ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ЛОГИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДЕМОДУЛЯТОРА F1B Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Н. Г. Бикчинтаева

Инженер 2 категории ПАО «Интелтех»

О. В. Орлова

Инженер 1 категории ПАО «Интелтех»

ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ЛОГИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДЕМОДУЛЯТОРА F1B

АННОТАЦИЯ. В предыдущей статье авторов был подробно рассмотрен алгоритм обработки цифрового сигнала класса F1B (с характеристиками:/—частота сигнала, b — скорость передачи), а также приведены примеры с конкретными тестами и оценкой вычислительной сложность алгоритма. Однако, при этом остался открытым вопрос обеспечения помехоустойчивости. Теоретическая ее оценка предлагается в данной работе.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: помехоустойчивость, цифровой демодулятор, вероятность ошибки, оптимальный приемник.

Введение

Оценить помехоустойчивость конкретного рабочего алгоритма сравнительно с потенциальной помехоустойчивостью — задача нетривиальная, но решаемая.

Рассмотрим аддитивную помеху типа «белый шум», имеющую нормальный закон распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией о = 1. Это самый интересный случай с точки зрения практического приложения. Информация — двоичные символы с равной априорной вероятностью.

Для иллюстрации постановки задачи представим схему алгоритма отдельными вычислительными блоками. На рис. 1 показано, что оценка значения информационного бита производится в два этапа, изображенных отдельными блоками, между которыми существует обратная связь.

Нарис. 1 представлены:

— промежуточные решения об оценке символов на г'-ых отсчетах квадратуры; если = 1,51[г] = 1; если = 0, 50[г] = 1;

Рис. 1. СхемалогическогоалгоритмадемодулятораР1В

\s i=X si[ i ]; 0 X s 0[í ];

(1)

51, 50 — суммы промежуточных решений;

«1» или «0» — окончательные решения об оценке символа на интервале 1 бита выносятся по факту превышения суммой 51 или 50 величины В/2, где В — число отсчетов квадратуры на длительности одного бита;

рог — порог, используемый в логическом алгоритме для оценки знака отсчета действительной части квадратуры и знака производной мнимой части квадратуры;

ц — приращение порога.

Задача расчета вероятности ошибки для логического алгоритма включает в себя:

1) оценку вероятности ошибкир[г] на отдельном отсчете;

2) оценку средней вероятности шибки р при предварительном решении;

3) оценку влияния величины порога и эффекта усреднения отсчетов квадратур на интервале п отсчетов на среднюю вероятность ошибки при предварительном решении;

4) оценку вероятности ошибки при окончательном решении задачи, при известной р.

1. Вероятность ошибки промежуточной оценки

1.1. Определениевероятностиошибки на каждом отсчете

На первом этапе решение о значении символа 5[г] выносится по каждому отсчету квадратуры:

5[г] = 1, если {[Асов(2я//Л) + N > 0] © ([Ляп' (2т/Ы) + ^0]> 0)} = 0,

5[г] = 0, если {[Лсо&{2т/Щ + 0] © ([Ляп' (2т/И) + ^0]> 0)} = 1.

Здесь: © — исключающее «или» (сложение по тоА2).

5[г] — предварительное решение о значении символа на г'-ом отсчете;

Лсо8(2га/^) — действительная часть отсчета квадратуры;

Лът!{2т/Щ — производная мнимой части отсчета квадратуры;

N — число отсчетов квадратуры за 1 период частоты сигнала^ при частоте дискретизации

^о2— средняя мощность шума.

Амплитуды меняются по гармоническому закону, соответственно, вероятности тоже будут

меняться с изменением амплитуды. Вероятность ошибки р[г] на отдельном отсчете при фиксированном отношении сигнал/шум изменяется от минимального значения при максимальной амплитуде до максимального в точках нулевой амплитуды, кратных %. Период функции, описывающей вероятность ошибки %, в дискретном времени — N/2, а ее вид представлен на рис. 2.

P[t ] =

1

y¡2%

2v¿

Для производной мнимой части квадратуры вид графика имеет такой же вид.

На каждом отсчете функцияр[г] определяется по таблице значений интеграла Лапласа, которые табулированы.

Используя порог, мы исключаем из анализа самые неблагополучные участки на протяжении периода частоты сигнала, там, где вероятность ошибки максимальна.

График зависимости вероятности ошибки для каждого отсчета за полупериод представлен нарис. 3.

Когда мы имеем дело с квадратурами, то шум, также как и сигнал, представлен своими проекциями в ортогональных системах координат.

