Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

ОЦЕНКА КВАДРАТИЧНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

Ф. З. Рахмонов1

Получена оценка для модуля тригонометрической суммы с простыми числами S2(a; x, 1) = ^Л(п)е(а(п + 1)2),

когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма, простые числа, функция Мебиуса, функция Мангольдта.

An estimation of the modulus of an exponential sum over primes

S2(a; x, 1) = Л(п)е(а(п + 1)2)

n^x

is obtained, where а is approximated by a rational number with a large denominator. Key words: exponential sum, prime numbers, Mobius function, Mangoldt function.

Введем обозначения: L = ln x, ц(п) — функция Мебиуса; Л(п) — функция Мангольдта; тг(п) — число решений уравнения Х1Х2 ...Xr = п в натуральных числах Xi,X2,... ,xr; \\t\\ = min({t}, 1 — {t}) —

a , в

i — всщситвсиние чиили и et —

Теорема. Пусть x ^ xo > 0, тогда

расстояние от t до ближайшего целого; а — вещественное число и а = | + (а, q) = 1, q ^ 1, \в\ ^ 1.

6*2(0;;х, 1) = ^Л(п)е(а(п + I)2) < (xq » + ж" + x^q* j L8.

n^x

Доказательство теоремы проводится методом И. М. Виноградова [1] оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Основу доказательства составляют леммы 1 и 2. При их доказательстве будем пользоваться следующими известными оценками [2, 3]:

v+H , 1 .

У^ е(ах) ^ min I Н, ——- | , Н ^ 1, у целое; (1)

\ ZIIQMI / x=v+1 1111/

X /1 1 1 \

^rmin^lK + ^ir1) ^10XY(- + - + y + ^vjlnq] (2)

x=1 ^q '

£ (n) « y(ln y)r2-1. (3)

n^v

Лемма 1. Пусть M ^ 1 и N ^ 1 — произвольные положительные числа, M ^ N , MN ^ x, am и bn — функции натурального аргумента, такие, что

£ \ат\2 < MLCa, \bn\2«NLс», С1 = ^±^ь + 9

M<m^2M N<n^2N

Тогда справедлива оценка

W= ат bne(a(mn + I)2) <С MN + + + LC1.

M<m^2M N<n^2N

mn^x

1 Рахмонов Фируз Заруллоевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: [email protected].

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что М ^ у/х. Применяя неравенство Коши, найдем

\W|2 « MLCa Е Ibnibn2\

N<ni ^2N N<n2 ^2N

У^ e(a((ni — n2)(m2(ni + n2)+2m)))

M<m^2M mni

Возводя обе части последнего неравенства в квадрат и затем дважды применяя неравенство Коши, получим

\W\4 « M2N2L2c*+2cb Y, е

N<ni ^2N N<n2 ^2N

У^ e(a(n1 — n2)(m2(n1 + n2) + 2m))

M<m^2M mni ^x,mn2^x

Разобьем двойную сумму по переменным щ и щ на три части, для которых соответственно выполняются условия щ < П2, и\ = щ и щ > П2- Оценим сумму с условием щ = П2 величиной порядка М2Н. Воспользуемся симметричностью двойной суммы относительно щ и П2. Имея в виду, что условие ти2 ^ х при щ < и является следствием ти\ ^ х, и представляя щ как щ = и2 + г, 0 < г ^ N, имеем

/

|W|4«

е е

0<r^N M<mi ,m2^2M

У^ e(2arn(m1 — m2)(m1 + m2))

N<n^2N-r mi(n + r)^x,m2(n + r)^x

\

+ M 2n

M 2 N 2L2Ca+2cb.

/

Разбивая двойную сумму по переменным т1 и т2 на три части, для которых соответственно выполняются условия т1 < т2, т1 = т2 и т1 > т2, и прибегая к использованному ранее приему, получим

/

|W|4«

е е е

0<r<N 0<k<M M<m<2M-k

У e(2arnk(k + 2m))

N<n^2N-r (m + fc)(n + r)^x

\

+ MN2

M2 N2 L2ca + 2cb .

