Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W2m+1H1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оценка приближения операторами Баскакова функций

класса W2m+1H1

Дубровина Т.В. (Dubrovina [email protected])

Читинский Государственный Университет

В данной статье будут продолжены исследования тригонометрических операторов

вида

m 1 m 2 к т

МIV-к) 2 m-1 П ,sin2ir п sin2 2 M[nK 1 m ш x)=-^- I f(t + x)---— dt, (1)

n тт -п 2 t m I 2пк.

sin 2 П

2 i = 1

cos t _ cos--

n

У

1<к1<к2<...<кш, 2кт<п, которые являются частным случаем метода суммирования рядов Фурье.

В [1] В.А.Баскаков нашел вид множителей суммирования для операторов (1):

m 2к т

П ( / _ 1) 2к т

Д..,km)_1 i + 1 1 / = 1,/ n ~ . sin

i,n n n j = 1 m I 2кт 2к тЛ 2к т '

j = 1 m

п

cos—/--cos——

nn

У

sin

n

I=1,1

Конструкция (1) была получена несколько ранее в работе [2]. Здесь мы используем обозначения, введенные в этой статье.

В [1] (это было отмечено и в [2]) доказано, что порядок насыщения при приближении

(К кт)

1 m _2m_1

операторами M^ '"'' равен n . Величины

имеют

м<*.....>( ((), X )-/ (х )

такой порядок, если /(() имеет производную порядка 2т +1, при этом / (2т+1)е Ьр1

(более гладкие функции приближаются операторами Баскакова с тем же порядком). Заметим, что приближение операторами Баскакова функций, менее гладких, чем функций класса

Ж 2т+1Н1 , исследовалось в ряде работ, например, Е.С.Коган [3], Н.А. Забелиной [4]

(К к )

1 ^^

Для оценок приближения операторами М^ '"'' функций, принадлежащих

классам насыщения, может быть использовано следующее утверждение.

Теорема 1. Если при данном х дифференцируемая на (х-п, х+п)функция /(I) такова, что функции

f ( х +1) d и

Sin

,2m + 2 t_ dt 2

f Л

f (х + _)

sin2m + 2 _

2;

ограничены, то k km)

M "I'--''"m' (f(t),x)= n2m -1 П k2]f (X + _) + f (X " _)dt • n- 2m -1 ■ " 2m - 1

^ 4 i = 1 i 0 sin2m + 2 _

2

+ o(n" 2m~

Доказательство.

2(k + 1)n

Введем обозначение 8 =-m-. Очевидно что

n

n

(k k ) мп m (f(t)X)-

л m 0 k ж 2m -1 П sin2 i

i = 1

n n

nn

J (f (X +1) + f (х -1)) 0

• 2 nt sin

2

2 t m 2кж

sin — П (cos t - cos——)

n

dt

2 i = 1

Обозначим (p(t) = f ( x +1) + f ( x -1). В силу условий теоремы, функции

((t) d и

sin

. 2m + 2 t dt 2

f Л

((t) sin2m + 2 t

2;

ограничены.

Так как

(k к ) м m

n

равномерно по n ограничены, имеем

, m п. к ж 2m - 1 П sin2-^ / ч • 2 nt (k1 к ) 2 ,111 sin n п ((t)sm2 — 2 i

мп m (f(t),x)= -í=!- J -+ o(n- 2m -1) (2)

n m с- o t m 2k ж

о л ^ ...

8n sin — П (cos t - cos——) 2 i = 1 n

Множитель перед интегралом

™ i m 0 k ж 2 -1 П sin2 i

i = 1 n_ = 2m -1 Пk2 • n-2m -1 + o(n- 2m -1) = ц + o(n- 2m -1)

тт ■ , i n

i = 1

Рассмотрим отдельно интеграл, фигурирующий в (2).

Преобразуем стоящую под знаком интеграла дробь 1

т 2к .ж

П (cos I - cos——) г = 1 п

2к.ж

Обозначим А=ео81-1, а =1-cos—г—.

