О нулях дзета-функции Римана, лежащих на почти всех очень коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИХ НА ПОЧТИ ВСЕХ ОЧЕНЬ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

ON ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION LYING IN ALMOST ALL VERY

SHORT CRITICAL LINE

До Дык Там Do Duc Tam

Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

E-mail: doductam140189@gmail.com

Аннотация. Рассматривается проблема распределения нулей дзета-функции Римана на критической прямой. Получены новые результаты, связанные с оценкой снизу числа нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех очень коротких промежутках критической прямой.

Resume. The distribution of zeros of the Riemann zeta function on the critical line is considered. We obtained new results, which are related to the lower bound of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all very short intervals of the critical line.

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая.

Keywords: the Riemann zeta function, non-trivial zeros, critical line.

Введение

Одним из основных направлений исследований теории дзета-функции Римана является изучение распределения ее нулей на критической прямой. Множество нулей дзета-функции Римана £(я) состоит из действительных нулей -2,-4,-6,... и комплексных нулей, которые называются

нетривиальными. Нетривиальные нули функции £(я) находятся в критической полосе 0 < 1. Известная гипотеза Римана утверждает, что все эти нули лежат на критической прямой ЭТ^ = 0,5.

Пусть К0(Т) - число нулей нечетного порядка функции £(0,5+н), лежащих на промежутке (0, Т ]. Через 8>0 будем обозначать произвольно малое число.

В 1921 г. Г. Харди и Д. Литтлвуд [1] доказали следующую теорему: Для любого 8> 0 существуют Т0 = Т0 (е) > 0, с0 = с0 (е) > 0 такие, что при Т > Т0, Н = Т0 5+8 справедливо неравенство:

Щ(Т + Н) - Щ(Т) > С0 Н. В 1942 г. А. Сельберг [2] доказал, что при условиях теоремы Харди и Литтлвуда справедливо неравенство:

^0(Т + Н)-М0(Т) > с1Н 1пТ. (1)

Из формулы Мангольдта

Т Т Т N (Т) = — 1п — - — + 0(1п Т) 2л 2л 2л

для числа N(Т) нулей £(я) в прямоугольнике 0 < ЭТя < 1, 0 < Зя < Т следует, что оценка Сельберга (1)

является неулучшаемой по порядку роста при Т ^ +<». Основной идеей, которая позволяет доказать оценку (1), является использование успокаивающего множителя

Ф(я) = 1 —

у<7 у

где у некоторое походящее число и числа Р(у) определяются следующим образом:

^ (а(у) (1 - 1nv/1п У), если 1 У, [0, если V > У,

1 =1^, ^ > 1.

V2

В 1984 г. А. А. Карацуба [3] установил, что неравенство (1) справедливо при Н = Т27/82+8.

Отметим, что границу н > Т27/82+в определяет оценка тригонометрической суммы специального вида. Вместе с задачей получения оценки снизу числа нулей дзета-функции Римана на отрезках критической прямой А. А. Карацуба также рассматривал ее в среднем. Доказано, что при н = х8, X > Х0(в) > 0неравенство (1) имеет место для почти всех Т из интервала [X,2Х]. В работах [4-7] можно найти главные результаты в этом направлении.

В настоящей работе мы докажем теорему, связанную с проблемой получения оценки снизу числа нулей дзета-функции Римана на почти всех очень коротких промежутках критической прямой. Сформулируем результат работы:

Теорема 1. Пусть 8> 0 - произвольно малое число и X > Х0 (в) > 0, Х1 > х7/8+8 , X < Т < X+Х1,

ехр (ехр (2я1Л/1п1п X )) < Н < X8,

где а > 0 - абсолютная постоянная. Через Е обозначим множество тех Т из промежутка [X,X + Х1], для которых интервал [Т,Т+Н] содержит меньше, чем

С2Н 1п Н ехр

( рпх^

1п Н

ч /

нулей нечетного порядка функции С(0,5+и), где с2 > 0 - абсолютная постоянная. Тогда для меры этого множества ц(Е) справедлива оценка

КЕ) < ХН -0,4.

Теорема 2. Пусть 8> 0 - произвольно малое число и X > Х0 (в) > 0, Х1 > х7/8+8 ,

ехр (ехр (2а^1п 1п X )) < Н < X8,

где > 0 - абсолютная постоянная, М = [Х / Н],М1=[Х1/Щ. При т=М + \.М + 2.---.М + М} рассмотрим интервалы вида [тН, тН + Н].

Тогда в каждом из указанных интервалов, за исключением не более М1Н 0,4 из них, содержится больше чем

С3Н 1п Н ехр

-а1Гшх

ч '

нулей нечетного порядка функции С(0,5+¡г), где с3 > 0 - абсолютная постоянная.

