О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих в «Почти всех» очень коротких промежутках окрестности критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17 Выпуск 3

УДК 511

О КОЛИЧЕСТВЕ НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИХ В «ПОЧТИ ВСЕХ» ОЧЕНЬ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ

ПРЯМОЙ

До Дык Там (г, Белгород)

Аннотация

Центральной проблемой аналитической теории чисел является доказательство (или опровержение) гипотезы Римана. К настоящему времени она не решена.

В 1985 году А. А. Карацуба доказал, что при любом 0 < е < 0,001 0, 5 < а < 1, T > T0(e) > 0и Н = T27/82+е в прямоугольнике с вер шинами а + ¿T, а + ¿(T + Н), 1 + ¿(T + H), 1 + ¿T содержится не больше, чем сН/(а — 0, 5) нулей функции Z(s). Тем самым A.A. Карацуба существенно усилил классическую теорему Дж. Литтлвуда.

H

Однако решая эту задачу «в среднем», Л.В. Киселева в 1989 году доказала, что для «почти всех» T из промежутка [X, X + X 11/12+е^ X > X0(e), для которых в прямоугольнике с вершинами а + ¿T, а + ¿(T + Xе), 1 + ¿(T + Xе), 1 + ¿T содержится не больше, чем O(Xе/(а — 0, 5)) нулей функции Z(s).

T

промежутка [X, X + X7/8+е].

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая. Библиография: 23 названия.

ON NUMBER OF ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION THAT LIE IN «ALMOST ALL» VERY SHORT INTERVALS OF NEIGHBORHOOD OF THE CRITICAL LINE

Do Due Tam (Belgorod) Abstract

Proof (or disproof) of the Riemann hypothesis is the central problem of analytic number theory. By now it has not been solved.

In 1985 Karatsuba proved that for any 0 < e < 0,001 0,5 < a < 1, T > T0(e) > 0 and H = T27/82+e in the rectangle with vertices a + iT, a + i(T + H), 1 + i(T + H), 1 + iT contains no more than cH/(a — 0,5) zeros of Z(«)• Thereby A.A. Karatsuba significantly strengthened the classical theorem J. Littlewood's.

H

T

the interval [X,X + X 11/12+e], X > Xo(e) in rectangle with vertices a + iT, a + i(T + Xe), 1 + i(T + Xe), 1 + iT contains no more than O(Xe/(a — 0, 5)) zeros of Z(«)•

T

[X,X + X7/8+e],

Keywords: zeta function, non-trivial zeros, critical line. Bibliography: 23 titles.

1. Введение

Впервые ((в) при вещественных в рассматривалась Л. Эйлером, которому принадлежит замечательное тождество, выражающее £ (в) через эйлерово произведение

с (в) = ПI1 - 1, «(в) > 1,

р

где в правой части стоит произведение по всем простым числам р. Тождество Эйлера указывает на связь, которая существует между функцией ((в) и простыми числами.

Бернхард Риман стал изучать дзета-функцию как функцию комплексного переменного. В 1859 г. он (см. [1, с. 219]) высказал гипотезу о том, что все комплексные нули дзета-функции ((в) лежат на критической прямой «(в) = 1/2. Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих х, выражается через распределение комплексных нулей дзета-функции. До сих пор гипотеза Римана ещё не доказана и не опровергнута. Дзета-функцию изучали многие математики, например: Г. Харди [2,3], Дж. Литтлвуд [3,4], А. Сельберг [5], И. Левинсон [6], А. А. Карацуба [7-16] и другие. А. А. Карацуба в своей работе [12] выделил три направления в исследованиях, связанных с нулями ((в) :

1. граница нулей ((в),

2. нули ((в) на критической прямой,

3. плотность распределения нулей в критической полосе.

В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением нулей ((в) в критической полосе. Получена оценка сверху для числа нулей ((в), лежащих в «почти всех» очень коротких промежутках окрестности прямой «(в) = 1/2.

Пусть N (а, Т) — число нулей ((в) в прямоугольнике с вер шинами в = а, в = а + гТ, в = 1 ив = 1 + гТ. В 1924 г. Дж. Литтлвуд [4] на основе теоремы о количестве нулей аналитической функции в прямоугольнике доказал следующие 2 теоремы:

Теорема 1. При 1/2 < а < 1 равномерно по а справедлива оценка,

N (а-Т) = 0 (^ '<>£ а—ой). (1)

Теорема 2. Если Ф(£) — положительная и стремящаяся к бесконечности вместе с £ функция, то почти все комплексные нули ((в) лежат в области

1

а - 2

^ . . 1п1п £

< ,вд1пп- (2)

Добавив к соображению Дж. Литтлвуда идею использования «успокаивающего множителя», А. Сельберг в [5] доказал следующую теорему:

Теорема 3. Если Н > Та, где а > 1/2 то при 1/2 < а < 1 равномерно по а справедлива

()

N (а, Т + Н) - N (а, Т) = О (^-Н^) • (3)

Отсюда следует, что множитель 1п (1/(а — 0, 5)) в оценке (1) иод знаком О можно пропустить. В той же работе А. Сельберг доказал усиление теоремы Дж. Литтлвуда:

Теорема 4. Если Ф(£) — положительная и стремящаяся к бесконечности вместе с £ функция, то почти все комплексные нули ((в) лежат в области

1

а--

2

< ^. (4)

Следующий шаг в этом направлении выполнил А. А. Карацуба, который в 1985 г. методом тригонометрических сумм доказал неравенство (3) для Н = Т27/82+е, где е > 0 — произвольно малое число.