В реальном алгоритме оценка вычисляется еще проще:

Пусть A\=Acos{2m/N) + тогда производную заменим приращением за один отсчет квадратуры:

Л2 = A sin (2m/N)+ Л3 = A sin (2n(í+l)/N)+ Ni A = l— для теоретической оценки амплитуды нормированы к «1»;

S[i] =

1, если {(Л1 >рог) и (ЛЗ-Л2)>О}, или {( Л1 <-рог ) и (ЛЗ -А 2 )<0|, 0, если {(Л1 <-рог) и (ЛЗ -Л2)>0}, {(Л1 > рог) и (ЛЗ - Л2)< О}.

(3)

или

Входная последовательность отсчетов квадратур усредняется на интервале п отсчетов. Это позволяет не только уменьшить число анализируемых величин, но приводит к уменьшению дисперсии шума в и раз. Величина отсчета с шумом по вероятности сходится к исходному значению по теореме Чебышева (закон больших чисел).

График плотности нормального распределения

в)

График зависимости вероятности ошибки при предварительной оценке на /-том отсчете квадратуры

1

0,8

0,6

0,4

0,2 _0

Л//2 ->

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Рис. 2. а — плотность распределения случайных величин — отсчетов квадратуры с шумом; б — результат сложения отсчетов квадратуры и шума со средней мощностью N0, имеющего гауссовское распределение; в —рЩ — вероятность превышения случайной величиной Асо8(2%1/К) + N0 нулевого порога на промежутке N/2— половины периода, что соответствует ж.

График зависимости вероятности ошибки р[/] на /-том отсчете рог = 0.2,0.5,0.9

1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 N/2

Рис. 3. Вид функции/>[/] при использовании порога por

Pa i =

Ф

2га cos I-п

bfr I N

ст

при i = 0,1, ...arccos(por) i = N/2 - argcos(por), Nj 2,

|2argcos(por) отсчетов}. por

Ф

(4)

при i = arccos(por)...Nj2-argcos(por),

Гп por

CT

N

— - 2argcos(por) | отсчетов

где: рог — порог; и — число отсчетов на котором производится усреднение принятых отсчетов действительной (и мнимой) частей квадратуры; h — отношение амплитуд сигнал/шум; i — теку-

x

щии индекс отсчетов; Ф[ х] = 0,5 -J P[t ]dt]

P[t ] =

\[2%

■ e

2az

После усреднения полученных отсчетов квадратур на интервале п текущий индекс меняется через каждые п отсчетов.

При использовании порога вероятности ошибки на каждом отсчете меняются, когда ам-

плитуда отсчета больше порога. Пока она меньше порога, то вероятность ошибки на отсчете I постоянна и задается величиной порога.

Приращение мнимой части отсчетов квадратуры (ЛЪ—АТ) — величина случайная, меняется на протяжении периода частоты сигнала от минимального значения при л/2 + %к до максимального при 0 + %к. Соответственно, вероятность ошибки будет изменяться, как и для действительной части квадратуры, с максимумами и минимумами в тех же точках. Разница в том, что минимальные вероятности больше, чем для действительной части, т. к. амплитуды приращения меньше, чем амплитуды действительной части.

г( A3- A 2)

Ф

h4n

2ni +1 ) . (2ni

sin|-n I-sinI-n

N > I N

|2argcos(por)

ст

отсчетов

при i = 0,1,... arcsin(por) i = Nj2 - argsin(por), Nj2,

Ф

i- (por) - sin (arcsin (por -1)) sjn-

N - 2argsin(por) | отсчетов

(5)

при i = arccos(por). „ Nj2 - arg cos(por),

Составим полную группу событий: Пусть пришел «0» (для «1» — симметрично, т. к. символы равновероятны и вероятность получения «0» и «1» равна ХА\ Р(0) = Р(1) = Vi

Р(0){Р[(Л1 >por) И (Л3-Л2)<0)] ИЛИ Р[(Л1< < por) И (Л3-Л2)>0)] ИЛИ ИЛИ Р[(Л 1 > por) И (Л3-Л2) > 0] ИЛИ Р[(Л1 < por) И (Л3-Л2) < 0]}= 1/2 (6)

Здесь подчеркнуты вероятности событий, приводящих к ошибочному решению, которое можно рассчитать с вероятностью:

Р(0){Р(Л1 > por) Р[(ЛЗ -Л2)>0] + + Р(Л1 < por) Р[(ЛЗ-Л2)<0]}. (7)

Для нормального закона распределения:

Р(0){(1 - Ф[Л1])(1 - Ф[ЛЗ-Л2]) + + Ф[Л1]Ф[ЛЗ -Л2]}= 1/2{Ф[Л1] + + Ф[ЛЗ-Л2] - 2Ф[Л1]Ф[Л3 -Л2]}.