Леммы

Будем употреблять следующие обозначения: X > Х0(в) > 0 - растущий параметр, Ь = 1пX,

7 /8+в

Х1 >X , X<Т<X + Х1, р = 4т/2л, у = Н^0,01, 0< А <Н1 < 1- параметры, зависящие от Т, значение которых будет определено позднее, X, Х1, Х2,... - положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходитУ , действительные числа

а(Х) = X РЫ1^2),

т'1=^2 V2 где числа р^) определены во введении.

Лемма 1. При Т < (< Т+Н, н < т1/3, 1 < У < Т0,01 справедлива следующая формула:

F Ц) = 2 (г)

2

ф( 2+"! =+

где функция ф(я) определена во введении,

+е «1«) Х ^х" + 0(Н 2Т -°-15У121

2 О = '-' "2 ЩШ^ «("2 + "), 0,(1)=г1п р -1+!р^

2

Функция F(г) называется функцией Харди-Сельберга. Приближенное функциональное уравнение для F (г) доказано А. А. Карацубой в [3].

Доказательства теорем 1 и 2 основаны на следующей лемме. Лемма 2. Пусть при у = 1,2 суммы ^ (определяются равенствами:

Щ(Т)= £ а(Х1)а(Х2) (Х2^

х/х1х2

чХ;

г Т ( ехр

(Н (\ЛЛ

1п

Хп

2

ШТ) = X

а(Х1 (Х1 )а(Х2 (Х2)

(\ . \

7Х1Х2

где

^ (Х) =|

= ГИ (м / И)2

-И

2 Г р

чХ1;

йМ.

Т ( ехр

(Н Л Н 1п 2

2

ч Х1;

Тогда справедливы следующие оценки:

I-Л +Ат о

Г. ^{Т)с1Ги

Х^У11!}0 г.х+х,

гЛ'+Л"! , 114Х,¥п1}°

где постоянные в знаке □ зависят только от в. Доказательство леммы см. в [7].

Следствие 1. Пусть Е1 - множество таких т из интервала [X,X+Х1], для которых выполняются неравенства

W2 (Т) > Н "°,4, W22 (Т) > И4Н "°,4. Тогда для меры множества Е справедлива оценка

ц(Е) < ХН -0,4.

Лемма 3. При обозначениях теоремы 2 справедливы неравенства:

М +М1

X

т=М+1

А/Гу11г11 М+М1 ,4Ы у11Т11

I Щ2(тН)П £ 1

Н

т=М+1

Я

Следствие 2. Пусть М - количество тех т, М^ < т < М^ + для которых выполняются следующие неравенства:

|W1(mH)|2 >Н_(),4 м |Г2(даЯ)|2 >//4Н_0,4. Тогда для М2 справедлива оценка

м 2< М1Н

-0,4

х,<х2<р

Схема доказательства теоремы 1

Заметим, что при фиксированном 0 < р < 1 и хр < н < х8, утверждения теорем 1 и 2 следует из теорем статьи [7]. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что н < хр, где конкретное малое значение р будет выбрано позднее. Введем следующие параметры:

ln1 = , L^X h = -^лРПХ, h2 = 2h. t

c V lnH clnH У lnY 1 V

ln X ln X a

ln-, h = 2h. (ln-, a = -

ln Y

где

a > 1

1п(1/ с)

абсолютная постоянная, которая будет определена позднее. Из условия

ехр (ехр (2я^1п1п X )) < Н

следует, что

0 < h < h1 < 1.

Будем рассматривать те числа T из [X, X+X2], для которых выполняются оценки

W2(T) <H"°'4, W22(T) <h4H"°'4. (2)

При T < t < T + H рассматриваются интегралы j2 (t) и j2 (t):

jl(t) = Дe~(ulh)2\F(t + u)|du, j2(t) =|/^2e~°ulh)2F(t + u)du ,

где F(t) - функция Харди-Сельберга.

Обозначим через E2 подмножество интервала [T,T+H], на котором выполняется неравен-

ство

ji(t) > j2(t).

Так как вне E2 два интеграла ]1(г) и /2(г) равны, то имеем

J jf (t)dt = JT+H jl(t)dt-J5 jf(t)dt > jT +" jf (t)dt-IT +H ft(t)dt;

T+H

fT+H

то есть

где

Il +12 > I3,

(3)

j-T+H JT

Il =Ji?(jl(t))adt, 12 = JT +H|j2(t)|adt, I3 = JT +H (jl(t))adt.

T+H . T

Интеграл /3 оценен снизу в [5 с. 385-390]: Оценим сверху. Пользуясь неравенством Гельдера, находим

I3 > e~(c4haH.