Л. В. Киселева в [18] рассматривала эту задачу «в среднем». Доказано, что для всех Т е [X, X + Х1], XI = X 11/12+е и Н = X£, за исключением о (Х1) из них, имеет место неравенство (3).

В настоящей работе мы получим результат подобного рода, но только для случая Т е [X, X + X7/8+е]. Сформулируем основную теорему:

е> 0

X > Xo(е) > 0, Н = X£, X < Т < X + X1, X1 = X7/8+£.

Через Е обозначим множество тех Т из промежутка X < Т < X + X!, для которых неравенство

Н

N (а, Т + Н) — N (а, Т) < с-—, (5)

а — 0, 5

1 /2 < а < 1 с = с( е) > 0 от, е. Тогда для меры этого множества ^(Е) справедлива, оценка:

4(E) < XiX

-0,5е

2. Леммы

В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения: 0 < е < 0, 01 — произвольно малое фиксированное число, X — растущий параметр, Xl ^ x7/8+^ X < Т < X + Xl, Р = л/Т/2п, Н = X£, Ь = 1п X ^ = Н0'01, Р1 = РУ, числа ¿(V) и а(т) определяются следующим равенствами

-1

¿(v )= у (у 44 У

rv<Y

a(m) = у . (6)

/n

nv=m v n^P,v<Y

Лемма 1. Справедлива, следующая оценка,

£= у a2(m) = O(1).

m<Pi

Доказательство см. в [20, стр. 149].

Лемма 2. Лрм натуральных числах m, m1, m2 положим,

— a(miKm,exp (- (f* *)2) (*)^

Ш (Т) = £ Д(Ш1,Ш2).

Ш1 <т,2<Рг

Тогда справедлива следующая оценка:

Г X+Х1 ХУ 8 г 5

Ш(Т)2^Т «

•/ X Н

г(9е постоянная в знаке « зависит только от е.

Доказательство. Если

то

— > 1 + г,

т1 Н

ехр( —( —0) < ехр(- г С другой стороны

) = у- М^ОМО /у^ ^2(гЛ 1 = М^) у- ^2(г) ^у^ ^2(гЛ 1 < () ¿¿У ^) \Г<У ^V ^) г-^У ^(г) \г!У ^) .

(т,к)=1

Таким образом тривиально оценивая часть суммы Ш(Т), отвечающую таким слагаемым, у которых

—2 > —1(1 + Г/Н),

имеем

£ Б(—1 ,—2) « У]

т1<т2<Р1 т2>т1{1+Ь/И

Следовательно

£

П2 ^2 >П1 (1+Ь/Я)

ехр(-^ = О (ехр(—0,01Г2))

|Ш(Т)|2 «

£ ^ (^1,^2)

^1,^2 <У

где

5(^1,^2)= £ £

+ О(е-°,°2ь2),

П1^Р п1и1<п2и2^п1и1(1+Ь/И) П2^Р

Далее, применяя неравенство Коши к сумме по ^1,^2, получаем

^ ЮЛ, ,, м2 , гм„-°0°21?

|Ш(Т)|2 « У2 £ |5К^)|2 + О(е-°,°2ь2). ^1,^2 <У

Следовательно,

Г-Х+Х1 ГХ+Х1

|Ш(Т)|2 ^Т « У6 1

IX

IX

££

Ф(П1,П2,Т )

П1^Рщв<П2^П1в(1+Ь/Я) П2^Р

^Т,

где

Ф(П1,П2,Т) =

— ) ехр ( — ( Н 1п П2

©

2 ^щв

2

2

1

в = ^2 и ^^^^ — некоторые фиксированные натуральные числа, не превосходящие У. Пусть Ро = л/X/(2п)• Разбивая промежуток суммирования по щ на два промежутка точкой Р0

гХ+Х1

(

IX

(Т)|2 ^Т « У6

Х+Х1 ХХ Х1

Е Е

Ф(П1,П2,Т )

п^Ро П1 в<П2^га1в(1+Ь/Я)

^Т+

Х+Х1

+

Х

Е Е

Ф(П1,П2,Т )

Ро<П1^Р П1в<П2^П1в(1+Ь/П) П2 <Р

^Т

(7)

/

Обозначаем интегралы в правой части (7) через 71 и В подынтегральной сумме для 71 п1 ^ Р0, а для 72 — Р0 < п1 ^ Ра.

