CC BY
20Н. Г. Бикчинтаева, В. В. Дмитриев, О. В. Орлова
ПАО «Интелтех»
ЛОГИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЕМОДУЛЯЦИИ ЦИФРОВОГО ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
АННОТАЦИЯ. В статье рассматривается алгоритм цифровой демодуляции частотно модулированного сигнала. Показано, что обладая простотой реализации, этот алгоритм обеспечивает устойчивое функционирование при приеме информации в условиях наличия аддитивного шума в многолучевом канале передачи данных.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: частотная модуляция, цифровая обработка сигнала, быстрое преобразование Фурье, логический алгоритм, демодуляция.
Введение
Предложен алгоритм цифровой демодуляции частотно модулированного (ЧМ) сигнала, обладающий простотой технической реализации и обеспечивающий хорошие результаты при тестировании на модели канала с аддитивным шумом, нестабильностью скорости передачи, расфазированием квадратур и наличием многолучевости при приёме. При этом алгоритм адаптивно подстраивается под качество канала и не требует побитовой синхронизации.
1. Модель входного сигнала
На вход цифрового демодулятора поступают квадратурные составляющие сигнала, имеющие вид чередующихся отсчётов ортогональных гармонических колебаний — действительной и мнимой частей комплексных отсчётов:
А,.= = со8(2га/Ж> ±/мп(2га/Л), (1)
где: у =>/-!; г — отсчёты времени; 1, — действительная часть г-го отсчёта квадратуры; Qi — мнимая частьг'-го отсчёта квадратуры; N = =/а/£ — число отсчётов на период поступающего на вход сигнала;/ — частота дискретизаци; / — частота сигнала; В =£ /Ъ — число отсчётов на информационный бит; Ъ — скорость передачи информации.
В выражении (1) сумма соответствует представлению информационного символа «1», разность — «0».
Частота сигнала/для символа «1» имеет положительное значение, а для «0» — отрицательное.
Это описание полностью соответствует представлению действительной и мнимой составляющих частотно модулированного (ЧМ) сигнала в квадратурах, за исключением того, что в действительности значения со&{2т/Щ, ът{2т/Щ нормированы не к 1, а к максимальному целому числу 2г, где £ — разрядность числа в машинном представлении z равно 8, 16, или 32.
Временные диаграммы действительной и мнимой составляющих сигнала, когда последовательно передаются символы «1», «0» представлены на рис. 1, на котором А означает приращение мнимой составляющей квадратуры.
2. Логический алгоритм цифровой обработки ЧМ сигналов. Правило принятия решения
Как видно из рис. 1:
при передаче «1» на интервале времени положительной полуволны действительной составляющей первая производная мнимой составляющей положительна (функция возрастает); на интервале времени отрицательной
МБЛШ ОБ СОММиШСЛТЮМ Б((ШРМБ]ЧТ Iss. 1 (145). 2019
-1,5
Рис. 1. Временные диаграммы действительной и мнимой составляющих сигнала, когдапоследовательно передаются «1», «0»: соъ(2т/Щ ±/8ш(2:п; 1/Ы)
полуволны действительной составляющей первая производная мнимой составляющей отрицательна (функция убывает);
при передаче «0» на интервале времени положительной полуволны действительной составляющей первая производная мнимой составляющей отрицательна (функция убывает); на интервале времени отрицательной полуволны действительной составляющей первая производная мнимой составляющей положительна (функция возрастает).
Знак производной можно вычислить по знаку приращения 0,1 по времени:
а-а-1 (2)
Решение о том, какой символ передаётся на г'-том отсчёте назовём предварительным решением и обозначим за 5, значение символа в г'-й момент дискретного времени, тогда:
5,=
«1», если {(/, >рог) И - > 0}
или{(/,<-!»г)и(а-а_1)<о}
иначе — «0», (3)
где: рог-порог, начиная с которого выносятся решения.
