Методы оценок коротких сумм Клоостермана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17 Выпуск 4

УДК 511.321 Б01 10.22405/2226-8383-2016-17-4-79-109

МЕТОДЫ ОЦЕНОК КОРОТКИХ СУММ КЛООСТЕРМАНА1

М, А. Королёв (г. Москва)

Аннотация

Настоящий обзор представляет собой развёрнутое содержание мини-курса, прочитанного автором в ноябре 2015 г. во время "Китайско-Российского симпозиума по тригонометрическим суммам и суммам множеств". Это мероприятие, проходившее в Академии математики и системных наук (Пекин), было организовано профессорами Чаохуа Жиа (Институт математики Китайской академии наук) и Ке Гонгом (Университет Хенань), которым автор приносит глубокую благодарность за всяческую поддержку и гостеприимство.

Обзор состоит из Введения, трёх частей и Заключения. Во Введении даются определения и приводятся основные факты, связанные с оценками полных сумм Клоостермана.

В первой части излагается метод оценки неполных сумм Клоостермана по специальному модулю, равному растущей степени фиксированного простого числа. Этот метод основан на идее А. Г. Постникова, которая сводит оценку таких сумм к оценкам тригонометрических сумм с многочленом в показателе экспоненты с помощью теоремы о среднем И. М. Виноградова.

Во второй части излагается метод А. А. Карацубы оценок неполных сумм Клоостермана по произвольному модулю, который основан на весьма точной оценке числа решений симметричного сравнения, содержащего обратные величины по заданному модулю. Эта оценка играет в рассматриваемых здесь вопросах ту же роль, что и теорема о среднем И. М. Виноградова при оценке соответствующих тригонометрических сумм.

В третьей части излагается метод Ж. Бургейна и М. 3. Гараева, в основе которого лежит глубокая теорема об "оценке сумм-произведений", а также уточнение оценки А. А. Карацубы числа решений симметричного сравнения.

В Заключении сформулирован ряд новых результатов об оценках коротких сумм Клоостермана, полученных в последние годы, доказательства которых не вошли в настоящий обзор.

Ключевые слова: обратные вычеты, неполные суммы Клоостермана, метод Постникова, метод Карацубы, метод Бургейна-Гараева, теорема Виноградова о среднем, оценка сумм-произведений.

Библиография: 57 названий.

METHODS OF ESTIMATING OF INCOMPLETE KLOOSTERMAN SUMS

M, A. Korolev (Moscow) Abstract

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00433

This survey contains enlarged version of a mini-course which was read by the author in November 2015 during "Chinese - Russian workshop of exponential sums and sumsets". This workshop was organized by professors Chaohua Jia (Institute of Mathematics, Academia Sinica) and Ke Gong (Henan University) in Academy of Mathematics and System Science, CAS (Beijing). The author is warmly grateful to them for the support and hospitality.

The survey contains the Introduction, three parts and Conclusion. The basic definitions and results concerning the complete Kloosterman sums are given in the Introduction.

The method of estimating of incomplete Kloosterman sums to moduli equal to the raising power of a fixed prime is described in the first part. This method is based on one idea of A. G. Postnikov which reduces the estimate of such sums to the estimate of the exponential sums with polynomial by I. M. Vinogradov's mean value theorem.

A. A. Karatsuba's method of estimating of incomplete sums to an arbitrary moduli is described in the second part. This method is based on a very precise estimate of the number of solutions of one symmetric congruence involving inverse residues to a given modulus. This estimate plays the same role in thie problems under considering as Vinogradov's mean value theorem in the estimating of corresponding exponential sums.

The method of J. Bourgain and M. Z. Garaev is described in the third part. This method is based on very deep "sum-product estimate" and on the improvement of A. A. Karatsuba's bound for the number of solutions of symmetric congruence.

The Conclusion contains a series of recent results concerning the estimates of short Kloosterman sums.

Keywords: inverse residues, incomplete Kloosterman sums, method of Postnikov, method of Karatsuba, method of Bourgain and Garaev, Vinogradov's mean value theorem, sum-product estimate.

Bibliography: 57 titles.

Введение

Пусть q ^ 2 — целое число, и пусть (m,q) = 1. Всюду ниже ч ерез т*, mm 1/т будем обозначать вычет, обратный к т то модулю q\ mm* = mm = 1(mod q). Пусть, далее, (a, q) = 1. Выражение

g q t

S(q) = S(q; a,b) = ^ eq (am* + bm) = ^ eq (am* + bm), eq(v) = e2wiv/q,

т=1 m=l

(m,q) = l

называется полной суммой Клоостермана по модулю q. Пусть Л — подмножество приведённой системы вычетов Z* по модулю q с числом элементов |Д| < p(q). Сумму вида

S(q; Л) = S(q; Л; a, b) = ^ eq (am* + bm)

теЛ

будем называть неполной суммой Клоостермана. В случае, когда |Л| < Jq, сумму S(q; Л) условимся называть короткой. Для решения многих задач теории чисел необходимы нетривиальные оценки коротких сумм S (q; Л) гад а |5(q; Д)| < |Д|Д, где А = A(q) ^ 0. Прежде чем перейти к изложению методов оценок таких сумм, упомянем основные результаты, связанные с суммами Клоостермана S(q; Л), для которых ^Jq ^ |Л| ^ q. В свою очередь, их оценка опирается на оценки полных сумм S(q).

Теорема 1. Полные суммы Клоостермана S(q) мультипликативны по q.

Доказательство. Действительно, пусть q = q\q2, где (q\,q2) = 1, и пусть у и z пробегают приведённые системы вычетов по модулям q\ и q2 соответственно. Тогда величина

х = у (12 + пробегает приведённую систем у вычетов по модулю д. Определим величину

уу = д2д2 = 1(тос1 д1), гг = д1д1 = 1(тос1 д2).

__2 __2

ад соотношением ад = у д^д2 + г д\д1, в котором

Тогда

хад = уу(д2д2)2 = 1(тос1 д1), хад = хх(д1д1)2 = 1(тос1 д2), так что хад = 1(тос1 д). Следовательно, ад = ж*(тос1 д). Таким образом,

91 / 92 /

Я(д; а,Ь) = ^ ^ е<и<12{ а(уШя2 + гд2гд1)+ Ь(уд2 + гд1)) =

У=1 2=1

Ч1 I д2 I

= ^ (а1У + ьу)И

е^ ( а,2г + Ьг) = в(д1] а1,Ь)Б (д2; а2 ,b),

у=1 г=1

где а1 = одетое! д1), а2 = ад\(то([ д2). □

Итак, достаточно получить оценку ^(д^ для случая, когда д = рп, где р — простое, п ^ 1. Если п ^ 2, то суммы 5(рп) вычисляются в явном виде (см. [1], а также [2], [3]). В этом можно убедиться, если представить переменную суммирования т в виде к + р1, где величины к и I независимо друг от друга пробегают промежутки 1 ^ к < р, 0 ^ I < рп-1, после чего рассмотреть отдельно случаи чётных и нечётных пир соответственно. При этом оказывается, что (рп)1 ^ срп/2 для некоторой постоянной с, такой, что с ^ т(рп) (здесь и далее через т(д) обозначается функция делителей).

Наиболее сложным оказывается случай, когда д = р — простое число. Первая нетривиальная оценка величины Б(р) была найдена Г. Д. Клоостерманом [4].

Теорема 2. Для простого р справедлива оцемка, |5(р)1 ^ 31/4р3/4.

Доказательство. Пусть (Ь,р) = 1. Так как т и Ьт одновременно пробегают приведённую систему вычетов по модулю р, то

|5 (р)12 =

Суммируя обе части по получим:

р-1

У^ ер(аЬ*т* + Ыт)

т=1

Р-1

Р-1

(р -1)|5(р)12 = ер(аг*т* + Ыт)

г=1 т=1

Далее, применяя неравенство Коши, будем иметь:

р-1 р-1 4 р р-1 4

(р - 1)2|ЗД|4 < (р - 1) ^^ ер(аЪ*т* + Ыт) < (р - 1) ^ ^ е^а^т* + Ы2т) =

t=1 т=1 41,12 = 1 т=1

Р Р-1

= (Р - ^ X] ер(аЬ1(т** + т*2 - п{ - п*2) + Ы2(т1 + т2 - щ - щ)) =

^'1,12 = 1 т1,т,2,П1,П2 = 1

= Р2(Р - 1)1 (Р),

где I(р) обозначает число решений системы сравнений

{т\ + т*2 = п2* + п* (тоё р), \т1 + т2 = п1 + п2 (тос! р).

2

2

Зафиксируем пару (т1,т2)• Тогда

{п\ +п2 = А(тос1 р), \ Ап1п2 = ц(тос1 р),

или, что то же, < Щ +п2 = ц(тОс1 р) 1п1 + п2 = ц(тос1 р)

для соответствующих А и ц. Если А = 0(тос1 р), то ц = 0(тос1 р), так что т2 = —т^тоё р), П2 = —п1(тос1 р). Вклад от таких решений в /(р) равен (р — 1)2. Если же А ф 0(тос1 р), то ц ф 0(тос1 р) и Ап1 — Ацп1 + ц = 0(тос1 р). Последнее сравнение имеет не более двух решений, так что окончательно находим:

1(р) ^ (р — 1)2 + 2(р — 1)(р — 2) < 3р(р — 1)

и, следовательно,

(р — 1)2|ЗД|4 < р2(р — 1) ■ 3р(р — 1), (р)14 < 3р3. □

Замечание. Различные варианты доказательства оценки 3(р) ^ р3/4 были предложены И. М. Виноградовым [5], [7], Д. Р. Хизбраупом [24], Д. И. Толевым [8].

