Оптимальный прием фазоманипулированных сигналов на основе динамической модели Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.381.536

Оптимальный прием фазоманипулированных сигналов на основе динамической модели

В.М. Советов, д.т.н., с.н.с., профессор, e-mail: [email protected] В.А. Коекин, аспирант

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

Рассмотрена динамическая модель представления фазовой манипуляции в пространстве состояний; синтезирована схема оптимального приема; получены выражения для расчета вероятности ошибки.

The authors develop a dynamic model of phase manipulation in the space of states. The research synthesizes the scheme of optimal reception and establishes formulas for calculating the error probability.

Ключевые слова: фазовая манипуляция, фильтр Калмана, оптимальный прием, вероятность ошибки.

Key Words: phase manipulation, Kalman filter, optimal reception, error probability.

Фазовая манипуляция, или фазовая телеграфия (ФТ, или PSK - от англ. Phase Shift Keying), является самым используемым методом модуляции в цифровых системах передачи информации и включает в себя большой класс схем модуляции и демодуляции. Когда двоичные данные представляются двумя сигналами с различной фазой, такая ФТ называется двоичной (ДФТ, или BPSK -от англ. Binary Phase Shift Keying) и записывается как

s1 (t) = A cos 2nfct, 0 < t < T , для 1, (1)

s0 (t) = -A cos 2nfct, 0 < t < T , для 0, (2)

где A - амплитуда сигнала; fc - частота несущей;

Т - длительность сигнала.

Сигналы (1), (2) называются противоположными, так как имеют коэффициент взаимо-корреляции равный -1, что обеспечивает минимальную вероятность ошибки при заданном отношении Еь/N0 , где Еь - энергия сигнала на бит; N0 - спектральная плотность мощности белого шума. Частота несущей определяется как fc = щ/T = mRb, где Rb - скорость передачи информации, бит/с. В этом случае фазы меняются при максимальной или минимальной амплитуде и могут принимать значения 0 или п. Только при fc >>Rb условие fc = m/T = mRb может

быть нарушено.

Последовательность битов можно представить как да

a(t) = ^ aku(t - kT) , k=-tt>

где ak e {+1, — 1}; u(t) - прямоугольный импульс единичной амплитуды в интервале [0, T].

Фазоманипулированный сигнал (1), (2) будет иметь вид

s(t) = Aa(t) cos 2nfct, -да < t < да. (3)

Чтобы получить максимальный выигрыш в помехоустойчивости, прием сигналов ФТ необходимо осуществлять когерентным приемником, т.е. при приеме опорная несущая в приемнике должна быть синхронизирована с несущей принимаемого сигнала по частоте и фазе. Для этого демодулятор должен содержать систему синхронизации и восстановления несущей. Прием осуществляется с использованием коррелятора и решающего устройства [1]. Как правило, использование согласованного фильтра (СФ) вместо коррелятора не рекомендуется, так как СФ с импульсной характеристикой h(t) = cos 2п fc (T -1) трудно реализовать.

Дифференциальная (относительная) ФТ (ОФТ), или двоичная фазовая манипуляция (ОДФТ, DBPSK -от англ. Differential Binary Phase Shift Keying), не требует когерентной опорной несущей и использует предыдущий символ как опорный для демодуляции текущего символа. Демодулятор принимает решение, основываясь на разнице фаз соседних сигналов. Демодулятор не требует знания фазы и частоты и является очень практичным. Однако, как известно, это связано с потерями помехоустойчивости.

Цель статьи: разработать схему оптимального приема на основе представления фазовой ма-

нипуляции моделью в пространстве состоянии (ПС), которая позволит упростить реализацию приемника и повысить помехоустойчивость.

Рассмотрим решение задачи в дискретном времени, так как в настоящее время обработка сигналов осуществляется в основном с помощью микропроцессоров и с использованием цифровых методов.

В пространстве состояний ФТ сигнал (3) можно представить динамической моделью в виде уравнения смены состояний и уравнения наблюдения состояний:

1 (k +1) 2 (k + 1)

y(k) = [1 0]

о

1

-1 2 cosacTd

1(k)

X,

X

где

-1 2 cos®cTd

1(k)

(k).

