Об оценке дзетовой суммы и проблеме делителей Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

ОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТОВОЙ СУММЫ И ПРОБЛЕМЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ ДИРИХЛЕ

Л. В. Варухина1, Е. И. Деза2

1. Московский педагогический государственный университет, аспирант, lidadgema@mail.ru

2. Московский педагогический государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, профессор, Elena.Deza@gmail.com

1. Введение. Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле, f (s) = ann-s, и сумматорных функций их коэффициентов, Ф(х) =

2n<x an•

Так, наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция Римана, при Res > 1 определяемая равенством Z(s) = 5^n-s. Возведение дзета-функции Римана в k-ю степень при Res > 1 даст нам ряд Дирихле Zk(s) = Tk(n)n-s, где Tk (n) —число натуральных решений уравнения xi • ... • xk = n. Сумматорная функция Dk (x) =n<x Tk (n) коэффициентов этого ряда есть число точек с натуральными координатами под гиперболической поверхностью xi • ... • xk = x. Задачу об асимптотической оценке функции Dk (x) принято называть проблемой делителей Дирихле.

Другим хорошо известным примером рядов Дирихле являются L-функции Дирихле, при Res > 1 определяемые равенством L(s,x) = Y1 x(n)n-s, где x —характер Дирихле по некоторому модулю D. Произведение нескольких L-функций Дирихле дает при Res > 1 ряд Li(s, xi) • ... • Lk(s,Xk) = cnn-s, сумматорная функция

коэффициентов которого имеет вид Ck (x) = n<x cri = ^ ni .... ,nk <x Xi(ni )•. ..•Xk (nk). Задача об асимптотической оценке функции Ck (x) является обобщением проблемы делителей Дирихле и связана с проблемой делителей в числовых полях, в частности, квадратичном и m-круговом.

Новые результаты в проблеме делителей Дирихле и ее аналогах в числовых полях могут быть получены при исследовании поведения в критической полосе 0 < Res < 1 дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, что, в свою очередь, тесно связано с изучением тригонометрических сумм специального вида n<N nlt, называемых дзе-товыми, и подобных им тригонометрических сумм с характерами n<N x(n)nlt.

Именно, в данной статье мы уточняем значение константы c в показателе остаточных членов O(x1-ck 1 ) асимптотических формул для Dk(x) и Ck(x), получив величину с = jTj (теорема 3), и соответствующие константы остаточных членов проблемы делителей в квадратичном и m-круговом полях (теорема 4). Это улучшает результаты работы [1], где было получено значение с = у^-. Доказательство опирается на новые оценки дзета-функции Римана и L-функций Дирихле в критической полосе (теорема 2), получаемые из оценок тригонометрических сумм n<N nlt, ^n<N x(n)nlt методом Виноградова с применением новых результатов в теореме о среднем и оптимального выбора ряда параметров, возникающих в ходе исследования (теорема 1). Одним из центральных моментов доказательства основного результата работы [1] являлась оценка тригонометрической суммы W = 1<x<b \ 2 1<у<ъ e2ni(aixy+'"+arx у ) \, ai G R, b,r G N, с помощью последовательного возведения в степень 4k2. Некоторое изменение схемы доказательства, позволяющее возводить W лишь в степень к2, дало возможность улучшить оценку W, что и повлекло за собой новые результаты.

© Л. В. Варухина, Е. И. Деза, 2013

2. Новые оценки сумм, подобных дзетовым

Теорема 1. Для N1 < 2N < 4 и некоторой абсолютной константы А > 0 имеет место формула

Е '

N<n<N 1

1 log AT

< ANe 1560'Т^ГТ

для N1 < 2N < заданного характера Дирихле х по модулю П, П < N, и некоторой абсолютной константы А1 > 0 имеет место формула

Е X(n)ni;

N<n<N1

1 log ND~

< A\Ne 1560' bg»t

Доказательство. I. Докажем первое утверждение теоремы 1. Пусть S(N, t) = ^2n<u<n1 nlt. Введем величину 7 < 1 соотношением N = tY. Разобьем промежуток изменения 7 точками log_1/3í, 10~38, ^41 •