(4)

Il < E))

1-al2

fT+H f/2

Jt J-hexp

2

u

Имеем

J-h,

exp

( / \2 ^ u

h

v ' '

F(t + u) | du

h

v ' '

F(t + u) | du

n2 ^ dt

a 12

h2^^exp(-v2) | F(t + vh)| dvJ < 2fV' -v2

J1

Таким образом, получаем:

I?«U MVf"-1^™^^ \F(t +vh) \2 dvdt^< 42/a-l,2 (Mb 1,

< wvf«-1* V(o i2 <*) U

U w^-vfj^Vwi2^.

Пользуясь леммой 1 - приближенным функциональным уравнением F (г), приходим к неравенству

2

гТ+Н+1 9 Г л +J

¡т-1 РО!-*0 и

Т+Н+1

^ а(Х^}-и

Х<р

л/Х

2

¿4 + НТ ■

- 0,2

Наконец, для интеграла в правой части последнего неравенства находим оценку

Т+Н+1

¡Т-1

х< р

л/Х

М □ ^ ехр

< Н Г

Л-

+» -V2

е

^ а~г'(Т)

Х<р Vх

2

г - т

н

(

2 Л

х< р

л/Х

¿г <

(Ь? □ Н

х<р

I а(Х)|

Х

ТО— )|

где ^(Т) - тригонометрическая сумма леммы 2. Сумма «диагональных слагаемых» оценена в [5] так:

у№[0 1пХ

Х<р

1п7

Для суммы «недиагональных слагаемых» W1(T) справедливо неравенство (2), т.е.

W1(T) < Н ~0'2.

Таким образом, получаем

а/2

г ^ а/2^ ^т^чч1-а/2/ а гт-а/2 [ 1пХ Л ^ с5 О(Е)) И Н "¡—р

Перейдем к оценке /2. Применяя неравенство Гельдера, получаем

/2 < Н

1-а/2

лТ + Н ¡Т

[И

2

и

F (г+и)Ли

ч ;

2 ^ Л

а/2

Рассмотрим интеграл в правой части последнего неравенства. Пользуясь леммой 1, находим

2

¡Т+Н 11 е"(и / И)2 ^ (г + и) ¿и'Л <{,

Т +Н Т

у а(Х)Л(Х^ -и

Лг+НХ~°'2к2 <

<

+Не-((г-Т)/Н )2

Т

у а(Х)Л(Х^ -и

Х<р

л/Х

х<р

Л + НХ~°'2И2 □ Н + (Г) + /72Х"0-2 ),

где

|а(Х)Л (Х)|'

Х<р

Х

Л (Х) ^И*"'"(^Х)'и

и W2(T) - сумма леммы 2. Сумма I оценена в [5] так:

ЕП Л2

7 с1пЯ +

1п Г

1п у

Для суммы W2(T) справедливо неравенство (2}), т.е. Таким образом, имеем

W2(T) < к2 Н _0,2.

/2 < каН

( ( с6

ч 4

7

1п X ) с 1п Н ,-,--0 2 +-+Н 0,2

1п У

а/2

1п У

где с10 > 0 - абсолютная постоянная. Так как г = н°,01, то

с 1п Н

Далее,

= 100с. 1п У

(1п X Л~7

с >

ч 1п у

так как это эквивалентно таким неравенствам:

1п X 1' 1 > -

1п У

> 1п! = ,Н >(1пX)1000. 1п У с V 1п Н у '

(5)

(6)

2

Из приведенных оценок следует, что

л_7

In X >1 с In Н + < 102с_

1п У ) 1п У Поэтому оценку 12 можно переписать так:

а

/2 < ННа (102сс6)а/2 = ННае21п(102ССб). Будем считать параметр р таким, что выполняется неравенство

Л/1п(1/ р) > 21п(102с6).

Тогда имеем

1п(102сс6) = 1п— - 1п(102с6) j =

— (^ьД + 1к!1 - 1п(102сш) !<- 1Ь1,

42 с 2 с /2 с

Так как н < гр, то

Тогда из того, что

>>> |n<i02c«)-

■v/ln(1 / с)

следует, что

Подставляя (4), (5) и это неравенство в (3), получаем:

т ^ 1 а тт -а/4 /2 < я Не .

/ 1 ^ \а/2

/ -1 -а/4\ г,-1-а/2 а/2 /с,ч1-а/2 lnx

1е с4 - е IН < с5 1

ln 7

Без ограничения общности можно считать С4 < е 1. Число а найдем из уравнения

-а/4 -2 е = е С4.

Ясно, что а > 12. По заданному теперь а определим положительную константу р, как наибольшее число, удовлетворяющее условию - и неравенству

а 1

: < ■

•ч/1"<1/ Р) 2'

т. е. возьмем

. ( -4а2 -4ln2(102c6) р = minI s;е ;е v 6'

Тогда при Н < Xр выполняются неравенства

ln1 = . llnlnx >. fln1 > 2а; 0 <а = - а -1

1 =* >Л F

с у ln Н ^ р

1п(1/ с) 2

Таким образом

ц(Е) > с5-а/(2-а)(е-2с4)2/(2-а) Н 1пХ .