= А - матрица перехода

(4)

(5)

состояний (МПС) в уравнении смены состояний;

X1 (k )

Td - интервал дискретизации;

x2 ( k ]

x0(O)

■(0) =

или

x0(O) = -

разом с использованием предыдущих состояний системы. Для полной наблюдаемости и идентифицируемости динамической системы можно использовать отображения двух предыдущих отсчетов в два последующие с использованием МПС:

A 2 _

-1

-2 cos <x>cTd

2 cos cocTA 4 cos 2 (®cTj ) -

Таким образом, демодуляция ФТ сигнала заключается в оценке вектора начального состояния х0(О) по последовательности наблюдений

Y(k) = {о, У1 yk I

Как показано в [2], в случае представления сигнала динамической моделью в ПС оптимальный приемник должен работать с использованием решающего правила

H1

>

Xmax,1 (k) Xmax,2 (k) < ІП П

Ho

(6)

= x (k) -

вектор состояния (ВС); y (k) - вектор наблюдения; [1 О] = C - матрица выхода уравнения наблюдения.

Фаза гармонического колебания, образуемого динамической моделью (4), (5), может изменяться путем смены вектора начального состояния sin(0)

_sin(®cTd + 0) _

где В - начальная фаза гармонического колебания.

При ДФТ начальный вектор состояния может принимать значения sin(0) sin (<x»cT + 0)

(7)

(8)

(9)

(10)

8Ш(0)

8ІП(Ю0Г + 0)

Начальная фаза 9 может принимать значения

0, п или -п, п.

Преимущество представления ФТ динамической моделью в ПС заключается в том, что образование сигнала осуществляется рекуррентным об-

где Xтах,1 (к) , Xтах,2 (к) - оптимальные оценки, вычисляемые путем решения уравнения фильтрации Калмана; ?7 определяется стоимостью решений. Для модели

х(к +1) = Ах(к), у (к) = Сх(к) + у(к) фильтр Калмана (ФК) запишем в виде

Х(к) = АХ(к -1) + К (к )[у (к) - САХ(к -1)],

V (к +1| к) = АУХ (к)АТ ,

К(к) = У,(к | к - 1)СТ [Су(к | к - 1)СТ + У,]-1 ,(11) Ух(к) =[1 -К(к)С]Ух(к|к -1), (12)

где у(к) - белая шумовая последовательность с нулевым средним и матрицей ковариации Уу; К (к) - весовая матрица; Ух (к) - матрица ковариации ошибки оценки ВС.

Найдем вероятность ошибки для приемника, использующего решающее правило (6), у которого в качестве оптимального фильтра используется ФК, представленный выражениями (9)-(12). На выходе ФК получаем оценку хо (к) при справедливости гипотезы Н0 и х1 (к) при Н1. Ошибка возникает тогда, когда неравенство для правильной гипотезы не выполняется и она заменяется неправильной.

В силу линейности алгоритма оценки полученные оценки представляют собой случайные векторы с гауссовским распределением, имеющие математические ожидания х0 (к) и х1 (к) , и дисперсии, определяемые матрицей ковариации ошибки оценки УХ() (к) и Ух (к). Следовательно, отношение правдоподобия (ОП) будет иметь вид

\(к)

Щ V '<° Я X 1

/0\

* ФК —*у9—*■ t

2тС(к)У[\к)

Рис. 1. Оптимальный приемник для сигнала ДФТ

A(Y(k)) =

det Vx 0 (к) det Vx1 (k)

I 1/2

При ФТ энергии ВС равны, отсюда

х0 (к )У-С,1 (к )хо(к ) = х!(к )^х”1 (к )х1(к) и решающее правило (14) примет вид н

exp j --[Xl(k) - X-(k)]T Vx-;(k)[xi(k) -X-(k)].

