О дробных моментах успокоенных 𝐿-функций Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 4

УДК 511.331 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-4-167-186

О ДРОБНЫХ МОМЕНТАХ УСПОКОЕННЫХ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ

С. А. Гриценко (г. Москва)

Аннотация

Пусть xi («О — характер Дирихле по модулю 5 такой, что Xi(2) = i,

л/10 - 2V5 - 2

к = -^-.

V5 - 1

Функцией Дэвениорта^Хейльбронна называется функция

f(s) = 1 2 гя L(s,x i) + L(s,Xi).

Функция f (s) была введена и исследована Дэвенпортом и Хейльбронном в 1936 году. Она удовлетворяет функциональному уравнению риманого типа

9(s) = 9(1 - s),

где g(s) = (f )-я/2Г(^)/(s).

Известно однако, что не все нетривиальные нули f (s) лежат та прямой Ks = 2. В области Ks > 1,0 < Ss ^ Т число нулей f (s) ^^^^теходит сТ, где с > 0 — абсолютная постоянная (Дэвенпорт и Хейльбронн, 1936 г.).

Кроме того, число пулей f (s) в области ^ < а1 < Ks < а2, 0 < Ss ^ Т превосходит с1Т, где с1 > 0 — абсолютная постоянная (С. М. Воронин, 1976).

В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что па критической прямой Ks = 2> лежит «аномально много» нулей f (s). Пусть Nqj(Т) — ^^сто нулей f (s) та промежутке Ks = 1, 0 < Ss ^ Т. С. М. Воронин получил оценку

N0J (Т) > С2Т exp{ 20 Vloglogloglog Т},

где с2 > 0 — абсолютная постоянная.

В 1990 году А. А. Карацуба коренным образом усилил оценку С. М. Воронина и получил неравенство

N0J(Т) >Т(logТ)1/2-е,

где е > 0 — произвольно малая постоянная, Т > Т0(е) > 0.

В 1994 году А. А. Карацуба получил несколько более точную оценку

N0J(Т) > Т(logТ)1/2 exp{-C3^loglogТ},

где с3 > 0 — абсолютная постоянная.

В 2017 году автор получил следующую оценку

Noj(Т) > Т(logТ)1/2+1/16-е (£ > 0).

В настоящей статье получены новые верхние и нижние оценки дробных моментов успокоенных рядов Дирихле, из которых следует, что

Noj(Т) > Т(logТ)1/2+1/12-е (£ > 0).

Ключевые слова: функция Дэвенпорта-Хейльбронна, нули на критической прямой, дробные моменты успокоенных рядов Дирихле.

Библиография: 14 названий.

168

C. A. lTIIILKIIKO

ON FRACTIONAL MOMENTS OF THE MOLLIFIED DIRICHLET ¿-FUNCTIONS

S, A. Gritsenko (Moscow) Abstract

Let xi(n) be the character of Dirichlet mod 5 such that xi(2) = i,

^10 - 2^5 - 2

k = -p-.

V5 - 1

Davenport-Heilbronn function is defined below

1 — ix 1 + ix _

j (s) = —2— i(s'^i) + —2— i(s,xi).

The function f (s) was introduced and investigated by Davenport and Heilbronn, in 1936. It satisfies the functional equation of Riemann's type

9(s) = 9(1 - s),

where g(s) = (f )-s/2r(^)/(s).

It is well-known however, that not all non-trivial zeros of f (s) lie on the 1 ine Ks = 2. In the region Ks > 1,0 < Ss < T the of zeros of f (s) exceeds cT, where c > 0 is an

absolute constant (Davenport and Heilbronn, 1936).

Moreover, the number of zeros of f (s) in the region 1 < a1 < Ks < a2, 0 < Ss < T exceeds c1T, where c > 0 is an absolute constant(S. M. Voronin, 1976).

In 1980, S. M. Voronin proved that «abnormally many» zeros of f (s) lied on the critical line Ks = 2- Let N0j(T) ^e ^^e number of zeros of f (s) on the segment Ks = 0 < Ss < T. S. M. Voronin got the estimate

N0 j (T) > C2T exp{ Vloglogloglog T},

where c2 > 0 is an absolute constant.

In 1990, A. A. Karatsuba significantly improved Voronin's estimate and got the inequality

Noj(T) >T(logT)1/2-e,

where e > 0 is an arbitrary small constant, T > T0(e) > 0.

In 1994, A. A. Karatsuba got somewhat more accurate estimate

Noj(T) > T(logT)1/2 exp{-C3^loglogT},

where c3 > 0 is an absolute constant.

In 2017, the author got the following estimate

Noj(T) > T(logT)i/2+i/i6-e (£ > o).

In this paper we obtain new upper and lower estimates of the fractional moments of mollified Dirichlet series, from which it follows that

Noj(T) > T(logT)1/2+1/12-£ (£ > o).

Keywords: Davenport-Heilbronn function, zeroes on the critical line, fractional moments of mollified moments of Dirichlet series.

Bibliography: 14 titles.

1. Введение

Пусть х(п) — характер Дирихле, L(s, х) — соответствующая L-функция Дирихле. Знаменитая расширенная гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули L(s, х) лежат на критической прямой К s = 2-

Если модуль характера х(п) ограничен константой, то современные результаты о распре-L( , х)

( )

Пусть N0(T) — число нулей ((s) на отрезке [2, 1 + гТ\.

В 1921 году [1] Г. Харди и Дж. Литтлвуд доказали неравенство

No(T) » Т. (1)

В 1942 году [2] А. Сельберг получил правильную по порядку оценку для No(T):

No (Т) »Т log Т. (2)

Сельбергу принадлежит идея введения так называемого "успокаивающего множителя" ("mollifying factor"). Под успокоением здесь понимается понижение порядка роста моментов рядов Дирихле после умножения этих рядов на соответствующие успокаивающие множители.