Здесь:

Ф[ х] = 0,5 -{ P[t ]dt]

(8)

P[t ] =

■ e

r

2a2

От скорости передачи средние вероятности ошибки при предварительном решении не зависят.

2. Вероятность ошибки окончательных оценок символов

2.1. Законраспределения вероятностей ошибки при окончательной оценке

На втором этапе алгоритма решение о переданном символе выносится по выборке В промежуточных оценок.

Событие, состоящее в ошибочном решении, описывается дискретным законом распределения вероятностей.

Выборка т предварительных решений при вероятности ошибки предварительного решения р — содержиткошибочныхсвероятностьюР(т,к)

к!

Р(т, к) =

(т - п)\к!

• pkqn-k.

(10)

где: q = 1 - р, т — величина выборки, к — число отсчетов, приводящих к искомому результату с некоторой вероятностью.

Выборка т содержит не менее к ошибочных отсчетов с вероятностью

1.2 Оценка средней вероятности ошибки при предварительномрешении

Определим среднее значение вероятности ошибки на интервале, равном периоду частоты сигнала:

р = и/2ИX {Ф[Л1]+Ф[ЛЗ-Л2] -

-2Ф[Л1]Ф[Л1]Ф[ЛЗ-Л2]} (9)

На рис. 4 представлены графики функций, рассчитанных по формуле (7)

Результаты расчетов показывают, что вероятности ошибки при предварительном решении зависят от величины порога, от частоты сигнала, от интервала усреднения отсчетов п.

При низких частотах сигнала приращение мнимых составляющих значительно меньше, чем при высоких частотах. Однако, при низких частотах усреднять отсчеты можно на большем интервале времени. Так, для Р1500(150) усреднение производилось на 16 отсчетах (12 отсчетов напериод), а для Р1200(50) — на 40 отсчетах (24 отсчета на период), вероятности ошибки ниже.

р=1 -х( )Рk (1 - Р)

—\т -к

(11)

где:

k=0

C ) =

т!

(т - к)\к!

Вероятность того, что предварительное решение 5[г] = 1 при условии, что передан «0», ИЛИ 5[г] = 0 при условии, что передана «1»:

^лад = 1) =Р1Р№1\ = о)= р, (и)

где р — средняя вероятность ошибки при предварительном оценивании, которая была вычислена в прошлом разделе;

В — число отсчетов на один информационный бит. Для вынесения окончательной оценки рассматривается т = В отсчетов. Рели число к = 51 отсчетов превышает значение 51 > В/2, а передавался «0», ИЛИ 50 > В/2 а передавалась «1», то окончательная оценка будет ошибочной.

2.2 Расчет вероятности ошибки

В п. 2.1 показано, что выбор окончательной оценки соответствует задачам, которые описываются биноминальным законом распределения.

a)

Графики зависимости средней вероятности ошибки от отношения сигнал/шум при предварительном решении Р1В1000(50) — красный, Р1В100(100) — синий, П В200(50) - жёлтый, рог = 0,5

б)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 h

Графики зависимости средней вероятностей ошибки от отношения сигнал/шум при предварительном решении при различных величинах порога р ПВ200(50) рог = 0,2 — жёлтый, рог = 0,9 — синий

0,6

F1 В200(50), рог = 0,2-

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 h

Рис. 4. Результаты расчета средней вероятности ошибки при предварительном решении для различныхчастотах, интервалахусреднения и скоростяхпередачи (а), для различных значений порогов (б)

Если передан «О», то полная группа событий описывается следующим образом:

Р(0) P(S0 < В/2) + Р(0) P(S1 > Б/2) + + P(l) P(S0 > В/2) + P(l) P(S0 > В/2) = 1,

P(Sl>B/2) = l-P(SKB/2) (12)

Вероятность ошибки P{S 1 > В/2) в этом случае можно рассчитать по формуле:

В/ 2 п

Р (51 > В/2) = 1 - X (cin)pk(1 - Р)в/^к, (13) k=0

где:

К У

т!

(т - к)\к!

р средння вероятность ошибки при предварительном оценивании.

Кривые, построенные по результатам расчетов приведены на рис. 7. Расчет по формуле (13) при использования прореживания не представляет сложности, позволяет применение реку-рентных выражений:

Р ( т, к ) =

к!

(т - к)! к!