X-----.. (13)

eXP 1 ^2[Xo(k) - X°(k)]T V*° (k)[Xo(k) - X0 (k)]

Решающее правило получим путем логарифмирования ОП (13):

ln Л (Y (к)) = 1 ln det VX() (к) -1 ln det VXj (к) +

+ -[X°(k) - X°(k )]T VX-1 (k )[X°(k) - X°(k)] -

xo(k)Vx- xo(k) - 2xT(k)Vxo1(k)xo(k)

>

<

Ho

Х^У—к^к)-2х[(к)У^^1(к)^1(к) . ( 1 5)

Если сигналы противоположны, как при ДФТ, то хо(к)УХо1хо(к) = Х1(к)УХ11(к)х1(к) и решающее правило (15) еще более упростится:

Hl

>

XT (к)Vi"1(k)xl(k ) < xTo(k)утЧк)xo(k).

(16)

Ho

- ^[Xl(k) - Xl (k )]T У-1 (k )[X1 (k) - Xl (k)]

При rj =1 и ln det VX(j (k) = ln det VXj (к) для решающего правила (6) имеем

Hl

[xo(k) - xo(k)]T Vi"o1(k)[xo(k) - xo(k)] <

Для противоположных сигналов х1 (к) = —х0 (к) обозначим сигналы как ±х(к) и решающее правило (16) при полученной оценке х(к) запишем

в виде

2x°(к) V-1 (к)x(k) < o.

(17)

Ho

[X1 (к)- xl( к )]T Vi-1 (к )[xl(к) - X1(к)].

налов

Согласно (17) оптимальный приемник использует только один ФК для получения оценки х(к) (рис.1). Ошибка при приеме возникает тогда, когда квадратичная форма 1 = 2хт(к)ух (к)х(к) бу-Перемножив левую и правую части послед- дет иметь противоположный знак относитель-

него выражения и используя равенства функцио- но правильной гипотезы. Квадратичная форма в (17) является случайной величиной также с гауссовским распределением, поскольку получается путем линейного преобразования гауссовской случайной величины х(к).

Так как х(к) = х(к) — їх (к) , то квадратичную форму в левой части неравенства (17) можно записать как

2хт (к)У-1 (к)[х(к) - х(к) ] = 2хт (к)У— )х(к) -- 2 хт(к) У-Ч к )Х (к),

x o(k) y-o4k )x o(k) = x o(k )V%-;x o(k),

xT(k) VJ-l1(k )Xl( к) = XlT (k) VJ-l1(k )Xl(k), получим:

XT (k) Vx-; Xo (k) - 2xT (k) Vx-; (k)Xo (k) + xo (к)(k)Xo (k)

Hl

>

<

H0

XT (k) Vxl1 (k)Xl (k) - 2xT (k) Vxl1 (k)Xl(k) + XT (k) Vxl1 (k)Xl (k). ( 1 4)

а решающее правило (17) представить в виде

Ні

>

хт (к)УГ1(к)х(к) < х т(к)У-‘(к)х(к) .

(18)

Но

Рх (I) =

X ехр

фпх т( к) Ух-1( к )х( к)

2х т( к) У-Ч к )х( к)

(19)

Рь = | Рх (I)&! =

^2пхт(к )Ух-1(к )х(к)

ехр

2хт(к )Ух1(к )х(к)

.(20)

а(х) = -/^ [ехР

V 2п •*

и

йы

(21)

а(х) = 2 еГҐС

х

|е-ы йы).

Левая часть этого неравенства является неслучайной величиной, а правая - случайной. Обозначим эту случайную величину как £. Математическое ожидание Е{х(к)} = 0, поэтому математическое ожидание Е{|} = 0 . Дисперсия случайной величины £ будет

уаг{|} = Е{хт (к )У-Чк)х (к )х т(к)(уг 1(к) )Т х (к)} =

= хт (к)Уг1(к)Е{х(к)х т (к)}(у-1(к))т х(к) .

Поскольку Е{х(к)хт(к)} = Ух (к) , и с учетом симметрии матрицы ковариации получим уаг{|} = а2 = хт(к)У- 1(к)х(к) . Зная математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины £, можно записать выражение для ее плотности вероятности:

1

ег^ х) = —г= I е Ып

Поскольку при ДФТ сигналы противоположны, вероятность ошибки (20) с использованием (21) вычисляется как

Рь = б (2х т(к )Ух"1(к )х(к)).

