Оптимальный алгоритм приема МЧМн-сигналов при использовании модели несущей в пространстве состояний Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.397.13

ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ПРИЕМА МЧМН-СИГНАЛОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МОДЕЛИ НЕСУЩЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Вадим Михайлович Советов, д.т.н., с.н.с., проф., каф. «Информационные системы и технологии», E-mail: sovetovvm@,mail. ru

Дарья Анатольевна Рыженкова, аспирант, E-mail: ryzhenkovada@mail. ru ФГБОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва

Синтезирована схема оптимального приема М-ичных частотно-манипулированных (МЧМн) сигналов при представлении несущих сигналов динамической моделью в пространстве состояний и использовании вектора начального состояния в качестве информационного вектора; показано, что оптимальный приемник МЧМн-сигналов представляет собой М каналов, в которых для вычисления апостериорной плотности вероятности М гипотез применяются фильтры Калмана, и данный алгоритм может использоваться также для приема сигналов с несинусоидальной несущей, при представлении их динамической моделью; получена формула расчета вероятности ошибки и приведены результаты этого расчета и моделирования.

The authors synthesized a scheme of an optimal reception of M frequency-manipulated signals in submitting carrier signals of dynamic model in the space of states and with the using of the initial state vector as an informational vector. It is shown that the optimal receiver of M frequency-manipulated signals represents M channels in which for calculating the posterior of probability of the M hypotheses, the Kalman filters are applied. Except that, the algorithm can also be used for receiving signals from the non-sinusoidal carrier, during the presentation of their dynamic model. The authors obtained a formula for calculating the probability of error and presented the results of this calculation and simulation.

Ключевые слова: динамическая модель, фильтр Калмана, оптимальный прием, пространство состояний, частотная манипуляция.

Keywords: dynamic model, the Kalman filter, the optimal reception, the state space, frequency shift keying.

При М-ичной частотной манипуляции (МЧМн) для передачи информации битовый поток разбивается на пакеты из n символов и каждый пакет передается на отдельной частоте из

М возможных, при этом п = 1о^М бит. Все М возможных пакетов и, соответственно, частот обозначим как М сообщения: тп / = 1, 2,..., М.

При МЧМн каждый из М сигналов разной частоты можно записать как [1]

где Т- длительность пакета из п символов.

Если начальная фаза одинакова для всех г, то сигналы когерентны. Для ортогональности когерентных сигналов минимальное частотное разделение между двумя любыми соседними когерентными сигналами должно быть 1/2Т, а соседними некогерентными 1/Т . В общем случае когерентные сигналы могут отстоять друг от друга на т/2Т, а некогерентные на т/Т . Обычно выбирается одинаковое частотное разделение между двумя соседними частотами [1].

Цель статьи - провести анализ помехоустойчивости приема МЧМн-сигналов при использовании динамической модели несущих сигналов в пространстве состояний

Известно, что гармоническое колебание можно представить динамической моделью в ПС в виде уравнения смены состояний и уравнения наблюдения состояний [2]:

у (к) - вектор наблюдения; С = [1 0 ] - матрица выхода уравнения наблюдения.

В работе [3] была рассмотрена задача оптимального приема одного из М сигналов, представленного моделью в ПС в общем виде в дискретном времени. В данном же случае начальный двухмерный вектор хг(0), і = 0,1, 2,..., М — 1 представляет собой случайный вектор сообщения, передаваемого на одной из М частот, и имеет детерминированные, но неизвестные на приемной стороне значения элементов. Тогда имеем случай выбора одной среди М гипотез Н , Н , • • •, Нм_х в любой момент времени к пока длится эксперимент:

(7) = А соз(2;г+ у/і) , кТ < і < {к +1 )Т для ті, і = 1, 2,..., М,

(ПС).

X (к +1) = Аі X(к)> УІ) = Схг(£),

(1)

(2)

0 1

где Лі

1 2соб щТ

матрица перехода состояний (МПС), і = 0,1; щ = 2п

н, : хг (к +1) = А-х. (к); уг (к) = Схг (к) + у(к ), к = 1,2,..., і = 0,1,2,...,М-1.

Стр. 17 из 120

Пусть аддитивная помеха у(к) представляет собой белый шум с нормальным

распределением и известными статистическими характеристиками:

Е{у(к)} = 0 - математическое ожидание;

ооу{у(к), у(^ } = V (к)&К (к - ]) - ковариационная матрица.