Для y < log-1/31 утверждение теоремы становится тривиальным. Для уутщ < 7 < 1 оценим ¿?(./У, t) методом Ван дер Корпута, воспользовавшись следующей формулой [2]:

e2-¿/(») < (6 _ + (b- af-i

a<n<b

где к > 2, К = 2й 1, функция / (х) имеет к-ю непрерывную производную на отрезке [а, 6], причем 0 < Аи < /(х) < ЛАи при всех х € [а, 6], а константа в знаке Виноградова <С — абсолютная. Именно, разделим промежуток [уд§"р1[ точками ,

I = 0,1,..., 9, и для 7 (Е [(¡-i-i^+i + i' [ в03ьмем к = 1 + 2. В этом случае при а

N,

6 = ЛГЬ /(х) = ¿logx, Xk>^t1-k\h = 2k

имеют место следующие оценки:

1

1 - kY < 1 - (k - 1)7 - y <

(k - 1)2k-1 + 1

_ ^ < —

2k-1 - 1 3

• 7, 7 <7.

2&-1

Таким образом, мы получаем оценку ¿)| < ^Л?^ < A2Ne ^ * ; что

при заданных к лучше оценки первого утверждения теоремы 1.

Для Ю-38 < 7 < оценим Й'(ЛГ^) по лемме С. Б. Стечкина [3]. Точнее, вос-

пользовавшись леммой С. Б. Стечкина и классическими результатами в теореме о среднем И. М. Виноградова (см., например, [4]), нетрудно доказать, что

3

Е ■

Q<n<Q+Qi

,2 nif (n)

< e

C2k

QAPk h-

1

где Q1 < Q, k > 11, 0 < h < 1, Tk = (2(k - 1)[(k - 1)(logk + loglogk + log1,115)+ 1]) № = 4,46^ io8 fcC1 " ^'"^log^ 1,115). Q"2 < A < Q~\ f(x) имеет k-ю непрерывную производную на отрезке [Q, Q+Qi], причем h\ < ^ < А для всех х £ [Q, Q + Qi], а

C*2 > 0 — абсолютная постоянная. Именно, воспользуемся последним утверждением, взяв в качестве k ближайшее справа к y-1 + 1 целое число, Q = N, Qi = Ni — N, /(ж) = ¿г log ж, Л = t1-fcT, h = {2тг2к)~1. Тогда

|S(N,t)\ < e^(7-1+2)Wt(i-fc7)№ и (! _ к^рк < _

34, 27log(Y-1 + 2)

• Y

что при заданном 7 дает оценку (1 — к^)рк < — у^о ' < и' следовательно, оценку

1 log N

^(Ж, t)| < ANe 1560 las2 * первого утверждения теоремы 1.

Будем доказывать теорему 1 при log-l/3t < y < 10-38. Введем параметр ш = 0, 239, возьмем b = Nw и произведем в S(N, t) сдвиг интервала суммирования:

S(N,t)= J2 eit log(n+xy) +20b2, x,y G [1, b], |0| < 1;

N<n<Ni

|S(N,t)| < b-2| ^ ^ ^ eitlog(n+xy)| + 2b2.

l<x<b l<y<b N<n<Ni

Разложив log(l + в ряд Тейлора, получим log(n + ху) = logn + F(xy) + R(xy), где

__/ i \ m — 1 m m __/ 1 \ m — 1 m m

= Ei<m<r ■ R(xy) = Em>r+1 Тогда

E E E '

l<x<b l<y<bN<n<Ni

eit log(n+xy)

N

E E ^(xy) • eitR(xy)

l<x<bl<y<b

Избавимся от сомножителя еип(ху), применив к последней сумме двойное преобразование Абеля (сначала к сумме по у, а затем — к сумме по ж):

Е Е eitF(xy) • eitR(xy)

l<x<bl<y<b

t

r+l\r (b2 y+l

W + 2t(-\ W + W,

где W = maxl<„<^^l<x<b l<y<u eitF(xy)|. Выбрав натуральное r из неравенств

^ 7(1-2ы)' получим

t(jj)r+1 < 1 < т0 есть из неравенств 1п_ Л — 1 < г < 1

eitF(xy) • eitR(xy)

l<x<bl<y<b

7(1-2ы)

< 4W, или |S(N,t)| < 4b NW + 2b2.

