Об одной задаче А. А. Карацубы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

ОБ ОДНОЙ задаче а. а. карацубы ON A KARATSUBA'S PROBLEM

До Дык Там Do Duc Tam

Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia E-mail:[email protected]

Аннотация. Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функции Римана £(s) на критической прямой Ms = 1/2. В 1984 г. А.А. Карацуба доказал, что почти все отрезки прямой Ms = 1/2 вида [T,T + X ], где 0 < X0(e) < X < T < 2X, содержат более c0(s)Ts lnT нулей нечетного порядка функции ^(1/2 + it). В настоящей работе автор уменьшил

длину отрезка осреднения. Мы доказали результат Карацубы для отрезка (X, X+X//s+s). Доказательство главной теоремы основано на получении оценки сверху для специальной кратной тригонометрической суммы.

Resume. In this paper, we study the distribution of non-trivial zeros of the Riemann zeta function £(s) , which are on the critical line Ms = 1/2 . In 1984, A. A. Karatsuba proved that almost all intervals of

line Ms = 1/2 of the form [T, T + XS ], where 0 < X0 (s) < X < T < 2X , contain more than C0 (s)T£ ln T zeros of odd orders of the function £(1 / 2 + it) . In this paper, the length of the averaging interval has reduced.

We proved Karatsuba's result for interval (X, X + X ). Proof of the main theorem is based on obtaining an upper estimate for the special multiple trigonometric sum.

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая. _Keywords: the Riemann zeta function, non-trivial zeros, critical line._

Введение

Дзета-функция Римана задаётся на полуплоскости Ms > 1 рядом Дирихле

1

= 1-

n=1 П

и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s=1. Леонард Эйлер доказал следующее замечательное тождество:

as) = П p

Ms > 1,

Р

с помощью которого он дал аналитическое доказательство теоремы о бесконечности количества простых чисел.

Бернхард Риман стал изучать дзета-функцию как функцию комплексного переменного. Хорошо известно, что все комплексные нули расположены симметрично относительно прямой

Мя = 1/2, которая называется критической. В 1859 г. Б. Риман [1] высказал гипотезу о том, что все

комплексные нули £(я) дзета-функции лежат на критической прямой Мя = 1/2.

В 1914 г. Г. Харди доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей C(s) дзета-функции. Пусть N0(T) — число нулей нечетного порядка функции, лежащих на промежутке (0, T ]. В 1921 г. Г. Харди и Д. Литтлвуд [2] доказали следующую теорему:

Для любого s> 0 существуют T0 = T0(s) > 0, c = c(s) > 0 такие, что при T > T0, H = T°'5+г справедливо неравенство:

N0(T + H) - N0(T) > cH.

В 1942 г. А. Сельберг [3] улучшил результат Харди и Литтлвуда. Он доказал, что при условиях теоремы Харди и Литтлвуда справедливо неравенство:

N0(T + H)-N0(T) > cHlnT. (1)

Сельберг [3] высказал гипотезу о том, что оценка (1) имеет место при меньших h , то есть, при H = та+е,

где а положительная постоянная, меньшая 1/2.

Ряд замечательных работ о нулях дзета - функции Римана выполнил А. А. Карацуба [4-11]. В 1984 г. А.А. Карацуба установил, что неравенство (1) справедливо при H = T27/82+s. Тем самым он доказал гипотезу Сельберга о числе нулей дзета-функции Римана, лежащих на критической прямой. А.А. Карацуба [6] решил задачу о числе нулей дзета-функции Римана на очень коротких промежутках критической прямой <<в среднем>>. Доказана следующая теорема:

Пусть £>0 произвольно малое фиксированное число, X >X0(s) > 0, н = Xs, х<t<2X. Рассмотрим соотношение:

N0 (T + H) - N0 (T) > c1H ln T, (2)

где ci = ci (s) > 0 - некоторая постоянная, зависящая только от s, и через Ei обозначим множество тех t из промежутках < t < 2X, для которых (2) не выполняется. Тогда для меры этого множества /и{Ei) справедлива оценка:

ß(E1) < X1-05s.

В 1988 г. Л.В. Киселёва [12] получила результат подобного рода, но для отрезка

(X, X + X. в настоящей работе автор уменьшил длину отрезка осреднения. Сформулируем основные теоремы:

Теорема 1. Пусть s>0 — произвольно малое число, X > X0(s) > 0, H = Xs,

v v7/8+s

X1 > X , x < T < X+X1.

Через e обозначим множество тех t из промежутка [X, X+X1], для которых интервал [T,T+H] содержит меньше, чем c0 H ln T число нулей нечетного порядка функции С (0,5+it), гдеc0 = c0(s) > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от s. Тогда для меры этого множества ß(E) справедлива оценка

ju(E) < X1X"0'5s .

