Применение формулы А. Г. Постникова для оценки коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам Текст научной статьи по специальности «Математика»

62

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

чего требуется выполнение дополнительных арифметических условий разрешимости, указанных, в частности, в [6, 7]. В то же время существование для этой аддитивной проблемы функции V(n), аналогичной функции G(n) в проблеме Варинга, до сих пор не было установлено.

Данная статья посвящена доказательству утверждения о том, что для любого натурального n всякое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде слагаемых вида pn, где р — простое число, взятых в количестве к, и при этом выполняется оценка сверху типа к < V(n), где функция V(n) зависит только от показателя степени n.

Теорема. Для каждого натурального N существует число V(n) со свойствами: существует число c = c(n) с условием, что всякое целое N > c представляется в форме N = рП + ... + Р'П, где pi,...,pr простые, r < V(n).

Схема доказательства теоремы в основном соответствует рассуждениям И. М. Виноградова при оценке функции G(n) в проблеме Варинга в [8, гл. 4, с. 278]. Кроме того, используются условия разрешимости для системы уравнений варинговского типа в простых числах, указанные в докторской диссертации В.Н. Чубарикова [6, лемма 21, с. 98].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. 15, № 6-7. 291-294.

2. Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge, 1770. 204-205.

3. Hilbert D. Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen // Math. Ann. 1909. 67. 281-300.

4. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

5. Виноградов И.М. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел // Тр. Тбил. матем. ин-та. 1937. 3.

6. Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел: Докт. дис. М., 1985.

7. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О числе слагаемых в аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях // Актуальные проблемы: Тр. IV Междунар. конф. "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 10-15 сентября 2002. Тула: Изд-во ТГПУ, 5-38.

8. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 511.3

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ А. Г. ПОСТНИКОВА ДЛЯ ОЦЕНКИ КОРОТКИХ СУММ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СДВИНУТЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ

А. А. Копанева

В работе 1938 г. И. М. Виноградова [1] впервые была рассмотрена задача об оценке суммы символов Лежандра, распространенной на значения "сдвинутых" простых чисел, т.е. чисел х вида х = р + а, где р — простое число и (а,д) = 1. Здесь через ц обозначено простое число, являющееся модулем символа Лежандра.

В указанной работе была получена нетривиальная оценка таких сумм при условии, что верхняя граница N промежутка суммирования по р удовлетворяет неравенству N > N0 = д3+е, где е > 0 произвольно. В работе [2] И. М. Виноградов дал существенное усиление этого результата. Он распространил его на все характеры Дирихле по простому модулю ц и понизил величину порядка параметра N до значения

N = д0,75 + е .

В 1970 г. А. А. Карацуба в работе [3] еще более усилил результат работы [1], доказав его со значением

Щ = д0,5+е.

Если вместо простого модуля ц в данной задаче рассматривать модуль к, являющийся высокой степенью простого числа Q, то использование формулы А. Г. Постникова, выражающей значение характера Дирихле через тригонометрическую функцию от многочлена с рациональными коэффициентами, позволяет получить существенно более сильные результаты. В частности, при фиксированном значении Q и

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

63

растущем к можно установить нетривиальную оценку суммы характеров по "сдвинутым" простым числам даже в случае, когда промежуток суммирования N имеет порядок к£ для любого сколь угодно малого положительного е.

Доказательству этого результата и посвящена данная статья. Здесь доказывается следующее утверждение.

Теорема. Пусть фиксированное Q — простое число больше 2, к — натуральное число вида Цп, где п натуральное и к ^ ж; х(г) — характер Дирихле по модулю к; а — натуральное число с условием (а= 1. Тогда имеет место оценка

S = £ х(у + а)Л(у) « N1-св2,

где в = -у^г- и Л(у) есть функция Мангольдта.

Доказательство теоремы основано на применении леммы А. Г. Постникова.

Лемма 1. Пусть к = Qn, Q > 3 — простое число, в и т — натуральные числа, причем в < п — 1, п — в < вт < п + в — 1, шё V — индекс числа V по модулю к. Тогда

пк1(1 + Я°и) ^ и + 1 (д*и)2 + _ _ _ + 1ат(д^Г(т0(1 дп-1) Q — 1 2 т

где = (а2= ... = (ат^) = 1 и число v-1(modQn-1) определяется из сравнения

vv-l = 1(тоё Qn-1).