Проведем оценку суммы W. Обозначив f{xy) = F(xy) = а.\ху + ... + arxryr, где

п = 1, 2,..., г, получим W = J2i<x<b I £i<y<Ul ^ifixv) I 1 < «1 < Ь-

2

Рассмотрим натуральное число /г <С log3 t. Используя неравенство Гельдера

(Еp=i un)k < Рk-lTIp=i п°лучим:

m 27Г mnn

Wk < bk-1 ^

l<x<b

^ e2nif(xy) l<y<ui

bk-1 E

l<x<b

E ■

. l<y<ui

e2nif(xy)

=b

k-1 E

l< x<b

„-iO(x) у ^ j* (д д )e2ni(ai Aix+... + ar Arxr)

Ai ,...,Ar

к

к

где 0(х) = а^(£ 1<у<И1 е2^(жу))и, а (А1,.. ний системы уравнений

У1 + • • • + уи

у! + ••• + У!

., Аг) есть число целочисленных реше-= А1, = Аг,

1 < х1,..., хи < «1. Тогда

Жи < 6и-1 £ Л*,! (А1, • • •, Аг)

Л1,ЛГ

Е

1< ж<Ь

г0(ж) ^2пг(а1 Л1 ж+... + аг Лг жг)

Так как ^л1 л Л* г (А1, • • •, Аг) = «и < 6 и, последовательно воспользовавшись нера-

венством Гельдера (^П=1 мп^„)и < (^р=1 м„)и р=1 «п^П и неравенством Коши

Т,п=1ип"п < у/(ЕГ=1мп)(ЕГ=1г;п), получим

Ж^ < б2и(и-1) • £ (А1,..., Аг) •

А1 , . . .,Лг

Е

1< ж<Ь

г0(ж) ^2пг(а1 Л1 ж+...+агЛг жг)

<

< 62и(и-1)./ Е (Ли*,!(А1, • • •, Аг))2

V Л1,...,Лг

\

£

Л1,... ,ЛГ

^ ^ е-г0(ж)е2пг(а1Л1 ж+...+аг Лг жг)

1< ж<Ь

2и

Из определения следует, что Ел л (Л*г(А1,..., Аг))2 есть число Ли,г(«1) целочисленных решений системы уравнений

Х1 + ... + хи - У1 - • • • - уи = 0,

х1 + • • • + хи - У! - • • • - У! = 0

где 1 < х1, ••.,хи, у1, • • •, уи < «1. Таким образом, первая сумма по А1,..., Аг не превосходит Ли,г (6). Вторая сумма по А1,..., Аг оценивается с помощью неравенства I Еж=о+1 е27тгах\ < гшп(Р, 2\\а\ \) (см-) например, [2]). Именно, получаем

Е

Л1,... ,ЛГ

Е

1< ж<Ь

г0(ж) ^2пг(а1 Л1 ж+...у+агЛг жг)

2и

у^ у^ е-«(0(ж1) + ...-0(уь)) • ^ е2пг(«1 Л1 (ж1+...-уь) + ...+агЛгК + ...-у£) <

1<Ж1<Ь 1<ук <Ь Л1!...у,Лг

< Д= П тт (1

1 ат Мт1

Таким образом,

Ж< ь2и(и-1) л

и,! (

и

1<т<г |ит|<2иЬт

Для оценки величины Д воспользуемся следующим результатом (см., например, [5]): Е^тВДр^) < 6(| + 1)(11+ д\оёд), а = | + д > 1, (а, д) = 1, |0| < 1. Нетрудно видеть, что в условиях теоремы отсюда следует оценка

2 . .2 Д < Ьг +г¿Л, Д = -

y(1 — ш)(1 — 2ш)'

Кроме того, используем оценку интеграла И. М. Виноградова, полученную в работе [4], из которой следует, что при 1,9r2 < k < 2r2 имеет место формула

Jkr(b)= f ... f \ ]Г e2^x+-+a"'>\2kda1...dak <Alk2b2k-^, /3 = 0,915.