В 2002 году А. А. Карацуба [3] нашел приложение оценок дробных моментов дзета-функции на критической прямой к задаче об оценке Щ(Т) и получил оценку, более точную, чем (1), хотя и менее точную, чем (2). В статье [3] использовались оценки моментов неуспокоенной дзета-функции.

В 2017 году автор [4], правильно по порядку оценив сверху и снизу момент успокоенной функции Дэвенпорта-Хейльбронна порядка 1/2,а также сверху момент той же функции порядка 1, доказал, что число нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на отрезке [ ^, 2 + iТ], можно оценить снизу величиной

Т (log Т) i+T6—, (3)

Оценка (3) получена на основе метода А. А. Карацубы (см. [5]-[10]) с добавлением некоторых дополнительных соображений.

L

рядков 2 для любых натуральных v ^ 3, а также порядка 1. Введем некоторые определения.

Пусть xi — характер по модулю 5 такой, что Xi(2) = i-

0 < е < 0.001 X = Т°.°01е. Пусть

а(и) — последовательность, задаваемая равенством

^ Vs = П (1 2vp0 П (1 ps), > 1

^=1 р=±1 (mod 5) р=±2 (mod 5)

Пусть

= | а(и)х1(г/Я1 - , если 1 ^ ^ < Х

I 0, если и^Х.

Тогда наш успокаивающий множитель имеет вид |<^(2 + г¿)|2^, где

1 , ^ Р М

Сформулируем основную теорему статьи.

Теорема 1. Пусть V — натуральное число, V ^ 3. Тогда, справедливы оценки

¡■¿1 1 1

т(^Т)(1+2-)2/(2г,2) « 1щ+гг,х1)<р2у(1 + ^)|2/^ «Т(^Т)(1+2«е)2/(2-2),

С 21 1 1

]т |Ь(1 + гх(1 + й)|2/"-* « Т(^Т)(1-2-)2/(2"2),

С 21 1 1

у щ- + г 1,х1^2ь(2 « т(^Т)(1+2-)2/8,

/• 21 1 1 ] +гг,^2"(2 +г*)|£Й « т(logТ)(1-2ие)2/8.

Отметим, что если воспользоваться теоремой 1, то рассуждения по схеме [4] приводят

" 1 1

2 , 2

к оценке числа нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на отрезке [1, 2 + гТ]

величинои

Т (^Т) 2+Т2—,

что уточняет оценку (3).

В статье будут использованы следующие обозначения: У = Т3/4; х(п) — один из характеров Х1(п), Х1(п); — множество натуральных чисел, состоящее из 1 и тех чисел, простые делители которых делят -; при к > 0 последовательность -¡,(г/) задается равенством

<" ( •>=5: • *• > 1-

V =1

2. Основные леммы

Лемма 1. Пусть 2а = 1 + ¡^ту = 1 + 6,

( х,х)= ^ -1/^ (п)Х(п)Р(^Ж ^/2),

«.VI V2=Л

^2,1/,(А,х) = Е -1(п)хШ(»1)РЫ(^)(2<7-1),

«V! V 2 = А

V /о ^ |а|,1/^( Л,х)|2 , о

^,1/„(2 а,Х,У)= --, , 2-

Существует С0 = Со (г) > 0 такое, что при любых С > С0 справедливы неравенства

(!+2£)2

,1/, (2 а,Х1,У) >> (2а - 1)- 2.2 (1 = 1, 2). Доказательство. Оценим (2а,х1,У) снизу. Имеем

^ /0 _ |аг,1/г>( А, Х1)|2

а<у А

где штрих означает, что суммирование ведется по таким Л = пи 11/2, у которых п — бесквадратные. Далее,

Ед/,(2 a,Xi,Y) > Е' |аг'1/^йХ1)|2(1 - (Л)V2) > ^(2-,Xi) - Y(2ai,Xi),

\<Y

где 2а1 = 1 + 2,

V ,0 - л v4' |aM/y( лXi)|2

л2"

Л=1

Пусть сначала I = 1. Оценим Е1/,(2а, Xi) снизу. Начнем с тождественных преобразований:

Е' (2 х ) = ^ Р(vi)P(У2)Р(уз) Р(щ) W di/y(ni)Xi(ni)di/v(n2)Xi(п2) 41/y (2a,Xi)= (у1У2У8У4)СТ ^ (П1П2)- .

Поскольку числа у15 у2, у3, у4, щ, п2 — бесквадратные, то из равенства n1v1v2 = n2v3v4 следует, что (уьу2) = (у3, у4), поэтому

w , _ ^ 1 V^ Р(U"i)P(U"2) У^ P(U"3) P(U"4)

EU/"( Xi) = ^ (,^) = , (,^)=,

Е'

di/y (ni)Xi(ni)di/y (n2)Xi(n2)

(П1П2)ст

Пусть q = ("1"2,"з"4) "1"2 = aq, "з"4 = bq, (a, b) = 1. Тогда

у-' di/y (ni)Xi (ni)di/y (n2)Xi(n2) = Xi(a)Xi(ft) d1/y (m)"2(m)

^ (n1n2)<J = (abY ^ m2cr

«■lMlM2=«-2M3M4 m=1

(m,5ab ) = 1

, d1/y d1/y ("1)X1("1)5,("1 )d1/y ("2)Xi("2)9("2)

p (1 + ) (""2F x

d1/y ("3 )Xi("3)9("3)di/y ("4)Xi("4)g("4) q2a

("3"4)<J d1/y ('?) 5 2 (<?)'

d2, (5)ч , ч „ , d2, (p)4

где C5 = (1 + ^)-1, g(y) = ПР|„(1 + )-1.