Оценим 72 сверху. Пусть Р2 = л/(X + Xl)/(2п) и М = [Р2У] + 1. Пользуясь формулой

1 М-1 /2пг1(п — и' )\ 14, если и = и', М 1=0 6ХР^ М У = [0, если и = и',

преобразуем подынтегральную сумму по П1,П2 в 72 так:

м-1

Е ф(и1 ,и2,Т) = М Е Е ехР

Ро <П1^Р

П1в<П2^П1в(1+Ь/И) П2<~Р

М2

¿1,12=0 Р0<п\'П'2КР

2П (и'111 + и'212)

М

К(¿1 Л,Т), (8)

где

К (М2,Т)= Е

Е

Ро<га1^Р2 га1в<га2^П1в(1+Ь/Я)

"■2^Р2

ф(и1,и2,Т )ехн ^ ехч

и'1 и'2

Е ехР

Ро<и'1^Р

2пги'111 М

«

М . ¿1 + 1;

Е ехр

Ро<П2<Р

2кт'212 М

«

М ¿2 + 1 '

Отсюда п из неравенства (8) следует, что:

Е

Ф(П1,П2, Т)

Ро<П1^Р П1в<П2 <П1в(1+Ь/И)

■П2<,Р

Применяя неравенство Коши, получаем:

м-1

« Е ^^ |К(¿1,12,Т)| •

¿1,12=0

¿1 + 1 ¿2 + 1

ЕЕ

Ф(П1,П2,Т )

Ро<П1<,Р П1в<П2<П1 в(1+Ь/И) П2^Р

<

м-1 м-1

ь2ЕЕ

¿1=0 ¿2=0

1 1 ¿1 + 1 ¿2 + 1

|к (¿1,г2,Т )|2

2

2

2

Следовательно,

М— м — 1 1 ЛЛ+Л1 ¡X +А1

/ < ь2^ Е^ 12ПУх |К(11,12,Т)12¿Т < у |к(11,12,Т)|2^Т, (9)

М -1 М -1 1 1 /•X+Xl п X+Xl

^ ГГ-Т! |К(М2,Т)|2 ^Т < Ь4/

11=° 12=° 11 + 1 12 + и X ./X

где 0 ^ ¿1, ¿2 < М — некоторые фиксированные натуральные числа.

Оценим теперь последний интеграл сверху. Применяя известный приём (см., например в [8, с. 576]), получаем:

/■А+Л1 р+<Х 2

/ |К(¿1, ¿2, Т)|2 ¿Т « / е-((т-X)/Xl) |К(¿1 ,¿2,Т)|2 ^Т «

./X У-те

« Х1 £ £ ехр (— (Х211п ())

.............. . , 2

Ро<П1 ,пз<Р2, щв<П2<П1в(1+Ь/Я) пзв<п4 <пзв(1+Ь/я)

П2,П4<Р2

< —^ £ Е 1 + О (е-»,»11') < —2^ + О (е-«,»1'2) ,

° в Ро<п1,пз<Р2 щв<п2<п1в(1+1/Я) ° в

пзв<п4<пзв(1+1/я) |п2 пз-nln4|<P2!L/Xl

где й — число возможных П1,П2,П3,П4, удовлетворяющих условиям:

—° <П1,П3 < —2,Щ в<П2 < П1в(1 + Ь/Н),

Пзв < П4 < Пзв(1 + Ь/Н), |П2Пз — П1П4| < —|Ь/ХЬ

Если зафиксируем числа щ и П4, то число возможных пар П2,П4 не превосходит величины Я1, где

1

— 2^2

Й1 = Е т (—) « -X-.

-P22L/X1+n1n4^m^n1 п^Р^!^!^

Откуда получаем Следовательно,

ч -2вь —22ь2 ХЬ3в

Й «(-2 — -°)Хг « .

^^ ~ Х1 Хвь3 Х1Ь3

М +Л1

/ |К(¿1, ¿2, Т)|2 ¿Т « Jx

/X —°2в Н Н •

Из (9) и этого неравенства получаем:

«2 « . (Ю)

Оценим интеграл /1 сверху. Заметим, что в формуле, которой определяется «/1, условие П2 ^ —7 лишнее, так как

П2 < П1в(1 + Ь/Н) < —°ав(1 + Ь/Н) < —27.

Разбивая промежуток суммирования по щ в этой формуле на « Ь промежутков вида N < щ < N1 < 2Ж < —°а, приходим к неравенству

г X+Xl

/1 « Ь2

Jx

£ £ Ф(П1 ,П2,Т)

М<п1<^1 п1в<п2^п1в(1+1/Я)

^Т.

Повторяя такие же рассуждения, как и в случае для 72, получаем неравенство:

71 « Ь2/1,

(11)

где

Х+Х1

/1

Х

ЕЕ

0-(И 1п(п2/п1в)/2)2

и2

гТ

— Е (П1,П2)

Е(П1,П2) =

М<П1<^2 N|3<n2<N3|3

1, если N < и1 < ^ и и1 в < и2 < и1в(1 + Ь/Н),

^Т,

0,

N < N2 ^ N1 и N < N3 ^ N1(1 + Ь/Н) — некоторые фиксированные числа.

Оценим теперь /1 сверху. Рассуждая так же как это было сделано для оценки /(В1, В2), имеем

/1 « ^

Е Е п(и1,и2,из,и4)Е (и1,и2)Е (из,и4)

' ' \ и1и4 )

N<П1'П-з<И2 М[3<П2'П4<И3[3 1 4 7

где

п(п1,п2,пз ,щ) =

,-(Я 1п(п2/(п1в))/2)2 е-(Н 1п(п4/(пзв))/2)2 е-(Х11п(п2Пз/(пт4))/2)2

Если |и2и3 — и1и4| > N2вЬ/X1, то

1п( ЩЩЛ

\и1и4/

Ь 2X1

и1 и2 и3 и4

слагаемым, есть величина 0(е-0'01^2). Тем самым получаем:

/1 « ^ (Е + |Ж|) + о(е-0'01Ь^ ,

(12)

где Е — часть последней суммы, отвечающая таким слагаемым, у которых и2и = и1и4, а Ж — слагаемым, у которых 1 < и2и3 — и1и4 < N2вЬ/X1• Оценим сумму Е тривиально. Имеем:

Е <

1

N 2в

Е Е 1.

