 для указанных оценок сумм характеров позволяет получить оценки вида

Ш1 = ^ (^ 1)х(1Л + а) ^ Nd 1 • N

1<т-1

Ш2 = У_ х(^т + а) < N(dy)-1 • N

r<N(dy)-1

1п N

-с1 в2

-с202

где С1, С2 > 0 - некоторые постоянные, 0 = п .

1п ц

Вывод этих оценок аналогичен рассуждениям, использованных при решении вопроса 8 из [4, с. 156].

Оценку суммы Б3 также можно свести к оценке сплошных сумм, но для этого необходимо произвести процедуру «сглаживания».

Положим Ь(т) = ^_ ц^). Тогда |Ь(т)| < т(т) и

d\m

d<u

Бз = У_ ь(т) у_ Л(у)х(ут + а).

u<m<Nu-1 u<y<Nm-1

Внешнее суммирование по т разобьем на порядка 1п N промежутков вида (Д,Д1), где и < А < А1 < 2А < Nu 1. Тогда Б3 ^ 1п N • 84, где

Б4 < У_ Т2(т) у_

A<m< А1 A<m< А1

У Л(у)х(ут + а)

А<у<А1

2

< А 1п3 N £ £ Л(у0х(У1т + а) • У_ Л(у2)х(У2т + а) =

A<m<A1 u<y1 <Nm-1 u<y2 <Nm-1

а 1пз N г г £ )

u<y1 <NA 1 u<y2 <NA 1 N 4 7

A<m<min I ----,----^1

\У1 У 2

Оценка внутренней суммы по т в последней тройной сумме проводится также по схеме решения вопроса 9 из [4, с.156], в результате чего при уі = у2 получается оценка вида

V =

£

N N

А<т<тіп I ---,--,Аі

Уі У 2

I уіт + а

х ---------;—

\У2т + а

)

(N N ) 2

^ шіп ( —, —, А ) • N Сзф \У1 У 2 )

где Сз > 0 - некоторая постоянная.

„ N

Если же у1 = у 2, то имеет место тривиальная оценка вида V < —.

А

Таким образом, приходим к оценке

|Б412 < А 1п3 N

Г N + N-С-в2 + Г Г тп(N^ ,а)).

- Л — 1 «-"М Л — 1 , . ^ МЛ — 1 Ч-'1 -> 2 / /

уи<у і <NA —1

u<y1<NA —1 u<y2<NA-

N N л N л N ^

Далее заметим, что у1 < —, у 2 < т"> А < — и А < —. Следовательно,

А А у у 2

. / N N \

Ш1п —, —, А = = А. Отсюда имеем:

\У1 у2 у

|Б4|2 < А 1п3N • NA-2 + А21п3 N • ^С3ф2 • ^А-2 < ^-с3ф21п3N.

Суммируя последнее равенство по всем промежуткам изменения параметра у вида (А, А1 ] приходим к оценке:

|Б3|2 < ^-сз021п4N.

С4 > 0

^| < ^-с402.

Подставляя приведенные ранее оценки линейных сумм по переменным I и г в суммы Б-1 и Б2 окончательно получим

Щ << |Б1 + |Б2| + |Б3| << ^-сф2,

С>0

Теорема доказана.

Остается заметить, что из утверждения теоремы с помощью стандартного применения преобразования Абеля вытекает аналогичная оценка для суммы характеров Б 0 вида Б0 = X. х(р + а.), где Р пробегает все значения простых чисел из промежутка |2..\|.

Для полноты изложения остановимся на выводе оценок сумм Ш-|, и V,

использованных нами при доказательстве основной теоремы.

Вывод этих оценок мы разобьем на несколько теорем. Первая из них формулируется ниже.

Теорема 1. Пусть ^ху) = Ьт(ху) + Ь2(ху)2 + • • • + Ьт(ху)т - многочлен

m=

n — 1

, а числа bp при p =

1,..., m определяются равенством bp = apQ sp-n+\ где Q простое, (ap, Q) = 1. Тогда для суммы I вида

I = ££ е2паГ(ху)

х=1 у=1

при достаточно больших т > т0 имеет м,есто следующая оценка

I < Р2-А

где А > 7—Здесь предполагается выполнение следующих дополни-

тельных условий:

2 3

1) f(z) = 1 — — + 3

:

2

z : 1 2z : 1 ( z : 1 ) 2 ( 2z : 1 ) 2

2) z = п— Є [z1, z2], где О < z1 < z2 - некоторые постоянные,

ln P

(n — 1) ln Q

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется еще три известных утверждения.

Лемма 4.При P >1 и любом, натуральном Pi справедливо неравенство

p+pi

^ e^niax

x=1 +P1

- КP’2r) '

где ||a|| = min({a}, 1 — {a}).