ркдп-к =

, лт - к +1

= Р (т, к -1)-р.

У дк

(14)

Иллюстрация этих расчетов приведена на графикахрис. 5

3. Статистическая проверка расчетных значений вероятности ошибки

Для проверки корректности выбранного алгоритма расчета вероятности ошибки было

проведено статистическое исследование зависимости частоты ошибок от отношения сигнал/ шум для сигналов с теми же параметрами, что были приняты и в расчетах.

Генератор случайной последовательности двоичных информационных символов построен так, что случайная последовательность уникальна, без повторов. Белый шум генерируется по тому же принципу: он всегда разный. Для получения модели белого шума с нормальным распределением вероятностей, нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией использовался алгоритм Бокса-Мюллера.

Р1В1000(500), (п = 16, рог = 0.5) вероятность ошибки предварительного решения р и окончательного решения Р при изменении отношения сигнал/шум Ь от 0,2 до 3,6

0,7 -

Рис. 5. Графики зависимости вероятностей ошибки при предварительном и окончательном решении от отношения сигнал/шум

График зависимости расчетной вероятности ошибки и статистической частоты ошибок для сигнала Р1В1000(500), рог = 0,1

расчетная вероятность ошибки

частота ошибок

100/1

-0,1

Рис. 6. Статистическая проверка алгоритма расчета помехоустойчивости логического алгоритма декодирования сигналов класса ПВ1000(500)

Порог в алгоритме подстраивается автоматически в зависимости от того, насколько близко число промежуточных решений «1» и «0». В начале работы алгоритма задается первоначальное значение порога, ниже которого он не опускается.

Результаты статистических проверок представлены на рис. 6, 7 и 8, где обозначено первоначальное значение порога.

4. Сравнительная оценка результатов моделирования работы логического алгоритма с оптимальным приемником

Представляет интерес сравнительная оценка помехоустойчивости логического алгоритма с потенциальной помехоустойчивостью, кото-

рую обеспечивает оптимальный приемник ЧМ сигналов. Для корректности такой оценки помехоустойчивость оптимального приемника следует рассматривать в условиях предварительного усреднения отсчетов квадратур на интервале п отсчетов. Такую предварительную обработку квадратур можно делать для любого приемника. При этом мы уменьшаем дисперсию нормального белого шума в п раз.

На рис. 9 представлены кривые помехоустойчивости оптимального приемника с предварительным усреднением отсчетов квадратур, расчетные кривые для логического алгоритма и кривые частоты ошибок, полученные при статистическом моделировании: а — представляет наиболее благоприятный случай соотношения частоты

График зависимости расчётной вероятности ошиби и статистической частоты ошибок для сигнала П В500(200), рог = 0,1 0,7 -

Рис. 7. Статистическая проверка алгоритма расчета помехоустойчивости логического алгоритма декодирования сигналов класса Р1В500(200)

Расчётная и экспериментальная кривые помехоустойчивости для сигнала П В200(100), рог = 0,5

Рис. 8. Статистическая проверка алгоритма расчета помехоустойчивости логического алгоритма декодирования сигналов класса Р1В200(100)

а) Кривые помехоустойчивости: 1 — оптимальный приемник,

2 — расчетная кривая для логического алгоритма, 3 — экспериментальная частота ошибок для Р1 В200(50), рог = 0,1

0,6

-0,1

б)

Кривые помехоустойчивости: 1 —оптимальный приемник, 2 — расчетная кривая для логического алгоритма, 3 — экспериментальная частота ошибок для Р1В1000(500), рог = 0,1

100Л

-0,1

»-гмт^тчог-чооо^о

5

оост»*—

т— «— гчгчгчсчгмгчгчгчгчтсоттттттт

Рис. 9. Кривые помехоустойчивости оптимального приемника с предварительным усреднением отсчетов квадратур, расчетные кривые для логического алгоритма и кривые частоты ошибок, полученные при статистическом моделировании

сигнала и скорости передачи: наиболее высокая скорость передачи / = 200 Гц при возможности усреднения на большом интервале и = 40 отсчетов и маленькая скорость передачи Ъ = 50 бод; б — представляет наименее благоприятное соотношение/ = 1000 Гц, Ъ = 500 бод. Частота сигнала позволяет усреднение на интервале и = 8, на 1 бит приходится всего 24 отсчета

Теоретически можно сделать и больший интервал (до предельного по теореме Котельникова), но моделирование показывает, что необходим некоторый запас.

На рис. 10 приведена сравнительная оценка помехоустойчивости логического алгоритма с помехоустойчивостью оптимального приемника.