^пьпз^1 п1 в<п2<,п1в(1+Ь/И) пз в<п4^п'зв(1+Ь/И) п1 п4 = п2 п4

Пусть d = (и1,и3). Тогда и1 = и3 = ^а, (Ь, а) = 1. Из условия и1и4 = и2и3 следует, что и4 = та и и2 = тЬ. Откуда получаем

Е <

1

ЕЕ

^ 1 ^ N2 dвЬ Ь2

£ 1 < л™ £ ^-тт < аз)

^в ^ ^ ^ №в d2 Н Н

(Ь,а) = 1

Оценим сумму Ж Имеем

и-- = Е

Е

N^1 ,пз < N2 N в<п2,п4^зв

1<п2пз-п1п4^ 2вЬ/Х1

и2и3 и1 и4

гХ

п(и1, и2, и3, и4)Е(и1, и2)Е(и3, и4).

2

Если уберём множители E(U1,U2),E(пз, U4) и наложим та переменные U1, U2, U3, U4 дополнительные условия

* „ д ^ ^ c3NeL

0 < и2 — и1(о < ——— и 0 < п4 — п3р < ———, H H

то сумма W изменится на величину 0(e—0,01L2). Пусть l = U2U3 — П1П4, 1 < l < N2^L/Xi и d = (и1, и3). Тогда и3 = da и1 = db, (b, а) = 1 l = dl1; 1 < l1 < N2^L/(X1d) аи2 — bu4 = l1.

Последнее равенство равносильно тому, что

п4 = —l1b (mod а) и n2 = (bu4 + l1 )/а, где bb = 1 (mod а). Пользуясь формулой:

1 ^ /2nix(u4 + l1bU J 1, если и4 = —l1b (mod а),

а а 0,

—а/2<ж<а/2 ^ "

W

w = ее Е а*

d<N2eL/Xi 1<1i<N2eL/(Xid) N/d<b, a<N2/d

(b, a) = 1

* E E (1 + ¿f X

—a/2<x<a/2 0<(frn4 +11)/a—dbe<c2 N^L/^ 0<n4-dae<c3N,3L/H

x exp (2nix(u^ + l1b))n1(b,а,l1 ,U4) + o^l2),

где n1(b, а, l1, u4) = n(b, (bn4 + l1)/a, а, и4). Разобьем сумму W на две суммы: W1 — часть этой суммы, отвечающая слагаемым с условием ж = 0 W2 — остальным слагаемым.

W2

bU4 + l1 C2N6L

0 <--dbe < ———,

а H

то сумма W2 изменится на вели чину 0(e-0,01L2). Пользуясь формулой

I 1, если (b, а) = 1,

^(d1) = S П ^ Л !

di/(b,a) [0, еСЛИ(М > ^

W2

w = E EE E ¿*

d^N2eL/X1 1<11^N2eL/(X1 d)di^N /d 1 N/(ddi) <ai^N2/(ddi) 1

* £ £ \1 + d1b1uj *

0<n4—dd1a1e<c3NeL/H N/(dd1)<b1<N2/(dd1^ 1 1 4 7

xn1(d1 b1, d1a1, l1, u4) + 0(e—0,01L).

Разобьем последнюю сумму на две суммы W2.1 и W2.2, где в W2.1 входят слагаемые, v которых d1 < X/X^ а в W2.2— слагаемые с d1 > X/X1.

Оценивая тривиально сумму Ж2.2, получаем:

|Ж2.2| «

У 2Ь2 Н '

Оценим сумму Ж^.ь Применяя к сумме по 61 преобразование Абеля, приходим к неравенству:

' IW2.1I« Е 1 Е Е 1

_ X

^ ^ ' d1

d<N2|ЗL/X1 1<l1<N2|ЗL/X1ddl<X/Xl 1

Е

1

Е

d

а1 ^ N 2 в

N/(dd1)<a1<N2/(dd1) 1 0<n4-dd1a1fi<c3NfiL/H

|Ж2.3|

(14)

где

И--2.3 = Е ехР («И, (1 +

1 1 4

м<ь1<м1

М = N/(ddl), и N/(ddl) < М1 < N4/(ddl) — некоторое фиксированное число. Применяя к сумме Ж2.3 лемму о замене тригонометрической суммы интегралом и полагая в ней

а = М, Ь = М1, / (х) = X 1п (1 + —^ ) ,

2п V d1жn4 /

I/ '(х)| =

x^

находим

2пж^1и4ж + ¿1)

м1

<

X 2NвL

X?

< X-0'1 < 1,

Ж2.3 =

е2пг/(x)dx

м

+ 0(1).