Лемма 5. Пусть a - вещественное число; (a, q) = 1 q >1 Тогда при любом, в, U > 0, P > 1, имеем

a

а----

q

x=1 +P1

Доказательства этих лемм см. [5

s

1

Лемма 6. (теорема И. М. Виноградова о среднем значении модуля тригонометрической суммы).

Пусть — > 4 - натуральное число. Рассмотрим функцию х(у), заданную

—2

на промежутке — < у < которая равняется

х(у) = —у + 2— — (— + 1)21п ( 1 — 2-^—— ) .

—2 - —

Пусть у(х) - обратная, к ней функция. Далее, обозначим, через |к,т(Р) количество решений диофантовой систем,ы, уравнений вида, (здесь к - натуральное число с условием к < —2, Р > 1 - вещественные числа)

х1 + ••• + хк = у1 + ••• + у к хт +—+хт=ут +— + ут

1 < х1,... ,хк,у1,... ,ук < Р. Тогда для, величины |к,т(Р) имеет м,есто оценка Кт(Р) < ЭкР2к-у(к^е Эк = 22кт(2—)т3 (4к)4к.

Доказательсво см. [5, с.61. теорема 4.1].

Перейдем теперь к доказательсвту теоремы 1.

к > —

Ц|к =

(х х е2™Пху)) \х=1 у=1 /

<

рк-1

= рк

р / р -т Ми

х=1 \у=1

£

У=1

к

2тГ(ху)

2тГ(ху)

Здесь £х ^ некоторые комплексные числа с условием |ех| = 1.

С другой стороны, имеем ( ^ е2тГ(ху) = ^ е2тдл(х)|(Л), где Л - набор

чу=1 ' л

т

целых чисел вида Л = (Л1,... ,Лт), дл(х) = ^ Ърхр.

Р=1

Величина |(Л) равна количеству решений системы диофантовых уравнений

ВИДЯ

у1 +--+ у к = Л1

ут+••• + ут = Лт ’

к

к

при условии 1 < у 1, . . . ,Ук < Р.

Снова с помощью неравенства Гельдера получим

р

Ц|к < Рк—^ 1(Л)^ ехе

2яідд (х)

Л х=1

к—1

|£|к2 < рк(к—1) Заметим, ЧТО

КА)

Г

£хЄ

2яідл (х)

^ 1(А) = Рк, ЯЛ))

ЛЛ

к—1

= рк(к—1).

Кроме того, при некоторых комплексных 0л с условием |0д| = 1 выполняется равенство

П к / Г) ) к

£

£хЄ

2яідл (х)

= 0

Л

= 0л^ І1(М)е2п1 м

2яІ(Л1 Щ Ь1 +-+Лт Цт Ьт )

где М - произвольный набор из т целых чисел, М = (ц1,..., цт), а величина |1 (М) равна сумме слагаемых вида £Х1 ... £Хк, распространенной на все решения следующей системы диофантовых уравнений

Х1 +----+ Хк = Ц-1

хт+• • •+хт = цт

Таким образом, приходим к неравенству

|1|к2 < р2к(к-1)^ |(А)0Л^ |1(М)е2П1(Л1Ц1Ь1 +-+ЛтИтЬт ). л м

Заметим, что вещественные числа Ъ1,..., Ьт, стоящие в показателе экспоненты тригонометрической суммы в правой части последнего неравенства, можно заменить на их дробные доли а,..., ат, так как все параметры Л1Ц1,..., Лтцт принимают только целые значения.

Возводя обе части последнего неравенства в квадрат и применяя неравенство Коши, будем иметь

2

|2к2 ^ т->4к(к-1) V" ТГ Л^2

|1|2к < р4к(к—1^ |(Л)2^

л

л

£ым) Є2пі(Л1 Ц1 Ь1 + +ЛтМ^тЬт )

м

= А1А2-

Первый сомножитель А1 в правой части последнего неравенства имеет вид

А1 = ^ КА)2.

л

Он равен числу решений следующей системы диофантовых уравнений

к

Х1 + ••• + Хк = У1 + • • • + У к

%т +—+хт=ут +— + у т

где 1 < Х1,...,Хк,У1,...,Ук < Р-

Следовательно, А1 = |к,т(Р) и из леммы 5 вытекает оценка

|к,т(Р) << Р2к-У(к),

где у (х) есть функция обратная к х(у) = —у + 2т — (т +1 )21п ^ 1 — 2-У^-------^ .

т2 - т

Возьмем у = в-------2-+ т. Тогда значение к = к(у) будет определяться по

приведенной выше формуле, которая задает функцию х(у). Следовательно

(

1 — 2^^-------- + ^у),

к(у) = —вт ^ т — т + 2т — (т + 1 )21п

2

т2 — т

V

/

ГД6 |К(у)1<1.

А1

2

А1 С Р2к-у(к), ГДе у (к) = в- 2 т + т.