Впоследствии показатель 3/4 в теореме 2 был уменьшен Г. Салье [9] и независимо Г. Дэ-венпортом [10] до 2/3. В 1948 г. А. Вейль [11], используя методы алгебраической геометрии, получил наилучшую возможную оценку (р)| ^ 2^/р. Элементарное (хотя всё ещё достаточно сложное) доказательство этого факта было найдено С. А. Степановым [12] (также см. [13]). Из перечисленных выше результатов и теоремы 1 следует неравенство

( д;а, Ь) < т(д)^. (1)

С его помощью можно оценить и неполную сумму Клоостермана в случае, когда переменная суммирования пробегает сплошной интервал. Имеет место

Теорема 3. Пусть 1 < х < д. Тогда для суммы

Б (х) = 3(д;х) = ^ ед (ат* + Ьт).

(т,д) = 1

из (1) следует, оценка

|Б(х)| < т(д)^д (^д + 1). (2)

Доказательство. Действительно, полагая N = [х\, будем иметь:

Л/ ( м 1

Б(х) = У (/ - (с(т — £)) ) ед(ат* + Ьт) =

Е'(£ 1 Е ^(с(т — I)))

т=1^ 1=1 4 \с\Ка/2 '

Е (х^(—<£)) ¿'

1=1 ' т=1

1 ( М \ 4

/ ^ ед(ат* + (Ь + с)т) =

^ \с\^д/2 1=1

= —3(д;а, Ь) + 1 ^ ед (— с) вд( (^_ ,1 Б (д;а, Ь + с). Я Я1ФШ2 ( С) 1

Переходя к неравенствам, получим:

IS(х)| < + 1 £ (sin r(q)^q <

^ Í1 +2 Е q)T(q)^q ^ T(q)^q(l°gq + 1). D

Поскольку r(q) ^£ q£ для любого фиксированного e > 0, то оценка (2) нетривиальна при ж ^ q°.5+e.

В начале 1990-х гг. А. А. Карацуба [14] - [16] разработал новый метод, с помощью которого ему удалось получить первые нетривиальные оценки коротких сумм Клоостермана с числом слагаемых порядка qa, где 0 < а < 0.5 (см. также [17] - [19]). Метод Карацубы излагается далее в §2.

А. А. Карацубе принадлежит и важное замечание, согласно которому в случае специального модуля вида q = рп, где р — фиксированное простое число, а п ^ оценки неполных сумм Клоостермана могут быть получены с помощью метода А. Г. Постникова [20]. Число слагаемых в таких суммах может иметь порядок ec(ogгде с — достаточно большая положительная постоянная. Этому методу посвящён §1.

Первые оценки сумм S(х), полученные с помощью метода Карацубы, давали нетривиальное понижение при х ^ qs, где е > 0 — произвольное фиксированное число (см. [17]). Нижняя граница этого диапазона была впоследствии снижена до такой: х ^ e(og?)4/Б(1о§1о§я)5 (см_ [22]). Однако А. А. Карацуба неоднократно высказывал предположение о том, что его метод позволяет получать нетривиальные оценки сумм S(x) по сплошному промежутку вида 1 ^ п ^ х уже при х ^ e(og я)2/3+\ Первые оценки столь коротких сумм для простого модуля q были найдены Ж. Бургейном и М. 3. Гараевым [23] (2012). Они опирались на очень глубокую и сложную теорему Бургейна об оценке полилинейной тригонометрической суммы достаточно общего вида, а также на некоторые факты из геометрии чисел. Набросок метода Бургейна и Гараева излагается в §3.

По ряду причин мы практически не касаемся здесь приложений сумм Клоостермана к задачам теории чисел. Краткий обзор такого рода приложений можно найти в статье Д. Р. Хиз-брауна [24] и монографии А. В. Устинова [25]. Также представляется уместным упомянуть серию незаслуженно забытых работ И. М. Виноградова [5] - [7], [26], [27], посвящённых оценкам сумм Клоостермана и некоторых их обобщений. Для простоты изложения в §§2,3 мы

трудностей.

1. Метод Постникова

1.1. Предварительные замечания

В 1955 г. А. Г. Постников [20] обнаружил, что индекс числа 1 + ри по модулю q = рп, где р — нечётное простое, представляется некоторым полиномом степени (п _ 1) от переменной и:

ind (1 + ри) ^ f(u)(mod рп-1), f(n) = а\и + а2и2 + ... + ап-\ип-1. (3)

р _ 1

Поскольку всякий неглавный характер % по модулю q имеет вид

. . / 2тггс ind (а)\ ( 2ттгс ind (а)\ . „,

%(a)=exp{ с(рп) )=exp{ рп-Чр _1)) , 1

то соотношение (3) сводит многие задачи, связанные с оценками сумм характеров Дирихле к оценкам тригонометрических сумм с многочленом в экспоненте. К последним же можно применить всю мощь метода И. М. Виноградова. Это обстоятельство позволило, в частности, построить примеры сумм вида

м+М

w = ^(х;К,М) = £ х(а),

а=м +1

которые допускают нетривиальную оценку уже при очень малом числе N слагаемых. Так, теорема Постникова позволила получать такие оценки в случае, когда N ^ д = рп, р ^ и показатель п должным образом зависит от р (см. [20], [21] а также работы [28], [29], в которых оценка Постникова распостранялась на случай фиксированного простого р ^ 3 и д = рп, п ^ Последующие работы А. А. Карацубы [30] и В. Н. Чубарикова

[31] позволили заменить нижнюю границу N величиной ес(1оёя)2/3(1оё1оёя)1/3^ Для сравнения: в случае, когда модуль д — простое число, наилучшей для Wq(х'^,М) (в смысле длины промежутка суммирования) остаётся оценка Д. Берджесса вида |W | ^ Ng-с£ , справедливая при N ^ д1/4+£ (см. [32]- [34]).

Ещё одним примером задачи, в которой специфика модуля позволяет получать очень точные результаты, является задача об оценке суммы значений неглавного характера Дирихле на последовательности "сдвинутых" простых чисел, т.е. суммы

У = Vq (х-^,а) = ^х(р + а),

р^М

где (а, д) = 1. В случае простого модуля д наилучшей на сегодняшний день является оценка

У ^ Ng-с£ , полученная А. А. Карацубой [35] в предположении N ^ д1/2+£. В то же время

р = рп

N ^ ес(1оё(1)2/3 (см. работы [36], [37], в которых такие оценки получены при N ^ д£). Формула (3) является "конечным" аналогом разложения

2 3

X X

^(1 + х) = х- у + у- ..., |х| < 1.

"Конечный" аналог ряда

—1— = 1 -х + х2 -х3 + ..., |х| < 1,

1 + х

для величины (1 + ри)* имеет более простой вид (лемма 1). Поэтому, применяя к неполным

= р п

чать их нетривиальные оценки в случаях, когда длина N суммы очень мала по сравнению с модулем.

Отметим, что сумма Клоостермана является простейшим примером тригонометрической суммы с рациональной функцией, т.е. суммы вида

^ / Л»У 'Л т

с<с+N

(щ)

\д( у))

где /,д - взаимно простые полиномы степеней к ^ 1, I ^ 1. Для таких сумм С.А. Степанов и И.Е. Шпарлинский в случае д = рп в работе [38] получили щепки, нетривиальные при N ^ д£ (фактический - уже при N ^ е(1о®<?)2/3+£).

Ниже мы получим ряд оценок неполных сумм Клоостермана и их аналогов для случая, = п

р. Отметим, что наряду с аналогом формулы (3) Постникова и теоремы "о среднем" И. М. Виноградова мы пользуемся т.н. "сдвигом" переменной суммирования. Этот приём восходит к И. М. Виноградову, но впервые был применён к задачам с характерами Дирихле по модулю рп А. А. Карацубой.

1.2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть р — простое число, п ^ 2, д = рп, и пусть 1 ^ в ^ п. Тогда

(1 + ирУ = 1 -ир3 + (ир3)2 - ... + (-1)т(ь;р3)т(тос\ д),

где т — наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству (т + 1)^ ^ п.

Доказательство. Утверждение леммы следует из легко проверяемого соотношения

(1 + ир3)(1 - ир3 + (ир3)2 - ... + (-1)т(ир3)т) = 1(тос1 д).

Лемма 2. Пусть ап, Ьп, п = 1,2,..., N, — произвольные комплексные числа, к ^ 2. Тогда

N N

0п|) ^ Nк-1У^ \ап\ ,

IV \ К IV

Е |апМ ^ Nк-1 Е \an\i

п=1 ' п=1

N , N чк-1 N

Е КЬп\) < (Е |апП Е |а«1 \ъп\к,

п=1 ' ^ п=1 ' п=1

N ^2 / N ч / N ч

^апЬпП < К\2ДЕ \^Л.

п=1 ' ^«,= 1 ' ^«,= 1 '

Лемма 3. Пусть Р ^ 1,а — произвольные вещественные числа,. Тогда,

1

£ е(ап) тт(Р, .

где через \\а\\ обозначено расстояние от, а до ближайшего целого числа,. Лемма 4. Пусть

а = а + 4, (а, д) = 1, 1, \в\ < 1.

Я Г

Тогда, для, любых вещественных чисел /3,и > 0, Р ^ 1 справедливо неравенство

Е тш (и, \\ап + @\\-1) < б(Р + Л(и + qlogq).

1<п<Р '

Обозначим через 1к,п (Р) число решений системы уравнений

Х1 + ... +Хк = Хк+1 + ... + Х2к,

Х1 + ... + Хк = Хк+1 + ... + Х2к

в целых числах 1 ^Х1,..., Х2к ^ Р-

Лемма 5 (теорема И.М. Виноградова "о среднем"). Пусть т ^ 1, к ^ пт, Р ^ 1 целые числа. Тогда,

1к,п(Р) < В(п, т)Р2к-А(п;т \

где

Б(п, т) = (пт)6пт(2п)4п(п+1)т, А(п, т) = п(п + ^ (1 - (1 - 1 . Доказательство лемм 2-5, см., например, в книге А. А. Карацубы [39].