Согласно формуле обращения Мебиуса имеем

Q2" = ^ (d) (d)= d2a И( d2/yfrte2(P)) d?/y(^^ (d), 7(d) d2/y(d)g2(d) I-(1 p2" ).

Отсюда следует, что

S'»/y (2*,X,) > C5 П (1 + E Щ-Щ^ ^IW2™ )l2,

P 1 d^Xo.1 1/yV V '

где

,n , Р )dl/y )Xl ("1 Ж"1 )P("2)dl/y ("2)Xl ("2)g("2)

Vi,i/y,-(2a,Xi)= -/—"2"--/—2"-•

(M1,M2 )=i "2

^1^2=0 (mod d)

Отсюда имеем

X1 (d) d\/v (d)g(d) ^ ^ P(d1u1)d1/v {vi)xi{vi)g{vi)

v

Vi,i/vA2°,xi) =-d-- ^ ^

did2=d (vi,v2)=1 1

(vi,d) = 1 (u2,d)=1

2a

P(d2V2)d1/v(^2)X1(^MV2) _ X1 (d)d1/v(d)g(d) ^ ^ f(d^)-1/v(^)X1(^M"1)

' 2a _ d2a ^ „2a ■

2 did2=d (vi,d) = 1 1

V"^ P(d2^2)d1/V (V2)X1(^M^) s—л

X , ,2a 1(Г) _ 2

(г/2 ,d)=1 2 H( ^1,^2)

X1(d) d1/v (d)g(d) ^ ^ ,XÎ(r)d21/v (r)g 2(r) f (r(h цНд, к^иЖи)

E E i(r)-i- E

d?a / J / J J yAa / j i2a

did2=d (r,d)=1 (/j,1,d) = 1 11

f(rd2l2)d1/v (l2)X1(l2)g(i2)

X i ¡2a •

Ы = 1 12

^0.1

Оценивая сумму по г > X тривиально, получаем

-X

wX1(d)d1/v (d)g(d)a(d) ^ ^ ,X1(0d?/v (r)g2(r)a2(r)

d2a log2X A ^ r4a

ь did2=d r^X0i

( r, d)=1

„ /о ^ to \ > nA/v(d)9(d)\a(d)\ v-0 05, xK1/v,Xi(2a,X2)K1/v,X2(2(г, X2) + 0( ---p^-X a05),

где х^ = (] = 1, 2),

(2а,Х2)= Е -^-log 77,

) = 1

х2 (^) = (5) — символ Лежандра по модулю 5.

Отметим, что поскольку г ^ X0Л, -7 ^ - ^ Х0Л, то х7- ^ X0'8. Наша ближайшая задача — показать, что К1/-€,х. (2а, Х2) Ц = 1, 2) — положительные числа и оценить их снизу равномерно по г и —-.Пусть х — любое из чисел х1,х2, И = Х/(хг) . Тогда

1 [■ Ь+гж хя

К1/ь,х(2а,Х2) = 2— (2а + з)тгП (2а + в) -2-8 =

2— ,)ь-1оо 8

1 rb+iœ y,—by,w

_ -— Fx (1 + w)mrD(1 + w)--^dw,

lb-iœ Xi (W - Ь)2

где

F_ (^)_ g g(i)X2(p)d1/v(i)g(i), m(^)_ + g(p)X2(p)d1/v(ïMp) — (^ > ^

Xi »=1 1 ' C p|c pZ

Для функции Fxi (1 + w) получим аналитическое представление, позволяющее продолжить ее в некоторую часть полуплоскости !Rw < 0. Имеем

1 1 1 lnFxi(1 + w) _ E + ^ E ^ + H1(1+w)

p=±1 (mod 5) p=±2 (mod 5)

X

X

(здесь и далее через Hi(1 + w), Н2(1 + w), ... будем обозначать функции, регулярные и ограниченные в полуплоскости Kw ^ -1/4). Поскольку

V 1 = 1 у" 1 . 1 у X2(P) 15-i-w

/ J 'pi+w 2 'pi+w + 2 'pi+w 2 ,

p=±1 (mod 5) P P

y- 1 = 1 y^ 1__!y- X2(p) 15-i-w

/ J rji+w 2 y rji+w 2 fji+w 2 ,

p=±2 (mod 5) P P

получаем

где

1п%(1 + ад) = -к11п((1 + ад) - к2 1пЬ(1 + ад,Х2) + #2(1 + ад),

= к = ^ А

к1 = 4г)2 2г), к2 = 4^2 + . Таким образом, при Кад > 0

% (1 + ад) =С(1 + ад)-Й1Ь(1 + ад, Х2 )-к2 еЯ2(1+ад). (4)

Отметим, что аналогично выводится формула

РХ1 (1 + -и)=а1 + ™)-к2Ц1+™,Х2 )-^еЯз(1+ад). (5)

Пусть с = г И. Рассмотрим функцию шс(1 + ад). Имеем

, /-] , \ ^ а('Р)х2('р)д(р) -ш 1пр .„-п. ч 1птс(1+ад) = — >-е ш р + Я4(1 + ад) =

р|с ^

а(р)Х2(р)д(р) 1 1____ , ~

е Q(m~+o(HE i -» +н4(1+»>

р|с р|с

= 1птс(1) + о(|ад| Е + Я4(1 + ад) - Я4(1). p|d Р

Пусть с = pi... pt, qi, Q2,... — первые простые числа, занумерованные по возрастанию. Тогда

ylnp ln^ = inqt + 0(1) < ini + 1 < ininX.