Оценивая последний интеграл по первой производной, имеем:

м1

е2п/^

м

«

N3

Xгld2dГ

Тем самым получаем:

N 3

Ж2.3 « „ ,2 + 1.

X^l d2d2

Подставляя последнюю оценку в (14), приходим к неравенству:

У2Ь3

IW2.1I «

Н

Из оценок для Ж2л и Ж2.2 следует, что

Ж2 «

У 2Ь3

(15)

Оценим теперь сумму Ж1 сверху. Можно считать, что N не меньше, чем X2/2 е/2. Если это не так, то 1 < ¿1 < вЬX-£ < 1. Из условия daв < и4 следует, что dЬв < (Ьи4 + ¿1)/а. Таким образом, если пропустим условие

Ьи4+1 С2^Ь

0 <--dbв < ———,

аН

х

то сумма Ш изменится на вели чину О ^е °,°112^. Кроме этого, имеет место равенство

ехР (2" (2^)) + О (Х

Далее, применяя к суммам по Ь и щ преобразование Абеля, потом переходя от получившего равенства к неравенству, получаем:

Ь4 1 ( )

Ш1« ^ £ £ £ > + о (х-°,°75-£), (16)

где

' гХ/А ( 2пгж(п4 + ¿1Ь) Ьп4 у еХР V а

5 = Е Е ехр ( ) ехр

х=° (Ь,а)=1

а(в<п4 <МБв

N < N4 < N2, а^ < N5 < а^ + С3^/Н.

Применим преобразование Абеля к сумме по Ь в 5, потом освободимся от зависимости

Ь

где

5 = 51 + 52, (17)

51 4 £ /^ £ £ ехр(2"'Х'1Ь + УЬ) ,х

х=° (Ь,«)=1

1

Е/ 2пгуг\ 1 А ./жп4 Х^1 \\ гХ^1 ,

ехр--> — ехр 2пг--1--—аи,

V а у ^^ п4 V V а 2пип4 у у и2

4 7 а43<п4<N5^ 4 4 4 4/7

«2 = £ £ ехр(—) ехЧ2пЧ^ + 2Х1П4)).

4 7 аДЗ<п4<N5^

/ 2пгж¿1b\ / / жп4 Х^ \

ехр - ехр 2пг--1--——

\ а у \ V а 2пА4п4

-а/2^ж<а/2 N/(<^<N4/( 4 4'

х=° (Ь,а) = 1

Разобъем сумму 51 на 3 суммы: 51.1 отвечает таким слагаемым, у которых ж < < Х^а/^пи^в2), 51.2 — слагаемым, у которых Х^а/^пи^в2) ^ ж < Х^1а/(2пиа2а2в2) и 51.3 _ остальным слагаемым. Тогда из (16) и (17) следует

Ш1« ^ £ £ £ 51-1 + 512,+51-3 + 52. (18)

в ^г^^в^/^й) N/(<«<N2/^

Разобъем сумму в правой части последнего неравенства на 4 суммы Ш3, Ш4, Ш5, Шб, соответственно суммам 51л, 51.2, 51.3, 52.

1) Оценим Шб- Имеет место неравенство:

|Ш6|< ^ £ £ £ £

^^^^/^й) N/(<«<N2/^ -а/2^ж<а/2

х=°

где

/ /.ЖШ

«(в^в ^ а 2пА4П^ у у

Здесь мы воспользовались оценкой, (см. [22, с. 50]):

Е еХр (2пг (^1Ьа+ уЬ) ) <£1 а0'5+£1 У^^Ь,

(19)

N/d<b^N/d+a (Ь,а) = 1

где 0 < < 0, 01е — произвольная малая постоянная.

Если х не принадлежит [Xll/(32пN2в2), 2Xll/(пN2в2)), то для оценки Е воспользуемся леммой о замене тригонометрической суммы интегралом (см. [20, гл. 3]). Получаем:

( /хг Xгld \ Е = 8x^ 2!^ + 1 1

J ad|3 \ V а

xгld )) ,

—dz + 0(1).

Применяя к интегралу в правой части лемму об оценке интеграла по первой производной (см. [21, гл. 4]), найдём оценку

Е « а/ | х | .

Если Xl1/(32пN2в2) < х < 2Xl1/(пN2в2) то для оценки Е воспользуемся теоремой Ван дер Корпута (см. [20, с. 362]). Полагая /(и4) = хи4/а + Xl1d/(2пN4и4), к = 2, найдём Е « N2/VXм.

Е

Жб « Н.

2) Оценим Ж3. Имеет место неравенство

Ж3 « XЬ6 Е d Е ¿1 Е а-0'5+- X

d<N 2^/Х1 1<11<№№/(Х^) N/d<a<N2/d

Е

д/(х^, а)

-a/2<x<Xl1a/(2пu0N'|32) х=0

Е - ехр(2п

ad|3<n4<N5|3

хи4 ■1 -

+

x^1

V а 2пи0и4 /

(20)

где и0 — некоторое число из про межутка N4^]. Чере з ^ обозначаем сумму по и4 в

правой части последнего неравенства. Применяя к Q преобразования Абеля, потом переходя от получившего равенства к неравенству, получаем:

Q « д^

где

Ql =

Е

ехр

ad|3<n44N6íЗ

(хи4 Xl1 \ \ а 2пи0и4)