1.3. Основная теорема

Теорема 4. Пусть р ^ 2 — фиксированное простое число, (а,р) = 1, п ^ 72, д = рп, и пусть N = д1/в, где 3 ^ д ^ п/24. Тогда для суммы,

Б = ^ е<1 (аи * + Ьи)

справедлива оценка |Б| ^ 6 N1-с/в\ с = 13-\ равномерная по параметру ц, 1 ^ ц ^ д.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что ц = 0(тос1 р). Выполнения этого условия можно добиться сдвигом области суммирования на величину, не превосходящую 0.5р. Дадее, будем считать сперва, что ц + N < д. Положим Н = [№'25], в = [п/(4д)] + 1. Тогда

Б = ^^ еч {а(и + Ц + р3ху )* + Ь(и + ц + р3ху))

1^и+ра хуСМ

eq(Ь(V + ц)) ^(а(и + ц + р3ху)* + Ьр3ху) + 2вр3ху

N

для любых 1 ^х,у ^ Н и некоторого Щ ^ 1. Суммируя по х,у, будем иметь:

н

|Б| < Н2 Е' Е + ц + р3ху)* + Ьр3ху)

ЫуКМ х,у=1

2

+ 2р3Н

по х,у будет наибольшим, и положим и = (ц + и)*. Так как р|ц и (и, р) = 1 то (и, р) = 1. Следовательно,

н

|Б| < Nh

2

У^ eq{а(и + р3ху)* + Ър3ху)

х,у=1

2

+ 2р3Н

Возьмём теперь т = + 1. Тогда (т + 1)^ ^ п, так что в силу леммы 1 имеем

а (и + р3ху )* = аи - аи2р3ху + аи3р23 (ху )2 - ... + (-1)т аит+1 рт3 (ху )т(тоё д). Значит, |Б| ^ Nh-2|W| + 2р3Н2, где

W = е(а1ху + а2(ху)2 + ... + ат(ху)т),

х,у=1

аг = —, дг = рп-г3, а1 = Ъ - аи2(то<1 д), аг = а(-и)^(тоё д), г ^ 2, дг

причём ( аг, дг) = 1 при г ^ 2. Возьмём некоторое целое т ^ 1 и обозначим к = тт. Согласно лемме 2,

н Н 2 к

|W^к < Н2к-1^ Ее( а1ху + а2(ху)2 + ... + ат(ху)т) = х=1 у=1

н

= Н2 к-1 ^2 Е ¿к,т(^1,..., ^т)е(а.1\1х + а2^2х2 + ... + а.т\тхт),

х=1 А1,...,Ат

где <7к,т(^1,..., Ат) — число решений системы уравнений

У1 + ... + Ук = Ук+1 + ... + У2к + А1,

ут+...+ут = ут+1 + ...+ут+Ат

в целых числах 1 ^ у1,..., у2к ^ Н. Возводя обе части неравенства

н

г|2к < Н2к-1 £ .к,т(А1,..., Ат) I Е е(а1А1 х + (Х2А2х2 + ... + а тАтх )

(4)

Ai,...,A„

х=1

2

|W|4 к2 < Н2к(2к-1)( £ .^(^...Ат)^

Х Е .к,т(А1,...,Ат) ^2е((1А1х + (2А2х2

+ . . . + ( т Ат хт)

А

Поскольку

Ai ,...,An

2 к-1 ^т) I X

h

та ) I / е(

х=1

2 к

Jk,т(A1, . . . ,Ат) — h2k, Jk,т(A1, . . . , Ат) ^Jk,т(h),

Ai,...,An

ТО

IW|4 к2 ^ h4к(2к-1^\т(h) ^ ^e(aiAix + а2А2Х2 + ... + атАтХт)

Ai ,...,Am х=1

2 к

Из (4) следует, что |АГ| < Лг = кНг, г = 1,... ,т. Суммируя теперь по сплошным интервалам вида А | < Лг в последнем соотношении и пользуясь леммой 3, получим:

|W |4к2 < Н4 к(2 к-1).к,т (Н) ^ ^ Л,т(ц1,..., цт)е((1Ам + ... + (тАт^т) <

|АГ |<ЛГ ^1,...,^т =1,... , т

< h4 к(2 к VjkrnW Jк,т(^>1, ...,^т)П Е е(агАг Vr)

r=1 |Ar |<ЛГ

Mi ,...,рт

<

< ^к(2к-1) Я,т(Ъ) П Е Е е(агАгvr)

r=1 l^r|<лг |Ar|<ЛГ

<

П Е тп<(2Л- уО^).

r=1 hxr |<Л. 4 11 r^r|l/

vr

^"Л" + 0(2Лг + qr l0g qr) < (2K)25r,

Br — Wo>gq)[l + 1 + — 60,og,;)( + 0

^Лг 4Л2) ' 2Л

Вместе с тем, эта сумма не превосходит, очевидно, (2ЛГ)2. Поэтому

т т

| W|4 к2 < Н4к(2к-1).1т(К)А П (2ЛГ)2, А = П Аг,

=1

=1

где Аг = min (1, ör).

Далее, полагая к = тт в лемме 5, находим, что

m(m+1) Л Л 1 \тЛ

Jk,m{h) < к6к(2m)4k(m+1)h - 1mj К

Поскольку

m

П (2ЛГ)2 = (2k)2mhm(m+1),

Г=1

то

\\¥|4 к' < к12к(2к)2т(2т)8к(т+1)к8к2+т{т+1)(1-ТД. Пусть теперь п = [2д\, г2 = [3д\, и пусть п < г ^ г2- Тогда

п I п \ тп

п ^ г — 8 +--), откуда п -г 8 ^ —, дг = рп-г я ^ р4в = N/4 ^ Ы

2 в V 40/ ' 4£

так что

. \мг 1

Яг < 2ЛГ и —.

2ЛГ

Поэтому при любом г, п < г ^ Г2, выполняется оценка:

5Г < д)(-1= + -1=) = 24(log (?)д-1 = 24(log д)рг3

Так находим:

г2

А < ^ 24(^д)рг3-п = (24logg)г2-г1 р(г2-г1)ь,

г=г 1+1

где

8 , . 1 ( п \ , . 3п 3п Ъо 3

* = 2^ + ^+ 1) - п < -2{тв + + 3) -п = -Т + 8~в + Т + 2.

По условию теоремы, 3 ^ дп/24. Поэтому

3п п Ъд 3 Ъп 3 п п

— ^ —, — + — ^--1— ^ —, так что V ^--.

8 0 8 2 2 48 2 8' 8

Замечая, что

будем иметь:

^ 1 ^ 2 ß

Г2 - П ^ ß - 1 ^ у

1 t \ в

А < (24(\og д)р-п/8)Г2-Г1 = {24(logg) g-1/8)r2-r1 < д- ™(r2-ri) < д- 15. Положим теперь т = кт, к = 8. Тогда

т(т + 1)^1 - ^ < е-Кт(т + 1) < 2е-Кт2,

i в2 в hm(m+1){1-т) < (2N )°'5е-Km2 ^ (2N )10е-*в2 < N 240 = д24°

откуда

" __в

IW|4 к2 < к12к(2к)2т(2т)16кт^к2д 16.

Поскольку к = 8т2, т ^ 4д ^ 12, то

|W| < 2.7Н2д- < 2.7Н2д-с/1 = 2.7h2N-с/в2,

= 13-4

п+1 3+1 3+1

р3Н2 ^ р4в +л/М ^ N4+п ^ N4 + 24 ,

находим:

|Б| < 2.7 N1-с/ 12 + 2N19/24 < 3N1- с/1.

Если ц таково, что д < ц + N < 2д, то исходную сумму можно разбить на две, каждая из которых оценивается подобно тому, как это делалось выше. В этом случае приходим к оценке |Б| <6N1-с/ 12. □

2. Метод Карацубы 2.1. Введение

В основе метода Карацубы лежит верхняя оценка 1к (X) — числа решений сравнения

х1 + ... + х*к = х*к+1 + ... + х*к (тоё р),

где X <х1,... ,х2к ^ 2Х и к(2Х)2к-1 < р (см. лемму 9). В стою очередь, оценка 1к(X) используется для оценки коротких сумм Клоостермана, в которых множество Л, по которому ведётся суммирование, состоит из произведений вида п = ху, где X < х ^ 2Х, У < у ^ 2У. При определённых соотношениях между X, У и д такие суммы оказываются очень маленькими, (см. лемму 10).

Здесь приводится простейший вариант оценки 1к(X), отвечающий случаю, когда переменные х^ являются простыми числами. С одной стороны, это позволяет избежать ряда некоторых технических трудностей, но, с другой стороны, получающиеся при этом результаты вполне достаточны для большинства приложений.

Оценка неполной суммы Клоостермана в(р; х) по сплошному промежутку 1 ^ п ^ х проводится следующим образом. Все целые числа п ^ х разбиваются па два множества. К первому

п х,

интервалах X < х ^ 2X, У < у ^ 2У с некоторыми специально подобранными X и У. Оценка

п

п

ными свойствами не имеют, но, как оказывается, мощность такого множества очень мала. Для доказательства последнего факта используются леммы 6-8.

2.2. Вспомогательные утверждения

Лемма 6. Пусть \сщх<у ^ л/х и пусть N(х, у) — количество чисел п ^х, все простые делители которых ^ у. Тогда

N(х, у) < хехр^-£(1ое£ + \ое\ое£ + 1 - ^^С = ^.

Доказательство см. в работе А. И. Виноградова [42].

Лемма 7. Пусть 2 < у ^ х и пусть Ф(х, у) — количество чисел п ^ х, все простые делители которых > у. Тогда

, , х 13.5х Ф(х, у) < -- +

logy (logy)2'

Если 2 < у ^ 3 т0 утверждение очевидно. В случае, когда у/х < у ^х, утверждение сразу получается из асимптотического закона распределения простых чисел. Если же 3 < у ^ у/х, то искомое неравенство получается стандартным применением метода решета А. Сельберга. Лемма 8. При х ^ справедливо асимптотическое равенство

1V1

П (l - -) = е7(logx)(l + 0(е"

в котором 7 = 0.57721... — постоянная Эйлера. Доказательство см. в [44, гл.III, §5].