Доказательство леммы см. в [3, с. 156, задача 7].

Нам потребуется также известная лемма Р. Вона, являющаяся одной из модификаций метода сглаживания И. М. Виноградова.

Лемма 2. Пусть 1 < и < N. Тогда для любой комплекснозначной функции /(у) справедливо тождество

£ л(у)/(у) = ^ м £ (!<* I)/№ — £ т^2А(у) £ /(уаг>

п<п^М й^п й^п у^п г^М (йу)-1

-

£ E^d) £ Л(у)f (ym).

п<т^.Мп 1 \ й\т / п<у^Мт 1 й^п

Доказательство см. в [3, с. 60, задача 9].

Применим лемму 2 к сумме 5, указанной в формулировке теоремы. Для этого в лемме 2 положим и = По,4. Тогда, учитывая, что ^ Х(у) « и, получим

у<п

г0,4\ С 1 I с I с I /О/лгО^

Х(У + а)л(У)+°(^ ~

п<у^М

где

S = Е х(у + а)Л(у) + O(N°'4)= S - 1 + S2 + S3 + O(N0'4),

Si = £КУ) £ (logl)x(ld + a), S2 = №)^Л(у) E хЫг + a),

d^u l^Nd-1 d^u y^u r^N (dy)-1

S3 = £ f £Md)j £ Л(у)х(ут + a).

u<m^Nu-1 \ d\m / u<y^Nm-1 d^u

Заметим, что кратные суммы Si и S2 содержат "длинный" сплошной промежуток суммирования по переменным l, r. Более точно — длина N » L » NU-1 = N0'6, а N » r » Nu-2 = №'2.

Применение леммы 2 для указанных оценок сумм характеров позволяет получить оценки вида

Е (log l)x(ld + a) < Nd-1 ■ N-С1в*, E хЫг + a) < N((1у)-1 ■ N-c2°2,

l^Nd-1 r^N (dy)-1

где C\,C2 >0 — некоторые постоянные, в = ^^г-

Рассуждения при выводе этих оценок аналогичны использованным при решении вопроса 8 из [3, с. 156].

Оценку суммы 53 также можно свести к оценке сплошных сумм, но для этого необходимо выполнить процедуру "сглаживания".

Положим Ьт = ц(&). Тогда \Ь(т)\ < т(ш) и 53 = ^ Ь(т) ^ Л(у)х(ут + а). Внешнее

d\m d<u

u<m^Nu-1 u<y^Nm-1

суммирование по т разобьем на « 1п N промежутков вида (Л,А\), где и < А < А\ < 2А < N4 1. Тогда 5з « 1п N ■ 54, где

A<m<A;L A<m<A;L

£ My)x(ym + a)

A<y^A1

<

< A ln3 N Y^ £ HyiMvim + a) ■ ^ Л(у2)x(y2m + a)

A<m^A1 u<y1^Nm-1 u<y2^Nm-1

= A ln3 N Y. E

E

x

«<yi<JVA-i «<jö<JVA-I A<m<miJJü- JV. ¿Л

' У.У1 У2 )

y1m + a y2m + a

Оценка внутренней суммы по т в последней тройной сумме проводится по схеме решения вопроса 9 из [3, с. 156], в результате чего при у1 = у2 получается оценка вида

V =

Е

x

А<т^ minf

~ \У1 ' У2 )

y1m + a У2т + a

«тт^Д^Л-ДГ-^2 \yi y2 J

где Сз > 0 — некоторая постоянная.

Если же у 1 =2/2) то имеет место тривиальная оценка вида V <С Таким образом, приходим к оценке

\u<y1^NA-1 u<y1^NA~1 u<y2^NA-1 V

Далее заметим, что у\ < у2 < А < ^ и А < Следовательно, min = А. Отсюда

имеем

\54 \ « А 1п3 N ■ NA-2 + А2 1п3 N ■ N-С30 ■ N2 А-2 « N2-С30 1п3 N.