где аd < N6 ^ N5 — некоторое фиксированное число. Если х < 0, то Ql оценивается по аналогии с оценкой Е в пункте 1). Получаем оценку Q « а/^в |х|). А если 0 < х < Xlla/(2пuoN2в2), то применяя к Ql теорему о замене тригонометрической суммы интегралом, приходим к неравенству:

М < —

<■N(,[3

I ехр ( 2пг ( — + ) ) dz

lad|3 V V а 2пи0г/

\

+

X

Оценивая последний интеграл по второй производной, получаем

/х: X^l

ехр 2т — + --

lad|3 V V а 2пи0:

dz

«

N 2в3/2

С другой стороны, так как 0 < х < Xl1a/(2пu0N|в2)) то по теореме об оценке интеграла по первой производной, имеем

/хг X^l

ехр 2пг — + --

lad|3 V V а 2пи0:

dz

«

х

x^1

а 2пuo(N6в )2

1

Таким образом, справедлива оценка для Q:

Q « ^ ш1п

x^1

а 2пи0(^в )2

1

N 2в 3/Л

, у + Nв •

Пусть д = (х^1, а), а = тд, х/2 = 5д, х = х1^1, ¿1 = ¿292, д1Я2 = 9- Собирая выше полученные оценки для Q, из (20) получаем

Ж3 «

XL6

Х4^

Е ^ я!

1+е1

Е ¿2 I £ Я!1:

d<N2вL/X1 д2^2 ^

1<l2<N2|ЗL/(Xl dq2) \ql<2N/d

Е

т

-0,5+£1

Е

mжN/(dqlq2))

тд2 |х1|

+ Е я!' Е

т-0'5+£1 х

X ^^ тт

Ых1^Х^2/^ 2в2)

-тц2/3^Х1<0 ql<_X/Xl mжN/(dqlq2)

^292 -1 N2в3/2 \

х1

тд2 2пш1(N7в)2 х1

у

+ 0(Н-1).

Ж3 « - •

Н

4) Сумму Ж5 оценим по аналогии с Ж3:

ж5 « Н'

5) Оценим теперь сумму Через Р будем обозначать сумму по щ в £1.3. Применяя к этой сумме лемму о замене тригонометрической суммы интегралом (см. [20, гл. 3]), получаем:

Р

ехр (- (? + Ц:)) - + о )

»N5$ 1

ехр I 2пг I--1--- I I dz + О . ^ ,

Шц : V \а \NвJ

Далее, применим к последнему интегралу метод стационарной фазы (см. [20, гл. 3]). Получаем

1 + г / 2п«а\ 1/4

Р

" + О(Л).

где

р ^ + x^l

+ т1п

х

x^l

а 2пи^в)2

N 2в3/2'

+

х

X

+же ш1п

Х^1

а 2пu(N5в)2

-1 N 2в3/Л , ТХм у.

Подставляя это равенство в формулу, определяющую Ш4, потом переходя от получившего равенства к неравенству и пользуясь неравенством (19), получаем:

3/4

Х3/4Ь5

Ш4«Е Е ¿1

£

0-5/4+=, £ х

-а/2^у<«/2

£

д/(ж^1, а)

1/4

ш

и / 2пгуг\ / /ХтЦжА 1 ,

ехр ^--I ехр ( 4пг\/ -- | аи

2пиа / и7/4

+ о(Н), (21)

где

■ ^ Х^а и = ша^

N. = /N4 Х^1а \ N

а' 2пжN2вV а

Через С будем обозначать интеграл в правой части (21). Меняем порядок интегрирования и суммирования по г в С, потом интегрируем по частям. Получаем

С = £ е

-2пгут/а „ _, /Х*1Ж\ 1 > ^2па

ехр 4пг

'и

2пи^и7/4 и 2пги1/47Х1^

ехр

V 2п^1а /

х Е ехр

и <т^и1

V а у 8лг^ХЦ^ Уи V а у М V 2пиа / и5/4

+

2

па

2лгл/Х1Гж

£ ехр(2лг( —УГ +2

и<т^и1

1

Х^ _

2ПГа } .

(22)

Через 5 будем обозначать сумму по г в последнем слагаемом равенства (22). Применяя к 5 преобразование Абеля, потом переходя к неравенству, получаем:

а )1/4

5««

Е ехр 2пг — 7+ 2

и<т^и2 \ \

Х^ж 2пга

где и < и ^ и — некоторое фиксированное число. Далее, к сумме по г применим лемму о замене суммы интегралом. Получаем:

£ «рм — Т+ 2

и<т^и2 \ \

Х^ж \ 2пга I

С 44 — У? + УЩ V + О(1).

Оценивая первый интеграл в правой части (22) по первой производной и пользуясь неравенством

£ ^р ( —

и 4 7

<

а

|у| + 1'

приходим к неравенству

а

1/4 / а Х*1ж 1|у| + 1

+

и2

и

Ч™ — У? +4 ХШЬ

+ 1 .