п

2к .ж

г . 1 1

Тогда ео8Х- cos-=А+а., и ---г- = —

п г т I 2жк. \ т

П

= 1

cos I - cos--

п

П И+а

г = 1 '

При этом заметим, что а. зависят от п и при любом г а. = п 2 Преобразуем

.. .. Ат 1(а +... + а ) + Ат 2(аа +... + а а ) +... + аа •...•а

1 1 4 1 т' 4 1 2 т -1 т' 1 т

Ат т т т

А П (А + а) Ат П (А + а)

г = 1 г = 1

„ .т - 1 „ .

В числителе при А стоит сумма всех возможных произведений . различных

сомножителей а..

г

Получим

1 1 а +... + а аа+...+а к аа •... •а

1 1 _ 1 т + 1 2_т -1 т + + 12 т

т т т т т

А П (А + а) А П (А + а) А2 П (А + а) Ат П (А + а)

= 1 = 1 -1 = 1

Л"1

= А~т - Z,„

/ т

Сокращая, запишем I (А + а' )

V г=1 J

Величину Zn можно представить в виде суммы

а+... + а аа+... + а к аа •... •а т

Z = _т + 1 2_т -1 т + + 1 2_т = ^ z

п т ( \ 2 т / \ т / \ _1 1, п'

А П (А + а) А2 П (А + а) Ат П (А + а) 1 =

= 1 = 1 = 1

Числитель дроби Z . представляет собой сумму С1 слагаемых, а каждое слагаемое

произведение 1 сомножителей из множества Учитывая, что

КЬ г

ík k ) ж (A )sin2 —dt

M< 1.....kmУtj(t),x)=/ 1—-2-+ J\n_ 2m _ 1|, (3)

n V V A / r*n s 2 t m Í 1 1 w

ón sin2- П (A +a 2 i = 1

при этом /un = O\n 2m 1 ) , рассмотрим отдельно интеграл, фигурирующий в (3). Получаем

т ((t)sin2 —dt т ((t)sin2 —dt т Z ((t)sin2 —dt

I ---= í ----I —n--— •

5nsin2^^ П A) 5n sin2tAm sn sin22 2 i = 1

Преобразуем отдельно каждое слагаемое.

т ((t)sin2 ndt (_ 1)m т (ptf )sin2 П | -2— = | -dt,

S sin2 ^Am 2m S sin2m +2 L n 2 n 2

т Z(tt)sin2 ntdt m т Z í n(t)sin2 n2tdt m т ((t)sin2 Ц-Л

I 2 _ ^^ I J i Z* _ ^^ ^ I 2

l -2 t • _ i с -2 t • _ i i J o t ■ m í \'

Sn sin 2 — = 1Sn sin 2 J = 1 Sn sin2 • AJ п (a + a)

2 i = 1

где a . í aí2) • ••• 'a-í ■ s\, сумма берется по всем возможным сочетаниям j элементов J ^J /[2J i[jJ

из множества

{ }= i-

По теореме о среднем

п ^(í)sin2 —dt - п

Jj =°J í-^-: = A(^)sin2^r í

dt

5n sin2-AJ П (a + a^) J 2 5 sin2 -2 A 1

2 i = 1

Г некоторое число (зависит от n ) из отрезка 5n, п]. В силу условия

Д(() =--= 0(1) (равномерно по t), далее, и j = 0|f n 2 J j,

A П (a +a ) i=1

п_d_— = OÍ n 2J -1

5 sin2 - (cos t -1)J 1 Í n 2

Отсюда, Jj = o(1) при любом j .

Учитывая (3) и то, что /и = O\ n 2m 1 |, получим

( 1)m ж ((()sin2 ^ dt

M„(f(())J 2

2m ' n8 sin2m + 2 t n2

+ o\ n

- 2m - 1

Преобразуем фигурирующий в (4) интеграл

((()sin2 — dt 1

ж

2

ж

=т J

((()t 1 П ((t)cosntdt

-J

= L +1„ .