Суммируя последнее равенство по всем промежуткам изменения параметра у вида (А,А1], получим оценку \53\2 « N2-С3021п4 N, откуда при некотором с4 > 0 имеем \5з\ « N1-с402.

Подставляя приведенные ранее оценки линейных сумм по переменным I и г в суммы 51 и 52, окончательно имеем 2

\ 5 \ «\ 51 \ + \ 52 \ + \ 53 \ «N1-С0,

где с > 0 — некоторая постоянная. Теорема доказана.

Остается заметить, что из утверждения теоремы с помощью стандартного применения преобразования Абеля вытекает аналогичная оценка для суммы характеров 5о вида 5о = ^ Х(Р + а), где р пробегает все значения простых чисел из промежутка [2,^.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р + к) по простому модулю // Матем. сб. Нов. сер. 1938. 3, вып. 2. 311-319.

2. Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. 30, № 3. 481-496.

2

3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 519.716+510.644

О РАНГЕ НЕЯВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НАД ОДНИМ КЛАССОМ ФУНКЦИЙ

ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Е. В. Михайлец

Понятие неявной выразимости функций k-значной логики введено А. В. Кузнецовым как одно из обобщений понятия выразимости функций суперпозициями [1].

Пусть A — произвольная система функций k-значной логики, A С Pk. Системой неявных уравнений над системой функций A будем называть всякую систему уравнений вида

{Ф1(Х1, ..., xn, у) = ^i(xi,..., xn, у),

Фд (xi, ..., Хп, у) = Фд (Х1,...,Хп, у),

где Ф^..., Фд , Ф^..., Фд — некоторые формулы над системой функций A.

Говорят, что функция f (xi,..., xn) k-значной логики неявно выразима над системой функций A, если существует система неявных уравнений над A указанного вида, имеющая при любых фиксированных значениях xi,. ..,xn единственное решение у = f (xi,..., xn). При этом соответствующую систему уравнений называют неявным представлением функции f (xi,... ,xn) над A.

Множество всех функций f, f £ Pk, неявно выразимых над системой функций A, называется неявным расширением системы A и обозначается через I (A) [2]. Благодаря очевидному соотношению I (A) = I ([A]) при исследовании неявных расширений можно ограничиться рассмотрением только замкнутых относительно суперпозиции классов функций k-значной логики.

Если любая функция k-значной логики неявно выразима над A, т.е. I (A) = Pk, то систему функций A называют неявно полной в Pk.

Помимо неявных расширений большой интерес для исследования представляют метрические характеристики неявных представлений.

Рассмотрим произвольную функцию f из неявного расширения некоторой системы A функций k-значной логики, f £ I(A). Назовем рангом функции f над системой A и будем обозначать через m\(f) наименьшее число уравнений, достаточное для построения неявного представления f над A.

Далее, вводится функция Шеннона m\(n) = maxm\(f), называемая ранговой функцией системы A (максимум берется по всем функциям k-значной логики, принадлежащим неявному расширению системы A и существенно зависящим не более чем от n переменных).

О. М. Касим-Заде в работе [2] исследовал поведение ранговой функции m"A(n) для всех замкнутых классов A булевых функций. Из результатов работы [2] следует, что максимальный порядок роста функции m\(n) достигается на классах D2 и Ff, где i = 2, 3, 6, 7 и к = 2, 3,...,ж, и составляет Q(n log n). Для любого неявно полного замкнутого класса A в P2 порядок роста ранговой функции m"A(n) составляет @(n).

Автором было исследовано поведение ранговых функций для некоторых неявно полных классов функций в Pk. Выяснилось, что для широкого диапазона неявно полных систем функций k-значной логики ранговые функции имеют линейный порядок роста Q(n). В частности, для классов функций, монотонных относительно произвольного частичного порядка, заданного на множестве Ek, Ek = {0,1,... ,k — 1}, и содержащего хотя бы одну пару сравнимых элементов, выражение для ранговой функции определяется следующей теоремой.

Теорема 1 [3]. Пусть k > 2 и на множестве Ek задан частичный порядок Ш, содержащий хотя бы одну пару сравнимых элементов. Пусть A — класс всех функций в Pk, монотонных относительно