2.3. Симметричное сравнение с обратными величинами

Следующие утверждения принадлежат А. А. Карацубе [15].

Лемма 9. Пусть к ^ 2 — целое число и пусть к < Х < Х ^ 2Х, к(2Х)2к-1 < р. Тогда, число 1к (X) решений сравнения

Р* + ... + Рк = Рк+1 + ... + Р2к (тос1 Р), (5)

в простых числах Х < р\,...,р2к ^ Х\ не превосходит к!Хк.

Доказательство. Пусть р\,...,р2к — произвольное решение (5). Достаточно доказать,что Р1 совпадает с одним из чисел рк+1,... ,Р2к• Не ограничивая общности, будем считать, что р\,...,р3 - все различные числа набора рг,...,'Рк- Обозначим через а] кратность вхождения в набор числа р], 1 ^ ] ^ 8, так что а + ... + а3 = к.

Положим, далее, Р = р \... РвРк+1 ... Р2к = р^Р] для ] = 1,... ,в,к + 1, . . . , 2к. Тогда, до-множая обе части (5) на Р, получим

агРг + ... + а3Р3 = Рк+1 + ... + Р2к (тоё р). (6)

Поскольку 1 < Р] < (2Х)2к-1, обе части (6) не превосходят к(2Х)2к-1 < р. Следовательно, сравнение (6) в действительности оказывается уравнением

аР1 + ... + а3Р3 = Рк+1 + ... + Р2к.

Так как Р] = 0(тос1 р\) при 2 ^ j ^ 2к, то а\Р\ = 0(тос1 р\). Из определения следует, что а ^ к < Х < р\. Таким образом, Р = 0(тос1 Р1). Если р1 = Рк+1,...,р2к, мы приходим к противоречию. □

Лемма 10. Пусть (аЬ, р) = 1, к, в ^ 2,к <Х <Х < 2Х, в <У <У1 < 2У, к(2Х )2к-1 < р, 8(2у)2< р_ Тогда, для, сумм

= Е Е ер{ах*У*), = Е Е ер{ах*у* + Ъху),

х,

ствам ^| ^ ХУА],

11 11 _1_ А1 =2к 2^ 2к (рХ-кУ2к°, А2 = 2к 2^ 2к (рХ 1-кУ—) 2кз.

Замечание. Утверждение леммы остаётся в силе и для сумм вида

Б = Е' Е' Р(х)°(у)ер{ах*У*), Б2 = ^ ^(х)С(у)ер(ах*у* + Ъху),

Х<х^Х1 У<у^У1 Х<х^Х1 у<у<;у1

где Р,С — произвольные комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям ^(х)| ^ 1,

тУ)| < 1.

Доказательство. Согласно лемме 2,

|Б1|к < Ук-1 £ ер(ах*у*)

У<

х<х^х1

У<у^У1

Ук-1 Е' Е' Фу* (х* + ... +х*))

Х<х1 ,...,х2к <Х1

Обозначим через 9(у) аргумент суммы по х1,... ,х2к• Тогда

|Б1 |к < Ук-1 ^

-в(у)

У<у^У1

^ ер(ау*(х* + ... +хк))

Х<х1,...,х^ ^Х1

Р-1

Р-1

Ук-1 £ е-г0(у) £Зк(А)ер(аАу*) < Ук-1 £¡к(А) £

е-г в(у)е,

,(аАу*)

У<у^У1 А=0 А=0 У<у^У1

гДе Зк(А) — число решений сравнения х* + ... + хк = А(тос1 р) в простых числах

X < х\,... ,хк ^ X. Далее, из леммы 2 получаем неравенство

Б |к 3 ^ У3(к-1)Т3-1

Т2, в котором

р-1

р-1

Т1 = к( А), Т2 = к( А)

А=0

А=0

Р-М(у)

>(аАу*)

У<у€У1

Сумма Т1 совпадает с числом наборов (х1,..., хк), X < х^ ^ X1 и, таким образом, Т1 ^ Xй Следовательно,

|Б112к3 < X2к(3-1)У23(к-1)т2

В силу неравенства Коши, Т| ^ Т3Т4, где

р-1

р-1

Тз = Е & (А), Т4 = £

е- в(у) е,

а А *

2 3

А=0 А=0 У<у^У1

Т3

х1 + ... +х*к = х*к+1 + ... + х*к(тоё р) в простых числах X < х1,..., х2к ^ Xl. По лемме 9, Тз < к^. Поэтому

Т4 =

1 / \

£ £ (0(у1)+...-0 (и.» 6р{а А (У * + ... -у*2Л =

А=0 У<у1,...,у2з<У1 '

р-1 / п \ р-1

Е( Е е-^-Н..-») £ер(аАц),

^=0 чУ<у1,...,у23^У1

к

где двойной штрих в знаке суммы означает суммирование по наборам простых чисел

У < У1, ... , У23 <У1,

удовлетворяющих сравнению

у* +... + у** = у**+1 +... + У2>з + Мт<><1 Р).

У

р—1 р—1

Т4 < s!YsE

,=0 А=0

= s\Ysp.

Следовательно,

Т2 < k\s\XkYsp, ^^ < (XY)2ksk\s!X-kY-sp.

Рассуждая подобным образом, для суммы получаем цепочку соотношений

р—1

Y<y^Yi А=0 kXKa^kXi

S|k ^ Yk-1 Е' Е Е ik(Х;а)ep(a\y* + Ъау)

^k Xi

р-1 f < Yk-1 E E jk (X;a) E е-гв{У) ер(а^У * + bay)

А=0 кХ<а^кХ! У<У^Уг

гДе Зк(А; &) — число решений системы сравнений

(х* + ... + х*к = А(тос1 р), 1 х1 + ... + хк = ст(тос1 р)

в простых числах Х < х\,... ,хк < Х\. По лемме 2, ^^ ^ Уз(к—1^Т^—1Т2, где р—1 р—1

Ti = Е Е jk(X;a),T2 = Е Е ik (А;*) Е'

А=0 kX<a^kX! А=0 kX<<r^kXi Y<y4Yi

e-i e(y) ер(а\у * + bay)

Так как Ti ^ X , то из леммы 2 находим: |S2|2ks < X2k(s-1)Y2s(k-1)T3T4, где

р-1

T3 = Е Е жа;*) < k\Xk, T4 = е Е Е' е-гв(У)ер(аХу* + ь*у)

А=0 kX<a<kX1

р-1 £

А=0 kX<a^kX1 Y<y^Yi

2

Далее,

T4 =

р-1 / / £ £ ( £

-i (e(yi) +...-в(у2а))

\ р-1

) Е Е ер{а\/л + bar)

0 М^^ ^^УЬ...^^ 7 А=0 кХ<а^кХг

где двойной штрих означает суммирование по всем решениям системы

У* + ... + У** = У**+1 + ... + У*28 + Mmod p), У 1 + ... + ys = ys+1 + ... +У2 S + T(mod p)

в простых числах Y < У1,..., У2s ^ Y1. Количество слагаемых в кратной сумме по |т| ^ SY1 и у1,..., y2s те превосходит s^Ys . Таким образом,

р-1

р - 1

T4 < Е s!Y" ' k(X1 -X) ^2ер{аХ/л)

, =0 А=0

Окончательно находим: S|2ks ^ (XY)2ksk\s\spX Y-sX-k. □.

< sk\YspX.

2.4. Основная теорема

Теорема 5. Пусть (а,р) = 1 и пусть е(ъ?-р)2/3(1о§1о§р)4/3 ^ х ^ /р. Тогда имеет место следующее неравенство:

£ep(au* + bu) « x (loglogр)4/7. (7)

(logx)3/1

Доказательство. Рассмотрим лишь случай ( b,р) = 1, поскольку при Ь, кратном р, рассуждения оказываются несколько проще и практически дословно повторяют приводимые ниже. Положим

Z = **v(0TX-)- Y» = 1Р*-*

\log log x) 4

и определим целое число т из неравенств Ym ^ Z < Ут-\. Далее, пусть п,1 — целые числа, удовлетворяющие следующим условиям: 2т ^п < \ л/logp, 7п < I < log р. Положим также

1 1±к

К = —, Хк =р 2k , X = Хп, Y = Ym, U = Y, V = YAn.

4 п

Тогда Yk+i < Хк < Yk при любом к, т ^ к ^ п, и, кроме того, U < V < X < Y ^ Z.

Далее все числа u ^ x разбиваются та два множества: А и В. Мощность множества А не будет превосходить по порядку правой части (7), так что сумму по u £ А достаточно оценить тривиально. Слагаемые суммы по u £ В можно распределить по сравнительно небольшому числу двойных сумм, к каждой из которых применима оценка леммы 10.

Итак, поместим сперва во множество А все числa u ^ x, которые не имеют простых делителей из объединения промежутков (Хк, Yk], к = т,т + 1,... ,п. Все эти числа представимы в виде u = uv ил и u = uvw, где u ^ 1 не имеет простых делителей, больших X, все простые делители v, напротив, превосходят Y и, наконец, w = wmwm+\.. .wn-\, где Wk = 1 либо все простые делители wk принадлежат промежутку (Yk+\, Хк]. Числа вида u = uw не имеют простых делителей, больших Y. Согласно лемме 6, количество таких u ^ x не превосходит

x

N(x;Y) ^ N(x;Z) ^ x exp (—(log log р) log log log р) < --

(log )

u, w = u w

, x.y) < J-

u w log Y u w

возможностей для выбора сомножителя v = u/(uw) ^ x/(uw). В силу леммы 7, количество таких u ^ x не превосходит

2x ^ ^ 1 2x sr^ 1 sr^ 1 V^ 1

log Y ^ ^ uw log Y ^ u ^ wm ^ wn-i'

° U W ° U wm Wn-1

где величины u и wk независимо друг от друга пробегают возрастающие последовательности чисел, чьи простые делители принадлежат соответствующим промежуткам. По лемме 8 имеем:

Е1 ^ П[1 +1 + q2 +...)