а)

Р1 В200(50) Кривые помехоустойчивости:

1 —оптимальный приемник с дисперсией 1

2 — оптимальный приемник с дисперсией 0,025

3 — частота ошибок при статистическом испытании

4 — ра :четная помехоустойчивость логического алгоритма

-24 -20 "12 0

Отношение сигнал/шум, дБ

б)

Р1В1000(500) Кривые помехоустойчивости:

1 —оптимальный приемник с дисперсией 1

2 — расчетная помехоустойчивость логического алгоритма иибок при статистическом испытании ный приемник, дисперсия шума 0,125

-■-Ряд 2

Ряд 3

—»«—Ряд 4 ♦ Ряд1

12

-12 0 Л - отношение сигнал/шум, дБ

Рис. 10. Сравнительная оценкапомехоустойчивостилогического алгоритма с помехоустойчивостью оптимального приемника

Сигнал класса Р1В1000(500), рог = 0,2. Кривые помехоустойчивости: 1— расчетная помехоустойчивость логического алгоритма

2 — оптимальный приемник, дисперсия шума 0,125

3 — некогерентный оптимальный приёмник, дисперсия шума 0,125

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

♦ ♦ ♦ ♦♦♦<

-20

■ Ряд2 4 РядЗ ♦ Ряд1

h - отношение сигнал/шум, дБ

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

-0,1

Сигнал класса F1 В200(50). Кривые помехоустойчивости:

2 — оптимальный некогерентный приёмник, дисперсия шума 0,025 1 —оптимальный когерентный приёмник, дисперсия шума 0,025

3 — расчетная помехоустойчивость логического алгоритма

h - отношение сигнал/шум, дБ

Рис. 11. Кривые помехоустойчивости для оптимального когерентного, оптимального некогерентного, илогического алгоритмов: {а) — сигнал класса Р1В1000(500), {б) —Р1В200(50)

Как видно из графиков, расчетные кривые тем более приближаются к кривым помехоустойчивости оптимального алгоритма, чем выше частота сигнала, чем больше интервал усреднения и чем ниже скорость передачи данных. В этом есть некоторое противоречие, т. к. при высокой частоте сигнала интервал усреднения ограничен: он должен по теореме Котельникова превышать двойное значение частоты.

Экспериментальные данные: частоты ошибок хорошо приближаются к расчетным, значит, расчет вполне корректен.

Представляет интерес сравнение расчетных значений вероятностей ошибки для когерентного и некогерентного оптимальных приемников и для логического алгоритма. Он не является когерентным, однако, побитовая синхронизация для него просто не нужна. Поэтому можно ожидать, что его кривые помехоустойчивости не хуже, чем для некогерентного оптимального приемника. Логический алгоритм в этом смысле можно рассматривать как квазикогерентный.

На рис. 11 приведены кривые помехоустойчивости для когерентного и некогерентного оп-

тимальных приемников и для логического алгоритма. Для всех трех случаев был учтен эффект усреднения отсчетов квадратур на интервале 8 отсчетов для сигналов класса Р1В1000(500) и на интервале 40 отсчетов для Р1В200(50)

Выводы

Оценку помехоустойчивости алгоритма для дискретного сигнала можно выполнять в 2 этапа: определить среднюю вероятность ошибки при вынесении решения о промежуточной оценке р с учетом использования порога;

определить вероятность ошибки при вынесении решения об окончательной оценке исходя из величины р .

На первом этапе оценивания вероятность ошибки зависит от частоты сигнала, интервала усреднения и порога. В свою очередь

предпочтительные большие частоты не позволяют использование больших интервалов усреднения.

На втором этапе оценивания вероятность ошибки зависит от вероятности ошибки на первом этапе, от скорости передачи и интервала усреднения.

Результаты моделирования показали, что логический алгоритм дает хорошие результаты, как при аналитической, так и при статистической оценке помехоустойчивости.

Реализация предложенного алгоритма проста и предполагает полностью цифровую обработку сигналов. Логический алгоритм не нуждается в побитовой синхронизации, позволяет настройки изменением интервала усреднения и порога. Недостатком является зависимость от величин частоты сигнала и скорости передачи.

ЛИТЕРАТУРА

Бикчинтаева Н. Г. Логический алгоритм демодуляции цифрового частотно-модулированного сигнала / Н. Г. Бикчинтаева, В. В. Дмитриев,

О. В. Орлова //Техника средств связи. Научно-технический сборник. — 2017. Вып. 6 (145). — СПб. — С. 41-51.