/

Применяя к сумме по п оценку (1), затем учитывая, что число решений уравнения 2rk(k + 2m) = n относительно r, k и m не превосходит тз(п), и имея в виду, что 2rk(k + 2m) ^ 8М2 Ж, находим

< | У т3(п) min fЖ, + MN2 ) М2N2Ь2са+2с».

\n^8M2 N 4 и и/ у

Возводя обе части этого неравенства в квадрат, с помощью неравенства Коши и оценок (3) и (2) получим

\W\8<М8Ж8 ( 1 + -- + -^- +

1 1

1

q

q N M2 M 2N2

L

4Ca+4cb + 9

Лемма 2. Пусть М ^ 1 и N ^ 1 — произвольные положительные числа, М ^ N , МН ^ х, ат функция натурального аргумента, \ат\ ^ 1пт. Тогда справедлива оценка

№ = ^ ат ^ е(сх(тп + I)2) < + (МЛГ)+ уДШд^ Ь5.

тп^х

Доказательство. Возводя сумму W в квадрат и разбивая ее на три части, для которых соответственно выполняются условия m\U\ < m2U2, т\П\ = m2U2 и m\U\ > m2U2, найдем

\W2| =2|Wi| + O (MNL5) ,

Wi = ami am2 Е e(a(miUi - m2U2)(miUi + m2U2 + 2)).

M<mi^2M M<m2^2M N<n^2N N<n2 <2N

m1n1^x m2 n2<mi ni

2

Введем вместо переменной суммирования щ переменную r = m1n — m2n2. Тогда

W1 = ^ ami E fl™2 E E e(ar(2m2 n2 + r + 2)),

M<mi <2M M<m2<2M Ri<r<R2 N^<n2 <N2

т2П2 =-r( mod mi)

где

/ T Nm1 — r\ ( x — r 2Nm1 — r

iVi = max ЛГ,-±- , N2 = min 2ЛГ,-,---

m2 m2 m2

R1 = max (1, N(m1 — 2m2)), R2 = min (x — m2N, N(2m1 — m2)).

Разбивая сумму W1 на слагаемые с условием (m1 ,m2) = d, d ^ 2M, затем переходя от переменных m1 и m2 соответственно к переменным m1 и m^, которые между собой связаны с оотношениями m1 = m1d, m2 = m'2d, (m1 ,m'2) = 1, получим

W1 = ^ ^ ami d am'2 d e(adr' (dr' — 2)) ^ e(2ad2 r'mi, n2),

d i d d 2 d

(m-.

m2n2 =-rf( mod m^ )

где

. / T ffm'i — r'\ . ( ж — r'd 2Nm1 — r'\

N[ = max TV,-L- , ^ = min 2ЛГ,-y—,-^- .

\ m'2 / \ m'2d m'2 /

Сравнение т^П2 = — r'(mod m\) равносильно сравнению П2 = — r'(m2>)-1(mod m\). Поэтому, представляя П2 в виде П2 = —r'(m2)-1 + n^m^, находим интервал изменения п'2-

N1 + r'(m2)-1 , N2 + r'(m2)-1 жт„ жт„ ж т„ Nd

w/ = -v—2/— / ^ _2-V—2/— = Nn Nn _ Nn ^-_

1 m1 2 m1 2 2 1 M

Имея в виду, что R2 ^ 3MN, e(2ad2r'm'2n2) = e(—2ad2r'2m'2(m'2)-1)e(2ad2r'm'1m/2n/2), и переходя в к оценкам, получим

W1 < E E \ami d^ E \am2 d\ E

d<2M M<m'id<2M M<m'.

Применим к сумме по n2> оценку (1). Тогда

M<m'2 d<2M d<r'd<3MN

У e(2ad2 r'm'1m'2n'2)

Ni'<n2<N2'

zee

V М ' ||2а^2г'т'тт^!