; (22)

Известно, что при корреляционном приеме ДФТ сигнала вероятность ошибки вычисляется по формуле [1]

Рь = а

2Е

N

(23)

0 У

где Еъ = Л2Т/ 2 - средняя энергия бита.

Данный вид манипуляции дает наибольшую помехоустойчивость, так как обеспечивает наибольшее расстояние по энергии между двумя сигналами. Как известно, для достижения вероятностей ошибки (23) необходима точная синхронизация опорной несущей частоты с принимаемой несущей, в противном случае ошибка приема может существенно возрасти. Вероятность ошибки для ОФТ рассчитывается по формуле [1]

Вероятность ошибки соответствует вероятности того, что случайная величина £ превысит к2 = х т( к) У-1(к )х(к) или отношение энергии вектора ошибки к дисперсии ошибки будет больше, чем отношение энергии вектора сигнала к дисперсии ошибки. Вероятность ошибки можно найти как

рь = 2 ехР

г

V

N

(24)

о У

Результаты расчета вероятности ошибки по формулам (23), (24) показаны на рис. 2.

Рассмотрим процесс обработки сигнала при ДФТ с использованием представления динами-

Для сокращения записи используем функцию Маркума:

2 '

которая может быть выражена через дополнительную функцию ошибок егЛ (х) как

К 1

■ ■ ■

-1

1-10 "Ч к У

*

-2 \

і

Ив* V

\ *

\ * -\ і

-А 1-Ю

V к \

5 V

1-ій

-6

0,1 1 10 и1

где егАс(х) = 1 - егА(х) (здесь функция ошибок

Рис. 2. Расчет вероятности ошибки на бит при ДФТ

ческой моделью в ПС. При ДФТ передаются два сигнала в виде гармонической несущей с противоположной фазой. В отличие от СФ и коррелятора сигнал на выходе ФК имеет форму синусоиды с постоянной амплитудой. На рис. 3 показан сигнал при воздействии помехи с дисперсией 25 при различной начальной фазе.

Как видно, в отличие от СФ и коррелятора, в которых накапливается энергия сигнала, в ФК уменьшается дисперсия помехи. На рис. 4 в графическом виде показаны результаты расчета х

т(к)Ух (к)х(к) и моделирования хт (к )Ух*(&)х (к) при воздействии помехи с дисперсией 25 для различной начальной фазы в зависимости от числа шагов. Как видно, с ростом числа шагов дисперсия оценки уменьшается и, следовательно, увеличиваются значения х т(к )Ух"1(к )х(к) и хт(к)Ух"1(к)х(к). Причем увеличение этих значений происходит независимо от начальной фазы, как в СФ. Из представленных результатов также видно, что отношение энергии сигнала к ошибке оценки хотя и растет, но незначительно колеблется по закону гармонического колебания. Для повышения помехоустойчивости желательно принимать решение на основе максимума амплитуды оценки.

На рис. 5 представлены результаты расчета и сти ошибки. В связи с колебанием х т(к )Ух"1(к )х(к) и хт(к)Ух 1(к)х(к) наблюдается колебание вероятности ошибки. Для сравнения с известными результатами необходимо рассчитать отношение сигнал/шум при заданном числе шагов (результаты расчета см. на рис. 4.). Сравнивая вероятности ошибки для выбранного числа шагов на рис. 5 и вероятности ошибки, полученной при соответствующем отношении сигнал/шум на графике рис. 2, заключа-

Рис. 3. Сигнал с фазой 00 (а) и 1800 (б) на выходе фильтра Калмана

Рис. 4. Значение х (к)Ух (к)х(к) (кривая 1) и хт(к)Ух 1(к)х(к) (кривая 2) в зависимости от числа шагов для фаз 00 (а) и 1800 (б)

Рис. 5. Расчет вероятности ошибки (кривая 1), результаты моделирования (кривая 2)

ем, что при выборе оптимальных значений отсчетов с точки зрения минимальной дисперсии оценки и максимальной амплитуды сигнала, т. е. максимальных отсчетов, получаем несколько меньшую вероятность ошибки, чем при когерентном приеме. Это связано с тем, что решение принимается по максимальной амплитуде сигнала, а не относительно его средней энергии. При неизвестной фазе несущей можно использовать относительное сравнение фаз задержанных импульсов. В этом случае вероятность ошибки будет такая же, как при когерентном приеме, так как не используется в качестве опорного колебания задержанный зашумленный сигнал.