J° J° l<x<b

Тогда при к = 2г2, 7(112ц) - 1 < г < 7(112ц), Ъ = = Г<ш имеем

w < ъ2{ъ-2к+2к-^2)к"2 • (Ь^др2)-1 = 62(6-|r2)fc-2 =

= ъ2. t^d-/3-^^1) = Ь2. t-^^iP-2^--^1)^ = b2tA^\ где Ai = _"(1-2")2(/з _ откуда при w = о, 239, /3 = 0, 915 следует оценка

W < ААЪ2г-тш"I3.

. 12 1 log3 iV

Так как 7 = верно \S(N,t)\ < 4b-2NW + 2b2 < AN1-^< ANe 1560 "¿PT. II. Докажем второе утверждение теоремы 1. Легко видеть, что

Е *(«)«" = Е ) > в'

У^ eit log(Dq+z)

N<n<Ni 0<z<D-1 N<Dq+z<N

x(z)eit log D У^ вй log(q+zD-1).

0<z<D-1 ND-1<q<Ni D-1

N<n<Ni

< D max |S(N,t,z)|, S(N,t,z) = ^ вйlog(q+zDl).

<z< ND-1 <q<Ni D-1

Введем величину 7 < 1 соотношением ND-1 = tY. Разобьем промежуток изменения 7 точками log~1/3í, 10~38,

Для y < log-1/31 утверждение теоремы становится тривиальным. Для у^щу < 7 < 1 оценим S(N,t, z) методом Ван дер Корпута, взяв а = ND Ъ = NiD-1, /(ж) = ¿ log(x + Afc х i1"*"?, h = 2k; как и ранее, /г = / + 2 для

oi + l oi - 1 log3 ND-1

7 e [(щрт+т.щт!, I = 0,1,..., 9. Тогда |SWt,*)l « * , откуда

при заданных k следует второе утверждение теоремы 1.

Для Ю-38 < 7 < \q2ai оценим S(N, t, z) по формуле, уточняющей лемму С. Б. Стечкина, взяв Q = ND^1, Q i = (Ni - A0-D-1, /(ж) = ¿ log (ж + zL»-1), A = t1~k'y, /i = „ ^, где к — ближайшее справа к - + 1 целое число. Тогда

|S{N,t,z)\ < eC2^+2)ND-H^-k^p\

что при заданных 7, к и рк дает (1 — к^рь < щ • 73, откуда следует второе утверждение теоремы 1.

Будем доказывать теорему при log-1/34 < 7 < 10-38. Введем параметр ш = 0, 239, возьмем 6 = ^П-1)ш и, произведя в Б(N, г) сдвиг интервала суммирования, получим

|S(N,t,z)|< b-2 ]Г

ND-1<n<NiD-1

Е Е е'

1<ж<Ь1<y<b

+ 2b2.

Разложив log(l + ) в РЯД Тейлора и используя двойное преобразование Абеля

для замены логарифма многочленом степени г, — 1 < г < 7(1-2^)' П0ЛУЧИМ

|S(N,t,z)| < 4b-2ND-1W + 2b2, W = ^

1<ж<Ь

Е е~

1<y<u

(_1)m- 1 ^

где 1 < u < b, & c^m — о—1—T—n—1 )m.: ^ — 1, 2,..., г. Полученная ранее оценка

W < A462t~iAoт суммы ТУ позволяет теперь завершить доказательство второго утверждения теоремы 1.

Теорема 2. Для |t| > 2, 0, 5 < а < 1 и некоторой абсолютной константы B > 0 имеет место оценка

К (а + it)|< B|t|15-24(1—)3/2 log2/3 |t|;

для |t| > 2, 0, 5 < а < 1, заданного характера Дирихле х по модулю D и некоторой абсолютной константы B1 > 0 имеет место оценка

|L(a + it, х)| < B1D1-ff |t| 15?24(1—^)3/2 max(log D, log2/3+ |t|).

Доказательство. I. Докажем первое утверждение теоремы 2. Рассмотрим сумму C(N) = £n<N nii, где 2 < N < t. Разобъем отрезок суммирования [1,N] на промежутки ] 27TTj |tL гДе j = 0,1,..., [ ц^] ■ Каждую из полученных сумм оценим либо тривиально (для больших j), либо по теореме 1 (для малых j). Просуммировав данные оценки, получим

_J__log3 N

\C(N)\<A5Ne 1560б = 10

-65

Используя простейшее приближение дзета-функции Римана отрезком ряда Дирихле [2], получим С(<7 + ¿4) = £п---44 + 0(1).