А2

А 2 = Ц

л

^ЫМ)е

2пІ(Л1 Ц Ь1 +---------+Лт Цт Ьт )

м

ем

А2

А2 = ^^У_ 11 (М)/1 (М')е2п1(Л1 (Ц1 -Ц' )Ь1 + +Лт (Цт-Цт )Ьт ) <

12 = І—2— 2- л

л м м'

||1(М)|1 (М')

м м'

£

л

2лІ(Л1 (Ц1 —Ц{ )Ь1 +----------+Лт (Цт —цт )Ьт )

В последней сумме произведем замену переменных суммирования, полагая Ь = М — М 'и Ь = (11,..., 1т). Тогда получим

Т.

л

2пІ(Л1 1/| Ь1 +-----+Лт 1-т Ьт )

Заметим, что при фиксированном значении вектора Ь имеет место равенство ОМЖМ — Ь)= |(к, т, Р, Ь) ,где величина Як, т,РД), выражает количество

м

решений системы диофантовых уравнений вида:

2

Х1 + • • • + Хк = у1 + • • • + у к + ^1 + • • • + 1 Хт + ••• + хт = ут + ••• + ут + 1т + ••• + I

т

т

причем 1 < Х1,... Хк, у 1,..., у к < Р. Но |(к,т, Р,Ь) < |к,т(Р) < Р2к у(к)- По-

этому

^е2п1(Л111Ь1 +^+Лт 1т Ьт )

л

Таким образом, для величины |Х|2к2 получается оценка вида

|Х|2к2 Р4к(к-1) • Р2к-у(к) • Р2к-у(к) • ш = Р4к2-2у(к) • ш (*)

е

2па(Л111 Ь1 +------+Лт 1т Ьт )

л

Далее займемся оценкой суммы Ш. Заметим, что координаты векторов Ь = (11,..., 1т) и Л = (Л1,..., Лт) независимо пробегают все значения из некоторых промежутков и при этом выполняются неравенства

—кРр < Лр, 1р < кРр

при всех р = 1,..., т. Поэтому сумму Ш можно представить в следующем виде

е2п^Л111 Ь1

Л1

Для оценки каждой из внутренних сумм будем пользоваться леммой 3 и леммой 4.

По лемме 3 имеем

£

,2тЛр 1рЬр

< шт ( 2кРр 1 ) ,

“ V 2|И,/’

ГДе ар — Ър!р.

К правой части последнего неравенства надо применить лемму 4. Для этого

Ър

рого есть некоторая степень Н простого числа р. При этом Н = шах(0,п — 1 — Бр + ш(р)). Здесь через ш(р) обозначен показатель степени, с которым простое число входит в разложение целого числа х на простые множители.

Далее правую часть последнего неравенства надо просуммировать по переменной 1р. Для этого воспользуемся леммой 4. Тогда в случае Рр > (р™-1-^ получим оценку

^=У шт (2кРр,

1

2УЪр 1р ||

|)<30

2кРр

рп-1 -ер + ш (р)

+ 1^(4кРр + рп-1 -5р+ш(р) log рп-1-5р+ш(р))<

Лт 1т Ьт

< ^л?1_8р + 1^ (РР + рп-!-8р log рп-1-8р) < р2р + р!+«р-п 1п Р

рр

1— яр

Константа при знаке И. М. Виноградова ^ в последнем неравенстве зависит от т и п-

В случае, когда Рр < (рп—1—5р < р2р Та же лемма 4 дает неравентсво

? < рп—1—8р 1п Р.

Если же Р2р < (рп—1—1яр, то тривиальная оценка дает неравенство

? < Р2р.

Первый случай оценки величины ? соответствует значениям р, удовлетворяющем неравенству вида

1 1

р > 1пр ^ _ гг ^ =Ць

+----------г п +

поскольку П =

(п - 1) 1п р п - 1 п - 1

1п Р

(п — 1) 1п

Второй случай имеет место тогда, когда имеют место неравенства

11

5 < р < 5

2Л +-------------- П +

п - 1 п - 1

Третий случай возникает при выполнении неравенства

1

Р ^ “ Б

2п +

п — 1

Р=

1,..., т в зависимости от того, к какому случаю относится данное значение р. Обозначая вклад каждого из случаев через Пі,П2, П3, а общее произведение через П, будем иметь

П = Пі • П2 • Пз

Рассмотрим величины Пі,П2,П3, в отдельности. Получим

Пі = П р2^^^ 1п Р,

1

ш>р>------б—

П +

п — 1

П2 =

п

рп-1— р11п р,

11

-<р<-

Б <р< Б

2Л +------------- п +

п — 1

п — 1

Пз = П Р2Р-

П +

п — 1

р<

2п +

И Ц2 —

п — 1

2п +

п — 1

и рассмотрим суммы

ап = у_ 2р = у_ 2р,

ц? +1<р<т Р=Ш +1

а12 — ) (1 + рБ — п) — У (1 + рБ — п),

ц1 +1 < р< т Р=Ц1 +1

а2 = (п — 1 — рз) = ^ (п — 1 — рз),

Ц2 +1<р<т Р=Ц2 +1

Ц2

аз = ^ 2р = у_ 2р

Р<Ц2 Р=1

Получим

2(т + Ц1 +1 к 2 2

а 11 =--------2-------(т — Ц-0 = т2 + т — ц2 — Ц?