Таким образом, представление сигнала с фазовой манипуляцией динамической моделью в пространстве состояний позволяет реализовать согласованную фильтрацию более простым, рекуррентным образом и создать приемник, имеющий менее сложную реализацию и несколько повышенную помехоустойчивость.

ЛИТЕРАТУРА

1. Скляр, Бернард. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: пер. с англ. Изд. 2-е, испр.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.

2. Советов В.М., Коёкин В.А. Оптимальный алгоритм приема при использовании модели сигнала в пространстве состояний // Электромагнитные волны и электронные системы, 2009, т.14, №11, С.22-28.

Поступила 03.12.2009 г.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 004.932.4.

Сравнительный анализ результатов восстановления изображений двумерным методом размножения оценок и его модификаций

В.И. Марчук, д.т.н., проректор по научной работе, профессор, e-mail: [email protected] В.В. Воронин, аспирант, e-mail: [email protected] А.И. Шерстобитов, к.т.н., доцент

ФГОУ ВПО «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса» , г. Шахты

Представлен анализ результатов восстановления изображений двумерным методом размножения оценок и адаптивным двумерным методом размножения оценок в сравнении с известными методами; приведена относительная оценка эффективности качества обработки изображений на основе субъективного критерия сравнения с помощью экспертов и статистических критериев.

The authors analyze the results of image reconstruction via two-dimensional method of assessment multiplication and adaptive twodimensional technique of assessment multiplication in comparison with existing procedures. This article shows the relative evaluation of the quality efficiency for image processing based on subjective principle of similarity with the help of experts and statistical criteria.

Ключевые слова: двумерный сигнал, метод размножения оценок, шум, выделение полезного сигнала, изображение. Key Words: two-dimensional signal, method of assessment multiplication, noise, selection of desired signal, image.

Цифровые системы восстановления изображений вольные тепловые процессы в ячейках фотосенсо-

с каждым годом находят самое широкое примене- ров и т. д. Одной из основных моделей шумов яв-

ние в различных областях науки и техники. В про- ляется аддитивный шум с гауссовской плотностью

цессе передачи и преобразования посредством ра- распределения, нулевым математическим ожида-

диотехнических систем изображения подвергаются нием и постоянной дисперсией. Причиной адди-

воздействию различных помех, что в ряде случаев тивного шума, в частности, может быть шум в элек-

приводит к ухудшению визуального качества и по- тронных цепях и тепловой шум сенсоров из-за нетере участков изображений. С широким внедрени- достатка освещения или высокой температуры.

ем цифровых систем связи увеличивается актуаль- Использование известных способов выделе -

ность решения задач восстановления изображений, ния полезного двумерного сигнала на фоне адди-

полученных с помощью фото- и видеокамер, с це- тивного шума требует априорных знаний об ис-

лью ослабления аддитивных шумов при реализа- ходном изображении и статистических свойствах

ции систем автоматической обработки двумерных аддитивной шумовой составляющей.

сигналов от светочувствительных матриц в циф- В связи с этим актуальной является задача

ровых фото- и видеокамерах и системах машинно- восстановления изображений при решении задач

го зрения. На практике часто встречаются изобра- выделения полезного двумерного сигнала на фоне

жения, искаженные шумом, который появляется аддитивного шума в условиях ограниченного объ-

на этапах формирования и передачи этого изобра- ема априорной информации.

жения по каналу связи. Причинами возникновения Цель работы - анализ результатов восста-

шумовых искажений изображения могут быть сбои новления изображений двумерным методом раз-

в работе канала связи, шум видеодатчика, дефект множения оценок и его модификацией в сравне-

пленки или сканирующего устройства, самопроиз- нии с известными методами.