Пусть М = е'°®2/3 4. Пусть Б = £„<м п---«, Б = £м<„< п---й Тогда

|S1| < Y^ < B2Mlog M < B3t(1-ff)3/2 log2/31.

n<M

Применив к S2 преобразование Абеля и использовав оценку C(N), получим [1]

, , / 2 (1-<т)3/2 9/4 1 оо

й <fi4i3^ log t, а =-, 6i = 10 ;

1 21 - е 1560 + б

IZ(a + it)| < B5ia(1-ff) 7 log2/3 t,

a

3y^3(a — 61)'

1 е = 1(Г65, e1 = 10-38.

1560 + е

При указанных значениях а, е и 61 мы получаем а = 15, 24. Первое утверждение теоремы 2 доказано.

II. Докажем второе утверждение теоремы 2. Поскольку (см., например, [6]) при Иев > 0 и г > П(|4| + 1) имеет место формула х) = £„<2 х(п)п-я + 0(Пг--),

L(a + it, х) = Si(x) + ЗД + O(D1-ff),

где S1(x) = Zn<D X(n)n-ff-ii, S2(X) = ED<n<D(t+1) X(n)n-ff-ii- При этом

Ei-D

n_<T < 1 + / -du < 2D1-a log D.

J1 u

/1 u

n<D J1

Применяя к S2(x) преобразование Абеля и используя теорему 1, получаем

/ flog(t+1) \ 3 1

При этом функция f(u) достигает максимума в точке uq = ^jlogt: f(uo) = 3\/3а ^ — cr)^logt. Разбивая отрезок интегрирования [0, log(t + 1)] на промежутки

- + е

длины log3 t, получаем

1^2(х)| < BeDl-4^{l-a)3'2 \ogi+et.

Подставляя оценки Si(x) и S2(x) в выражение для L(a + it, х), мы получаем при а = Yg^j второе утверждение теоремы 2.

3. Проблема делителей Дирихле

Теорема 3. Для сумматорной функции Dk(x) = £„<x Tk(n) коэффициентов ряда Дирихле Zk(s) = £Tk(n)n-s, Res > 1, имеет место формула

Dk{x) = xPk{\ogx) + вх1-^2'3 {C\ogx)k,

где Pk —полином степени k — 1, 2 < k ^ log5/6 x, < 1, C > 0 —абсолютная

константа; для сумматорной функции Ck (x) = £n<x cn = £ nfc<x Xi(ni) • • • • •

Xk(nk) коэффициентов ряда Дирихле Li(s, Xi) • • • • • Lk(s, Xk) = cnn-s, Res > 1, имеет место формула

Ck(x) = xPm(logx) + logx)fc,

где L1(s, X1), ■ ■ ■, L^(s, Xfc) — L-ряды Дирихле с характерами Дирихле Х1,. .., Xfc по модулям D1,...,Dfc, 2 < k ^ log5/6 x, max(D1,..., D^) ^ log2 x, m — число главных характеров среди Х1,. .., Xfc, Pm — полином степени m — 1, |#1| < 1, C1 > 0 — абсолютная константа.

2

Доказательство. I. Для доказательства первой асимптотической формулы теоремы 3 воспользуемся леммой А. А. Карацубы [6], которая утверждает, что для сум-маторной функции A(y) = n<y an коэффициентов ряда F (s) = ann-s, абсо-

лютно сходящегося при Res > 1, при b > 1, x > 1 и T > 2 имеет место формула

Гx 1 Гb+iT F(s)xs+1

/ A(y)dy = - : / J ds + R(x),

Ji 2nW b-iT s(s + 1)

где |Д(х)| < С3(!Г ^dy ■ aÇ- + 2b(^ + logT • max0,5*<„<i,5* \A(y)|)).

Возьмем F{s) = Ck(s), «n = n(n), A(y) = £п<ут*(п), b = 1 + e2 < T < x. Тогда

fx 1 /• b+iT zk (s)xs + 1 x2

/ A(y)d,y = -—: / J ^ + Д(х), |Д(х)| <-(C4logx)k.