Решение о выборе той или иной гипотезы принимается по к последовательным наблюдениям:

¥(*) = у(1),у(2),...,у(*).

В результате решения задачи оптимального приема М-ичных сигналов при

представлении несущей моделью в ПС (1), (2) показано, что оптимальный приемник вместо коррелятора или согласованного фильтра содержит фильтр Калмана (ФК) [3]:

Хг (к) = Лхг (к -1) + К (к)[у (к) - СЛхг (к -1)], (3)

У-1(к + \\к) = АУ-1(к)А\ (4)

Кг (к) = (к\к- 1)СТ[СУ51 (к\к- 1)СТ + % Г1, (5)

V*,(к) = [1-К;(А')С]Ух (к\к-\), (6)

где X; (к) - оценка вектора состояния в /-м канале приема; Уг (к) - матрица ковариации ошибки оценки в г-м канале приема; К. (к) - весовая матрица.

Данный фильтр стоит в каждом канале приема, и для каждой гипотезы вычисляются в отдельном канале приема по алгоритму Калмана (3) - (6) оценка хг (к) и матрица ковариации ошибки оценки \±(к). На рис. 1 показаны результаты

моделирования работы алгоритма (3) - (6) для двух каналов приема при совпадении (рис. 1, а) и несовпадении (рис. 1, б) частоты несущей с частотой канала. Как видно, в отличие от коррелятора, в котором амплитуда сигнала постоянно возрастает, ФК выдает оценку несущей с амплитудой близкой к амплитуде несущего сигнала, при этом отношение сигнал/шум (ОСШ) возрастает за счет уменьшения дисперсии оценки, а не роста амплитуды.

Рис. 1. Сигнал на выходе ФК: а - при совпадении частоты канала с частотой несущей; б - при несовпадении частоты канна с частотой несущей (кривая 1 - несущая частота; кривая 2 -оценка несущей; кривая 3 - разностная частота)

Выбор решения осуществляется по критерию максимума отношения правдоподобий. Справедливой будет та гипотеза, у которой функционал

1

/,=-[* (*)VT4*)x,(*)-2x, (k)\7\k)x,(k) + +xj(k)\^(k)xl(k)]

(7)

имеет максимальное значение [3].

Рассмотрим симметричный случай, когда М сигналов имеют одинаковую энергию и равную априорную вероятность. В этом случае можно рассчитать вероятность ошибки при справедливости любой гипотезы, например Н0.

Ошибка произойдет, если /, >/0, у*0, 7 = 0,1,...,М-1:

P(e I Но) =1 -Рг(все lj < l0 : j * 0| Но). (8)

Поскольку гипотезы независимы и имеют одинаковые плотности вероятности, когда j * 0, вероятность ошибки на частотный символ вычисляется в соответствии с (8)

как

р = P(e I Но) = 1 — j” p(lo I Но)\ \l° p(lj I Ho)dl

J —” J —” J

M —1

dlQ.

(9)

Для нахождения р(/0 | И0) необходимо вычислить достаточную статистику /0 по формуле (7) при у = 0 :

1 Т ! Т , !

/о=-[ходаУ^Ч^)хода-2хо(^Ч^)х0(А:) + х5(А:)У^(^х0(А:)]. (10)

Для нахождения р(1] | И0) необходимо вычислить /. по формуле (7) при у * 0 :

1 Т ! Т , !

/, = — [х./ (А:) V* {к)х, (А:) - 2х_,-(Аг)У^ (Аг)х .(Аг) + хДОУГ^х,(А:)]. (11)

Рассмотрим составляющую

^(*) = х](Аг)УГ1 (А:)Х/(А:), у = 0,1,...,М -1,

входящую как в (10), так и в (11). На рис. 2 показаны результаты расчета £у (к) для случая

четырех гипотез при равной энергии частотных символов. Как видно, при использовании частот с одинаковой амплитудой энергии ВС примерно равны и при равных матрицах

ковариации ошибки оценки У^ можно принять, что х0{к)\^1{к)х0{к) = хтХк)\^1{к)хХк)

для всех 7 = 0,1,...,М — 1, и в выражениях (10), (11) опустить эти члены, так как они