U д^х 4 4 4 7

= П (1 - = е7(^Х)(l + о(е~^V^^ < 1.5 log Х,

Е - < П (l - -) - = Т^ (l + 0(e^V^A) <

v.V l) logYk+i\ \ J J

1 - -

k

wk k Yk+1<q^Xk v

< <1+">Ю (l - "( 1+0(e-' )) <

< (1 + 4 «>( l + i-

Следовательно,

E ^ < 15(^Х >(1 + 4^>n n( 1 + 21k) < lMl°gX >exp(\l°g ^V

u,w k=m ^ ' ^ '

J^y JL < 3ex logX ./n

logY uw logY V m

° u,w ° '

Так как 8m < д/logp, то

„ ^^^ logX ^ ,2m - 0.5 i 1\ m 1\ m

Y > p2m-0.5 и < (1 + K> - - = ll+\l----<_

log Y 2n \ 4n J \ n 4n J n

откуда следует, что в А помещено не более

m n m

+ 3ex—л — < 9x\ —

(logp)2 n V m V n

чисел.

Далее, отнесём ко множеству А все числа v ^ x, не делящиеся на простые из промежутка J = (U,V]. Такие числа v представляются в виде v = u или v = uv, где u ^ 1 не имеет простых делителей > U, a v не имеет простых делителей ^ V. Количество чисел вида v = u не превосходит N(x; Z) < x/(logp>2. Количество же чисел вида v = uv ограничено сверху величиной

2x v-^ 1 2x ^ ( 1 \' logU n

— Y- < — П(1 -1)

log V u u log V

logV ^ u logV qj logV I

Так находим:

. .. pm 2x n lm n

|А| < 9xJ— + --^ + 12x- < 9xJ— + 13x —.

n (log >2 n

Множество В разобьём на классы Bc,d, c,d = 1, 2,..., относя к Bc,d числа v ^ x, имеющие ровно с простых делителей из I и ровно d простых делителей из J. Тогда

ЕeP(av* + bv> ^ Е 1^1, где Sc'd = Е ep(av* +bv). иев c,d^i v eBcd

Сравним сумму Sc,d (с, d ^ 1) с суммой

1

d

= А ЕЕ Е eP(aq *r*h* + bqrh>, (8)

дelreJ Н^х/(дг)

где qш г независимо друг от друга пробегают множества простых из I и ^ соответствен но, а к пробегает монотонно возрастающую последовательность чисел класса Вс-\^-\, не зависящую от д и г (смысл обозначения Вс-1,^1 при с = 1 или й = 1 очевиден). Несложно заметить,

x

что всякое число u £ Bc,d, не делящееся на квадрат простого из I U J, встретится среди произведений hqг в (8) ровно с d раз и потому войдёт в Tc,d с коэффициентом 1. Следовательно, Sc,d = TCtd+20xUгде последнее слагаемое отвечает вкладу чисел u, делящихся па квадраты простых из IU J.

Далее, разобьём теперь области изменения q,r на промежутки вида Q < q ^ Qi, R<r < Rb где Qi < 2Q, R < 2R. Тогда

Tc,d = 1 ^Tc,d(Q,R), где Tc,d(Q,R) = Е Е Е ^ *r*h* + bqrh).

Q,R Q<q^QiR<r^Ri h^x/(qr)

Меняя порядок суммирования, будем иметь:

Tc,d(Q, R) = ^ Tc,d(Q, R; h), где

h^x/( Q R)

Tc,d(Q, R; h) = £ £ ер(агq*r* + blQr),

Q<q^Q2 R<r<R2

ai = ah* (mod р), b\ = bh (mod р), Q2 = min ^Qi, , R2 = min ^Ri, . TcA(Q,R; h)= ^ ^ 1 EE ep(f(r -»)) ev(ai 1*r* +hqr) =

Q<q^Qi R<r<Ri р \f\<0.5p R<fj,^R2

= E ПыЬ, где T (Л = E E F (ч)°(г) er(ai 4*r* +b^r),

\f\<0.5p ^ Q<g^Q2R<r<Ri

F (1) = E ep(-^), °(r) = ep(fr)

- >

1 К<^К2

Заметим, что 1Р(д)1 ^ q при любых q и /. Кроме того, для всякой пары Q, К найдутся целые к, в такие, что т ^ к ^п, 4п ^ в ^ I и

0.5Хк <Q < 2Ук, 0.5^+1 <К < 2У3. (9)

Применяя к оценке Т(/) лемму 10, с учётом замечания к ней, будем иметь:

11 1 1Т(Л1 < QRA, где А = 2к 28 з2к (р^~кВ.1-8)2к8.

Несложно проверить, что

1+к 1 _ 3

Qk ^ 2~k= 2~1е'р 2 , Rs-1 ^ 21~sY+l ^ 2~3р2 2(28+1)

Так как s ^ 7п > к ^ т ^ 2, то

1 1 __1_

А < 5^р) 2га'р 56nks ^ Д0 =^р)1/2р 56n2i.

Таким образом,

x

lTc,d(Q,R; h)| < QR(^ + 1)Ao < ^(logр + 1)Ао,

2x 3x

lTc,d(Q,R)l < x(logр + 1)2До, ITC4I < — (logр)4До, ISc>dl < ^(logр)4До.

Суммируя по с, d, получим:

сЛ>1

\Бс4 | < х(1(щр)5р 56п21 ,

^2ер(а V * + Ь и)

и<х

^^ п _ 1

^ 9х\--+ 13х— + х(1о£р)5р 56п21 .

V П I

Положим теперь

п =

1_ (кщр)3/7 22 ^х)1/7

(^^р) 1/7

I = [(logp)1/7(logх)2/7(loglogp)-5/7].

Тогда т ^ 2п, 4п < л/^р, I > 4п, р 5вп21 < (logр) 8 и, наконец

У^ ер(аи * + Ьи)

и<х

□

1

3. Метод Бургейна и Гараева

з.1. Введение

Ещё один метод оценок коротких сумм Клоостермана, в которых переменная суммирования пробегает сплошной промежуток, был предложен в работах Ж. Бургейна и М. 3. Гараева [23], [45]. Как и в методе Карацубы, оценка 5(х) начинается с разбиения промежутка 1 ^ V ^ х на два множества А и В. Мощность А оказывается достаточно малой, так что сумма по V £ А оценивается тривиально. Для всякого же числа V £ В имеет место представление V = хугН, где простые сомножители х,у и г лежат в интервалах специального вида. Поэтому слагаемые, отвечающие V £ В, можно перераспределить по не очень большому числу "трилинейных" сумм

^ ер(а1х*у*г*), (а1,р) = 1,

х,у,г

к каждой из которых после ряда преобразований применима фундаментальная лемма Бургейна (лемма 12). Наличие трёх (а не двух, как в методе Карацубы) независимых сомножителей х, ,

теперь принимать значения, близкие к числам вида р1/(2 к\ к = 1, 2, 3,.... Напомним, что в методе Карацубы необходимо было тщательно следить за тем, чтобы соответствующие простые делители чисел V £ В лежали в интервалах вида р(1+К)/(2к) < д ^ р(1-К)/(2к-2); где к > 0,

и, таким образом, "избегали" малых окрестностей точек р1/(2к\

Вместе с тем, необходимо отметить, что при оценке сумм 5(х) по сплошному промежутку главной отличительной особенностью метода Бургейна-Гараева от метода Карацубы является не сколько лемма 12, сколько новая оценка числа решений сравнения (5) (лемма 13 настоящего обзора). Именно, эта оценка свободна от обременительного ограничения к(2Х)2к-1 < которое присутствует в лемме 9.

3.2. Вспомогательные утверждения

Лемма 11. Пусть т ^ 2, (а,т) = 1,г ^ 1, и пусть А1,...,АГ — произвольные подмножества, Ът. Далее, пусть к]_,... ,кг ^ 2 — произвольные чётные числа, и пусть

Ж = ••• Е е™(ах1...хг).

Х1Е.А1 хг ЕАГ

Тогда

(г ч т—1

Па 1к-кч Е ьк)■■■ ь)ет(а1г1 ■■■к-),

г=1 ' к1,...,кг=0

где к = к1 .. .кг и ^ (к) обозначает число решений сравнения

У1 + ... + уг = уг+1 + ■ ■■ + У2г + к(тоё т), Ы = ку,

с условиями у1, ■ ■ ■, у2г € Ау.

Замечание. Утверждение леммы 11 остаётся в силе и для "взвешенной" суммы

№ = Е Е ^(х1) ■■■ ^ (Хг) ет(ах1 ■■■хг)

Х1Е.А1 хг ЕАГ

где |/3(х)1 ^ 1 при любых х € Ът, 8 = 1, . . . ,г. Разница состоит лишь в том, что в этом случае через ^(к) будут обозначаться некоторые функции, такие, что их абсолютные величины |^(к)| не превосходят чисел решений соответствующих сравнений.

Доказательство (индукция по г). В случае г = 1 утверждение очевидно:

т— 1

|к1 = |2г = £ 6т(а(х!] + ... -х$)) = Е 6(к)¿т(ак)■

Л1) х.т ь=о

Х1 ,..., х2г

Предположим теперь, что утверждение леммы доказано для 1 ^г^ в — 1 и проверим его справедливость для г = 8. Обозначим исходную сумму через №8. Тогда, полагая к8 = из леммы 2 получим:

< (|А11 ■■■ 1А8—1 |)кз—1 Е ■■■ Е Е ет{ах1 ■■■х8)

Х1<^А1 хв-1^Ав-1 х3еА3

т— 1

(|А1| ■■■ |А8—1|)кз—1 Е ^(к8)№8—1, (10)

Ь3=0

где

№8—1 = Е ■■■ Е ет{ак8х1 ...х8—^■

Х1вА1 хв-1еАв-1 В силу предположения индукции,

/ 8—1 \ т—1 к м ПА Гк Е £1(к1) ■■■ С8—1(к8—1)ет{ак1 ■■■к8), к = Ь ...к8—1 = -.