Так как 0 < а < 1/2, то из этого неравенства находим

„<Е) > с7Н(1пХГ . (V

Пусть N = [Т / А] и N = [(Т+Н)/ А1]. Разделим интервал (Т,Т+Н) точками + «А где п = 1.2. ■■ ■.А', -Л'. Рассмотрим теперь интегралы (Л'Л, + пкх, Л'Л, + (н + 1)/г,) где н = 1,2, ■ ■ ■, Щ - N -1. Обозначим через ю число промежутков, в которых содержится точка г из множества Е2. Эти промежутки имеют вид:

0ак =(М1+а/с/г1,М1 + (а/с +Щ), 04 <а2 <-<аю.

Легко видеть, что:

2А1 +юИ1 > ц(Е).

а

Из неравенства (7) следует, что

ш > с7 ■

H (ln X

- 2.

И ч 1п У

Еслиинтервал (А'/г, +а^к'+2Ь\.МЬ] + ^^ + ^1)- где к' = 0.2,- • -.о'. ю'>ю/3-2 содержит точку í из Е2, то в интервале (Ш1 +а3^+2к1-к1,Ш1 +а3^+2к1 + 2к^) содержится хотя бы один нуль нечетного порядка функции F(г). Кроме этого, при г ф у имеем

(№И + азг+2к1, ^ + а3г+2И + к1) ^ (Nк1 + а3у +2к1, №к1 + а3у +2к1 + к1) = %

Поэтому количество нулей нечетного порядка функции F(г) на интервале [Т,Т+Н] не меньше, чем

,„ „ 1 H (ln X

ш'>ш/3 - 2 >-c7 '

3

где c12 > 0 - абсолютная постоянная. Так как

ln Y

- 3 > c8-

H (ln X

ln Y

то

где

Так как

то

h = -

1

-ln

ln X

c ln H ln Y

a =

>(1/ c)

ln! - L^, Y = H°'01, c V ln H

No0T+H) - N0 (T) > c8H ln He

-R

R = < ln

ln X ln H

+ ln ln R1 +a ln R1, R1 =

ln X ln Y '

a ln100

ln H

ln X

lnln (R1 ) = lnln I 100^nX

lnH

a ln Ri = -

ln X

lnH

ln h < a lnM.,

ln H

R < (2 + 2a)Jln

ln X InH'

N0 (T+H) - N0 (T) > c8 H ln H exp

-a^iln

ln X ln H

где а = 2 + 2а > 0 - абсолютная постоянная. Далее утверждение теоремы следует из следствия 1.

Доказательство теоремы 2 проводится по аналогии с доказательством теоремы 1 и с использованием леммы 2.

-a

-a

a

Заключение

Доказательство главной теоремы основано на получении оценку сверху для специальной кратной тригонометрической суммы. В работе автор пользуется методами А. А. Карацубы получения оценки "сельберговского типа" для числа нулей С,{s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой.

Список литературы References

1. Hardy G. H., Littlewood J. E. 1921. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line. Mathematische Zeitschrift, 10: 283—317.

2. Selberg A. 1942. On the zeros of Riemann's zeta-function. Skr. Norske Vid. Akad. Oslo, 10:1-59.

3. Карацуба А. А. 1984. О нулях функции s) на коротких промежутках критической прямой. Изв. АН СССР. Сер. матем., 48(3): 569-584.

Karatsuba A. A. 1984. On the zeros of the function s) on short intervals of the critical line. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., 48(3): 569-584.

4. Карацуба А. А. 1984. Распределение нулей функции С,(112 + it). Изв. АН СССР. Сер. матем., 48(6): 1214-1224.

Karatsuba, A. A. 1984. The distribution of zeros of the function C,(112 + it). Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., 48(6): 1214-1224.

5. Карацуба А. А. 1992. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой. Изв. РАН. Сер. матем., 56(2): 372-397.

Karatsuba, A. A. 1992. On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., 56(2): 372-397.

6. Киселева Л. В. 1988. О количестве нулей функции s) на «почти всех» коротких промежутках критической прямой. Изв. АН СССР. Сер. матем., 52(3): 479-5°°.

Kiseleva, L. V. 1988. The number of zeros of the function C,{s) on "almost all'' short intervals of the critical line. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 52(3): 479-5°°; translation in Math. USSR-Izv. 32 (1989), no. 3, 475-499

7. Там Д. Д. 2016. О нулях дзета-функции Римана ^(s), лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой. Чебышевский сборник, 17(1): 69 - 87.

Tam D. D. 2016. On the zeros of the Riemann zeta function, lying in almost all short intervals of the critical line. Chebyshevskii Sbornik, 17(1): 69 - 87.