Оптимальный прием частотно манипулированных сигналов на основе динамической модели несущей частоты Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.381.536

Оптимальный прием частотно манипулированных сигналов на основе динамической модели несущей частоты

Вадим Михайлович Советов, д.т.н., с.н.с., проф. каф. «Информационные системы», e-mail: [email protected]

ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва.

Предложена динамическая модель представления частотной манипуляции гармонической несущей в пространстве состояний; синтезирована схема оптимального приема; получены выражения для расчета вероятности ошибки; показано, что оптимальный демодулятор двоичных частотно манипулированных сигналов представляет собой два канала, где в качестве фильтрующего устройства используется фильтр Калмана, который при использовании вместо коррелятора или согласованного фильтра дает ту же помехоустойчивость приема, однако, в принципе, позволяет реализовать более сложные, адаптивные, алгоритмы обработки.

The author developes a dynamic model for the representation of the frequency manipulation of the harmonic carrier in the state space. The study synthesizes the scheme of optimal reception, obtains expressions for calculating the probability of error, shows that the optimum demodulator of the binary frequency manipulated signal has two channels, and uses the Kalman filter as a filtering device. The filter (when used instead of the correlator or matched filter) has the same noise immunity in the reception and enables more complex, adaptive processing algorithms.

Ключевые слова: частотная манипуляция, фильтр Калмана, оптимальный прием, вероятность ошибки. Keywords: frequency shift keying, Kalman filter, optimal reception, error probability.

Частотная манипуляция (ЧТ), или телеграфия (FSK - от англ. Frequency Shift Keying), широко используется для передачи информации в цифровых системах связи [1]. При использовании в ЧТ двух сигналов с различной частотой, представляющих 1 и 0, т.е. при двоичной ЧТ (ДЧТ) (BFSK - от англ. Binary Frequency Shift Keying), ее можно записать как [1]

s1(t) = A cos(2y ft + /), kT < t < (k + 1)T, (1)

для 1,

s2(t) = Acos(2yf2t + /2), kT < t < (k + 1)T, (2)

для 0,

где f - частоты несущих; / - начальные фазы несущих; T - длительность информационного импульса, i = 1,2 .

Как правило, время начала возникновения цифровых импульсов синхронизируется с фазой несущей. В частном случае начальные фазы могут быть одинаковы: /1 = /2 = / . Несущие выбираются так, чтобы сигналы на длительности элемента были ортогональны:

( k+1)T

J s1(t) s2(t )dt = °. (3)

kT

Минимальное разделение между частотами для выполнения условия ортогональности при когерентном приеме составляет 1/2T [1]. При неко-

герентном приеме необходимо, чтобы расстояние между частотами составляло 1/T .

Если записать последовательность бит как

ОТ

a(t) = ^ aku(t - kT),

k=—ОТ

где ak е {+1, -1}; u(t) - прямоугольный импульс единичной амплитуды в интервале [0, T], то сигнал при ЧТ можно представить в виде

s(t) = A c°s2^fc +ak 2t jt =

= A cos [y j c°s(lKfct)- Aak sin j srn(2f),

ak = ±1,

где fc - частота несущего колебания.

Для демодуляции сигналов с ЧТ с известной фазой используется когерентный демодулятор с одним или двумя корреляторами [1]. При неизвестной фазе несущей используются некогерентные методы демодуляции с квадратурными корреляторами, с использованием согласованных или полосовых фильтров и детекторов огибающих. Поскольку некогерентный демодулятор построить легче, чем когерентный, он находит наибольшее применение на практике. Однако удвоение каналов приема в квадратурных корреляторах приводит к потере помехоустойчивости.

Коррелятор представляет собой перемножи-тель с последовательно включенным интегратором. Строго говоря, операция корреляционной обработки не является линейной, так как в общем случае выполняется соотношение

(k+1)T

(k+1)T

J s1 (t)s1 (t)dt + J s2 (t)s2 (t)dt

kT

-1)T

J [ s1(t) + s2(t )][s1(t) + s2(t )]dt =

kT (k+1)T

xt (k +1) = A; xt (k);

y;(k) = Cx;(k).

Здесь x; (k) =

4,2

С k) С k)

(ВС); у,- (к) - вектор наблюдения; С = [1 0] - матрица выхода уравнения наблюдения;

A, =

кТ (к+1)Т

= | [*1 1 (0 + *2 0>1(0 + *1 (0*2 (0 + *2 <»2 (0>* .