л, л т2 — ц? + т — ц гл ,, , б. 2 2 ,

а12 = (1—п)(т— щ)+б-----------------2--------= (1— п)(т— щ) + ^ (т2+т—ц?—щ),

а2 = (1 — п)(ц2 — Ц1) + ^ (ц2 + Ц1 — ц2 — Ц2), а3 = ц2(ц2 + 1 ) = Ц2 + Ц2-

П1 П2 Пз П = П? • П2 • П3 и

П = Ра11 +а3 • ра12 +°2 = Р^4 • р°5

где величины а4 и а5 определяются однозначно из последнего равенства. При этом

а4 = а?? + аз = т2 + т — (ц? + Ц1 ) + ц2 + Ц2,

а5 = а?2 + а2 = (1 — п)(т + Ц2 — 2ц?) + (т2 + т — ц2 — Ц2).

Б

1

1

Б

Б

Из определения параметра т следует, что т = где 0 < 0 < 1

Далее получим

п — 1

откуда 0 + т =

п — 1

1

п — 1 т + 0'

05 = (1 — п) ^2ц — Ц2 — т + = (1 — п) І 2ці — Ц2 — т +

Б

2(п — 1)

Б

2(т + 0)

(т2 + т — ^2 — Ц2) ) = (т2 + т — ц2 — Ц2)

Величина п в условии леммы определялась равенством Рп = (рп 1. Следо

вательно

ра5 = Р

(т2 +т-ц2 -Ц2)

= Р°6

где аб есть показатель степени, определяемый последним равенством. Тогда имеем П = Ра4 +аб.

Обратимся теперь к выражению величин ц? и Ц2 через т и п- Имеем

1

П +

п — 1

1

— 0і, где 0 < 01 < 1.

п +

п — 1

Учитывая равенство

Ці =

где Иі —

п +

1

1

(¥)"

— 0і =

= т + 0, получим

— 0і + И і —

т

т + 0

п + —

т

тп +1

— 0і + И і

1

0і

п +

1

_____ п + 1 (пт + 1 + п0)(пт + 1)

т + 0 т

0 < 0і < 1.

Выполняя аналогичные преобразования для величины Ц2, приходим к соот-

ношению

1

Ц2 =

2п +

— 02 =

т

п — 1

2пт + 1

— 02 + ^2,

02

где И2 = -I--- -----ГТТ > 0 < 02 <1

(2пт + 1 + 2п0)(2пт + 1)

Приведенные выше выражения для величин И? и И2 показывают, что 0 <

^ <10 < И2 <1

Ці =

т

тп + 1

+ Иіі> Ц2 =

т

2пт + 1

+ И

22,

Б

Б

Б

Б

Б

1

1

Б

причем |Иц| < 1, |И22| < 1.

Возведение последних равенств в квадрат дает соотношения

22

2 т2 2 т2

Ц = (тптт? + 0(т)’ = (2пт + 1)2 + 0(т)-

Подставим их в выражение для суммы а4 + аб, получим а4 + аб = т2 + т — (ц2 + ц?) + ц2+

п(2Ц1 — Ц2 — т + 2(^+0(т2 + т — — Ц20 =

2 т2 т2 1 т2

= т2-------------1----------------------•------------+

(пт + 1)2 (2пт + 1)2 2п(т + 0) (2пт + 1)2

т2 2ц1 Ц2 т ,

+------_1_ О'! +------------+ 0(т) =

2п(т + 0) п п п

22 т2 т2 т

= т2-------------1-------------------------+

(пт + 1)2 (2пт + 1)2 2п(2пт + 1)2

2т 2т т

+п(пт + 1) п(2пт + 1) 2п + т

2 1 1 1 2

— т 1 — т---------т-тг + —---т-тг — —-—-------т-тг +

(пт + 1)2 (2пга +1)2 2пт(2пт + 1)2 пт(пт + 1)

2 1 + о (122 = а7

пт(2пт +1) 2пт \т,

Подставляя полученные значения величины а4 + аб в оценку суммы Ш, будем иметь

Ш < Ра71пт Р,

причем, показатель а7 определяется последним равенством. Отсюда с учетом полученных выше неравенств при некотором значении к приходим к оценке

|£|2к2 = Р4к2 —2у(к) ^ ^ Р4к2 —2у(к) ^ РСТ7 ^т Р

Здесь значение величины у (к) может быть выбрано в виде

6

у (к) = ^т + 0(т), где в > 0,45.