к

3=1 к1,...,к3-1=0

Вновь применяя лемму 2, будем иметь:

, т—1 ч К ,т—1 ч к—1 т—1

( Е Ш.!—^) ^ ( Е Ь(к8)) Е Ш8—1|к <

^ Н3=0 ' Ж =0 ' И8=0

(8—1 \ т—1

П l АзГкЧ Е ¿1 (к1) ■ ■■ Ь(к8)ет(ак1 ...к8). (11)

3=1 ' Нх,..,Нв=0

Возводя обе части (10) в степень к и пользуясь (11), приходим к искомому утверждению. □

Лемма 12. Пусть р — простое число, (а, р) = 1, и пусть aj(x),j = 1,2,3 — произвольные комплекснозначные функции, такие,что ||aj||i < 1 и ||ai||2 ■ ||a2||2 ■ ||азЦ2 < р-0'5-£, где е > 0 — постоянное число и

, р \ 1/г

iiaNr = Ela(x)lr) , г = 1,2.

^ Х=1 '

Тогда для, суммы

р

W = ^ a1(x)a2(y)a3(z)ep(axyz)

Х,у, Z=1

справедливо неравенство: |W| < р-&, где 5 = (0.1е)104.

Доказательство этой леммы, принадлежащее Ж. Бургейну и М.З. Гараеву [23], опирается на утверждения из геометрии чисел и, в частности, на теорему о последовательных минимумах выпуклого компактного множества относительно решётки в Мп.

3.3. Основная теорема

( а, ) = 1

e(\ogp)2/3(\og\ogР)4/3 ^ x ^ ^.

Тогда,

У ер(аИ) « x log D, где D = jt^^3^. ^ Db (logp)(loglogp)2

(log x \

—- 1 и определим m неравенствами

log log p J

p1/(2m) ^Q < p1/(2m-2).

Далее, зададимся целым числом п с условием 3m ^ п ^ \/logp и обозначим X = р1/(2п\ Y = p1/(2m^. Все числа v ^ x разобьём па два множества: А и В.

Прежде всего, отнесём к А все числ а v ^ x, не имеющие простых делителей > Y. Количество таких v не превосходит N(x;Y) ^ N(x;Q) < x(logp)-10. Дадее, отнесём к А все числа, не имеющие простых делителей из промежутка (X, Y]. Все такие v представляются в виде uv, где u не имеет простых делителей > X, а v не имеет простых делителей ^ Y. Следовательно,

'x \ 2x v-^ 1 logX m

^ /о™ = 3x —.

E, (x \ 2x v-^ 1 u log Y u

u J log Y u log Y п

Наконец, отнесём к А те числа v, которые имеют в точности один простой делитель q £ (X, Y].

u u

заключаем, что их количество не превышает

x ^ 2x v-^ п m л п

< Г^Е" V- < 3x log-.

u log Y u п m

u,q J и q

u log Y u п m

u,

Таким образом

x m m п m п

|А| ^ Тл-гтгт + 3x--+ 3x — log— < 7x — log—.

(log p)10 п п m п m

Обозначим через 5с,<< сумму по числам V € В, имеющим ровно с простых делителей из промежутка I = (X, У] и ровн о й простых делителей из про межутка ^ = (У, х] (с^ 2,й ^ 1). Тогда

Е еЛаи*) < Е

VеВ 0^2,

Применяя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 5, получим:

Sc,d =

с(с — 1) d ^ ^

h pip2p3^xh l

Ср iah*p\ pipi) + 29хХ

-i

(12)

где к пробегает некоторую возрастающую последовательность, а простые р1,р2 и р3 независимо друг от друга пробегают промежутки I, I и ^ соответственно. Последнее слагаемое в (12) отвечает вкладу от чисел п, делящихся на ц2 при некотором д € 1и Фиксируя к, разобьём области изменения переменных ру на промежутки вида Ру < ру ^ Qj, где

Qi = min

h'hXr )■

Qi = min[ P2(1 + (logp)-4)

х

hXY,

Qi =

mn {2pi>hX )■

(13)

Так получим

Sc,d =

cd(c — 1)

E E T + 2°хХ-i,

h Pi,P2,Ps

T = TCtd(h',Pi,P2,Pi) = E E E ep(aiPÍP*2P*3),

Pl<Pl^Ql P2 <P2^R2 P3<P3

где

ai = ah*(mod p), R2 = min(Q2, y), R3 = min(Q3, t), y =

hY pi

=

hpip2

Если £ < Рз, то сумма по рз пуста; если £ ^ Qз, то область изменения рз в Т имеет вид Р3 < р3 ^ Q3 и, следовательно, не зависит от р2. В случае, когда Р3 ^ £ < Q3, заменяя верхнюю границу изменения р33 величиной г = [х(кр1Р2)—1]- Ошибка от такой замены не превзойдет

£ £ (

х

х

Pl<Pl^Ql P2<P2<,Q2

\hpiP2 hpip2

+ n <

£ х E PL E ^^ + (Qi — Pi)(Q2 — P2) < Pi и JT^^ PW2P2

h

Pl<Pl <Ql P2<P2<.Q2 -4

< X h

(logp)-4 E - E - + -X (logp)-4 = s(h;Pi,P2). pi p2 hY

Pl<Pl^Ql i P2 <P2 <Q2 2

Так как вклад от величин s(h; Pi, P2) в Sc,d не превосходит

х

Е h Е

<

(l0gPP)4 htx hX<Plp2<Y pip2 (logP)2'

1

х

х

1

х

то

^ = ^ ЕЕ/ + <«+ --)•

где

V = ус4(к]р1,р2,рз) = ЕЕ Е ^ЫАрЫ).

ЖР1<<31 Р2<Р2<,Р2 Рз<Рз^тт(<Зз,г)

Преобразуем V так, чтобы границы области изменения р2 и рз не зависели от р\. Имеем:

V =

Е Е Е (р2 ~Х)))1\ Е Е еР(9(Рз-»)П еР(а1р*1р*2р*3) =

Р] <Рз <:Яз Р 4 и\<р/2 ' Р 4 Ы<Р/2 '

3=1,2,3

Е №

где Ж = Ж(¡, д) = ^ Р(р1)С(р2)Н(рз)ер(а1р*1р2,р*з),

Р3 <Рз ^Яз 3=1,2,3

рм = —( Е ер-») Е М-«о)•

С(р 2) = ер(/р2), н (р з) = ер(дрз),

Р V IV

причем, как несложно видеть, каждая из величин Р('Р1), С(р2), Н(рз) по модулю не превосходит единицы.

Определим теперь числа к^ из неравенств

1 1

р 2кз ^ ^ р 2(кз-1)

и ПОЛОЖИМ

к, если к^ чётное

(к,, ^к, 1з = 2щ = {

1кз + 1, если к^ печётное.

Тогда из леммы 11 и замечания к ней получаем:

Р-1

|к < (Р1Р2Рз)к Е а1(Ь1)а2(.Ь2)аз(.Ьз)ер(а1 Ь

к

Н1,Н2,Ьз=0

где к = ЬЬЬ, (Ь) = Р- ^^(Ь), а величина |^(Ь)| не превосходит числа решений сравнения

х1 + ... + х*п. = х*п.+1 + ... + х*2П. + Ь(тоё р)

в простых числах х.3, Р] < х3 ^ Qj, 8 = 1,..., 2щ. Покажем, что весовые функции а^ (Ь) удовлетворяют условиям леммы 12. Действительно,

р-1 р-1

К¡1 = Е К(Ь)1 = Р~1] Е 16(Ь)1 •Р= 1. к=0 к=0

Далее, предположим сперва, что к^- - чётное число. Тогда Ц = к], так что сумма величин |^ (Ь)12 не превзойдёт числа решений сравнения

х1 + ... +хк = х*к +1 + ... + х*2к. (ШО(1 p), Р <хЪ..^ х2к^ < Qj.

В силу леммы 13,

■А -1

К-112 < P~2hk32kj(2P>v)Щ' + 1) < 22kj(к3 + 1>\(PL— + p~k^ <

< (2kjp-0-5 < (2n)np-0.5 < e(logp)1/2 loglogPp-0-5 < p-0A.

Предположим теперь, что ку нечётное. Тогда = ку + а сумма вели чип | (к)!2 не превзойдёт числа решений сравнения

х1 + ■■■ + + 1 = +2 + ■■■ + х*2^+2(то<1 р), Ру <х1,■■■, х2к^ +2 < Qj ■

Фиксируя переменные х^.+1,х2к+1) (не более чем ^ Р2 способами), получим сравнение вида

х*1 + ... + х*к. = х*к.+1 + ... + х*2к. + к(тоё р), Ру <Х1,■■■, х2к,. < ^ ■ Оценивая число его решений с помощью леммы 13, будем иметь:

К112 = P'2h • Pj kj!pkJ(2kj(2Pj)Щ' +1) < (2kjpp-0-5 < p-04

p

Таким образом, в каждом из случаев \\aj ||2 < p-0-2. Следовательно, неравенство Ца^^ • ||«2 N •\\®эN2 < p-0-5-c выполняется с с = 0.1. Поэтому в силу леммы 12 имеем:

|k < (PiP2P3>kp-C1, ci = (0.1c)10 = 10-214. Так как к ^ (к1 + 1>(к2 + 1>(кэ + 1) ^ 8mn2, то

— — x — С1 IW | < PlP2P3p к ^ p 8mn2 .