приводят к одинаковому смещению р(/у | И0 ) . Тогда можно записать выражения как

1 Т ! Т ,

I' =--[хо(к)\^(к)хо(к)-2хо(к)\;;(к)х0(к)1 (12)

1 т 1 т 1

/ =--[х./(А:)УГ1(А:)х./(А:)-2х./(А:)УГ1(А:)х/(А:)]. (13)

2 ■1 ■1

5;(/с)

■60

40

20

•Л т-

* ! ■ Ш * «Г

0 100 200 300 400 5

Рис. 2. Составляющие Б/к) решающего правила на выходе четырех каналов приема МЧМн-сигнала при равной энергии частотных символов Теперь приемник должен сравнить между собой все /. (12), (13) и выбрать

максимальную, при этом для гипотезы И0 он будет использовать решающее правило:

2х« (АО V,1 (к)х0 (к) - хо (к) У-1 (к)х0 (к)

Ио

>

<

2х^|о (к)УГ1 (к^ (к) - х*|о (к)уг1 (£)х,|о (к), (14)

где ] | 0 означает, что оценка получена в канале приема у, когда на входе присутствует сигнал для гипотезы И0.

Рассмотрим левую часть неравенства (14) и представим оценку в виде

Х0 (к) = х0(к) + 10(к). (15)

Подставив (15) в (12) получим:

I' = 2[х0(к) + 10(к)Г(к)У^(к)х0(к)-[х0(к) + ^(к)УУ^(к)Ык) + ад].

Раскроем скобки и представим выражение в следующем виде:

г0 = х^ (к) уг; (*)х0 (к)+?0 (кууг; (к)х0 ок) -

“х5 С*)^1 (к)х0 (к) - (к) УГ1 (к)х0 (к). (16)

Математическое ожидание (16)

Е{1’} = Е{х1(к)У~о\к)х0(к) + ?0(к)У^(к)х0(к) -

-х1(к)У^(к)10(к)-Г0(к)У^(к)10(к)} = хЦк)У^(к)х0(к) .

По определению, дисперсия

уаг{!’} = Е{[?0(к)У^(к)х0(к)-х1(к)У^(к)^(к)-?0(к)У^(к)*0(к)] х Раскрыв скобки, получим:

уаг {/'} = Е{х;дауГо1даХ0(А:)^(А:)(уГо1да)Т х0(£)}.

По определению Е{х(А;)хт(А;)} = У^(£) и с учетом симметрии матрицы ковариации (уг-‘да)т=у;'(к>, окончательно получим: уах{Г0} = *1(к)УГо\к)х0(к).

Зная математическое ожидание и дисперсию гауссовской случайной величины, можно записать её распределение как

1 [ ио-ч(к)У^(кК(к)]2} _

р(10\Н0) = -г ^=ехр|-----т ° ... ■ (17)

^2л:х1(к)У^ (к)х0(к) [ 2х0(А:)У~о (к)\0(к) J

Рассмотрим далее правую часть неравенства (14)

^|о =2ху|о(А:)УГ1(А:)ху(А:)-Ху|о(А:)УГ1(А:)ху|о(А:) .

Значение х]| о(к) в точках ортогональности сигналов равно нулю. Более того, при увеличении к весовая матрица Калмана К.(к) стремится к нулю и хл\о(к) стремится к нулю (см. рис. 1, б). Поэтому математическое ожидание будет

Е{/;,0 } = Е{2х^|о (к)УГ1 (к)х (к) - х;|о (к)\^(£)х,|о (к)} = 0.

•' 1 и •’ и

Будем считать, что дисперсии ошибки оценки в каналах одинаковы, так как матрицы ковариации ошибки оценки рассчитываются независимо от наблюдений. Тогда так же получаем гауссовское распределение при нулевом математическом ожидании:

Щ\Щ) =

1 | л

. = ехр |--------^---------

^2лх].(к)\^(к)х^к) [ 2х)(к)Ух (к)х1(к)

(18)

Вероятность ошибки на частотный символ в соответствии с (9), (17) и (18) будет

1

I--------------------ехР'1

^2жх1(к)Х~'(к)х0(к) | 2хт0(к)У^ (к)х0(к)

[Г0-х1(к)\:Чк)х0(к)?