ж

X

X

Оценим последний интеграл зависимости от значения у. Обозначим этот интеграл через V. Если у = 0, то для оценки V воспользуемся теоремой об оценке по первой производной. Получаем

I N4 N3

V <

1 Х'^3 ХМ2' Если

у < Ч Пх3 = ЛИ 2 >У > -8\ Пх3 = У = 0'

то оценивая интеграл V по аналогии с пунктом 1), найдем

V < -а. " IУI

В случае когда М ^ у ^ М1, применяя к V теорему об оценке интеграла по второй производной, получаем

4/ N5а N2 V « 1 -

Х11 ж^5 ^^ТЦ' Собирая полученные оценки, из (21) следует

И'-«ХЙв Е -,/4 Е '!/4 Е "-3/4+-

в й<М2[ЗЬ/Х1 1<11<М2вЬ/(Х1й) М/й<а<М2/й

^ д/ (ж'1, а)

^ Х3/4

жжхгх/(мв)2

/ \

^ а N3 ^ N2

+ ^ + м^И3

\ У=0 /

+

После несложных вычислений получим

и- «нН.

Из (15), (18), и оценок для сумм И}, ] = 3, 4, 5, 6, получаем:

И « н.

Из (12), (13) и оценки для И следует:

Х1Г 2£3 /1 « —

Подставляя это неравенство в (11), получаем

Л « . (23)

Из (7), (10) и (23) следует утверждение леммы.

Следствие 1. Пусть 5 — произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е2 — множество таких Т из интервала [Х, Х + Х1 для которых выполняется неравенство

V 1-й у 8г5 И2(Т) > Х у ь

Тогда, для меры множества Е2 справедлива оценка МЯ2)« Хй.

н

3. Доказательство основной теоремы

В следствии 1 полагаем 5 = 1 — 4/7е. Будем рассматривать те числа Т из X < Т < X + Х1, которые не принадлежат множеству Е2; для них выполняется оценка

8 г 5

W2(T) <

Y 8L

VH

(24)

Далее, доказательство проводится по схеме работы А. А. Карацубы [13]. Введём теперь функцию

ад = с(«)/(в), /(в) = £

Применим теорему 11 из [20, с. 324] к Ф(в) и прямоугольнику с вершинами в = 0, 5 + гТ, 8 = 0, 5 + г(Т + Н), в = 3 + гТ, в = 3 + г(Т + Я). Получаем

г>3

-1

2W N(ст, T + H) - N(ст, T= 2W N(ст, T + H) - N(ст, T^ст ./0,5 ./0,5

rT+H

IT

(log |Ф(0, 5 + it)| — log |Ф(3 + it)|) +

+ [ (arg Ф(ст + i(T + H)) — arg Ф(ст + iT))

0,5

Пользуясь теоремой 12 из [20, с. 325], оценим второй интеграл величиной O(logT). Вторая подынтегральная функция первого интеграла есть величина порядка O(1). Применяя теорему 2 из [20, с. 345] к первому интегралу, получаем

2п j0 N(ст, T + H) — N(ст, T)dCT < H log (J) + °(H),

где

r>T+H

J

|Z(0, 5 + it)|2 |f (0, 5 + it)|2 dt.

T

Пользуясь приближенным функциональным уравнением для Z(s) ( [21, с. 82]), получаем

J < 8J1 + O (HT-0,5YL4) ,

где

rT+H

Jl =

T

£

ra<P

n

n

|f (0, 5 + it)12 dt

Вспоминая определение f (s), можно переписать Ji так:

rT+я

Ji =

T

£ a(m)m

m<Pi

it

dt,

где числа a(m) определены в (6). Имеет место цепочка соотношений

2

£ a(m)mit:

m<P1

rT+H

J1 < e у exp

t — T H

dt < eH £ a(mi)a(m2) (*)

iT

2

2

X

( (Я шЛ2\ ( ( . H тЛ2К

х exp — — log — exp —I v — iv — log — dv =

2 Ш2 J J J-ю у V 2 Ш2,

= eViH E .(ш,)«(ш,) (Ш1 )iT exp f— (§log ^Y) < .^FH (£ + 2|W(T)|),

m1,m2<P1 \ /

где £ и W(T) определены в леммах 1 и 2. В силу леммы 1 и оценки (24) получаем:

Ji = O(H), J = O(H), i N(a,T + H) — N(a,T)da = O(H).

J0,5

Пусть a > 0, 5 и a1 = 0, 5 + 0, 5(a — 0, 5) < a. Определяем

g(a) = N (a, T + H) — N (a, T). Заметим, что g(a2) < g(a1) при a1 < a2. Отсюда следует, что

1 г

N (a, T + H) — N (a, T) <- N (a, T + H) — N (a, T )da <

a — ai У a i

< a^ N (a'-T+H >— N (a-T )da = O (ar^n,).

Далее, утверждение теоремы следует из следствия 1.

4. Заключение

В нашей работе границу H = Xе определяет лемма 1. Это объясняется тем, что надо «успокоить» достаточно длинный отрезок ряда Дирихле, которым определяется дзета-функция Ри-мана. В дальнейшем интересно было бы рассмотреть задачу для существенно более коротких промежутков окрестности критической прямой.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риман Б. Сочинения. M.-JL: ОГИЗ, 1948. 479 с.