На рис 1 показаны уровни рог и —рог. Предварительное решение принимается, когда значение отсчёта квадратуры по модулю превышает порог. Для отсчётов, на которых это условие не выполняется, алгоритм не прини-
мает решения. Предварительное решение о значении переданного символа остаётся предыдущим. Это позволяет обойти те отсчёты, на которых условия наихудшие: значения действительной составляющей квадратуры близки к нулю и вероятность ошибки максимальна. Предварительные решения суммируются: 51 — сумма единиц, 50 — сумманулей.
Если 51 превышает половину значения В, то принимается решение о том, что была передана «1», если 50 превышает половину значения В то принимается решение о том, что был передан «0».
На рис. 2 представлен логический алгоритм для входной последовательности отсчётов квадратур. Частота дискретизации/,, скорость передачи Ь и первоначально установленный по-рог^ог1 являются заданными параметрами. На блок-схеме алгоритма обозначены: I — номер отсчёта квадратуры; к — номер отсчёта внутри бита; 1/к — номер информационного бита; Окончательные решения о значениях переданных символов Як производятся для каждого ¡/к—то бита и выводятся на выходе алгоритма в реальном времени.
Предварительные решения на г'-ых отсчётах квадратуры 5, суммируются в 57 и 50.
СНачало)
Ввод параметров fd Ь рог = port |Х
Буфер с принятыми из сети квадратурами
¡11 О;, I ■ 1, О г' ¡1+ъ 0/+2» ■ • ■
B = fd/b =t
к = 0
£
/=o,so=si = so = о -^
Считывание отсчётов квадратуры
и Ом, <Э,
I
Условие для «1»
........Т........
{(/, г рог) И (Q, - Q„) > 0} ИЛИ ((/, < -рог) И (Q, - Qm) i о)
—I /=/+1 I-< SOS да f Окончательное решение ^
/?<с=0 Як= 1
Запись решения: передан информационный символ «0» Запись решения: передан информационный символ «1»
' Подстройкапорога '
к=к+"\
Сброс порога • ДЭ
рог=рог 1
Рис. 2. Логический алгоритм цифровой обработки ЧМ сигналов, представленных в виде квадратур
МБЛШ ОБ СОММиШСЛТЮМ ^(^Т1:Г1:Р>М1Е]>чП:. Iss. 1 (145). 2019
После каждой нулевой оценки счётчик 50 сбрасывается на 51 -В/2, а 51 — на нуль. После каждой единичной оценки счётчик 51 сбрасывается на 50-5/2, а 50 — на нуль. После каждого окончательного решения производится подстройка порога.
Порог наращивается на величину д. Критерий, по которому алгоритм принимает решение об увеличении порога:
|51 — 50|< В/4. (4)
При изменяющейся длительности бита («плавающей» скорости передачи) набег фазы увеличивает (уменьшает) 51, 50. Так же, как компенсируются ошибки промежуточных оценок, компенсируется и набег фазы за счёт изменения длительности бита.
Для пояснения работы алгоритма представлен график изменения сумм 51 и 50 на каждом отсчёте и процесс вынесения решения на рис. 3. На таком наглядном графике можно
наблюдать поведение алгоритма при ошибочных промежуточных оценках, при изменении битовой скорости, при приёме последовательности с урезанным (неполным) первым битом. Для наглядности на графике показана частота дискретизации в 8 раз превышающая скорость передачи, реально она значительно выше.
На рис. 3 показаны 6 ошибочных промежуточных решений, кроме того, первый бит урезан на z=B/8. Алгоритм декодирует последовательность безошибочно, если z < В/2. Из этого графика видно, что при наращивании одной из сумм 51, 50, другая не меняется. При вынесении окончательного решения сброс сумм 51 на 50-5/2, 50 на 0 при Й = 1, 50 на 51-В/2, 51 на 0 при Ш = 0, обеспечивает выход счётчика 51 (при № =1), 50 (при Ш = 0) на начало бита.
На рис. 4 изменяется длительность бита (битовая скорость). Алгоритм декодирует последовательность безошибочно, если длительность
Рис. 3. График изменения сумм 51 и 50 на каждом отсчёте и процесс вынесения решения
Рис. 4. График изменения сумм 51 и 50 на каждом отсчёте и процесс вынесения решения
бита изменяется не более, чем на 35/2—1. Из этого рисунка видно, что сброс сумм 51 на 50— В/2, 50 на 0 при Я1=\, 50 на 51-В/2, 51на 0 при № = 0, обеспечивает выход счётчика 51 (при № = 1), 50 (при Лг—0) на начало бита.