М-1

I

„2

■ ехр<----------^---------

^27гх](к)У^(к)х1(к) [ 2х].(к)у^(к)^.(к)

ёГ,

(20)

Путем замены переменных выражение (20) можно представить в виде

р-=1“Г^ехр{4(-'-'/х»дау^да,1»да)2}[11^ехр{4

Для сокращения записи используем функцию

--У ГёУ

ехр

и

2

ёи,

откуда

= £ехР|-1 у2 ГёУ =1 -б(л)

и

1\ = 1 -ехр)-1(г-^(к)У~](к)х0(к)| |[1 -е(г)]М_1йЬ. Верхнюю границу вероятности ошибки можно записать как

р,<(м- 1>е(^да<(*кда).

М-1

ёг.

(21)

Стр. 22 из 120

Известно, что верхняя граница вероятности символьной ошибки для равновероятных ортогональных сигналов с когерентным детектированием вычисляется по формуле

РЕ (М) < (М -1)0

(23)

где Е = Е М - энергия, приходящая на символ; Еь - энергия, приходящая на один

бит (один элемент символа).

Вероятность символьной ошибки для равновероятных М-ичных ортогональных сигналов с некогерентным детектированием определяется следующим выражением [1]:

Ре (М) = т1бХР

г

М

N ]^(-1)

V у]=2

'М л { еЛ

ехр

V1 у V у

(24)

где

М!

1 !(М - ])!

- биномиальный коэффициент.

Для бинарного случая формула сокращается до такой:

1

Рв = т ехР

V 2^0 у

(25)

На рис. 3 показаны результаты расчета вероятности ошибки на бит по формулам (21) - (25) при некогерентном (кривые 1) и когерентном приеме (кривые 2) в зависимости от отношения Е/^о в течение времени, т.е. от количества накапливаемых отсчетов. Как видно, вероятность ошибки при использовании ФК колеблется около значений кривой при когерентном приеме для заданного значения Еъ/Н0 . Колебания объясняются тем, что в

выражении (22) ОСШ определяется функционалом х{}(к)\^(к)х{}(к) в зависимости от числа отсчетов, в котором хт (к)х0 (к) представляет сумму двух квадратов отсчетов синусоиды, а Ух^' (к) в пределе представляет диагональную матрицу, члены которой стремятся к обратной величине дисперсии оценки.

Рь 1

Рис. 3. Вероятность ошибки на символ для М=2 (верхние кривые) и М=16 (нижние кривые): кривая 1 - некогерентный корреляционный прием; кривая 2 - когерентный корреляционный прием;

кривая 3 - некогерентный прием с ФК

В связи с этим с течением времени, т.е. с увеличением числа накапливаемых отсчетов (см. рис. 2), наблюдаются колебания ОСШ и, соответственно, колебания вероятности ошибки. Следует отметить также, что случаи, когда вероятность ошибки при использовании ФК становится меньше вероятности ошибки при когерентном приеме, не означают, что превышена потенциальная помехоустойчивость. На рис. 3 кривые 3 показывают процесс накопления энергии со временем. При одном и том же времени накопления в случае пропорционального (как это имеет место при прямоугольном импульсе) и непропорционального (как это имеет место при накоплении энергии синусоиды) увеличения энергии времени накопления отношения энергий будут различны. При одинаковых энергиях помехоустойчивость некогерентного приема с использованием ФК будет хуже, чем помехоустойчивость при использовании когерентного корреляционного приема, однако, как это видно из графиков, лучше, чем при использовании некогерентного корреляционного приема. Последнее объясняется тем, что ФК накапливает энергию отрезка синусоиды независимо от ее начальной фазы (см. рис.1, а), поэтому нет необходимости в использовании двух квадратурных каналов, которые удваивают дисперсию шума.

Таким образом, представление МЧМн-сигналов моделью в пространстве состояний позволяет повысить помехоустойчивость приема таких сигналов в случае незнания фазы несущих.

Литература

1. Xiong Fuqin, Digital Modulation Techniques, Second Edition. ARTECH HOUSE, INC. 2006.

2. Советов В.М. Оптимальный прием частотно манипулированных сигналов на основе динамической модели несущей частоты // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т.6. №3. С. 14 - 19.

3. Советов В.М., Медведев П.А. Оптимальный алгоритм приема М сигналов при использовании модели несущей в пространстве состояний // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т.6. №4. С. 7 - 12.

Поступила 15.11.2011 г.