2. Hardy G. Н. Sur les zeros de la fonction Z(s) de Riemann // Compt. Rend. Acad. Sci. 1914, vol. 158, pp. 1012-1014.

3. Hardy G. H. k, Littlewood, J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. vol. 10, pp. 283-317.

4. Littlewood J. E. On the zeros of the Riemann zeta-function // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1924 Vol. 22. pp 295-318 doi:10.1017/S0305004100014225

5. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. pp. 1-59.

6. Levinson N. More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are on a = 1/2 // Adv. in Math. 1974, v. 13, p. 383-436.

7. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его к его девяностолетию, Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157, с. 49-63.

8. Карацуба А. А. О нулях функции Z(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, №3. С. 569-584.

9. Карацуба А. А. Распределение нулей функции Z(1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, №6. С. 1214-1224.

10. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. \ ! 11A11 СССР. 1985. Т. 167, С. 167-178.

11. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции Z(1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, JVM. С. 171-172.

12. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН. 1985. Т. 40, №5. С. 23-82.

13. Карацуба А. А. О нулях функции Z(s) в окрестности критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985 Т. 49, вып. 2. С. 326-333.

14. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. Т. 56, №2. С. 372397.

15. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле // УМН. 1992. Т. 47, №2. С. 193-194.

16. Карацуба А. А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, №3. С. 483-514.

Z(s)

критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52, вып. 3. С. 479-500.

Z(s)

метки. 1989 Т. 46, вып. 4. С. 114-115.

19. До Дык Там О нулях дзета-функции Римана Z(s), лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 1. С. 71-89.

20. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. // М.: Физматлит, 1994. 376 с.

21. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана // М.: Мир, 1953. 406 с.

22. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. MIIAII СССР 1962. Т. 65. С. 3-212.

23. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с. REFERENCES

1. Riemann, В. 1948, "Sochineniva." (Russian) [The works], OGIZ, Moskva-Leningrad. 479 p.

Z(s)

Z(s)

3. Hardy, G. H. k, Littlewood, J. E. 1921. "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Mathematische Zeitschrift, vol. 10, pp. 283-317.

4. Littlewood, J. Е. 1924, "On the zeros of the Riemann zeta-function," Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22. pp 295-318 doi:10.1017/S0305004100014225

5. Selberg, A. 1942, "On the zeros of Riemann's zeta-function", Skr. Norske. Vid. Akad Oslo, vol. 10, pp. 1-59.

6. Levinson, N. 1974, "More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are on a = 1/2", Adv. in Math., vol. 13, pp. 383-436.

7. Karatsuba, A. A. 1981, "On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 157 , pp. 49-63. (Russian)

8. Karatsuba, A. A. 1984, "On the zeros of the function Z(s) on short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 3, pp. 569-584. (Russian)

9. Karatsuba, A. A. 1984, "The distribution of zeros of the function Z(1/2 + it)", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 6, pp. 1214-1224. (Russian)

10. Karatsuba, A. A. 1985, "Zeros of the Riemann zeta function on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 167 , pp. 167-178. (Russian)

11. Karatsuba, A. A. 1985, "On the real zeros of the function Z(1/2 + it)", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 4, pp. 171-172. (Russian)

12. Karatsuba, A. A. 1985, "The Riemann zeta function and its zeros", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 5, pp. 23-82. (Russian)

13. Karatsuba, A. A. 1986, "On the zeros of the function Z(s) in the neighborhood of the critical lin", Math. USSR-Izv., vol. 26, no 2, pp. 307-313.

14. Karatsuba, A. A. 1992, "On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 56, no 2, pp. 372-397. (Russian)

15. Karatsuba, A. A. 1992, "A refinement of theorems on the number of zeros lying on intervals of the critical line of certain Dirichlet series", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 47, no 2, pp. 193-194. (Russian)

16. Karatsuba, A. A. 1992 "On the zeros of a special type of function connected with Dirichlet series", Math. USSR-Izv., vol. 38, no 3, pp. 471-502.

17. Kiseleva, L. V. 1988, "The number of zeros of the function Z(s) on "almost all" short intervals of the critical line." (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 52, no. 3, pp. 479-500; translation in Math. USSR-Izv. 32 (1989), no. 3, 475-499.

18. Kiseleva, L.V. 1989 "On the zeros of the function Z(s) in the neighborhood of the critical line." Zbl 0691.10032 Mat. Zametki vol. 46, no 4, pp. 114-115.(Russian)

19. Tam, D. D. 2015 "On the zeros of the Rieman zeta function, lying in almost all short intervals of the critical line." Chebyishovski Sbornhik. vol. 17, no 1, pp. 71-89.

20. Voronin, S. V. k, Karatsuba, A. A. 1994, "Zeta-funkcia Rimana." (Russian) [The Riemann zeta-function], Fizmatlit, Moscow, 376 p.

21. Titchmarsh, E. K. 1953, "Teoriva dzeta-funkcii Rimana." (Russian)[Теория дзета-функции Римана], Mir, Moscow, 409 p.

22. Malvsev, А. V. 1962, "On the representation of integers by positive quadratic forms." (Russian) Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 65, pp. 3-212.

23. Karatsuba, A. A. 1983, "Osnovui analiticheskoi teorii chisel." (Russian) [Fundamentals of analytic number theory], Nauka, Moscow, 240 p.

Белгородский государственный национальный исследовательский университет. Получено 11.06.2016 г. Принято в печать 13.09.2016 г.