кТ

Линейность имеет место лишь при выполнении условия (3). Кроме того, при умножении гармонических несущих появляются составляющие с удвоенной частотой, которые компенсируются лишь при существенном превышении частоты несущей скорости передачи информации (более 10 раз). Другими словами, должны выполняться условия узкополосности. Все эти факторы снижают эффективность используемых демодуляторов.

Целью статьи является разработка более эффективного алгоритма демодуляции частотно манипулированных сигналов на основе их представления динамической моделью в пространстве состояний (ПС). Естественно, что эффективность надо рассматривать с точки зрения использования алгоритма для более сложных условий приема. В данной же статье рассматривается демодуляция в условиях аддитивных гауссовских помех и на ее примере разрабатывается методика синтеза и анализа алгоритма демодуляции ДЧТ-сигналов с использованием представления несущей динамической моделью в ПС.

Поскольку при ЧТ изменяется частота несущего колебания, для каждой частоты необходимо использовать собственную модель в ПС. В пространстве состояний ДЧТ-сигнал (1) или (2) можно представить динамической моделью в виде уравнения смены состояний и уравнения наблюдения состояний [2]:

,1С 0 ) =

‘■0,2

С 0) =

' 0 1

-1 2cos&iTd

i = 0,1 - матрица перехода состояний (МПС); Td -интервал дискретизации.

Как видно, для представления ДЧТ динамической моделью необходимо использовать две МПС, каждую для своей частоты, и, соответственно, два вектора начальных состояний:

sin(O)

sin (coxT + O)

sin(O) sin (®2T + O)

Рассмотрим задачу оптимального приема такого сигнала как проверку двух гипотез:

Но : х0(к +1) = А о xo(k);

Уо (к) = Cxo(k) + v(k) к = 1,2,...,K,

Н1: Xj(k +1) = AjXj(k);

У1 (к) = CX1 (к) + v(k) к = 1,2,...,K.

Здесь v^) - аддитивная помеха, которая представляет собой белый шум с нормальным распределением и известными статистическими характеристиками:

В^(к)} = В^о(к)} = E{v1 (к)} = 0,

cov{v(k), v(j)} = Vv(к)Sk (к - j).

Решение о выборе той или иной гипотезы принимается по к наблюдениям вектора yi (к):

У(к) = у (1), у (2),..., у (к).

Если вектор х(к) не случаен, но его значение неизвестно, то можно воспользоваться обобщенным отношением правдоподобия [2]

Л (Y(k)) =

maxPr(Y(k) | x(k), H,)

xl(k)___________________

maxPr(Y(k) | x(k), H0)

x0(k )

(6)

(4)

(5)

вектор состояния

в котором оценки максимального правдоподобия неизвестного параметра х(к) отыскиваются путем максимизации соответствующих условных вероятностей по допустимым областям значений х(к) при фиксированной выборке У(к).

Как было показано в [2], для отношения правдоподобия (6) решающее правило будет иметь вид

xmax,0 (k) — xm

h,

>

.,(k) ^ ln^> H0

где г определяется стоимостью решений и значениями постоянных коэффициентов для нормальных распределений.

Если эти коэффициенты одинаковы и отношение стоимостей решений равно 1, то полученное решающее правило сводится к вычислению

#1

хтах,0 (к) < Хтах,1 (к) , (7)

#0

где хтах,0 (к) и хтах1 (к) - оптимальные оценки,

получаемые на выходе фильтров Калмана для каждой гипотезы.

Фильтр Калмана (ФК) для модели (4), (5) запишем в виде

X; (к) = А;X; (к - 1) + К; (к)[У; (к) - С4;X; (к - 1)] , (8)

У;,; (к + 1|к) = А; У;,; (к )А;", (9)

К,, (к)=у;.; (к I к -1)Ст[СУ;.д (к | к -1)С + у ]-1 ,(10)

У,; (к) = [I - К, (к)С]У,X (к | к - 1), (11)

где К, (к) - весовая матрица; У, х (к) - матрица ковариации ошибки оценки ВС; , = 1, 2 .

Таким образом, процесс демодуляции заключается в оптимальной фильтрации несущей в двух каналах фильтрации с последующим сравнением результатов. При этом алгоритм фильтрации (8) -

(11) является линейным и в процессе работы алгоритма не появляются составляющие удвоенной частоты, как в корреляторе. Также важно, что оценка несущей осуществляется независимо от начальной фазы, как в согласованном фильтре (СФ).