Теорема 2. Пусть0 <s — произвольно малое число, X > X0(s) > 0, H = Xs, X1 > X^7/8+s , Х<Т<Х+Х\, М = [Х/Щ,М1=[Х1/Я]. При ш = М + \.М + 2.---.М + М} рассмотрим интервалы вида [mH, mH+H].

Тогда в каждом из указанных интервалов, за исключением не более M1M из них, содержится более чем c1H ln T нулей нечетного порядка функции С(0,5+it), где c1 = c1(s) > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от s.

Вспомогательные утверждения

В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения: е,е1--->0 - произвольно малые

7/8+s 1_

фиксированные числа, х - растущий параметр, X1 > X , х < T < X+X1, P = л/T /2л , H = Xs,

Ы = 1п X, У = Н0,01,0 < к < А1 < 1 - параметры, зависящие от т, значение которых будет определено позднее, "' ~ положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходит г,

действительные числа а(у) находятся из соотношения

1

а(у)

и=1 у

числа ру) и а(-) определяются следующим образом:

Мя > 1,

а(Л)= у РУШУ* т _ [а(у)(1 - 1ПУ/1пу)Л <У< Y,

у- у2 , 10,у^ Y.

Лемма 1. Пусть при ] = 1,2 суммы (т) определяются равенствами:

щ(т) = 1 П^

а(-)а(-,) -*

ч-,

ехр

( (н ^ Н 1п -2 2 -

ч 1

^(Т) = I

- <—<Р

а(- )с1 (П )а(-)а (-2) (V ^

V-у

ехр

Н 1п

2

ч-/

2

где

гк е-(и/к)2 Г р

-к1 Ч-

Тогда справедливы следующие оценки:

а(-) = /к1 е-(и'к| ¿и.

Х1У11!10

г X+Х1 о

X 1)ат << н

сХ+Х-\ о

X 12(Т)<г <<

ь4ХУ "¿10

н

где постоянные в знаке << зависят только от

Схема доказательства. Пусть Ш(Т) - одна из двух сумм ш . (Т), ] = 1,2 и ¿1 (-) = 1,

к2 = 1, еслиШ(Т) = Ш1(Т), а ¿¡К-) = а(-), к2 = к, если Ш(Т) = Ш2(Т). Пользуясь определения числа а(-) и неравенством Коши, получаем:

2

1-Х+Х,, |2 о,- X+Х,

I 1 \Ш (Т)\2аг << У8 Г 1

Ф(«1, «2,Т)

п1<аР п1Р<п2<п1Р(1+Ь/Н)

где

ФЦ, Й2,Т) =

¿1(п1У1 / У2)а1(п2У3 / у4)

ч П1У

»2 <уР Т ( ехр

аг,

(3)

(

Н 1п

2

»2

2

пр

V 1 уу

л/п1п2У1У2У3У4

\ /

а = у2 / У1, Р = У1У4 / (у2уз), х = У4 / У3 и У1, У2, У3, У4 - некоторые фиксированные натуральные числа, не превосходящие У. Пусть ^ =^Х /(2я-). Разбивая промежуток суммирования по »1 на два промежутка точкой Р)а , приходим к неравенству:

( 2

X х+Х1 \ш (Т)|2 аТ << у 8

лХ +Х1 ¡X

I I ф(П1, П2,Т)

п1<Р0а п1Р<п2 <п1Р(1+ЫН) п2 <Ру

аТ+

|-Х+X; ХХ

I

I

Ф(П1, П2,Т)

Р0а<п1< Ра пф<п2 <п1Р(1+Ы/Н) п2 <Рх

2

¿Т

(4)

Будем обозначать два интеграла в правой части выражения (4) через J1 и J2 , соответственно,

п < Р0а и Р0 а < п < Ра .

Пользуясь тем, что промежуток суммирования по \ короткий, оценим интеграл J2 так:

•2 <<■

к\ Ь X!

н

(5)

Оценим интеграл • сверху. Разбивая промежуток суммирования по \ в этой формуле на << ь промежутков вида N < п < N1 < 2И < Р0а, приходим к неравенству:

2

X X Ф(пЬп2,Т) ОГ.

N<щЩ п1Р<п2<пф(\+Ь/Н) Применяя к последней сумме по пь П2 преобразование Абеля, пользуясь оценками

к

1 рХ+Х1

• << Ь Ь

d

< к;

d'

к

<— ■

d "

у2

приходим к неравенству:

где

{Х+Х!