р|с p^qt

Поэтому

mc(1 + w) = mc(1) + о(|ад| 1п1пХ^ (l + . (6)

р|

Кроме того, справедлива оценка

1

mc." ' :

-L,-L v P' р|

a+w) = o( п (1 + -)). (7)

Заменим в интеграле

1 г 2b+irx ^—b+w

Ki/v,x(2(T,X2) = — (1+w)mc(1 + w)--—

2кг J2b—i<x, (w - o)

dw.

тс(1 + ш) на тс (1) и оценим возникающую при этом погрешность, пользуясь оценками (6) и (7), а также формулой (4):

(2 Ь + 1 + И)Цтс(2Ь + 1 + И) — Шс(1)|

-оо

х- Ь+2Ь+И

М <

б2 + г2

1 ч, /• 1/4 (Ъ I /• те | )

„у

р|с

п(1+1 к/ ^ -+1*-*+¡: ^^ -) <

1 т-г Л 1 \ ,

« п(1+1 )(Г +£ - 0 «

« хь 1п1пХ П (1 + 1)^ + П (1 + 1) ^(2& + 1 + Й)11•

р|с р|с 1/4

Для оценки последнего интеграла рассмотрим (26 + 1 + г¿)|. Имеем

1/2 г?2-2

(26+1 + г <)| « П (1 + Ш ) « С(1 + 2Ь)1/2'"2 « 6-1/2^2 •

р

Таким образом, погрешность от замены тс(1 + ш) на тс(1) есть

„2 , „ -п- Л

о(Ь-112и2хь 1п1пХ^ (1 + ^),

следовательно,

р|

1 г20+гж х-о+ш , 1 ч

К1/г>,х(2а,Х2) = тс(1)— %(1 + ш)?-— -ш + 0(Ь-1/2'" хь 1п1пХ[](1 + ,

р|

Пусть

* То = е^ •

Пусть Г1 — прямоугольник с вер шинами 26 — г То, 26 + г То, — С\ + г То, — С\ — г То, где С\ = с'1Ь1/2, а с1 — столь малая положительная постоянная, что ни внутри Г1, ни на его границе нет нулей £(1 + ш) и Ь(1 + ш, Х2)• Существование такой постоянной следует из теорем о границе нулей дзета-функции и ¿-функции Дирихле (см. [12]).

Пусть с = с'Ъ, где 0 < с' < 0,1 с[.

Сделаем внутри Г1 разрез то отрезку [—С1, — с]. Определим замкнутый ориентированный контур Г следующим образом. От точки 26 — г То по сторон ам Г1 поднимаемся вверх, поворачиваем налево и опускаемся вниз до точки — С1; по верхнему берегу разреза доходим до точки —с; обходим точку в = 0 отрицательно ориентированной окружности с центром в точке 5 = 0

— 1 Г1

2 — То

Верхний берег разреза, окружность и нижний берег разреза назовем Г2, Гз и Г4, соответственно. По теореме Коши о вычетах имеем

1 Г х-°+'ш 1 Г х-°+'ш

/ Х-Ь+ш \

здесь

U (w) = «(1 + w))-kl (L(1 + w,X2))-k2 еЯ2(1+ад).

Эта функция регулярна во внутренности и на границе контура Г1, а также регулярна, ограниченна и отлична от нуля в некотором круге с центром в w = 0, радиус которого равен постоянной. Тогда

res (wklU(w) --=(kibkl-1 + bkl lnx)U(b) + 0(bkl) =

w=b V (w — b)2 /

= (kibkl-1 + lnx)U(0) + 0(bkl). Поскольку на границе Г1 справедливы оценки ([13, глава 3]):

< lnTo < vlnX, так как х ^ VX] —--

--т ^ lnTo ^ Vlnx,

io ' ' rn+w,x2)i

имеем

1 r2b+i То x- b+w

--Fy. (1 + w)--TT^dw =

2к г J2b-то Xl ( )(w - b)2

- + w

^ ( L + L + l -W-+Wdw + 0l"kl) + U(0)(k^bk^x).

x

2™ v Уг/ Уг3 ' Уг4 ^ (w — b)2

Так как > 0 интеграл

х-b+w

Lwkl (w—wdw

стремится к нулю при с' ^ +0. Поэтому

rci —г lnx

„~Ь, < - *

if f f \ fCl e~rlnx

lim + / + / =2ix~b sin nki rkl--—xdr =

M hj Jo ( r + b)2

rc[b 1/2 e~rb\nx

= 2ix~bb-l+kl sin'kl rkl---T^dr =

Jo (1 + 02

/0

f» g-r blnx

= 2ix-bb-l+kl sin кki rkl y--2dr + 0(e-</2b-l/2).

Jo (1 + 02

Таким образом,

1 n 2b+i То x- b+w

Fy (1 + w)--—2dw =

2кг hb-гТо (w - b)2

sin 'kl f » p-rblnx

= U(0)(kibkl-l + bkl lnx -x-bbkl-ls—Kki rkl-f-^dr) + 0(bkl).

К Jo (1 + П2

Замечаем, что

x-bb^-lssnKkl i»-t^ïe-rblnxdr Okl-l^^ i»t^ïdr = klbkl-l, К Jo (1 + 02 К Jo (1 + r)2

m (1) Г2b+iТо x-b+w

K/">x(2<7'x2) = Or LtTo f*(1+w)(w-W2dw+

+0 ( e-2 + О ( 6-l/2^ V ln ln X + .

p|c ^

Тем самым получена асимптотическая формула

„-bhki-l

к jo ' (1 + 0

/ Ч1П f^ р —rb lnx ч

Kl/ViX(2a,X2) = mc(1)U(0)(klbkl-1 +bkl lnx — x—bbk1—l rkl ——dr) +

+0(bkl) + o(b—1/2v2xb InlnX + ,

i P

p\c причем

Ч1П Kk fp—rblnx

kibkl—1 +bkl Inx — x—bbk1—l^ rklу--^dr >bk1 Inx.