Л b-iT s(s + 1) T

Возьмем n =1 — ((1 + e)ak)-2/3, e = 10-38, a = 15, 24, T = x1-n и рассмотрим интеграл = /г ^s(s+i) п0 контуру Г с вершинами b ± iT, г] ± iT. По теореме Коши J = x2Pfc (log x). Оценим интегралы Ji, J2, J3 по левой, верхней и нижней сторонам контура Г соответственно. Используя теорему 2, получим

Г ' l^fa + ^lx^1 t < +1 fc • ^

откуда, по свойствам геометрической прогрессии, |Ji| < xn+1(C6 logx)k. Интегралы J2 и J3 оцениваются одинаково. Именно, используя теорему 2, получим

max(|J21, | Ja|) < x2Tка(1-п)3/2t-2(C7 logx)k < x1+n(C8 logx)k.

Из полученных оценок следует, что fX A(y)dy = x2Pk(logx) + 02x1+n(C9 logx)k. Возьмем h = . По формуле конечных приращений Лагранжа

fX+h — 1±Д

h-1 / A(y)dy = xPk(\ogx) + в3х 2 (C10logx)k,

x

гх

h-1 / A(y)dy = xPk(logx) + e4x1^L(C11logx)k.

•J x-h

Так как функция A(y) не убывает, h-1 JX_h A(y)dy < A(x) < h-1 JXX+h A(y)dy и

А(ж) = xPfc(logx) +é»5xiii(C,i2logx)k.

При заданном г/ имеем = 1 — 2((1+е)а)2/3 гДе е = Ю-38, а = 15, 24. Поскольку

2((1 + б)15, 24)2/3 < 13, то < 1 — ¿А;-2/3; первое утверждение теоремы 3 доказано. II. Докажем второе утверждение теоремы 3. Возьмем в лемме А. А. Карацубы

F (s) = L1(s,Xi) • ... • Lfc(s,Xfc), an = C^ A(y) = Y.n<v cn = £ n1 •... • nk <y Xi(ni) • ... •

xk(nk), 6=1 + j-^—, e2 < T < x. Поскольку для любых x > 1, к > 1 имеет место

x

\fc-i

оценка £„<a;rfc(n) < - [7], верно

,„<х '/-Л"-; ^ (fc_1}

г-b+iT

f'X 1 fb+n

/ A(y)dy = -—: / /(S)dS + 06x2T-1(C13logx)k

Ji 2ni J b—iT

11 2ni J b-iT

г, ч ¿1(^X1) • ••• • }хя+1

в = -/ , -|Ч-•

в(в +1)

Возьмем п = 1 - ((1 + е)а&)-2/3, е = 10-38, а = 15,24, Т = и рассмот-

рим интеграл 7 = ^ /г п0 контуру Г с вершинами Ь ± гТ, г/ ± гТ. По

теореме Коши 7 = х2Рт(^ х). Оценивая интегралы 71, 72, по левой, верхней и нижней сторонам контура Г соответственно, используя теорему 2, получаем тах(|711, |72|, |73|) < ж1+п(С14 ^• Из полученных оценок следует формула А(у)с1у = x2Pm{[ogx) + вгх1+Г1(С\в logx)k. Возьмем к = х^1. Используя формулу конечных приращений Лагранжа и тот факт, что функция А(у) монотонно не убывает, получим, что Л.-1 /Х^ < А(х) < Л-1 ^ и

А(х) = хРт( logж) + 08хк^(С16^х)к.

При заданном г/ имеем = 1 — 2((1+1)а)2/3 что дает при е = Ю-38 и а = 15, 24

второе утверждение теоремы 3.

Полученные в теореме 3 уточнения константы с в показателе остаточных членов 0(ж1-сй / ) асимптотических формул для ^ (х) и С(х) позволяют получить и новые результаты в проблеме делителей для квадратичного и т-кругового полей.