МОп'^^М М<т^<2М

Разбивая отрезок суммирования по d не более чем на £ интервалов вида В < d ^ 2В, В ^ 2М, затем обозначая произведение 2d2г'т^т^ через и и учитывая, что 2М2 < 2d2г'т^т2 ^ 6М3НВ-1, получим не более £ сумм (В) вида

(2НВ 1 \

-м)> ^п) <<г4(п).

М 1|а:и11/

2Ш-<П^0Ш"1\В - II II/

Возведем сумму ) в квадрат. Последовательно применяя неравенство Коши, оценки (3) и (2), нахо-

дим

2т\ ^ Лж2лт2г15 л,г2Лт2 I 1 , В , М , % \ т ^ лж4Лт4 / 1 , М , % \ г 16

« М N L . МЧ' + ^ + _ + j L « M-iV- J- + - + ^ ) L».

i

Доказательство теоремы. Пользуясь тождеством Вона [3, с. 60J при и = х з, имеем S2(a;x,l) =T1-T2-T3 + o(x*L), Tl = ^ß{d) ^ (\nl)e(a(dl + l)2),

d<« l<xd-1

T2 = J2 Kd)J2A(n) E e(a(dnr + 1)2), T3 = ^ ^»(d) E A(n)e(a(mn + 1)2).

n<w r<x(dn)-1 w<m<x«-1 d/m u<n<

d<u

1

Оценка Ti. Имеем

Г x dt

Т1= e(a(dl + I)2)— "С Lmax

J1 t t<x

d^min(-u,x/t) t^l^xd-1

Kd) e(a(dl +1)2)

d^min(«,x/t) t^l^xd-1

Разобьем отрезки суммирования по й и I не более чем на Ь2 интервалов вида М < й ^ 2М, N < I ^ 2N. Получим не более Ь2 сумм Т\(М^) вида

Т(M,N)= ^ ц(й) ^ е(а(й1 + 1)2), М < и.

M<d^2M N<l^2N

dl^x

Применяя лемму 2, будем иметь

Ti(M, N) < ((MN)q-* + (MN)*M* + л/MNqL5 < + ж^ + ^ж^) L5.

Оценка T2. Разбив отрезки суммирования по m и n не более чем на L2 интервалов вида D < m ^ 2D, D ^ u2, F < n ^ 2F, получим не более L2 сумм T2D, F) вида

T2(D,F)= ^2 Ф(т) ^2 e(a(mn + 1)2), ф(т) = ^ A(d)ß(m/d), \ф(т)\ ^ lnm.

D<m4-2D F<n^2F d\m,d^u

mn^x m/d^u

Величины ca и c^ в лемме 1 для суммы T2(D,F) имеют значения ca = 2 и Сь = 0. Поэтому ci = 17/8. Возможные случаи: (а) D ^ u; (б) D > u, D ^ F; (в) D > u, D > F, F > u; (г) D > u, D > F, F ^ u. Случай (а). Имеем D ^ u. Оценивая сумму T2(D,F) аналогично сумме Ti(M, N), найдем

T2(D,F) < ([DF)q~^ + (DF)*D? + y/DFq^ L5 < (ж<Г^ + ж^ + y/xq^ L5.

Случай (б). Имеем и < D ^ F. Из неравенства _D2 ^ ^ ж следует, что ^ д/ж. В лемме 1 полагая M = D, N = F, получим

T2(D,F) < (DFq-Ь + (DF)7/8D1/8 + DF ■ + (L>F)M) < (ж<Г^ + жМ) .

Случай (в). Имеем и < F < D. Как и в предыдущем случае, покажем, что ^ д/ж. Применяя лемму 1 при M = F, N = D, будем иметь

T2(D,F) < (DFq'i + (DFy^F1/8 + • + (DF)iq^ < (ж<Г^ + ж^ + L^.