К Jo (1 + П2

Пусть С > С0(е) > 0, гДе С0(г) столь велико, что b—l = < 0.001 log x. Тогда имеем 0.999md(1)m2(1)U2(0)b2kl log2 x < Кф>Х1 (2<т,Х2)Кф,х2(2a,X2) <

< 1.003md(1)m2(1)U2(0)b2kl log2 x.

Пользуясь этими неравенствами, оценим снизу сумму

с V- ()Х1(Г)d2/v(Г)92(r)a2(r) К (2 )К (2 )

S = Ц(г)-^-К/V,X1 (2(J,X2)Kl/v,X2 (2(J,X2).

.1

(r,d) = l

Выделяя г = 1, приходим к неравенству

/ ^ d2/ (r)a2(r)q2(r)ml(1)х

S > md(1)U2(0)b2kl log2 x( 1.998 — 1.003 > ц (r)-2-).

=l

dl/v (P)a2(p)g2(p)ml(1) 1

p2 ^ v2p2

следовательно

2 (m\ Л (m\r,2(m\™2

2

^ о d2/v(r)a2(r)g2(r)mr(1) .___. 1

1.003 ^ß2(r) l/v 2 < 1.003 П(1 +) < 1.003C(2) < 1.65,

2 2

r=l p

S > 0.348md(1)U2(0)b2kl log2x. Из полученного неравенства следует, что

l

,0 ч, ^ |Xl(d)|dl/v(d)a(d)T(d)g(d)lmd(1)l 2k1

|vl,l/v,d(2^,Xl)|»---dp^-b 1.

Мы пришли к неравенству

eW2«i) » ^ п(1+%^> Е a(d)T d(d)md(d) I2

p d^X0.1

d

^ a2(d)r2(d)md(1) y(d) > ^ a2(d)T2(d) vid))3_x—b/20 ^ a(d)T2(d) (y(d))3

^ d2* d > ¿s d2* ( d ) ^ d2a1 ( d ) ,

d<X0A d=l d=l

2, = 1+ * 2(Ji + Ь/2, £ ^f = П(1 + ^ ( ^ )3);

d=1 p у у

-og П(1 + 4^ ( ^ )3) = i Е ¡¿Г + ^2 Е i + 0(1) =

( J, + 2,2) -ogC(2a)+0(1); 5: ^f)3 » «2,)*^ >»-2*';

d=1

X-fe/20 =е-ю|т 20 lo§T = е-I Считая, что С достаточно велико, получаем

2^-2(d)mj d2r d

^ Q2(d)т2(d)m2(1) y(d) ^ -12-2£2 -d2T--^ > b 2v ■

Далее,

log П(1 + ^ = E ^ + 0(1) = V2 log С(2а) + 0(1), П(1 + » »-/yl•

p p P

Применяя полученные оценки, получаем

(1+2^)2

Ei i/y(2а,Xi) » (2а - 1)— 2„2 .

Отсюда следует утверждение леммы для Ei,i/y(2а, Xi, Yдля Е2,1/у(2а, Xi, Y) проводится аналогично. □

Лемма 2. Пусть 2а2 равно либо 2а = 1 + 6, либо 1, с — натуральное число, 0 < к < 1,

г, ( TT(d + dk(р2)dk(р) + dk(p3)dk(р2) + )(1 + dk(р) + dk(р2) + ) 9к И = H(dk (Р) +-~2Г-+-^-+ ■ ■ ■)(1 + + + ■ ■ ■)

plv

= Е .

V

Тогда справедливы, оценки Кк,с(2а2, Xi) — 0(jogf6П(1 + \)), Кк,с(2a2,Xi) = 0(j^gfb"(1-к1) П(1 + \))

р|с р|с

?де кл — — - — ко — — + —

к1 — 2 ' к2 — 4V + 2 ' Доказательство. Представим Кк}С(2а2,х) в виде

а(с) 1

Кк,с (2а2,х) — T"gY ôw Fx(2a2 + s)mc(2a2 + s) -^s,

iogA 2тгг Jb-i^ s2

где

Fx(z) — П(1+ а(Р)Х1(Р)Х(Р)'к^ ), (^ > 1),

„ P

(z) = ^^ + g(p)xi(p)x(p) 9к (р) )-1

т^...........г

pz

р\с

Оценивая mc(z) тривиально, получаем mc(z) = (1 + ^)). Повторяя рассуждения из

леммы 1, получаем

1% (*)| =0(| ССЮ-1 lL(z ,X2)l-k2), |FX1 (г)| =0(| ((z)—2 |L(z ,X2)|-fcl)

{Ш = b, < 0.1).

Кроме того, имеем тривиальную оценку

1^X1 Ш + 1^X1 (*)l = 0(b-k/(2v)) (Я* = b, |3г| > 0.1).

