CC BY
9Далее, так как г — квадратичный вычет, а (—г) — квадратичный невычет по модулю д, то находим
= ^ V 1.
п ^ r |r|<M
По лемме 3 имеем |cm| « q 1/2e |m|/M. Преобразуем H2:
Следовательно,
q-1 /n2\ q-1 2
h2 = J2Rm(-)= £ +eiql'2M-4ogM.
n=1 ^ q ' 1<|m|<M log M n=1
H2 « £ e-|m|/M + 1 « 1. 1<|m|<M log M
Таким образом, получим
|r|si^çlogç п>М V 4 7
V9 V^ 1 , r>ri\ - (n
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Davenport Н. Multiplicative number theory // Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74. 2nd ed. N.Y.; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1980.
2. Дэвенпортп Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Наука, 1971.
3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.
Поступила в редакцию 27.06.2014
УДК 511
ОЦЕНКА ОДНОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СУММЫ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
M. HI. Шихсадилов1
В работе рассматривается класс F, состоящий из всех мультипликативных функций /, таких, что для некоторой постоянной A ^ 1 выполняется неравенство |/(p)| ^ A при всех простых числахp и I/(n)|2 ^ A2N. Доказывается, что при любом вещественном
иррациональном алгебраическом числе а и для любых натуральных k и N равномерно по
всем мультипликативным функциям / из класса F имеет место оценка
N N
S(a) = f(n)p(na) j—jy,
n= 1
где p(t) = 0, 5 -{t}.
Ключевые слова: мультипликативная функция, метод И. М. Виноградова. The class F consisting of all multiplicative functions / satisfying the inequality |/ (p)| < A for some constant A > 1 and all primes p and 5^N=1 |/(n)|2 ^ A2N is considered. It is proved
1 Шихсадилов Марий Шихсадилович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.
that for any real irrational algebraic a and for all natural numbers k and N the following
estimate holds uniformly over all multiplicative functions f from F:
N N
s(a) = f(n)p(na) j—jy,
n= 1
where p(t) =0, 5 — {t}.
Key words: multiplicative function, Vinogradov's method.
1. Формулировка результатов. Определим класс F мультипликативных функций f, удовлетворяющих следующим двум условиям:
1) найдется вещественное число A ^ 1, такое, что для любого простого числа p выполняется неравенство |f (p)| ^ A;
N
2) для любого натурального числа N имеем ^ |f (n)|2 ^ A2N.
n= 1
В настоящей работе при любых натуральных k и N найдены оценки сумм вида
N
S = S(N) = S(N; a) = ^ f (n)p(na),
n=1
где f — любая мультипликативная функция из класса F и p(t) =0, 5 — {t}.
Очевидно, справедлива оценка
|S(N; a, k)| <
\
N
]T|f(n)|2N/4 < AN/2.
n=1
Докажем следующее утверждение.
Теорема. Для любого вещественного иррационального алгебраического числа а имеем оценку
а, \ N
^ ым-
Теорема является обобщением результатов работ [1-3].
2. Вспомогательные утверждения. Следующая лемма принадлежит X. Л. Монтгомери-Р. К. Вону [3, с. 71-72].
Лемма 1. Для любой функции f е / справедливо неравенство
К = £ Л(ш)^(шф - f (ш^(ф| < N.
Для дальнейшего нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть и, V — некоторые последовательности натуральных чисел, и пусть
1<[/<Ж, 2и^и'<4и, а = - + (а, (?) = 1,1 < < Ж,
Я Я2
= ^ Р(™а)р(то1 а).
Тогда, справедлива оценка,
а
En + + V^logJV).
Доказательство. Так как функция р(х) является нечетной и периодической с периодом 1, то ее достаточно изучать при 0 ^ х ^ 1/2. Далее для любого М ^ 2 получим
Е+ sin 2п sx
-,р{х) = sM{x) + Rm{x),
ns
s=1
, . 1 ^ sin2nsx . ^ , .. , . 8
«м(ж) = - >-, \RM{X)\ ^ (Тм{х) = , ==■
n S=1 s V1 + M2 sin2 nx
Лемма 3. Пусть u и v пробегают возрастающие последовательности натуральных чисел, и пусть
a О
1 < U < N, 2U < U' < 4U, g,h е F, а = - + (a, q) = 1,1 < q < N,
q q2
= ^ g(u) ^ h(v)p(uva).