Найдем вероятность ошибки для приемника (7), у которого в качестве оптимального фильтра используется ФК (8) - (11). Фильтр Калмана обозначим далее как ФК0 при справедливости гипотезы Н0 и ФК1 при справедливости гипотезы Н1. На выходе ФК0 получаем оценку х0 (к), а на выходе ФК] получаем оценку х^к) в виде двух соседних отчетов, или двумерного вектора. Ошибка возникает тогда, когда неравенство (7) для правильной гипотезы не выполняется и она заменяется неправильной.

В силу линейности алгоритма полученные оценки представляют собой случайные векторы с гауссовским распределением, имеющие математические ожидания х0(к) и х1(к), и дисперсии, определяемые матрицей ковариации ошибки оценки УХо (к) и Ух (к). Решая отношение правдоподобия

для гауссовских векторов с известными параметрами распределения, вместо (7) получим [3]:

Х0 (к )Ухо1х0 (к) - 2x0 (к )У-1 (к )х0 (к) +

+х0(к )У-1(к )хо(к) I

0 Но

Хі (к)У- (к)Хі (к) - 2х[ (к)У- (к)Хі (к) + +х[(к)УХі1(к)хі(к). (12)

В соответствии с полученным решающим правилом (12) сигнал поступает в приемник, состоящий из двух каналов. На входе каждого канала стоит ФК, настроенный на свою частоту приема, т.е. каждый из ФК построен в соответствии с динамической моделью в ПС для своей гипотезы.

На основе уравнений (8) - (11) в МаШСаё была разработана модель приемника ДЧТ-сигналов при воздействии гауссовских помех. На рис. 1 представлены результаты моделирования в виде сигналов с выходов ФК при воздействии помех. На рис. 1, а показан сигнал с выхода ФК0 при поступлении на него гармоники, на которую он настроен, а на рис. 1, б - сигнал с выхода ФК1 при поступлении гармоники для первого канала. Отметим разницу между выходом СФ и выходом ФК при поступлении на них гармоники с другой частотой. Как известно, с выхода СФ выходит периодический сигнал, модулированный сигналом с разностной частотой, и значение нуля огибающей достигается в точке /г = 1/Тг, соответствующей значению разностной частоты. Далее сигнал периодически повторяется. С выхода же ФК, не настроенного на поступающую частоту, выходит сигнал с постепенно уменьшающейся амплитудой (см. рис. 1, б). Следовательно, необходимое условие нулевого или малого выхода с другого канала по сравнению с основным, на который поступает своя частота, выполняется не в точке, а через некоторое число шагов, достаточное для получения достоверной оценки. Данный факт объясняется тем, что с увеличением числа шагов уменьшается весовая матрица К (к) в ФК.

Рассмотрим далее составляющие решающего правила (12). Введем следующие обозначения:

щ (к) = хт(к)У-хі (к), р (к) = хт(к)УхіЧк)хі (к),

$ (к) = хт(к)Ух-1(к)хі (к), і = 0,1.

На рис. 2 показаны результаты расчета составляющих при моделировании приемника ДЧТ-сигнала с использованием ФК: рис. 2, а - результаты расчета составляющих решающего правила

1ЛУ

"О 100 200 300 400 к

х,(Лг) а)

'ЛУЧ/'Ч.

100

200

300

400

6)

Рис.1. Сигналы с выходов ФК0 (а) и ФК1 (б)

Х0(к)УХ?Хо(к)-2x0(к)У£(к)Хо(к) £ П(к)х

-1,

Ні Ъ хт(

х о

х о

Но

хУхі1(к )Хі (к) - 2хТ (к )Ухі1(к )^(к).

(13)

Кроме того, по кривым 1, 2 видно, что с рос том к оценка ВС приближается к истинному ВС и

х0 (к)ух0]х0 (к) * х0 (к)ух0] (к)х0 (к), хт (к)УХ11х1 (к) * хт (к)УХ]1 (к)Х] (к).