Тогда параметр к = к(у) будет удовлетворять условию

2у 2 т2/

к(у) = —у — т21п ^ 1 — + 0(т).

Это означает, что

к = — — т21п(1 — в) + 0(т) = т2 ^в — 1п(1 — в)^ + 0(т).

22

Учитывая, что 1п Р ^ Р£ для любо го £ > 0, получим

|£|2к2 ^ Р4к2 —вт2 +0(т)+ст7

откуда

где о8 =

вт2

2к2 2к2

(І)'

Далее имеем вт2

т2

(

1

2к2

+

07

2к2

1

2к2 V8 8(пт + 1)2 8(2пт + 1)2

11

+

1

16пт(2пт + 1 )2

1

)+ 0(т.)

4пт(пт + 1) 4пт(2пт + 1) 16пт

В последнее выражение подставим значение ъ = пт. Тогда получим

07

т2

(

1

+

1

1

+

1

2к2 2к2 V 8 8(г + 1)2 8(2г + 1)2 16г(2г + 1)2 4г(г + 1)

1

1

2

т

= 2к51,1 — Г+Г +

=т2. ад+о( л і =

4г(2г + 1) 2 3

16г

1

)+ 0(і) =

+

2

2г + 1 (г + 1)2 (2г + 1)2

0+ 0Й =

2к2

(т1.)

1

Є

2т2 ( ^ + 1п(1 — в)

)'

ад + 0 (

(т.).

Отсюда для величины а8 получаем соотношение

08 =

ад — в

(

в

2т2 ( ^ + 1п(1 — в)

)

2+Чт3) ’

2

3

1

+

2

где, как и далее, ъ = пт и ^ъ) = 1-------------7 + -. 1 ^ 1П I

ъ + 1 2ъ + 1 (ъ + 1)2 (2ъ + 1)2

Значение параметра в определим равенством в = 0, 95. Тогда при достаточно большом значении т > то и при уеловии f(ъ) < 0,95 получим оценку

08 =

ад — 0,95

2т2(0,475 + 1п 20)2

+оШ <

ад — 0,95 12,7т2 '

1

1

Учитывая также, что при любом £ > 0 имеет место оценка 1п(|х| + 1) ^ |х|£, окончательно имеем

где А >

|!| < Р2-А, 0,95 - f(z)

12 7т2 ‘

Теорема 1 доказана.

Применение теоремы 1 для оценки сумм характеров по сплошному промежутку основано на использовании формулы А.Г.Постникова сформулированного в лемме 1. При этом необходимо произвести правильный выбор параметров. Оценке сумм такого вида посвящена следующая теорема.

Теорема 2. Пусть х - неглавный характер по модулю ц = О™, где О -фиксированное простое число и ц —> оо. Рассмотрим сумму W = ^ х(у + а) г

у<Мо

где (а, О) = ^ N0 < О™. Тогда справедлива оценка |^У"| ^ ^-Лог где А0 =

1п О™-1

с5ф-2, ф = ————, с5 = 0,000151 ... - положительная постоянная и ф > ф0 1п N о

достаточно велико.

Доказательство. Все значения, которые принимает переменная суммирования у, разобьем на прогрессии по модулю где б - натуральное число, удовлетворяющее условию О5 < N0. Тогда сумма W будет представлена в виде отдельных сумм Wо по этим прогрессиям в количестве О5.

Каждая из указанных сумм W0 имеет вид W0 = ^ х(Оя 1 + а1 + а), где N1 = №0О-8], а1 - некоторое фиксированное

<N1

число из промежутка [1, О5]. Если при этом оказывается, что а1 + а делится на

О, то сумма W0 = 0, поэтому достаточно ограничиться оценкой сумм W0 вида Wо = х(О51 + а), где (а, О) = 1.

-<N1

Сумма W0 сравним с суммой Wl (ху) ВИДЯ

N1 N1

^(ху) = ^х(а + О5(1 + ху)) = ^х(а(1) + О5ху),

-=1 -=1

где 1 < х,у < Р и число Р > 1 - произвольное, а (а("Ь), О) = 1 ■

Поскольку 1х(Н)| < 1 при любом Н, то

|Wо - ^ (ху)| <

ху N1 +ху

£>(а + О51)- х(а + О51)

-=1 t=N1 +1

< 2ху < 2Р2.

Если в качестве Р выбрать значение Р = N0,5 • N 0 о,5Ло, то получим равенство

Wо = Wl (ху) + O(Nl №Ло).