Возвращаясь к оценке исходной суммы, находим:

x — С1

|V | ^ -(log p + 1)2p 8mn2 ,

2x — c^ _^ 1 _^ 2x — C1

< -TM^js^ogp + 1)2p 8mn-Yl h 2! 1 ^ PdiT^u^ogp + 1)9p 8mn2,

( ) h Р1,Р-,Рз ( )

E eP

иев

eJav*

_ c1

^ x (logp + 1)10 p 8mn2

E eP

иев

eJav *

mm . n ,л \10 —-о

^ 7x — log— +x (logp + 1) p 8mn2 . n m

Беря теперь

_ Г10-104Vogx 7 log log p

приходим к искомому утверждению. □

Заключение

Завершим настоящий обзор рядом замечаний.

1. Из теоремы 4 с помощью тождества И.М. Виноградова в форме Р. Вона (см., например, [47, гл. II, §6]) стандартным образом выводится оценка суммы Клоостермана по простым числам. Именно, справедлива

Теорема 7. Пусть выполнены, условия теоремы 4. Тогда для, суммы

Б1 = Е ея (ат* + Ът),

где т пробегает простые числа, справедлива оценка: |5| < N1-^/ё2, с1 = 2-11с.

2. Теорема 5 в случае Ъ = 0 (шоё р) значительно уступает по силе теореме 6. Так, в случае х = ра^ где 0 < а ^ 0.5 - фиксированная постоянная эти теоремы приводят, соответственно, к оценкам

Е, х(1о?1о?р)4/7 ^ . _ х(1ой1ойр)3

« Лоы^■ ^^ « -щ^-.

Однако соединение метода Карацубы с леммой 13 и разбиением промежутка 1 ^ V ^ х на множества которое применялось Ж. Бургейном и М.З. Гараевым в теореме 6, позво-

ляет доказать следующие утверждения, несколько расширяющие диапазон нетривиальности оценок теорем 5 и 6 (см. [43]). Так, справедливы:

Теорема 8. Пусть е(1о%р)2/3(1о%1о£р)4/3 <х < ^р, (а, р) = 1. Тогда Е ер(а^*) « хО-1, О

(logх)3/2

Теорема 9. Пусть е(1о%р)2/3(1о%1о£р)1/3 <х < ^р, (аЬ,р) = 1. Тогда Е ер(аV*) « хО-1^О2),

Е ер(а и * + Ь V) « хО- ъ/4, О2

^х

(^ р) 2/3 (^ log р)1/3

Эти утверждения представляются не лишёнными интереса потому, что их доказательство вполне элементарно и не опирается на лемму Бургейна. Отметим, что в доказательстве теоремы 6 оценка трилинейной суммы Ш из условия леммы 12 используется в случае, когда нормы \\caj||2 не превышают р-1/4т, где величина т растет не быстрее сколь угодно малой степени р. Очень краткое и изящное доказательство оценки вида Ш « т33/18р-1/4 + |а^(0)| (где

т ^ 1), отличное от доказательства Ж. Бургейна [46], было найдено И.Д. Шкредовым (частное сообщение от 28 июня 2016 г.). Оно опирается на оценку трилинейной суммы из недавней работы Г. Петридиса и И.Е. Шпарлинского [50].

3. В случае, когда х х ра, где 0 < а < 0.5 - фиксированное число, отстоящее от значений вида (2к)-\ к = 1, 2, 3,..., оценки сумм из п. 2 могут быть усилены (см. [51]). Именно, справедлива

Теорема 10. Пусть к ^ 2 - фиксированное целое число, с - абсолютная постоянная с условием 0 < с ^ 0.25, е = с/(к2 — к). Тогда при любых х, т,а,ких, что р1/(2к)+е ^ х ^ р1/(2к-2)—£ имеет мест0 оценка

Е&р(аV* + Ъи) «с,к х .

и<х

4. Утверждения, подобные теоремам 5, 6, справедливы для сумм вида

Е f(")ev(av* + bv),

где f(v) - любая из функций ( v), 2ш(и\ <fi(v), r(v) (здесь тк(v) - многомерная функция

делителей, w(v) - число различных простых делителей v, r(v) - количество представлений v

суммою двух квадратов целых чисел). Более того, все утверждения теорем 5, 6 остаются в силе

для случая, когда f(v) - произвольная мультипликативная функция с условием |f(v)l ^ 1.

Исследованию сумм такого типа в случае произвольного модуля q и х ^ q°.5+£ посвящены

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Salie Н. Uber die Kloostermanschen Summen S (и, v;q) // Math. Z., 34 (1931), 91-109.

2. Whiteman A.L. A note on Kloosterman sums // Bull. Am,er. Math. Soc. 51:6 (1945), 373-377.

3. Williams K.S. Note on the Kloosterman sum // Proc. Am,er. Math. Soc. 30:1 (1971), 61-62.

4. Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form ах2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta Math., 49 (1926), 407-464.

5. Виноградов И.М. Об одной тригонометрической сумме и ее приложениях в теории чисел // Доклады АН СССР. Нов. сер., 5 (1933), 195-204.

6. Виноградов И.М. О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях, Доклады, АН СССР. Нов. сер., 6 (1933), 249-255.

7. Виноградов И.М.Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля // Доклады, АН СССР. Нов. сер., 5 (1934), 225-229.

8. Tolev D.I. An identity for the Kloosterman sum 11 arXiv: 1007.2054 [math.NT] (2010).

9. Salie H. Zur Abschätzung der Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen // Math. Z., 36 (1932), 263-278.

10. Davenport H. On certain exponential sums // J. reine angew. Math,., 169 (1933), 158-176.

11. Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 34 (1948), 204-207.

12. Степанов С.А. Об оценке сумм Клостермана // Изв. АН СССР. Сер. матем., 35:2 (1971), 308-323.

13. Королёв М.А. О нелинейной сумме Клоостермана // Чебышевский сб., 17:1 (2016), 140— 147.

14. Карацуба A.A. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю // Доклады АН, 333:2 (1993), 138-139.

15. Карацуба A.A. Дробные доли специального вида функций // Изв. РАН. Сер. матем., 59:4 (1995), 61-80

16. Карацуба A.A. Аналоги сумм Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем., 59:5 (1995), 93102.

17. Карацуба А.А. Суммы дробных долей специального вида функций // Доклады АН, 54:1 (1996), 541.

18. Карацуба А.А. Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения // Tatra Mt. Math. РиЫ, 11 (1997), 89-120.

19. Карацуба А.А. Двойные суммы Клоостермана // Матем. заметки, 66:5 (1999), 682-687.

20. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР. Сер. матем., 19:1 (1955), 11-16.'

21. Postnikov A.G. On dirichlet L -series with the character modulus equal to the power of a prime number 11 J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20 (1956), 217-226.

22. Королёв M.A. Неполные суммы Клоостермана и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем., 64:6 (2000), 41-64.

23. Бургейн Ж., Гараев М.З. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 19-72.

24. Heath-Brown D.R. Arithmetic applications of Kloosterman sums // Nieuw. Arch. Wiskd., 5/1:4 (2000), 380-384.

25. Устинов А.В. Приложения сумм Клоостермана к арифметике и геометрии. Алгоритм Евклида, цепные дроби, решетки и числа Фробениуса. Lambert Academic Publishing, 2011.

26. Виноградов И.М. Новые приложения тригонометрических сумм // Доклады АН СССР. Нов. сер., 1 (1934), 10-14.

27. Виноградов И.М. Новые асимптотические выражения // Доклады АН СССР. Нов. сер., 1 (1934), 49-51.

L

508.

L

стого // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех. астрон., 1 (1966), 93-98.

30. Карацуба А.А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:1 (1964), 237-248.

L

простого числа // Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2 (1973), 46-52.

32. Burgess D.A. The distribution of quadratic residues and non-residues // Mathematika, 4:1 (1957), 106-112.

33. Burgess D.A. On character sums and primitive roots // Proc. London Math. Soc. (3), 12 (1962), 179-192.

L

193-206.

35. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:2 (1970), 299-321.

36. Копанева А.А. Оценка коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам // Чебышевский сб., 9:1 (2008), 122-143.

37. Копанева А.А., Бурлакова Е.А. Оценка сумм характеров по сплошному промежутку суммирования // Чебышевский сб., 14:2 (2013), 118-122.

38. Степанов С.А., Шпарлинский И.Е. Об оценке тригонометрических сумм с рациональными и алгебраическими функциями. //В сб.: Автоморфные функции и теория чисел. Владивосток, 1989. С. 5-18.

39. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. \!.. Наука, 1983.

40. Карацуба А.А. Оценки тригонометричеких сумм особого вида и их приложения // Докл. АН СССР, 137 (1961), 513-514.

41. Карацуба А.А. Рациональные тригонометрические суммы специального вида и их приложения. Автореферат дисс. на соискание уч. cm,, к. ф.-м. н. М., МГПИ им. В.И. Ленина, 1962.

42. Виноградов А.И. О числах с малыми простыми делителями // Доклады, АН СССР, 109:4 (1956), 683-686.

43. Королёв М.А. О методе Карацубы оценок сумм Клоостермана // Мат. сборник, 207:8 (2016), 117-134.

44. Прахар К. Распределение простых чисел. \!.. Мир, 1967.

45. Bourgain J., Garaev M.Z. Kloosterman sums in residue rings // Acta Arith., 164:1 (2014), 43-64.

46. Bourgain J. Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy condition on the sources // Geom. Fund. Anal, 18:5 (2009), 1477-1502.

47. Воронин C.M., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. \!.. Физматлит, 1994.

48. Iwaniec Н. On zeros of Dirichlet L-series // Invent. Math. 23 (1974), 97-104.

49. Королев М.А. Короткие суммы Клоостермана по мощному модулю // Доклады, РАН, 470:5 (2016), 505-507

50. Petridis G., Shparlinski I.E. Bounds of trilinear and quadrilinear exponential sums // arXiv:1604.08469v2 [math.NT],

51. Королёв М.А. О коротких суммах Клоостермана по простому модулю // Мат,ем,, заметки, 100:6 (2016), 843-851.