Случай (г). Имеем F < u < D ^ u2, DF ^ x. Применяя лемму 1 при M = F, N = D, получим

T2(D,F) < [DFq-i + (DFy^F1/8 + DF% + (DF)iq^ < (ж<Г^ + ж^ + L^.

Оценка T33. Разобьем интервалы суммирования по m и n не более чем на ln2 N интервалов вида D < m ^ 2D и F < n ^ 2F. Получим не более L2 сумм T^(D, F) вида

Тз ^2 ат Чп)е{а{тп +1)2), =

Д<т<2Д ¿/т

тп^х с1^и

Величины са и с^ в лемме 1 для суммы Тэ(Д ^) имеют значения са = 3 и с^ = 2, поэтому Сг = 29/8. Пусть V ^ F, тогда 1} ^ л/ГУР ^ д/ж, и, в лемме 1 полагая М = И, N = Р, найдем

/ 1 , ч7/о 1 /о 1 , . 3 1 \ 29 / 1 16 3 1 \ 29

Тз(Д^) < (DFq-s + (№)7/81)1/8 + 1}^.1}-4 + (DF)iqz\ Ь~ < +жй +Ж4 58 j

Случай F < D рассматривается аналогично.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Избранные труды. М: Изд-во АН СССР, 1952.

2. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. 22, № 7. 391-393.

3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 29.10.2010

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Д. А. Дагаев1

Рассматривается задача о сложности реализации функций трехзначной логики, принимающих значения из множества {0,1}, формулами в неполных базисах. Получены верхние и нижние асимптотические оценки для соответствующих функций Шеннона.

Ключевые слова: функции трехзначной логики, формулы, сложность формул.

The problem of the complexity of realization of functions of the three-valued logic taking values from the set {0,1} by formulas over incomplete generating systems is considered. Upper and lower asymptotic estimates for the corresponding Shannon functions are obtained.

Key words: functions of three-valued logic, formulas, complexity of formulas.

В данной работе рассматривается задача о сложности реализации функций трехзначной логики, принимающих значения из множества {0,1}, формулами над конечными системами. Некоторые результаты в этом направлении получены в [1]. Все определения можно найти в [2-6].

Пусть к ^ 2, и ^ 1. Положим Ek = {0,1,...,k — 1}. Обозначим через En множество всех наборов а = (ai,..., an), таких, что ai,...,an Е Ek. Множество всех функций k-значной логики будем обозначать через Pk, а множество всех функций трехзначной логики, принимающих значения только из множества E2, — через P3 2. Пусть G С Pk. Обозначим через [G] замкнутый класс, порожденный системой G, а через G(n) — множество всех функций из G, зависящих от переменных xi,...,xn, и ^ 1. Пусть f(xi,...,xn) Е [G], Ф — формула над G, реализующая функцию f, а F С [G]. Обозначим через L^) число символов переменных и констант, входящих в формулу Ф (сложность формулы Ф), через LG(f) — сложность функции f, а через Lg(F(и)) — функцию Шеннона для множества F. Пусть x — переменная, входящая в формулу Ф. Обозначим через N(Ф; x) число вхождений переменной x в формулу Ф.

О. Б. Лупанов [4] показал, что для любой полной системы булевых функций G выполняется соотношение

2n

ЬаШп)) ~ ;-

log2 U

(см. также [2, 3]). Известно [7], что для любой конечной системы G С P2 найдется константа c = c(G), такая, что для любой функции f (xi,... ,xn) из [G] имеет место неравенство LG(f) ^ cn. В работах [8, 9] для некоторых конечных полных базисов G С Pk, к ^ 3, получено соотношение

kn

LG(Pk(n))

logfc п

(см. также [10]). Пример последовательности функций 4-значной логики, сложность реализации которых в классе формул над некоторой конечной неполной системой имеет сверхэкспоненциальный порядок роста от числа переменных, приведен в [11].

1 Дагаев Дмитрий Александрович — доцент НИУ ВШЭ; e-mail: [email protected].