8 sin2m + 21 2 8 sin2m + 21 2 8 sin2m + 21 1 2 n 2 n 2 n 2

f

2 = П (()cosntdt - 212 = J

e • 2m + 2 t o sin — sin

n2

((() -1 • n -1 П ■ d -—--n sin nt\r - n J sin nt--

2m + 21 8n o dt

2 n

((t (

. 2m + 2 t

sin

d .

2;

В силу условий теоремы 1, получаем 1 ^ = o(1) .

Итак, учитывая, что / = 2 ж

m -1 2m -1 m ,2 - 2m -1

П k.n i i i = 1

из (4) получаем,

M (((), x) = í-1)m/ 11 + of n- 2m -1 nv v " y 2 m n 1 1

= HTn2m -1 П k2 f .n- 2m -1 + „L- 2m -1

4 i = 1 ' 88 sin2^ + 21 ^

n2

Теорема 1 доказана.

Следствие. Для целого p>m

M(V,km ) (fi0)= (-T^m -1 П k2]_J^t.n - 2m -1 + o^- 2m -1).

n 2 i = 1 i 0sin2m + 21 ^ }

2

Доказательство.

Применим теорему, доказанную выше. В данном случае f (t) = t2P, х = 0. Тогда ((t) = 2t2P .

^ / (х + г) ё Проверим условия ограниченности-— и —

sin

( Л

/ (х + г)

,2т + 2 г

надо проверить ограниченность

г2 р

г

2 2 р

sin

. В данном случае

и

^2т + 2 г sin2m + 2 г 22

2у

при г е

Первая из приведенных функций, очевидно, ограничена при р > т (в этом случае 2р > 2т + 2).

Вторую достаточно рассмотреть при р = т +1.

Имеем в этом случае

ёг

г2 Р

\

. 2 р г

Sin ^ —

2 |

2 рг

2 р -1 . 2 р г 2 р . 2 р -1 г г ^ sin ^ — рг ^ sin ^ — •cos— _2 _2 2

. 4 р г

Sin ^ — 2

2р

гг 2sin — г cos— 22

( г\2р -1 1 - cos г

Sin — 2

г

V У

Первый сомножитель, очевидно, ограничен. Ко второму сомножителю, применяя правило Лопиталя, можно убедиться, что его предел при г ^ 0 равен нулю.

Отсюда следует ограниченность

ёг

( \ г2 р

. 2 р г

Sin ^ —

Следствие доказано.

Для оценки Мп 1 т ^ г2р ,0 | при р < т теорему, приведенную выше

использовать нельзя, так как, очевидно, ее условия в этом случае не выполняются.

Обозначим В)= X от-^] sin21 —, где аЧр] подобраны так, чтобы для р г = 1 1 2 1

. = 1,2,...,2т выполнялось

В |т] (г) (1^

р

V ^ У

= ( г2 р

г = 0

г = 0

[0, 1 * 2р, [(2р)!, 1 = 2р.

Если такой тригонометрический полином В>р ^А) найден то, так как при г = 1,...,

т

К,...,к \(

М^^тsin21— ,01 = 0, имеем М^^^г2р,01= М?1'""^у| г2р - в),0 \.

п V 2 I п V I п рч/' I

2

2 р I т I

Условия теоремы для /(^) = ^ и - Вр 1 (^), х = 0 выполняются. Поэтому (при

p < m )

M

n

k , к V 2 p \ (_ 1)m _ 1 m 2P _5mJ(t)

1 mJít2p,0 UÍ-Í^i^_1 п k2 f-P-

2 i = 1 i 0 sin2m + 2 t

2

_ 2m _ 1 . í _ 2m _ 1 dt • n + o| n

1Р1

Для нахождения а: можно предложить следующий алгоритм:

1) так как при j < 2p , q > p \ t

•2 p

t = 0

=\si„2q 21

= 0, то можно

t = 0

л

положить а: = 0 при I < р ;