3. Сравнительная оценка вычислительной сложности алгоритмов
Для оценки вычислительной сложности логического алгоритма сравним количество математических операций, необходимых для вынесения решения о значении переданного символа и количество операций в секунду. В качестве аналогов выбраны алгоритмы: корреляционный вычислитель, который считает взаимно-корреляционную функцию принятого и эталонного сигнала и вычислитель быстрого преобразования Фурье (БПФ).
На вынесение решения о значении принятого символа в логическом алгоритме требуется 35 сложений, 115 логическихопераций
При скорости передачи й это ЪВЪ сложений в секунду, 11ВЬ логических операций в секунду.
Сложения в логическом алгоритме производятся над единичными значениями, а не над числами размерностью 2г, ^ = 8, 16, 32 как в корреляционном приёмнике и в БПФ.
4. Оценка вычислительной сложности корреляционного приёмника
При вычислении взаимнокорреляционной функции для каждого бита информации счи-тывается в память вычислителя 2В отсчётов квадратуры (действительная и мнимая часть):
П,1 = 1, 2,3,...,В;
<2г, г = 1, 2, 3, ..., В.
В памяти вычислителя должны храниться 2В отсчётов эталона (действительная и мнимая часть):
ЛИ, 1 = 1,2,3,..., В;
Шг,г = 1,2,3 ,...,В.
Формулы для расчёта:
к = 1,2,...,В. (5)
X ьы В+г-к +а-я 2В+1. _к,
I=1
к = В+1, ..., 25-1 для нечётных Вк = 5+1, ..., 25 для чётных 5 (6)
£ ^ 2 В+,-к + в- к- (6)
I=к - В +1
Для вынесения решения о значении каждого информационного символа потребуется 85 умножений, 45 сложений, вычисление максимума из 25 чисел.
При скорости передачи Ъ: 8ВЬ умножений, 4ВЬ сложений в секунду.
Следует заметить, что для того, чтобы корреляционный приёмник был оптимальным, эталонный сигнал должен быть когерентным, фаза колебания с частотой f эталона должна совпадать с фазой принятого сигнала.
5. Оценка вычислительной сложности алгоритма, вычисляющего БПФ
1) Для БПФ необходима предварительная подготовка данных: число отсчётов на длительности В должно быть степенью 2-х.
Дробь N/B приводим к несократимой дроби n/l, N/B = n/l. Отсчёты квадратуры следует повторить n раз и считывать через l отсчётов. Здесь N -длина выборки для вычисления БПФ.
2) Вычисление БПФ требует выполнение двоичной инверсии и число комплексных умножений Моё2Ж
3) По результатам вычисления БПФ следует выделить максимум из 2-х отсчётов, которые соответствуют положительной и отрицательной частотам, 1 логическая операция.
Справедливости ради, следует заметить, что умножение комплексных чисел это 4 умножения и 3 сложения действительных чисел. Кроме того, требуется дополнительная схема побитовой синхронизации данных, что здесь не учитывается.
Результаты расчёта вычислительной сложности трёх алгоритмов сведены в табл. 1
В таблице алгоритмы обозначены как:
logic — логический алгоритм,
korr — корреляционный вычислитель,
БПФ — вычислитель БПФ.
Для наглядности число операций умножения в секунду представлено на графике как функция от скорости передачи, рис. 5.