11 -)х

X X

• << к4ь21ъ

-(Н 1п(П2/пф)/2)2 ( ЛГ

(6)

V п1 У

Е(П1, П2)

N<п1<N2 N^^2^<^р ^п1п2у1у2у3у4

1, если N < п1 < N и п1$ < п2 < п1Р(1+Ъ/Н),

dГ,

Е(пъ п2) -

[О, в остальных случаях, N < N2 < N и N < N3 < N1(1+Ь / Н) - некоторые фиксированные числа. Далее, применяя к ¡1 известный прием [7], получаем:

11 << Х1

X X

М<п1,п3 <М2 Мр<п2,п4 <М3Р

0<п2п3-п1п4 < N 2РЬ/Х1

( \ п2 п3

IX

Vп1п4 у

г/(п1, п2, пз, щ)Е(п1, п2)Е(пз, п4)

+ 0\е

(е—'т1ь ),

(7)

где

1](щ, »2, пз, пА) -■

-(Н 1п(п2/(пф))/2)2 —(Н 1п(пА/(пъР))/2)2 -(Х^п^/^))/2)2

фцп^пзп^

Разобьем последнюю сумму на две суммы: е - часть этой суммы, отвечающая таким слагаемым, у которых п2п3 - пщ , а Щ - слагаемым, у которых

1 < — <

N 2РЬ X '

Оценим сумму е количеством возможных наборов чисел пх, п2, п3, п4

Е<-

Ы

Н

(8)

Так как в W присутствует множитель

г \'Х п2 п3

п1п4

то можно воспользоваться осцилляцией. Оценим сумму W так:

Щ << ■

у3 Ь

Н

(9)

Из (3-9) следует утверждение леммы.

Следствие 1. Пусть 8 - произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е2 - множество таких г из интервала [X, X+Х1], для которых выполняются неравенства

2

и

и

2

у1-8у11г10 ¿,4^1-—11,10

Ш2(Т)>Х У Ы , Ш2(Т)>> У Ы

Н 2 Н

Тогда для меры множества Е2 справедлива оценка М(Е) << Х\ . Лемма 2. При обозначениях теоремы 2 справедливы неравенства:

м+ь м^Ы М+ к4М1У11Ы11

I Ш1(тН) << 1 , I Ш1(тН)

т=М+1 Н т=М+1 Н

Лемма 2 доказывается по аналогии с доказательством леммы 1.

Доказательство основной теоремы

В следствии 1 полагаем 8 = 1 - 4 / 7 а . Будем рассматривать те числа т из X < Т < X+Х1, которые не принадлежат множеству Е2 ; для них выполняются оценки:

Ш2(т )<

УПЫ10

Ш22(Т )<

\4у11Ь10

4н ' 1 ^ '

Из рассматриваемых чисел т выбросим те, для которых выполняется неравенство:

(10)

¡2 + КТ + Н -1))^2 (а + 1(Т + Н - 1))ао-

Х'2 + '(Т +1))^2 (а +1 (Т + 1))аа

я

>—. Ы

(11)

В силу леммы 7 статьи [13] следует, что мера выброшенных чисел есть величина порядка ОХцХ £).

Далее, доказательство проводится по схеме работы А.А. Карацубы [5]. Введём следующие параметры к = А / (с 1п Т), \ = 2к , Т > X >0. Будем считать, что х так велико, что 0 < к < к1 < 1. Числа 0<с <1 и 0 < А будут определены позднее. При Т < I < Т+Н рассматриваются интегралы Л1(1) иЛ«:

д(0 = Х\е"(и/к)> (I+и) ¿и, ¿(О =Хк1'

где Р (I) - функция Харди-Сельберга [13, гл. 3].

Обозначим через Е4 подмножество интервала (Т,Т+Н), на котором выполняется неравенство у1(/) >у2(/). Так как вне Е4 два интеграла ) и л2(1) равны, то имеем:

Г гТ+Н г гТ+Н ГТ+Н

X 71 (I)Л = Х л(№72(1 )а лСаа

Применяя интегральное неравенство Коши, приходим к соотношению:

^^ +Н >/3, (12)

где Е4) - мера множества Е4,

гГ. , ^ г рТ +Н, , , чЧ2 . . Т +Н

хт

Ы +Н , \2 г* +Н , \2 г*

/1 = Хт (л (О)2, /2 = Хт (72 (О)2, /3 = Хт

Пользуясь способом, указанным в работе [5, с. 572], и неравенством (11), оценим интеграл

/3 так:

/3 >кН+с4кНГ1.

(13)

Интеграл /1 оценен [5, а 576]:

/1<<к2 Н ОпУ+щт)),

где Ш[(Т) - тригонометрическая сумма леммы 1. Для суммы Щ(Т) справедлива оценка, которая следует из (10):

+

+

Щ(Г) < Н ~°25Т 5'5ь5.

Таким образом, получаем оценку сверху для :

Л < с5к2Н+ Н-^Т5515). (14)

Интеграл 12 оценим сверху, пользуясь способом работы А.А. Карацубы [14, с. 195]. Получа-

ем:

U << H

( ( 2lnT

1n Y

Л

c + -

V

V

+ W2(T)

2UT -0,02

+ h2 HT

(ск \пТ)2е2(к11кУ е2(ксЫТУ где Щ(Т) - тригонометрическая сумма леммы 1. Сумма Щ(Т) оценивается с помощью (10):

Ш2(Т) < к2Ни°'25Т5'5ь5.