U<u^U' uv<N
Тогда, справедлива оценка,
^t-гт-, „(1 q ln q ln q Ux 1/2
^'«^U + V + ir + jv,
u для любого вещественного алгебраического иррационального числа, а имеет место неравенство
1/2
Доказательство. Используя неравенство Коши, находим
2
|E(U)|2 < AU £
U<u<U'
Преобразуем сумму Ei:
У^ h(v)rk (uva)
uv<N
= AU Ei.
Ei = £ h(v) h(vi)En,
v^N/U v^N/U
где
E11 = ^ p(uva)p(uv1 a).
^ l v 'vi' J
3. Доказательство теоремы. Имеем
U(N) = ^ f (n)p(na) In N/n = S(N) In N - ^ f (n)p(na)ln n = S(N) In N - T(N).
n^N n^N
Пользуясь неравенством Коши, находим
|U(N)|2 |f(n)|2 £ ln2 (N/n) < A2N2.
n^N n^N
Таким образом, получаем S(N) ln N ^ AN + |T(a)|.
Далее для функции Мангольдта Л воспользуемся тождеством ln n = ^ Л(т). Имеем
m|n
T (N f (n)p(na) ^ Л(т) = ^ f (md^(d)p(mda).
n^N m|n md^N
Согласно лемме 1, имеем
|T(N)| < R + |W(N)| < N + |W(N)|,
где
W(N) = Y^ Л(т)/(m)/(d)p(mda).
md^N
Отсюда находим W (N) = P (N) + V, где
P(N) = £ lnp/(p)/(d)p(pda), |V| < £ £ lnp|/(pr)| £ |/(d)|.
pd^N r^2 pr^N d^Np-r
Пользуясь неравенством Коши, получим
|V | < AN £ |/(pr)|p-r ln p « N.
P,r>2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1
sei. Paris. Ser. A. 1974. 278. 657-660.
2. Dabousst H. Fonctions multiplicatives presque périodiques B. D'après un travail commun avec Hubert Delange // Journées Arithmétique de Bordeaux (Conf. Univ. Bordeaux, 1974). Astérisque. 1975. 24—25. 321-324.
3. Montgomery H.L., Vaughan R.C. Exponential sums with multiplicative coefficients // Invent. math. 1977. 43. 69-82.
Поступила в редакцию 27.06.2014
УДК 539.3
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПЛОСКИЙ ПОРИСТЫЙ СЛОЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
И. О. Фасхеев1
В статье приводится постановка и численное решение задачи об одномерном поперечном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь плоский деформируемый пористый слой конечной толщины из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора при конечных деформациях.
Ключевые слова: насыщенные пористые среды, деформируемый каркас, жидкая фаза, краевые задачи, интерактивные взаимодействия, конечные деформации.
The problem of one-dimensional transversal time-independent flow of compressible fluid through the plane deformable porous layer with finite thickness made of an incompressible material in the case of finite strains with influence of Darcy's interaction and frontal head pressure forces is formulated and numerically solved.
Key words: saturated porous media, deformable skeleton, liquid phase, boundary value problems, internal interactions, finite strains.
В развитие классических работ по механике пористых насыщенных сред [1-4] в работе [5] предложена модель с интерактивными силами, учитывающая материальные межфазные взаимодействия [6] и различные режимы движения жидкости и каркаса [7].
В предыдущей работе автора [8] рассмотрена задача об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора в случае малых деформаций каркаса. В настоящей работе рассматривается аналогичная задача в случае конечных деформаций твердого каркаса.
В работе [8] ввиду малости перемещений точек каркаса пористость каркаса m, а также коэффициенты, характеризующие интерактивные силы типа Дарси и фронтального напора (do и со соответственно), принимались постоянными.
В случае конечных деформаций будем считать пористость функцией от координат, а коэффициенты интерактивных сил — функциями пористости. В качестве функций d(m) и c(m), характеризующих
1 Фасхеев Игорь Олегович — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fiomsu®maïl.ru.