6. Иллюстрация работы алгоритма
Оценка потенциальной помехоустойчивости логического алгоритма выходит за рамки данной статьи. Вместе с тем, в работе приводятся результаты его проверок на тестах в условиях аддитивной случайной помехи, изменения
MEANS OF COMMUNICATION EQUIPMENT Iss. 1 (145). 2019
Таблица 1
¿-скорости передачи информации 50 100 150 200 300 500 600
В число отсчётов на бит 1920 960 640 480 320 192 96
Л^-ближайшая степень 2-х БПФ 1024 512 512 256 256 128 64
Коэффициент прореживания БПФ Повторение каждого отсчета 8 раз и формирование выборки путем прореживания в 15 раз
Число операций умножения на 1 бит 1 о g i k 0 0 0 0 0 0 0
korr 15360 7680 5120 3840 2560 1536 768
БПФ 40960 18432 18432 8192 8192
Число операций умножения в секунду 1 о g i k 0 0 0 0 0 0 0
korr 768000 768000 768000 768000 768000 768000 768000
Б П Ф 2048000 1843200 2764800 1638400 2457600 1792000 921600
Число операций сложения на 1 бит 1 о g i k 5760 2880 1920 1440 960 576 288
korr 7680 3840 2560 1920 1280 768 384
Б П Ф 30720 13824 13824 6144 6144 2688 1152
Число операций сложения в секунду 1 о g i k 288000 288000 288000 288000 288000 288000 288000
korr 384000 384000 384000 384000 384000 384000 384000
Б П Ф 1546000 1382400 2073600 1228800 1843200 1344000 691200
Число логических операций на1бит 1 о g i k 21120 10560 7040 5280 3520 2112 1056
korr 3840 1920 1280 960 640 384 192
Б П Ф 1 1 1 1 1 1 1
Число логических операций (сравнений) в секунду 1 о g i k 1056000 1056000 1056000 1056000 1056000 1056000 1056000
korr 192000 192000 192000 192000 192000 192000 192000
Б П Ф 50 100 150 200 300 500 600
3 ООО ООО
О ----— — — — —--------b/50, бод
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Умножение:
_—БПФ_— korr_— logic
Сложение:
......— БПФ......— korr......— logic
Логические операции: ---БПФ---korr---logic
Рис. 5. Сравнительная оценка вычислительной сложности 3-х алгоритмов цифровой обработки ЧМ сигналов
скорости передачи информации, расфазирова-ния действительной и мнимой частей квадратуры и многолучёвости. Для иллюстрации работы алгоритма в качестве аддитивного шума в примерах 1—5 использовался звуковой файл,
спектр которого расположен в области частоты сигнала. В примере 6 в качестве аддитивного шума — белый шум — последовательность некоррелированных случайных отсчётов с нормальным законом распределения.
Пример!
/| —действительная часть,_
О/ — мнимая часть
193 385 577 769 961 1153 1345 1537 1729
Рис. 6. Временная диаграмма квадратур, представляющих сигнал ЧМ при воздействии аддитивного шума (частота сигнала1/5=1000Гц, скорость передачи 500 Бод)
Пример 2
5 4 3 2 1
. //' — действительная часть,
. О/ — мнимая часть
■ I.
|]1| , I
. .Ы к
-1 --
■НГШ1 ¿пит
■ 1 I I ■ 1 I 1 I Г 1 I 1 ■ ■
■■ дли. Я
■игпшжт т.
I, 1 МП »1
II I I ' I I 111
II.!1
1.1
1ил.тт',1Й111П11111,11:? г
IIШ: НИЛКГШИ Я \Ш.
1
'Р
*
'I
'I
I
Т-1
'а-ООГЧЮО'а-ООГМхООЧООГМчОО^ГООГЧчОО'а-ООГМОО^ГООГЧчООООГМхООЧООГМчО
Рис. 7. Временная диаграмма квадратур, представляющих сигнал ЧМ при воздействии аддитивного шума (частота сигнала/5=100Гц, скорость передачи 50 Бод)
МБЛШ ОБ СОММиШСЛТЮМ Б((ШРМБМТ Iss. 1 (145). 2019
2,5
—действительная часть.
О/ — мнимая часть
-2,5
193 385 577 769 961 1153 1345 1537 1729 1921
Рис. 8. Временная диаграмма квадратур, представляющих сигнал ЧМ (частота сигнала,/» = 1000 Гц, скорость передачи 500 Бод)
На графике рис. 6 представлены 10 бит: 1100110011. Квадратуры, в виде идеального теста, искажены шумом (коэффициент шума 1,96), первоначальный порог рог1 = 0,5. Алгоритм декодировал сигнал без ошибок.