Отсюда имеем

^ ^ \ „А<х(с)1п„ 1w f1/4 tk2 + bk2 k/,2, /-~di,

Kk,c(2-2,Xi) = 0(J^n(1 + ")(l -ёП+ЦГ* + Ь ^ =

\

= 0( »-i1-k2) Ш + £ ))•

p\c

Оценка ^k,c(2(72, Xi) проводится аналогично. □

Лемма 3. Пусть 2а = 1 + ^^ = 1 + 6,0 <&< 12 ^ и

Щ,к,и(\х)= е -к(п)х(п)р( 1/1) Ы( 1/1 •••^и)(г-1)(2ст-1) (/ = 1, 2),

V ,0 ч ^ Кк,и( А,х)|2

Тогда справедливы, оценки

^,к,и(2а, х1) « X2и(2^-1)((2а — 1)-1 )2(2а — 1)-(к-и/(4г0-ив/2)2-(и/(40-ие/2)2,

Т,1 к и(2а, Х1) < XМ2*-1^20" — 1)-1 )2(2а — 1)-(к-«/(4-)+^/2)2-(«/(4-)+^/2)2. , , 1og х

Доказательство. Имеем

Е'' k'«(2 7 X) = f ^ ^ ^ f P • ^-(-1 ••• ^i- ^)*-X

V1 Vu Vu+1 V2u

X(vi •••UuUu+i - V2u)«-i^-i) V dk(ni)dk/(П2)X(ni)X(n2) . (8)

^ (nin2)a

n1V1-.-Vu=n1Vu+1 ■■■ V2u

Пусть q = ( Vi• • • vu, vu+i • • • V2u), vi^^u = aq, vu+i •••V2u = bq, (a, b) = 1. Тогда

y^ dk(ni)dk(n2)X(ni)X(n2) = X(a)X(b) ^ dk(am)dk(bm)|X(m)|2 =

(nn)7 (a h)7 т2°

(nin2)a (ab)a ' т

'n1V1^~vu=-n1Vu+1^~V2u m=i

х(■ ■ ■ х("и)х(Vu+i) ■ ■ ■ х("2и) 2а v^ ^(ата)йк(та) йк(Ьть)4(тъ)

_I 2а йк (ата )^к (та) ..........

(^ ■■■ vuVU+1 ■ ■ ■ ^и)а 9 ¿Ма тОа ¿Мь т[а Х

у- йк(т) — С5 А йк(т) х(Vi) ■ ■ ■ х(УиМУи+1) ■ ■ ■ х("2и)

, т2а Ь , т2а (V1 ■ ■ ■ uuuu+1 ■ ■ ■ г/2и)а

т=1 т=1

(т,5аЬ )=1

2 а 1 ■ ■ ■ и и+1 ■ ■ ■ 2 и

1 9к(---)9к(---), (9)

г (1 + 4(5), 4(52) + , П(, ) + 4(P4(P) + 4(P»р+2)4(P) + ) С5 — + + ^4^ + ■■■ ) , (с) — Ц(йк(P Р) +-Р2а- +-Р4а-+ ■■■ )Х

где

й21г.2\

52а 54а 7 ' 11V ' p2

р|с

х(1 + ^ + ^ + -)-1, - Пр*-

р|с

Согласно формуле Мебиуса имеем

Лк()9к("и+1' '■ ^) — Е -r(d), (Ю)

где

7(d) — й2а Е ^(^«Ь(^^«)- (П)

Sld

Подставим (10) и (11) в (9):

Ег ,к,и(2а, х) — С5 Е ^ Е й2а Е (2а,х)|2,

т=1 d4Xu <5|d

где

V (2а х) Y" V г/1) Vu) ( V1 ■■■Vu а) п9,

У1,к,иЛё(2а,х)— (^ ■■■ г/и)2а2 9к(-d-^ (12)

vl

vi ••• v„e 0 (mod d)

^1(г/) — Р(т^)х(1У), 2а2 равно 2а при I — 1 и 1 при I — 2.

Отсюда имеем

( v1d •••Vud i)

^ (2а,х)— £ ■■■ Е Х

vid^Md vUdeMd v 1d ud;

Vid ••• vud=0 (mod d)

1d^1) ■ ■ ■ ( ■ ■ ■ Vu)2a2

E ^ E -( ...„ )2а.-9к(»1 ■■■ ^

((ии,сС) = 1

Поскольку ^1,... ,ии — бесквадратные числа, для любого пр оизведения г/1 ■ ■ ■ ии существует единственный набор ^1,..., бесквадратных попарно простых и взаимно простых с й чисел таких, что

2 V

У1 ••• Уи = .

При этом числа раскладываются в произведения

Щ = ^(1) ■ ■ ■ и = 1... и)

X

X

X

так, что

у(1)...у(1) _ 1И v (2)...у(2) _ ..2 v (и-1) ^ (и-1) _ и-1

„1 „и _ Н-1, „1 „и _ Н-2, . . . , „1 „и _ Н-и-1.

Введем обозначения

Vj = vjvj, Uj = иj^, j = 1,... ,и.

Отметим, ЧТО при любом 1 ^ j ^ и Z/j' ДОЛИТ ЧИСЛО ^2 • • •

Сделаем в кратной сумме по vi,..., vu замену переменных суммирования и перейдем к неравенству:

" п, (^¿■■■^ Л)

IW(27,X)K £ ••• £ (fk^^x

v1deMd vudeMd y ia ua> v1d^"vud=0 (mod d)

\ " 9k(Н2)Ги(н^) , 2¡ ,, w

М-и Ни № Н2

\ - Pl(„1d v"v'i) n ( J ) ST^ ^^Ы^Мп ( j )n2(l J i ) i

-Ш'-9k(-T2&2-9k[Уи)Н („1- • „и)|. (13)

1 2 и

^í 1 v'í

Пусть % _ Xv Продолжим, пользуясь известной формулой для Н2(„) и леммой 2,

I 2>-Ш1-9k(„1) • • • 2^-^-(„и)Н ( „1 • • • „и)1 s

и[ v1 и[ Vи

S E^V) £ ••• £ • 'Т (2:] lKk,VldVímV'{ (2v2,x)-KKVudVumK (2.2,X)I<

m емт vumeMm

Vím—vum = 0 (mod m2)

¿Ч1-^^ i

^ "(to^W^)1'''Н^)|П(l + -)и.