ху 1 < х у < Р

р р N

Р^о = !х(а(1) + О5ху) + 0(Р2^№Ло) <

х=1 у - =1

2^х(ао + р5ху)

Х=1

У=1

2Х І-Д0

Здесь число а0 в последней сумме равно одному из значений а("Ь) и удовлетворяющей условию (а0, О) = 1 ■

Значение характера х(а0 + Ояху) выразим через тригонометрическую сумму по формуле А.Г.Постникова (лемма 1). Тогда при некотором Ьо с условием а0Ь0 = 1 (modQ) получим

2га

ї^(1 + С^Ьоху) П-ГІ

х(ао + О5ху) = Хо(ао)х(1 + О"Ъоху) = е О™ 1(О 1) =

2па(а1 д5Ъоху+1 а2 (д5Ъоху)2 +■■■+— ат (д5Ъоху)т )-д1 -™

= Хое V 2 т

п — 1

где т = --------

1_ б

Отсюда для Ь1,..., Ът, удовлетворяющих равенствам Ьр = аРО5р-™+1 с условием (ар, О) = 1 и будем иметь

P2W0 ^ N11 + P2N 0-Ло, причем

рр

е2п1Г(ху), f(xy) = Ъ1ху + Ъ2(ху )2 + • • • + Ът(ху )т.

х=1 у=1

К оценке суммы £ можно применить утверждение теоремы 1, если только

за счет выбора значения параметра б обеспечить выполнение условия ъ = пт Е 1п Р

[ъ1, Ъ2], где п = ;—7;;—т ■ Тогда получим 1п О™ 1

5 ^ р2-д° ,

А > 0,95 - ед

где Ао > — —2— •

12,7т2

Подстановка этой оценки в последнее неравенство для суммы W0 приводит к следующему результату

Р^о < ^Р1-А + Р^^-^,

Wl < ^Р-А + NlN(oAо.

0

Займемся теперь выбором значений параметров Р, б с таким расчетом, чтобы значение константы с5 сделать как можно большим.

Положим б =

п — 1

5ф

Тогда т =

п — 1

+ 01, где 0 < 01 < 1, откуда

т=

п — 1

п — 1

5ф

п — 1

п — 1

- 5ф

—0

5ф

1

1—

5ф

= 5ф — 02, где 0 < 02 <

п — 1 -

1, если только п достаточно велико, так так при достаточно малом £ имеем [5ф(1 + £)] равна 5ф при целом 5ф и равна [5ф], если 5ф - нецелое.

Значения параметров N1 тогда будут удовлетворять следующим условиям

N = [N^1, Р = ^’^-0’5А° = Q

-0,5^0’5-0’5А) + 0^^е 0 < 03 < 1.

1 1п N0

Учитывая, что — = -———7 получим ф 1п рп-1 ^

П =

1п Р

1п Рп-1 (п — 1 ) 1п р

—0,5з 1п р + 0,5(1— А0) + О^

Далее,

2т

2ф

а

т(1 — .0) 1 , ^

г = пт =----------—------------ + О

2ш 2

—.0) — 2+о(±) =

(^т-)

т3 2 0 2 ф 3

Так величина п имеет порядок т-1, порядок вели чины ф и т одинаков. Кроме того, по условию теоремы порядок величины Д0 равен ф-2. Следовательно г = 2 + О(ф-2). Подставим указанные значения параметров т и г в последнее неравенство для Д0. Тогда получим

.0 >

0,95 — ад 0,95 — ^2 + О(ф-2))

12,7т2

12,7(5ф — 02)2

0,95 — f(2) + Ор 12,7 • 25ф2 + 1 3

(фз)

>

>

0,95 — 0,902 0,048...

= 0,000151 ...ф-

12,7 • 25ф2 317,5ф2

ф > ф0

Оценка суммы Б3 в основной теореме опирается на оценку «короткой» суммы характеров от дробно-линейной функции по сплошному промежутку суммирования. Выводу этой оценке посвящена следующая теорема 3. Заметим, что ранее оценки таких сумм никем не рассматривались.

б

2

Теорема 3. Пусть х _ неглавный характер по модулю ц где р

- фиксированное простое число и ц —> сю. Обозначим, через Ш сумму вида

Ш = Г Х^О^У гае (а,Р) = 1а = Р51 аь в = Р52 *2, ^1^) = 1

^<N0 V ру + а/

1п рп—1 п 1

(й2, Р) = 10 < Б1 < в2, ей = —— > ф0 > 2, Б1 < ——.

1п N 5ф

Тогда при б1 = б2 имеет место оценка, |Ш| ^ ^-Л1 г где .1 = с6ф-2,

с6 = 0, 000047... - положительная постоянная.

Та, же оценка справедлива, и в том, случае, когда б1 = б2, но (1 не сравнимо

с &2 по модулю рп1 при условии, что п1 < 0,5п.

