О необращении в нуль L-функции Дирихле при s=1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

фиксированного прямоугольника у соответствующих диаграмм Юнга расположено не более 4m клеток. Поэтому, используя элементарные соображения математического анализа, получаем, что EXP(V) = m. Теорема доказана.

Следствие. Для любого целого m, m ^ 2, существует почти нильпотентное многообразие экспо-m.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы, а также из результата работы [3] о существовании почти нильпотентного подмногообразия в любом ненильпотентном многообразии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

2. Фролова Ю.Ю., Шулежко O.B. О почти нильпотентных многообразиях алгебр Лейбница // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2013. 84-85.

3. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.

4. Зайцев M.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

Поступила в редакцию 10.02.2014

УДК 511

О НЕОБРАЩЕНИИ В НУЛЬ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ ПРИ s = 1

В. Н. Чубариков1

Дано новое доказательство теоремы Дирихле о том, что в случае простого модуля q = 3 (mod 4) L-ряд Дирихле с вещественным характером не обращается в нуль.

Ключевые слова: ряд Дирихле, сумма Гаусса, "зубчатая" функция. A new proof of Dirichlet's theorem that a Dirichlet L-series for a prime modulo q = 3 (mod 4)

Key words: Dirichlet's series, Gaussian sum, "saw-tooth" function.

В настоящей работе дано новое доказательство теоремы Дирихле о том, что в случае простого числа q = 3 (mod 4) L-ряд Дирихле

оо

' n

n=1 ^

n-s

не обращается в нуль в точке 5 = 1, где х(п) = ) — символ Лежандра (см., например, [1, с. 9; 2, с. 16]). Весьма полезными для решения этой задачи оказались суммы Гаусса вида

1 , -лг

£ = у е2тпУМ =

^ 1 + г-1

n=0

В частности, при N = 3 (mod 4) имеем S = гл/N.

Лемма 1. Пусть q — простое число, q = 3 (mod 4). Тогда

q-1 / о\ 1 9-1 /

n=l 4 7 m=l

где p(x) = \ — {x}. Кроме того, число qH будет нечетным.

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.

Доказательство. Имеем

Далее находим

Лемма доказана.

n=1 4 ' n=1 4 4

q — 1 1 / /m\\fml 1 q—1 (m

—-Е^ + УЛтГ-^/Чт

m=1 4 \ ± // \ ± у m=1 4

q-1 /m\ q-1 _ 1

-gii = E mi — j = E m = q ■ —-— = 1 (mod 2).

m=1 / m= 1

Лемма 2. Пусть п — натуральное число, зп = ^ • Тогда справедлива формула

т= 1

р(х) = Sn(x) + CTn(x), |an(x)| ^ Rn(x),

где

4

=

уг + n2 sin2 nx

Доказательство см. в [3].

Лемма 3. Пусть n — натуральное число, Rn(x) = cme2mmx. Тогда, при n ^ 2 и m ^ 0

m

m=

справедлива оценка

4(4 +In п) /п

<-т, — т, с-

nn

Доказательство см. в [3].

Теорема. Пусть q — простое число, q = 3 (mod 4). Тогда, при q — то имеем,

Н = & Е 1+o(i),

7Г ^ Г

где г пробегает квадратичные вы,четы по модулю q. Другими словам,и, справедлива, асимптотика

ВДХ) = 5 Е ~г + 0(q~1/2) ^ 0,

где х — символ Лежандра по модулю q.

Доказательство. Положим М = [^/qlogq]. Тогда по лемме 2 имеем // И\ I вН2, \9\ ^ 1, где

m=M q—1 2 q-1 / 2

m=—M n= 1 n= 1 x 4

и символ ' в суммировании означает, что m = 0.

Поскольку вычет — 1 является квадратичным невычетом по модулю q = 3 (mod 4), сумму H1 можно представить в виде H1 = H11 + H12, где

1 ,„i2 .. _ . ^ 1

2nir ^ ^ 2nir'

|r|<M fc=1 |r|<M

1 q—1 k2 1

2nin ^ ' 2nin

|n|<M fc=1 |n|<M

г n q.

Далее, так как г — квадратичный вычет, а (—г) — квадратичный невычет по модулю д, то находим

= ^ V

п ^ r |r|<M

По лемме 3 имеем |cm| ^ q 1/2e |m|/M. Преобразуем H2:

Следовательно,

q-1 /n2\ q-1 2

Я2 = £Ям(-) = £ +eiql'2M-4ogM.

n=1 ^ q ' 1<|m|<M log M n=1

H2 « Y, e-|m|/M + 1 « 1.

1<|m|<M log M

Таким образом, получим

|r|si^çlogç n>M КЧ У

VQ v^ 1 , _ (п

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davenport Н. Multiplicative number theory // Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74. 2nd ed. N.Y.; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1980.

2. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Наука, 1971.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.

Поступила в редакцию 27.06.2014

УДК 511

ОЦЕНКА ОДНОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СУММЫ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

M. HI. Шихсадилов1

В работе рассматривается класс F, состоящий из всех мультипликативных функций /, таких, что для некоторой постоянной A ^ 1 выполняется неравенство |/(p)| ^ A при всех простых числахp и I/(n)|2 ^ A2N. Доказывается, что при любом вещественном

иррациональном алгебраическом числе а и для любых натуральных k и N равномерно по

всем мультипликативным функциям / из класса F имеет место оценка

N N

S(a) = f(n)p(na) j—jy,

n= 1

где p(t) = 0, 5 -{t}.

Ключевые слова: мультипликативная функция, метод И. М. Виноградова. The class F consisting of all multiplicative functions / satisfying the inequality |/ (p)| < A for some constant A > 1 and all primes p and 5^N=1 |/(n)|2 ^ A2N is considered. It is proved

1 Шихсадилов Марий Шихсадилович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.