Теорема 4. Для квадратичного поля K = Д(%/ D) имеет место формула ^ 1 = xPk{\ogx) + 0x1_^fc_2/3(Clogx)2fc,

n(Ui-...-Ufc )<ж

где D —бесквадратное число, |D| < log2 x, Ui,...,Uk —целые дивизоры поля K = R(\/D), Pk —полином степени k—1, 1 < fc < log5^6x; |0| < 1, С > 0 —абсолютная константа;

для m-кругового поля K = R(Z) имеет место формула

J2 l = xPk{\ogx)+eixi-^^m^2/3{Ci\ogx)l^k,

n(Ui-...-Ufc)<®

где m — натуральное число, m < log x, Zm = 1, y(m) — функция Эйлера, Ui, .. ., Uk — целые дивизоры поля K = R(Z), Pk — полином степени k — 1, 1 < k ^ log5/6 x, |$i| < 1, Ci > 0 — абсолютная константа.

Доказательство. I. Доказательство первого утверждения теоремы 4 основано на том, что дзета-функция Дедекинда поля К = Д(%/"0) имеет вид Ck(s) = Z(s)L(s, х), где X — неглавный характер по модулю |D|. Беря в лемме А. А. Карацубы F(s) = Ck(s)Lk(s, х), А(у) = EN№....„.yfc)<y 1'Ь = 1 + ьЬ' е2 ^ Т ^ х и З^ьшая. что |A(y)| < n<y T2k(n), мы получаем первое утверждение теоремы 4 из теоремы 3 при замене m на k и k на 2k соответственно.

II. Известно, что дзета-функция Дедекинда m-кругового поля K = R(Z) имеет вид Zk(s) = Пd|m Пх* modd L(s,x*), где d пробегает все натуральные делители числа m, и, при заданном d, х* пробегает все примитивные характеры по модулю d. Так как число примитивных характеров по модулю d равно ^(¿)^>(d/£),

величина Е= Еd|m ^(m/d)EÄ|d м(^) = ^(ш) выРажает количество L-функций Дирихле, входящих в произведение для Ск(s). Кроме того, среди примитивных характеров имеется лишь один главный — характер х* по модулю 1, принимающий значение 1 для всех целых значений аргумента. Таким образом Ск(s) = Z(s)L2(s,x2) • ••• • -^(m^^X*^^ где X2,---,X*(m) —неглавные характеры по модулям | ш), ..., d^(m)(d^(m)|rn). Теперь, беря в лемме А. А. Карацубы F(s) = Ck(s) ■ L^xl) ..... Lkv(m)(8,x*v(m)), A(y) = En( ux.....uh)<y ^ & = 1 +

e2 < T < x и учитывая, что |A(y)| < En<y Tv(m)k(n)> мы получаем второе утверждение теоремы 4 из теоремы 3 при замене m на k и k на <^>(m)k соответственно.

Следует заметить, что классическая схема исследования сумматорной функции Ф(х) = n<x а„ коэффициентов ряда Дирихле f (s) = a„n-s опирается на фор-

мулу Перрона [2], при определенных условиях выражающую функцию Ф(х) через ин-

1 гЬ+iT f (s)xs j т-т о

теграл Jb-iT гГ— При доказательстве теоремы 3 существенную роль играла

формула A.A. Карацубы, связывающая f^ Ф(y)dy с интегралом ^ Jb-iT ^s(s+i) Нами получена новая формула такого типа. Именно, в [8] доказано следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть ряд f (s) = ^ а„ n-s абсолютно сходится при Res = а > 1, а„ = O(ne ), где е — произвольно малое действительное число, и при а ^ 1+ имеет место оценка^2 |an|n-CT = O((a — 1)-а ), а > 0. Тогда при любых b > bo > 1, T > 1, x = N + H > b имеет место формула

п<ж b

Литература

1. Пантелеева (Деза) Е. И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 4. С. 494—505.

2. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

3. Стечкин С. Б. О средних значениях модуля тригонометрической суммы // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1975. Т. 134. С. 283-309.

4. Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интергала И. М. Виноградова // Известия АН СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51, №2. С. 363-378.

5. Ivic A. The Riemann zeta-function. New Jork: J. Wiley & Sons, 1985.

6. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, №3. С. 475-483.

7. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // Доклады АН СССР. 1939. Т. 22, №7. C. 391-393.

8. Пантелеева (Деза) Е. И., Варухина Л. В. Об оценке сумматорных функций рядов Дирихле // Научные труды математического факультета МПГУ. Юбилейный сборник. М.: МПГУ, 2000.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.