Подставим это неравенство в(13). Получим

-(i- k1) u 1

VIMS(27,Xi) « ^-^тОД П(1 +

где

G(d)= V ••• V .

^ ^ (vid • • • Vud) 2

vueMd vudeMd v id ud>

V1d—Vud= 0 (mod d)

Отсюда имеем

~ a2.

™ r]2 (m) h-2(1-kí)v, ™ i

£«,„(2а,%л) « £ x2*П(1 + V S

m2<r (logX)2и ' 11 p'

m=1 v 6 > d=1 p\d 1

™ rf2 ( m) h-2(1-kí)и i i

s E "mmx2иЬП(1+p1-bG2(P)(i + p)3и+P2-2bG2(p2)(i + p)3и + •••).

m=1 ^ ° ' p

Заметим, что эйлерово произведение сходится, поскольку

G(pK) sH (^)К(1 + 1)и. W p p

X

Далее,

^П(1+р1-ьс2(р)(1 +1 )3и+р2-2Ьо2(р2)(1 +1 )зи+•••) = 4^2 Е -ъ+

хх р р 4у2 р2<г

р р= ±1 (шоа 5)

+^2 Е ^ + °(1) = (|22 + ) 1оёС(2(Т) + 0(1);

р= ±2 (шоё 5) р

1 1 2 2 2 [](1 + р1-ьС2(р)(1 + 1)3и + р2-2ЬС2(р2)(1 + 1)3и + ■ ■ ■) « Ь-(^+^).

р

Поскольку

4(т)

Е^ «П(1 - ±)-к2 = (С(2а))к2 < Гк2,

т,= 1 р

окончательно получаем

Е1, к,и(2а,Х1) « Х2иЬ)2Ь-(к-и/(4у)+и^2)2-(и/(4у)+и^2)2. Повторяя предыдущие рассуждения и пользуясь неравенством

&-(1-к2)и 1 (2^,Х1) « ОД П(1 + ^)и,

р1<1

приходим к оценке для Е[,к,и(2а, Х1) ^

Следствие 1. Пусть 2а = 1 + ^г = 1 + 6, 1 = 1,2. Справедливы оценки

Е,1/„,2(2а,Х1) « Х2и(2а-1)((2а—ХГ-)2(2а - 1)-(1-2юе)2/(2^2),

Е,1/2,.(2а,Х1) « Х^(^Г)2(2а - 1)-(1-*")2/8, Е,1А,2(2а,Х1) « Х2и(2а-1)((2а1ощ1Х-1 )2(2а - 1)-(1+2-)2/(2"2), Е,1/.,2(2а,Х1) « Х^^Ч^-^-1 )2(2а - 1)-(1+2^)2/8. 3. Леммы об оценках дробных моментов

Пусть

Р1(*) = (Е Р^Т, ^(*) = (Е ЩТ, М*,Х) = Ч*,ХЫ*) (1 = 1,2).

V V

При к > 0

где

г 2 т

| ¡¡(а + г ¿,Х)|2к -к (*)<И,

-те

С 2 Т

-к (*) = е-2к(ь-т)2йт. т

Лемма 4. Пусть к > 0,Т ^ 2, 1/2 < а < 3/4, I — любое из чисел 1,2. Тогда

(1 ,Х) «Тк(ст-1/2уЛ,к(а,Х)^,к(а,Х) + е"0^. Лемма 5. Пусть к > 0, Т ^ 2 1/2 < а < 3/4 I — любое из чисел 1,2. Тогда

^ (а, х) « (Дк (1 ,Х))3/2-<7 (Т1+Г-1/2 + е-°,1кТ 2.

Доказательства лемм 4 и 5 проводятся так же, как доказательства соответствующих лемм 4 и 5 в работе [14].

Введем ряд определений:

Аг,к,и(г, Х) = Е ^'^Л^1 Х), Ш,к,и(%, Х) = ¿(г, х)>£1(г) - А\,к,и(г, Х), Л<У

191,к,и(а + гI, х)|2/"-1/,(1 = 1, 2, и = 2, у).

-оо

Лемма 6. Пусть 1/2 < а < 5/4,1 — любое из чисел 1, 2, к = и = V, или к = и = 2. Тогда

„ х „ „ , х х 5 — 4 а „ „ , х х 4 а — 2 __^—

К1Аи(а,х) « №,к,и(1/2,х))^(^г,к,и(5/4,х))~ +е .

Доказательства леммы 6 совпадает с доказательством леммы 7 из работы [14].

Лемма 7. Пусть I — любое из чисел, 1,2, к = и = V, и = 2 или к = 1, и = 2, и = V. Тогда

Г-3Т 2/и

АЪ,и(5/4.х) «Т-! | £ Г« + <=-Т2/(1°")-

° п>УХ—2

г^е |6г,к,и(п)| < 1;

К1,к,и(5/4, х) «Т 1+е¥-§к.

к и

проводится одинаково. Пусть, например, I = 1, к = 1/г>, и = 2, и = V. Пусть г = 5/4 + г£. Тогда

^^ ,Х)= ^<у-^-=

т>1 и2<У

= / ¿1/„ (п)Х(п) Ж щ) у^ +

= V ^ п^ и? У +

п<УХ—2 1 ^2 2

+ Ж^) ^ ^Ы ^ ^ (п)Х(п)

'2 ' --п?

2 УХ—2<п<У(1У1^2) — 1

( п) Х( п)

,х) = Е ^-п^+^1,1/у,2^,Х),

п<(УХ—!)"

где ^д/^Д-г,х) представляет собой сумму четырех слагаемых вида

Е —п—, |&1,1/-,2(п)| <1,

УХ-2 <п<(УХ—2)^

Ь(п) = Е ." Е «У*(п) 1/'"(п>).