Доказательство. Из элементарных свойств характера Дирихле вытекает

равенство

X (руГа) = х(аУ + а) • Х-1(РУ + а) = х(ау + а) • Х1(Ру + а),

где Х1 (г) = х-1 (г) является характером Дирихле по модулю ц Положим

жп — 1 ]

б = —----- и б3 = б — Б1. Тогда Б1 < б и б3 > 0.

5ф

Разобьем промежуток суммирования по переменной у на прогрессии по модулю р53. Тогда проводя рассуждения, основанные на применении формулы А. Г. Постникова и аналогичные тем, которые были выполнены в начале теоремы 2, получим равенство

Р2|Ш| < N011.

Здесь приняты следующие обозначения.

Р1 Р1

е2^1 (ху), ^(Ху) = ^(Л1ху) — f(QS2 -51 а2%у),

х=1 у=1

f(t) = ъ^ + Ъ2М2 +------+ ЪтМт.

а р5р-п+1

Коэффициенты функции ^ условиям Ър = —р---------, р =

жп — 1 ]

------ . Граница суммирования Р1 в нашем случае определяется

б ]

также как и граница Р в теореме 2, но только с заменой параметра б на б3. Заметим, что из неравенства б > б — Б1 = б3 вытекает, что Р1 > Р. Рассмотрим сначала случай б 2 > Б1. Тогда много член f1(xy) можно предста-

ъ2 ът

впть в виде ^(ху) = Ъ /xyt + — (ху)2 + • • • Г—т (ху)т, причем коэффициенты

ъ1 , . . . , ът ъ1 , . . . , ът

теоремах 1 и 2. А так как Р1 > Р, то сумма * может быть оценена также, что и сумма * в теореме 2. Отсюда вытекает справедливость оценки вида

1,..., т, т =

2-Ді

0,95 — f(z) ln Pi

где Ai > ——------~, z = nim, Л1 = й—^—т- Отсюда, как и в теореме 2 по-

12,7m2 ln Qn-1

1 д ln Облучаем оценку W ^ N0- 1, где Ai = с6ф, Ф = ^—> с6 = 0,000151 ... -

положительная постоянная. 0

Теперь рассмотрим ситуацию, когда si = s2. В этом случае коэффициенты

Ь1,..., bm определяются равенствами

bp = bp(dp — dp), р = 1,..., m.

Условия, наложенные на значения параметров di и d2, означают, что di = d2 + Qs4 d3, причем (d3, Q) = 1 и s4 < n < 0,5n. В случае, когда s4 > 0 имеем

dp — dp = (d2 + Qs4d3)p — dp = pQS4d4^e (d4p, Q) = 1.

Поэтому коэффициенты bp; многочлена fi(xy) можно записать в виде

1г, /

p

bp' = р-1 bp = bpd4pQS4.

Тогда оценка суммы *1 может быть сведена к утверждению теоремы 1 по той же схеме, что и сумма * в теореме 2, но только с заменой параметра ц на

параметр Ц1 = рп-п1, а так как по уеловию п—п > 0,5п, то полученная оценка будет не хуже той, которую дает теорема 2. Тем самым в рассматриваемом случае теорема доказана.

Осталось рассмотреть ситуацию, когда б4 = 0. Тогда (^,р) = 1, (*2, р) =

1 и (*3, р) = 1. Заметим, что последнее равенство возможно только тогда, когда р > 3. В этом случае рассмотрим какой-либо первообразный корень ц по модулю Тогда при некоторых натуральных Н-|, Н2 будут выполняться сравнения с1-| = дН1 (modQn), с12 = дН2 (modQn). Отсюда имеем

с13 = с1-| — с12 = дН2 (дН1 -Н2 — 1)(modQn).

Но так как (*3, р) = 1, то число Н3 = Н1 — Н2 те делится на ц — 1.

С другой стороны,

ар — ар = дрН2 (дН3Р — 1 )(modQn).

Правая часть последнего сравнения делится на ц только в том случае, когда Н3р делится на ц — 1. Это означает существование простого р такого, что сравнение

с1р — с1р = 0(modQn) возможно лишь при выполнении условия делимости степе-

р р ър

ня ц.

Если проводить оценку тригонометрической суммы *1 по схеме доказатель-сва теоремы 1, используя не тривиальные оценки возникающих линейных сумм

только для значений р, те делящихся на р, то в силу неравенства р > 2 для понижения Д, получим неравенство

д, >- в —Ыг)

; Г л 1п Рі

где fі (г) =---------------------, г = Піт Пі =

2 ’ 11 ’ " 1п рп-1'

При этом функция ^г) определяется также как и в теореме 1, а значение параметра в, можно выбрать произвольно оптимальным образом. Поэтому положим в, = 1 — 40. Тогда получим

39 39 1 1 19 1

д > 40—^ = 40 — 2 — 2ВД = 40 — 2

1 > 20,37т2 20,37т2 20,37т2 '

Далее за счет выбора значения параметра б по схеме рассуждений теоремы

2 приходим к соотношению

ад = т + о(Л

*=<2+°Ш) •

откуда при некотором 0 Е [0,1] получим

Ді > 40- К2+0 Ш) = °>475 - ^(2+°(ф-2»

20,37т2 20,37(5ф - 0)

0,475 — 2^2) „( 1 ) 0,475 — 0,451 0,024 л лллл_-2

= 20,37 • 25ф2 + (ф3) > 20,37 • 25ф2 = 510ф2 > , ф

если только ф > ф, достаточно велико.