На графике рис. 7 представлены 10 бит: 1010101010. Квадратуры, в виде идеального теста, искажены шумом (коэффициент шума 7,29, первоначальный порог рог1 = 0,5. Алгоритм декодировал сигнал без ошибок.
Из рассмотренных примеров можно заключить, что логический алгоритм может давать очень хорошие результаты при декодировании сигналов с аддитивным шумом, результаты зависят и от характера информационной последовательности и от характера шума.
Пример 3
Для исследования влияния меняющейся скорости передачи информации на работу логического алгоритма были рассмотрены случаи линейно нарастающей и убывающей длительности бита В.
На графике рис. 8 представлены квадратуры при увеличении длительности бита на 100 отсчётов за 10 бит: 1111100000, первоначальная величина В = 192, коэффициент шума 0,5. Изменение длительности бита компенсируется сбросом
51 = 50 - В/2 и 50 = 51 - Д/2.Сигнал декодируется без ошибок, пока набег «лишних» отсчётов за счёт приращения или уменьшения первоначальной величины В не превысит 35/2—1 первоначальной длительности бита.
Пример 4
Логический алгоритм основан на анализе фазовых соотношений действительной и мнимой частей квадратур. Расфазирование между Т] и Qi нарушает их ортогональность. Сигнал декодируется правильно пока сдвиг фазы менее половины периода частоты сигнала. Насколько логический алгоритм чувствителен к таким искажениям, демонстрируетрис. 9.
На графике рис. 9 представлены 4 бита: 1100, действительная и мнимая составляющие сигнала сдвинуты относительно друг друга на 0,25 периода частоты сигнала, 10 % бита. Сигнал декодирован без ошибок.
Пример 5
Кроме случайных аддитивных помех в реальном приёмнике могут наблюдаться гармонические помехи, в частности, гармоники основного сигнала и отражённые сигналы, имеющие меньшие амплитуды и различные временные задержки. Рис. 10 иллюстрирует модель сигнала, представляющего собой сумму основного сигнала и трёх его задержанных по времени копий.
_I — действительная часть,_О/ — мнимая часть
1,5 -
-1,5 -
м»ючлг- мпочлг- г^тощ"—г^гооип"—мпоил ■-■-■-■-^■-^^■-■-мгчммгчгммммгмотттттготт
Рис. 9. Временная диаграмма квадратур, представляющих сигнал ЧМ и сдвинутых по фазе относительно друг друга на 1/4 периода частоты сигнала (частота сигнала /я = 100 Гц, скорость передачи 50 Бод)
_I — действительная часть,_О/ — мнимая часть
1 193 385 577 769 961 1153 1345 1537 1729
Рис. 10. Временная диаграмма квадратур, представляющих сумму сигналов основного и трёх отражённыхлучей 60 %,40 %и20 % амплитуды основного
На графике рис. 10 представлены квадратуры, представляющие ЧМ сигнал с частотой У» = 1000 Гц и скоростью передачи 500 Бод. На графике показаны 20 бит: 11001100110011001100. Три отражённых луча складываются с основным и искажают его. Алгоритм декодировал сигнал без ошибок.
Пример 6
Сумма сигнала с некоррелированными отсчётами шума (белым шумом) сложнее для обработки логическим алгоритмом.
Если частота дискретизации 96000 отсчётов в секунду, на единичный интервал приходится от 1920 до 192 отсчётов квадратуры при скоростях от 50 до 500 бод. Число отсчётов на информационный бит можно уменьшить, прореживая. Если взять отсчёты через промежуток дискретного времени в целое число раз меньший единичного и усреднить на этом промежутке, то алгоритм работает без изменения, но с меньшей частотой дискретизации. Для скоростей 50, 100, 150, 200, 300, 500 соответ-
МБЛШ ОБ СОММиШСЛТЮМ ^(^Т1:Г1:Р>М1Е]>чП:. Iss. 1 (145). 2019
ственно 48, 24, 16, 12, 8, 8 отсчётов. Частоты дискретизации при этом 2000, 4000, 6000, 8000, 12000, 12000 вместо 96000 отсчётов в секунду. В остальном алгоритм не меняется. Демодуляция аддитивной смеси сигнала с шумом даёт значительно лучшие результаты, чем для белого
шума без усреднения отсчётов. Такая подготовка данных эквивалентна уменьшению дисперсии шума с нормальным распределением плотности вероятности и нулевым математическим ожиданием. Чем больше интервал усреднения, тем эффективнее подготовка данных.