Поэтому решающее правило (13) можно упростить и записать как

хТ(к)Уі-11(к)Х1(к) £ х0(к)У^(к)Хо(к)

Но

(14)

Схема приемника ДЧТ-сигналов для решающего правила (14) показана на рис. 3. На выходе ФК выдаются оценки вектора состояния Х0 (к), Х1 (к) и соответствующие матрицы ошибки оценки V-1 (к), УХ-1 (к). Далее в каждом канале приемника осуществляется перемножение принимаемой оценки на матрицы ошибки оценки и опорные ВС

х0 (к) и хт (к), таким образом формируются составляющие Р0 (к) и Р1 (к), показанные на рис. 2 (кривые 2). В решающем устройстве полученная на к-м шаге разность I = Р0 (к) - Р1 (к) сравнивается с порогом у и принимается решение о гипотезе.

Рис. 2. Составляющие сигнала г-0,1 на выходе ФК0 (а) и ФК1 (б): кривая 1 - К{, кривая 2 - Р; кривая 3 -

(12) при совпадении поступающей в приемник частоты с частотой ФК0, рис. 2, б - эта частота не совпадает с частотой настройки ФК1.

Как видно из графиков (кривые 3), при использовании частот с одинаковой амплитудой энергии ВС равны. Следовательно, можно принять, что

х0 (к)У^ (к)х0 (к) = хт (к)УГ1 (к)х1 (к), и решающее правило (12) примет вид

Рис. 3. Схема приемника ДЧТ-сигнала для решающего правила (14)

Результаты моделирования показывают, что при разносе частот, достаточном для их ортогональности в усиленном смысле, отклик одного из каналов, в который поступает несущая с частотой, отличной от частоты, на которую настроен ФК, будет стремиться к нулю (см. рис. 2, б, кривая 2). В таком случае решающее правило (14) можно представить как

где

Н1

Хт(к)УХ-1(к)Х(к) £ 0,

Но

хт (к)УХ1 (к)Х(к) = хт (к)У- (к)Х (к) -

(15)

-х 0(к )Ух-01 (к )Хо(к).

При

х0(к )УХ01 (к )Хо(к) = 0 получим

хт(к)Ух1(к)Х(к) = хт(к)Ух11(к)Х1(к):

а при

х[(к )Ух,Чк ^(к) = 0

хт(к)Ух \к)х(к) ^ хт(к)Ух\к)Х(к).

Но

(16)

Р(%)=

X ехр

у]2жх т (к )УХ 1 (к )х(к)

%2

2хт (к)Ух (к)х(к)

будет

хт (к)Ух_1(к)х(к) = -х0(к)Ух“01(к)х0(к).

В этом случае согласно решающему правилу (15) приемник сравнивает разность значений выходов двух каналов с нулевым порогом и принимает решение о гипотезе.

Представим оценку как х(к) = х(к) - х (к). Тогда левую часть неравенства (15) можно записать как

хт (к )Ух-1(к )[х(к) - х (к)] =

= хт (к )Ух-1 (к )х(к) - хт (к )Ух-1 (к )х (к), а решающее правило (15) представить в виде

Рис. 4. Результаты моделирования решающего правила (16): кривая 1 - хт(к)Ух'(£)х(к) ; кривая 2 - хт(к)Ух'(£)х(к)

Вероятность ошибки соответствует вероятности того, что случайная величина % превысит

к2 = х т(к )Ух"1(к )х(к). На рис. 4 показаны результаты моделирования решающего правила (16).

Вероятность ошибки на бит можно найти как

Рь =

ии

| Рх (%Ж:

1

Левая часть этого неравенства является неслучайной величиной и при равенстве энергий гармоник будет одинаковой для обеих гипотез. Правая часть неравенства (16) представляет собой случайную величину с нормальным распределением. Так как ФК дает одинаковую ошибку оценки при одинаковых помехах в каналах, и, как видно из (8) - (11), эта ошибка не зависит от наблюдений, то случайные величины для разных гипотез имеют одинаковые параметры распределения.

Обозначим эту случайную величину как %. Математическое ожидание Е{х(к)} = 0, поэтому математическое ожидание Е{%} = 0. Дисперсия случайной величины % будет выражена в виде

уаг{%} = Е{хт(к)У-1(к)х(к)хт(к)(У5-1(к))т х(к)} =

= х т (к )Ух-1 (к )Е{х (к )х т (к)} (Ух-1 (к ))т х(к).

По определению Е{х(к)хт(к)} = Ух (к), и с учетом симметрии матрицы ковариации (У-1(к))т = У-1 (к) получим выражение уаг{%} = о2 = = хт (к)У-1 (к)х(к). Зная математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины %, можно записать выражение для ее плотности вероятности:

1

X I ехр

%

-у/2жхт (к )Ух 1 (к )х(к) й%.