Теорема 3 доказана.

В заключении остановимся на явном вычислении значений константы с в основной теореме на основании полученных в теоремах 2 и 3 численных оценок констант С5 и с6.

Заметим, что оценка суммы £ в основной теореме складывается из оценок сумм Б,, Б2, Бз, определенных в процессе ее доказательства. При этом оценка сумм Б,, Б2 прямо сводится к применению теоремы 2, а оценка суммы Б3 опирается на оценку суммы V, которая представляет собой сумму характеров от дробно линейной функции, оценка которой составляет содержание теоремы 3.

Б, Б2

межуток сплошного суммирования в сумме Б, имеет порядок №’6, а в сумме Б2

этот порядок равен №’2. Поэтому параметры 0 и ф в формулировках основной теоремы и теоремы 2 в первом и во втором случае связаны соотношениями.

0 50 0

ф = ф = 0,6 = ТИф = ф2 = 0,2 = 50

соответственно.

Отсюда следует справедливость оценок вида

Б, < ^-с5ф-2 = ^,- тйтс50-2,

Б2 < 'Ы,-с5ф-2 = N,-т2г0-2'

Следовательно, в обоих случаях имеем

|Б,| < N,-22c5',0-20-2,

|Б2| < ^-0’8с5',0-20-2'

Далее, для применения теоремы 3 при выводе оценки суммы V необходимо выбросить из рассмотрения случаи, когда переменные суммирования у, и у2 принимают значения не отвечающие условиям теоремы 3, но так как их коли-

N2 ,

чество оценивается величиной порядка N-C70 , где С7 - некоторая постоян-

А

ная, то при растущем значении тривиальная оценка суммы V вносит в общую оценку вклад существенно меньший, чем требуется в формулировке основной теоремы. И потому им можно пренебречь.

т

сумме V имеет порядок N,, причем N, > А ^ N °’4. Это означает, что парамет-

0 50

ры 0 и ф в этом случае связаны соотношением ф = ф3 = 0-^ =

Тогда применяя к сумме V теорему 3 для суммы Б4, определенной в доказательстве основной теоремы, получим неравенство

Б4 ^ ^-о’об4с60 2, откуда

Б4 < ^-о’о32с60-2,

Б3 ^ ^-°’°з2с60-2 +£

где £ > 0 сколь угодно мало.

Сравнивая теперь значения постоянных

22С5 • 10-2 >22 • 15 • 10-7 = 3300 • 10-8 и

3,2С6 • 10-2 >3,2 • 47 • 10-8 = 150,4 • 10-8.

Это значит, что наибольший вклад в оценку сумм £ вносит оценка суммы Б3. Отсюда получаем числовое значение константы с в оценке суммы £ в основной теореме. Сформулируем ее в виде отдельного утверждения.

Теорема 4. Для значения константы с в основной теореме имеет место неравенство

с > 1,504 • 10-6'

Следует еще сказать, что главная цель состояла в получении не тривиальных и возможно более точных оценок суммы £, когда промежуток суммирования N имеет порядок = (^£п для сколь угодно малого значения £ = 0—.

Если же £ фиксировано и «не слишком мало», то предложенная схема оценок также оказывается вполне эффективной, но вместе повторного применения теоремы И. М. Виноградова о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля, достаточно воспользоваться известными оценками тригонометрических сумм, получаемых по методу И. М. Виноградова или по методу Г. Вейля.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Виноградов И. М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р + к) по простому модулю // Мат.Сб.Нов.Сер. 1938. Т. 3. Вып. 2. С. 311319. Рез на англ.яз.

[2] Виноградов И. М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер.Мат. 1966. Т. 30. № 3. С. 181 196.

[3] Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР, сер. матем. 34 (1970). С. 299-321.

[4] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. С. 1983 - 240.

[5] Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР, сер. матем. 2. № 1. 1964. С. 237-248.

[6] Тырина О. В., Среднее значение тригонометрических сумм, Канд., дисс., МГУ, 1989. С. 1-89.

[7] Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей Ь-рядов Дирихле по модулю равному степени простого числа // Вестник Московского университета. № 2. 1973. С. 46-72.

Орловский Государственный Университет.

Получено 27.09.2008.