б)
Коэффициент шума 1,0 чисто белый шум . /| — действительная часть,_О/ — мнимая часть
каждый отсчёт — среднее арифметическое соседних восьми отсчётов
-2
оо1лгчСТ1Ютог^^г*— С01лгч№\от01^'3"'— союгчгма1\отогч>з-1— союгчо» 1— гчгчт^-ютю^^соочочо«— гчгмт^^юючочог^оос^спо"— гмтп
Т— Т— Т— т— т— т— т— т— т— ГЧГЧСЧГЧГМГМ
Рис. 11. Квадратуры ЧМ сигнала с частотой/? = 1000 Гц и скоростью передачи 500 Бод
а)
Коэффициент шума 4,5(20,25) чисто белый шум ./| —действительная часть,_О/ — мнимая часть
1- «- г>| гч т го
^-оч^-оч^-очтоотоотоотоотоотоотоогч!^
б)
2,5 2 1,5
1
0,5 0
-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5
Коэффициент шума 4,5(20,25) чисто белый шум . И — действительная часть,_О/ — мнимая часть,
каждый отсчёт — среднее арифметическое соседних 48-ми отсчётов
''УЦ Уупг
ш 1Ш1 ни ч шш I и/гу/
л;.
шт ч
1 г || гу '"Г* г у 1
I— I— I— гмгмгчгчгмгчгмгмтппптттпп
Рис. 12. Квадратуры представляют ЧМ сигнал, частота сигнала/5=100Гц, скорость передачи 50 Бод.
Усреднение нескольких последовательных отсчётов суммы сигнала с белым шумом проиллюстрировано на рисунках 11, 12.
На графике рис. 11 изображено 10 бит: 1111100000 а) сигнал представлен квадратурами с аддитивным белым шумом, алгоритм выдаёт ошибки при коэффициенте шума 1.0; б) сглаженный сигнал обрабатывается программой для Р1В1000(500) с частотой дискретизации в 8 раз меньше исходной. Алгоритм декодировал сигнал без ошибок.
На графике рис. 12 представлены 10 бит: 1010101010:
а) сигнал представлен квадратурами с аддитивным белым шумом; алгоритм выдаёт ошибки при коэффициенте шума 1.0;
б) сглаженный сигнал обрабатывается программой для Р1В100(50) с частотой дискретизации в 48 раз меньше исходной. Алгоритм декодировал сигнал без ошибок при коэффициенте шума 4.5 (по мощности 20.25).
Выводы
В основе работы логического алгоритма лежат следующие идеи:
предварительное решение о значении очередного бита на каждом г'-ом отсчёте квадратуры принимается по знаку действительной составляющей сигнала и знаку производной мнимой части сигнала;
окончательное решение о том, какой информационный бит декодирован, принимает-
ся при превышении суммой предварительных решений половины дискретной длины единичного интервала;
после каждого окончательного решения производится сброс сумм предварительных решений на число, которое позволяет установку начала счётчиков единиц и нулей на начало бита с учётом числа ошибок. Ошибочные символы набираются из-за искажения сигнала шумом и из за «плавающей» скорости передачи. Логический алгоритм робастен к тактовой синхронизации.
при вынесении предварительных решений эффективно использование порога, т. е. исключение из анализа «проблемных» участков: интервалов около перехода через нуль действительной части дискретного сигнала.
При обработке суммы сигнала с некоррелированными отсчётами шума (белым шумом), для нормальной работы алгоритма следует произвести простую подготовку данных — отсчёты квадратур берутся через промежуток дискретного времени, в целое число раз меньший единичного интервала, и усредняются на этом промежутке.
По трём отсчётам квадратуры выносятся промежуточные решения и суммируются независимо от того, какова фаза/. Когерентный эталон не требуется.
Вычислительная сложность алгоритма обычно оценивается числом умножений. В логическом алгоритме умножений нет.