52. Hajela D., Pollington A., Smith В. On Kloosterman sums with oscillating coefficients // Canad. Math. Bull. 31:1 (1988), 32-36.

53. Wang G., Zheng Z. Kloosterman sums with oscillating coefficients // Chinese Ann. Math., 19 (1998), 237-242 (Chinese); English transl.: Chinese J. Contemp. Math. 19 (1998), 185-191.

54. Deng P. On Kloosterman sums with oscillating coefficients // Canad. Math. Bull. 42:3 (1999), 285-290.

55. Gong K., Jia C. Kloosterman sums with multiplicative coefficients // Sci. China Math. 59:4 (2016), 653-660.

56. Королёв М.А. Короткие суммы Клоостермана с весами // Матем. заметки, 88:3 (2010), 415-427.

57. Korolev М.А., On Kloosterman sums with multiplicative coefficients // arXiv: 1610.09171 [math.NT].

REFERENCES

1. Salie H. 1931, "Uber die Kloostermanschen Summen S(и, v;q)", Math. Z., vol. 34, pp. 91-109.

2. Whiteman A.L. 1945, "A note on Kloosterman sums", Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51, no. 6, pp. 373-377.

3. Williams K.S. 1971, "Note on the Kloosterman sum", Proc. Amer. Math. Soc., vol. 30, no. 1, pp. 61-62.

4. Kloosterman H.D. 1926, "On the representation of numbers in the form ах2 + by2 + cz2 + dt2", Acta Math., vol. 49, pp. 407-464.

5. Vinogradow I.M. 1933, "On a certain trigonometrical expressions and its applications in the theory of numbers", Compt. Rend. Acad. Sei. URSS. N.S., vol. 5, pp. 195-204 (Russian; English summary).

6. Vinogradow I.M. 1933, "Some trigonometrical polvnomes and their applications", Compt. Rend. Acad. Sei. URSS. N.S., vol. 6, pp. 249-255 (Russian; English summary).

7. Vinogradow I.M. 1934, "Trigonometrical polynomials for complicated moduli", Compt. Rend. Acad. Sei. URSS. N.S., vol. 5, pp. 225-229 (Russian; English summary).

8. Tolev D.I. 2010, "An identity for the Kloosterman sum", arXiv: 1007.2054 [math.NT],

9. Salie H. 1932, "Zur Abschätzung der Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen", Math. Z., vol. 36, pp. 263-278.

10. Davenport H. 1933, "On certain exponential sums", J. reine angew. Math., vol. 169, pp. 158-176.

11. Weil A. 1948, "On some exponential sums", Proc. Nat. Acad. Sei. USA, vol. 34, pp. 204-207.

12. Stepanov S.A. 1971, "An estimation of Kloosterman sums", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 35, no. 2, pp. 308-323.

13. Korolev M.A. 2016, "On non-linear Kloosterman sum", Chebvshevsk. sb., vol. 17, no. 1, pp. 140-147.

14. A.A. Karatsuba. 1993, "Distribution of inverse values in a residue ring modulo a given number", Russian Acad. Sei. Dokl. Math., vol. 48, no. 3, pp. 452-454.

15. A.A. Karatsuba. 1995, "Fractional parts of functions of a special form", Izv. Math., vol. 59, no. 4, pp. 721-740.

16. A.A. Karatsuba. 1995, "Analogues of Kloosterman sums", Izv. Math., vol. 59, no. 5, pp. 971-981.

17. A.A. Karatsuba. 1996, "Sums of fractional parts of functions of a special form", Russian Acad. Sei. Dokl. Math., vol. 54, no. 1, p. 541.

18. A.A. Karatsuba. 1997, "Analogues of incomplete Kloosterman sums and their applications", Tatra Mt. Math. Publ., vol. 11, pp. 89-120.

19. A.A. Karatsuba. 1999, "Double Kloosterman sums", Math. Notes, vol. 66, no. 5, pp. 565-569.

20. A.G. Postnikov. 1955, "On the sum of characters with respect to a modulus equal to a power of a prime number", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 19, no. 1, pp. 11-16.

21. A.G. Postnikov. 1956, "On dirichlet L-series with the character modulus equal to the power of a prime number", J. Indian Math. Soc. (N.S.), vol. 20, pp. 217-226.

22. M.A. Korolev. 2000, "Incomplete Kloosterman sums and their applications", Izv. Math., vol. 64, no. 6, pp. 1129-1152.

23. J. Bourgain, M.Z. Garaev. 2014, "Sumsets of reciprocals in prime fields and multilinear Kloosterman sums", Izv. RAN. Ser. Mat., vol. 78, no. 4, pp. 19-72.

24. Heath-Brown D.R. 2000, "Arithmetic applications of Kloosterman sums", Nieuw. Arch. Wiskd., vol. 5/1, no. 4, pp. 380-384.

25. A.V. Ustinov. 2011. Applications of Kloosterman Sums in Arithmetic and Geometry, Lambert Academic Publishing. (Russian).

26. I.M. Vinogradow. 1934, "New applications of trigonometrical polvnomes", Compt. Rend. Acad. Sci. URSS. N.S., vol. 1, pp. 10-14 (Russian; English summary).

27. I.M. Vinogradow. 1934, "New asymptotic expressions", Compt. Rend. Acad. Sci. URSS. N.S., vol. 2, pp. 49-51 (Russian; English summary).

28. S.M. Rozin. 1959, "On null Dirichlet L-series", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 23, no. 4, pp. 503-508.

29. N.G. Chudakov. 1966, "On the zeros of Dirichlet L -functions for moduli equal to the powers of an odd prime", Vestn. Leningr. State Univ. Ser. Mathem., mech. and astron., vol. 1, pp. 93-98 (Russian).

30. A.A. Karatsuba. 1964, "Trigonometric sums of a special type and their applications", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 28, no. 1, pp. 237-248.

L

power of a prime number", Vestn. Moscow State Univ. Ser. Math. Mech., vol. 2, pp. 46-52 (Russian).

32. D.A. Burgess. 1957, "The distribution of quadratic residues and non-residues", Mathematika, vol. 4, no. 1, pp. 106-112.

33. D.A. Burgess. 1962, "On character sums and primitive roots", Proc. London Math. Soc. (3), vol. 12, pp. 179-192.

L

pp. 193-206.

35. A.A. Karatsuba. 1970, "Sums of characters over prime numbers", Math. USSR-Izv., vol. 4, no. 2, pp. 303-326.

36. A.A. Kopaneva. 2008, "An estimate for short sums of Diriehlet characters over shifted primes", Chebvshevsk. sb., vol. 9, no. 1, pp. 122-143.

37. A.A. Kopaneva, E.A. Burlakova. 2013, "Evaluation of character sums over the continuous interval of summation", Chebvshevsk. sb., vol. 14, no. 2, pp. 118-122.

38. Stepanov S.A., Shparlinski I.E. 1989, "On the estimate of exponential sums with rational and algebraic functions", Authomorphic functions and number theory, pp. 5-18 (Russian).

39. A.A. Karatsuba. 1993, Basics analytic number theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

40. A.A. Karatsuba. 1961, "Estimates of trigonometric sums of a special form, and their applications", Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 137, pp. 513-514.

41. A.A. Karatsuba. 1962, Rational trigonometric sums of a special form, and their applications. PhD Thesis, Moscow, Moscow State Pedegogical Institute in the name of V.I. Lenin (Russian).

42. A.I. Vinogradov. 1956, "On the numbers with small prime factors", Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), vol. 109, no. 4, pp. 683-686.

43. M.A. Korolev. 2016, "On Karatsuba's method of estimating of Kloosterman sums", Math. Sb., vol. 207, no. 8, pp. 1142-1158.

44. K. Prachar. 1957, Primzahlverteilung. Springer-Verlag.

45. J. Bourgain, M.Z. Garaev. 2014, "Kloosterman sums in residue rings", Acta Arith., vol. 164, no. 1, pp. 43-64.

46. J. Bourgain. 2009, "Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy condition on the sources", Geom. Funct. Anal., vol. 18, no. 5, pp. 1477-1502.

47. A.A. Karatsuba, S.M. Voronin. 1992, The Riemann zeta function, W. de Gruvter, Berlin New York.

48. H. Iwaniec. 1974, "On zeros of Diriehlet L-series", Invent. Math., vol. 23, pp. 97-104.

49. M.A. Korolev. 2016, "Short Kloosterman sums to powerful modulus", Dokladv Mathematics, vol. 94, no. 2, pp. 561-562.

50. Petridis G., Shparlinski I.E. Bounds of trilinear and quadrilinear exponential sums // arXiv:1604.08469v2 [math.NT],

51. M.A. Korolev. 2016, "Short Kloosterman sums of modulo prime", Mat. Zametki, vol. 100, no. 6, pp. 843-851.

52. D. Hajela, A. Pollington, B. Smith. 1988, "On Kloosterman sums with oscillating coefficients", Canad. Math. Bull., vol. 31, no. 1, pp. 32-36.

53. G. Wang, Z. Zheng. 1998, "Kloosterman sums with oscillating coefficients", Chinese Ann. Math., vol. 19, pp. 237-242 (Chinese); English transl.: Chinese J. Contemp. Math., vol. 19, pp. 185-191.

54. P. Deng. 1999, "On Kloosterman sums with oscillating coefficients", Canad. Math. Bull., vol. 42, no. 3, pp. 285-290.

55. K. Gong, C. Jia. 2016, "Kloosterman sums with multiplicative coefficients", Sci. China Math., vol. 59, no. 4, pp. 653-660.

56. М.А. Korolev. 2010, "Short Kloosterman Sums with Weights", Math. Notes, vol. 88, no. 3, pp. 374-385.

57. Korolev M.A., On Kloosterman sums with multiplicative coefficients // arXiv: 1610.09171 [math.NT].

Математический институт им. В. А. Стеклова.

Поступило 22.04.2016 г. Принято в печать 12.12.2016 г.