2хт(к )Ух 1(к )х(к)

(17)

Для сокращения записи используем функцию

ОТ

« х) = ^1ехр

ёы

(18)

которая может быть выражена через дополнительную функцию ошибок егАг (х) как

б(х) = 2 а*

2 Г - 2

ошибок - егГ(х) = ^= I е ы ёы .

где ег&( х) = 1 - егГ( х), а функция 2 '

0

Таким образом, вероятность ошибки на бит (17) с использованием (18) вычисляется как

Рь = 0 (V х т(к )Ух1(к )х(к)).

(19)

Как известно, при корреляционном приеме ДЧТ вероятность ошибки на бит при воздействии белого шума рассчитывается по формуле

Р,с = б

(20)

Вероятность ошибки на бит для некогерентной ДЧТ рассчитывается как

р 1

РЬпс = 2еХР

2 N

(21)

Результаты расчета по формулам (20), (21) показаны на рис. 5.

Л>с' Лоте |

110-' 110-2 1 10-з

1-ю-*

1-ю-5

1-ю-6

1-Ю-7

но-8

0,1 1 10 100 _______________________________________Еь^о

Рис. 5. Вероятность ошибки для когерентной (кривая 1) и некогерентной (кривая 2) ДЧТ

В среднем некогерентный прием требует отношение С/Ш на 1 дБ больше, чем когерентный.

На рис. 6 показаны результаты расчета вероятности ошибки по формуле (19) при приеме ДЧТ-сигнала с использованием представления несущей в пространстве состояний и применением ФК для оценки несущей.

Вычислив отношение С/Ш в зависимости от шага оценки по кривой 1 на рис. 4, сравним полученную вероятность ошибок с вероятностью ошибки при когерентном приеме ДЧТ-сигнала (см. рис. 5). Как и следовало ожидать, для рассматриваемых условий приема и при линейности схем приема помехоустойчивость когерентного корреляционного приема и приема с использованием ФК почти одинакова. Следует, правда, отметить, что, как видно из рис. 5, вероятность ошибки колеблется в зависимости от колебания несущей и при принятии решения по максимуму амплитуды оценки появляется некоторый выигрыш.

Отметим также, что при использовании решающего правила (16) необходимо знать векторы

хт (к) и х0 (к) на к-м шаге, что соответствует требованию синхронизации по фазе. Однако в нашем случае ФК подобен СФ, который накапливает энергию несущей независимо от ее сдвига и осуществляет оценку вектора состояния независимо от фазы гармонической несущей. С каждым шагом оценка улучшается, поэтому решение о справедливость гипотезы можно принять по значению максимального отсчета в каналах. Если частота дискретизации выбрана так, что соседние отсчеты незначительно

отличаются друг от друга, то решение по одному отсчету будет незначительно отличаться от решения по двум отсчетам. Следовательно, при использовании ФК для оценки несущей существенно облегчаются требования к синхронизации по сравнению с корреляционным приемом.

Рис. 6. Вероятность ошибки на бит при приеме ДЧТ сигнала с использованием ФК: кривая 1 - результаты расчета; кривая 2 - результаты моделирования

Таким образом, проведенные исследования показали, что при представлении несущего колебания динамической моделью в пространстве состояний оптимальный демодулятор ДЧТ-сигналов представляет из себя два канала, в которых в качестве фильтрующего устройства используется фильтр Калмана. Фильтр Кал-мана, используемый вместо коррелятора или согласованного фильтра, дает ту же помехоустойчивость приема, однако, в принципе, позволяет реализовать более сложные, адаптивные алгоритмы обработки несущей на длительности бита. Кроме того, фильтр Калмана, как и согласованный фильтр, не требует синхронизации несущей для ее оценки, поэтому позволяет повысить помехоустойчивость приема при неизвестной фазе несущей по сравнению с квадратурными схемами или схемами с полосовыми фильтрами. Как показано в [2], реализацию ФК для рассматриваемой модели можно существенно упростить, преобразовав его в рециркулятор.

ЛИТЕРАТУРА

1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс». 2004.

2. Советов В. М., Коекин В. А. Оптимальный алгоритм приема при использовании модели сигнала в пространстве состояний // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т. 14. № 11. С. 22 - 28.

3. Советов В. М., Коекин В. А. Оптимальный прием фазо-

манипулированных сигналов на основе динамической

модели // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т. 6. N° 1. С. 20 - 26.

Поступила 05.05.2010 г.