В силу определения т , к, \ получаем:

h Z ceh2H Возьмем теперь

1П T ■ 100e_1

1n X

11

c + „ „ +

A2e8 e2A2

+ H -0'25Y 5'5 L5 + T-0'02

c = -

4800c,

, 4800c6

,A = 6

6

0,5

и число x выберем так, чтобы выполнялось неравенство:

В итоге получаем:

H-0'25y5'5L5 + T-002 < -L 8c.

1 7 12 < - к2H. 2 4

(15)

Из оценок (12-15) получаем неравенство /и(Е4) > е7Н, сп = с1(е) > 0 , откуда следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2 проводится по аналогии с доказательством теоремы 1 и с использованием леммы 2.

s

Список литературы

1. Риман Б. Сочинения / Б. Риман. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 479 c.

Riemann B. The works / B. Riemann. - Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948. - 479 p.

2. Hardy G.H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. - 1921. - V. 10. - P. 283—317.

3. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942.-V. 10. - P. 1-59.

4. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой / А.А. Карацуба // Тр. МИАН СССР. - 1981. - Т. 157. - С. 49-63.

Karatsuba A. A. On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line / A.A. Karatsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov. - 1981. - V.157. - P. 49-63.

5. Карацуба А.А. О нулях функции £(s) на коротких промежутках критической прямой / А.А. Карацуба // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1984. - T. 48. - № 3. - С. 569-584.

Karatsuba A. A. On the zeros of the function £(s) on short intervals of the critical line / A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. - 1984. - V.48. - No. 3. - P. 569-584.

6. Карацуба А.А. Распределение нулей функции £(1/2+it) / А.А. Карацуба // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1984. - Т. 48. - Вып. 6. - С. 1214-1224.

Karatsuba A. A. The distribution of zeros of the function £(1 / 2+it) / A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. - 1984. - V.48. - No 6. - P. 1214-1224.

7. Карацуба А.А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой / A.A. Karatsuba // Тр. МИАН СССР. - 1985. - Т. 167. - С. 167-178.

Karatsuba A. A. Zeros of the Riemann zeta function on the critical line / A.A. Karatsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov. - 1985. - V.167. - P. 167-178.

8. Карацуба А.А. О вещественных нулях функции ^(1/2 + it) / А.А. Карацуба // УМН. -1985. - Т. 40. - № 4. - С. 171-172.

Karatsuba A. A. On the real zeros of the function ^(1 /2 + it) / A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. - 1985. - V. 40. - No. 4. - P. 171-172.

9. Карацуба А.А. Дзета-функция Римана и ее нули / А.А. Карацуба // УМН. - 1985. - Т. 40. -№ 5. - С. 23-82.

Karatsuba A. A. The Riemann zeta function and its zeros/ A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. -1985. - V. 40. - No 5. - P. 23-82.

10. Карацуба А.А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой / А.А. Карацуба / / Изв. РАН. Сер. матем. - 1992. - Т. 56. -№ 2. - С. 372-397.

Karatsuba A. A. On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line/ A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. - 1992. - V. 56. - No 2. -

P. 372-397.

11. Карацуба А.А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле / А.А. Карацуба / / УМН. - 1992. - Т. 47. - № 2. - С. 193-194.

Karatsuba A. A. A refinement of theorems on the number of zeros lying on intervals of the critical line of certain Dirichlet series/ A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. - 1992. - V. 47. - № 2. - P. 193-194.

12. Киселева Л.В. О количестве нулей функции £(s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой / Л.В. Киселева / / Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1988. - Т. 52. - Вып. 3. - С. 479500.

Kiseleva L.V. The number of zeros of the function £(s) on "almost all'' short intervals of the critical line / L.V. Kiseleva // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. - 1988. - V.52. - № 3. - P. 479-500. Translation in Math. USSR-Izv., 1989. - V. 32. - № 3. - P. 475-499.

13. Воронин С.М. Дзета-функция Римана / С.М. Воронин, А.А. Карацуба. - М.: Физматлит,

1994. - 376 c.

Voronin S. V., Karatsuba A. A. The Riemann zeta-function. - M.: Fizmatlit, 1994. - 376 p.

14. Карацуба А.А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле / А.А. Карацу-ба // Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.М. Виноградова: Сборник статей. Тр. МИАН 1994. Вып. 207. - С. 180-196.

Karatsuba. A.A. A new approach to the problem of the zeros of some Dirichlet series / A.A. Kar-atsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov., 1994. V. 207. - P. 180-196; translation in Proc. Steklov Inst. Math.,

1995. - V. 207. -№ 6. - P. 163-177.