2) [pJ й [pJí-2pt2pУ (2 ч. \ . 2p

2) ap найдем из условия ap JI sin ^ I = (2p)', так как I sin ^

так как | sin^ ^] ^ 0 это 2 |

уравнение относительно ар разрешимо;

3) если p = m, то Вp ^ (t) тем самым найден, если это не так (то есть p < m), то

продолжим находить ai ;

I р I

4) если для некоторого целого г > 0, такого, что р + г < т найдены а: при

i = p, p +1,..., p + г,

то

a

p

p + r +1

находим

из условия

p +1 [p]f • 2i t X a\ J\ sin —

i = p i 1 2

2 p + 2r + 2

= 0, так как все фигурирующие в уравнении

t = 0

[. р I Р

значения производных отличны от нуля, а все а: , кроме ар + ^ +1, уже

определены, то задача разрешима;

5) если р + г +1 = т, то В1 ^ (^) найден, если это не так, то продолжаем поиск а.^ ,

р :

согласно 4).

Пусть f(t) е W2m+1H1, xe Л.

„л т11 (г)( х), ч1 | М (г - х)2т +2

Обозначим <(г) = /(г) - /(х)- г X 7 ^ (г - х) , тогда <(г)| < ^2т + 2)!—,

следовательно <(г) удовлетворяет условию теоремы 1.

Теорема 2. Если /(г)е Ж2т+1И1м, то для <(г) определенного выше, выполняется равенство:

(к1,...,кт)

Мп ^ т (<(г),х)=

= ИТ ж2т -1 П к2]<( х +г) + <( х - г )ёг • п - 2т -1 + о(п - 2т -1).

4 г = 1 г 0 sin2m +2 г

2

Доказательство.

Доказательство сводится к применению теоремы 1.

Пусть /(г) е С2п принадлежит классу Ж2т+1И1т . Для фиксированного х обозначим

2m +1 f \i J(X) ((t)= f (t)- f (х)- = L-M(t - x)' .

i = 1 i!

Тогда

k ,...k | ,...k I m ff2pJ(X) Ik ,...k |f 2p N

Mn 1 m f), х)-f (х) = Mn 1 m J(((t), х)+ 2= L"72 )j)Mn 1 m J[t2p ,01.

р = 1 (2 р )!

Из равенств

г (2 р) =1 (р)

m f (2 P )(х) / \

M?^)/ (t), X )- f (х)-E )t2 p ,0)

p=

(-1)"П kf J((X + t) + - t)dt . n+ o(n)

i=1 0 „:_2m+2 t

4 . . 0

sin — 2

и ((x +1) + ((x -1)| < M (2 2 2)! t2m + 2 получим оценку

/7 7 4 m mm n2i - вLmJ(t) „ ,

M 1... m >( f (t), X) - f (х) - E f-X .tV—.n2™ -1 П k2 J-l—Jt. n-2m -1

F n 1 m iE1 (2i)! 2 /= 1 j 0 sin2m + 2 t_

m

i = 1 2 j = 1^0 sin2m +2

2

<

M 1 _2m -1 П.2 П t2m + 2_ ^ - 2m -1 , o(n - 2m -1

t

2

<——--1 Пkj -J—^-— dtn x+ o(n "" x)

(2m +2)! 2 j = 1 0sin2ffl + 2 '

Литература

1. Баскаков В.А. Об операторах класса Б2т , построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории приближений - Тверь: ТвГУ, 2001.- С. 5-11.

2. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова// Методы математического моделирования и информационные технологии - Петрозаводск, вып. 2.- 2000.- С. 87-103.

3. Коган Е. С. О некоторых точных константах в оценке приближения операторами

МП^к) функций класса Ь¡рм 1 //Методы математического моделирования и информационные технологии. //Труды института прикладных математических исследований. Выпуск 3. - Петрозаводск, 2002. - С.67 - 77.

2 1

4. Забелина Н. А. Оценка приближения функций класса тригонометрическими операторами Баскакова М^1'"'кт) //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 29. - Чита: ЧитГТУ, 2003. - С. 150 - 152.