=п

2

Поскольку Ь(п) € [0,1] при любых п, и Ь(п) = 1 при п < УХ 2, имеем

ЦгМ - Е ^(«)= Е (1 - (г).

п< У Х-2 п> У Х-2

Тем самым первое утверждение леммы доказано. Второе утверждение следует теперь, из неравенства Гельдера и неравенства

~Т те 2 те

°

Е сппи\ М = Т Е |Сп|2 + о( £п|Сп|2) (14)

п=1 п=1 п=1

(см., например, [15, глава 7]). □

4. Доказательство теоремы 1

Пусть

/+те те

Неравенство

Щ,1/ь,2 (а,Ъ ) « ЗМА,2(а,Х1)+К1,1/^,2(а,Х\), (15)

справедливо для любого а го промежутка ^, ^ + ю^тт •

Если К11/у 2(1/2, %1) < Т, то, полагая в (15) а = 1/2, получаем

АдаД2,Х) «зи/„(1 ,х!) +Т.

Поскольку

ТЕ,1/,(2а,Х1,У) « ^д/.Д2Х) «ТЕ,1/,(2а,Х1,У),

то, в силу леммы 1, при ^1,1/^,2(1/2, Х1) < Т

ТЕдл,(2,х!) « 2. (16)

Пусть ^1,1/^,2(1/2, %1) > Т. Тогда из лемм 6, 7 следует, что

, , ч С 3 4е\ 4а —2

ТЕ1,1/,(а,Х1) « Зц/,(а,Х1) + к1л/^2(1/2,х1)у-(^-43)— «

1 _ ч . ^^ _ 4а—2

Так как г] > 0 — достаточно большое число, из лемм 1 и 2 следует, что

, 1 , , / 3 4£ \ 4 а—2

« З1,1/-о,2(а,Х1) + Зц/-оЬ,Х1) +ТЕл/,и(1/2,Х1)У-(^-3)—. (17)

I 3 4 а —2 1

Еl,l/V(1/2,Х1)У-(^-43)— < 2С1Е1,1/„(а,Х1),

1

Отсюда и из леммы 4 следует, что и в случае К1 1/^ 2(1/2, Х1) > Т справедливо неравенство

1

п1<УХ—2 ^ <ух—2

Пусть I — любое равно либо 2, либо Пусть и = р Оценим Ji,k(2а, х)

сверху. Имеем

Ji,k(а, х) « Ri,k,u(a,x) +KiAu(1 ,x)Y2к-^42-2 « ^,к,«(а,х) +

+,х)+Ак (2, x)Y-(3к-*) ^. Если К1}к(1/2, х) ^ Т, то

Ji,k(а, X) « Ri,k,u(а, х) + Т « Ri,k,u(а, х) « ТSi,к(а, х). (18)

Воспользуемся леммой 4:

Ji,k (а, х) « Ri,к,и(а,х) + Ri,k,u(\,х) + У^^кфхУ^кфх)^-1 )Ylk-f) ^.

Пусть

max( Jhk (а,х),<Ь,к (а,х)) = Ji,k (а,х). Тогда при достаточно большом г] > 0

Тк{т-2 )Y2к-4Г) 42-2 < -2 ^ 2'

где С2 — неравенство из знака Виноградова в (4); поэтому и в этом случае справедливо неравенство (18).

Пусть Ji,k(а,х) < J3-i,к(а,х)- Тогда получаем

Js-i,к(а, х) « Rs-i,k,u(а,X) + Rз-l,к,и(1/2,х) «ТSs-i,к,и(а,х).

Отсюда, из (16) и (18) и из леммы 1 и следствия 1 утверждения теоремы прямо следуют.

Замечание 1. Из определений следует,, что для моментов успокоенной функции Дэвенпорта-Хейлъбронна справедливы, те же оценки, что и для соответствующих моментов успокоенной функции L(2 +it^i)- Беря в этих оценках v = 3, и повторяя рассуждения из статьи [4], приходим к оценке

N0j(Т) > Т(^Т)l/2+l/l2- (£ > 0).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G. Н., Littlewood J. Е. The zeros of Riemann zeta-function on the critical line // Math. Zs. 1921.V.10, I'I'.283 317.

2. Selberg A. On the zeroes of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo.1942. V. 10.

( )

T. 72, вып. 4, С. 502-508.

4. Гриценко С. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна // Тр. MIIAII. 2017. Т. 296. С. 72-94.

5. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической

прямой// Изв. АН СССР.Сер. матем. 1990. Т. 54, № 2, С. 303-315.

6. Карацуба А. А. О нулях некоторых рядов Дирихле //УМН, 1990, Т. 45, 1(271), 175-176.

7. Карацуба А. А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Изв. АН СССР.Сер. матем.1991,Т. 55, № 3, 483-514.

8. Карацуба А. А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле// Тр. МИ-АН.1994.Т. 207. С. 180-196.

9. Карацуба А. А. О нулях арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения// Изв. РАН. Сер. матем., 1993,Т. 57, № 5, 3-14.

10. Карацуба А. А. О нулях одного класса функций, порожденных функцией Гурвица// УМН, 1993,Т. 48, 5(293), 175-176.

11. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН.1985.Т. 40, 5 (245), С. 19-70.

12. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — 2-е изд. — М.: Наука, 1983.

13. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. —М.: ИЛ, 1953.

14. Heath-Brown D. R. Fractional moments of Riemann zeta-function // J. Lond. Math. Soc.l981.V 24, № 2, PP. 65-78.

15. Ivic A. The Riemann Zeta-function. —N. Y.: John Wilev and Sons, 1985. REFERENCES

1. Hardy G. H. & Littlewood J.E.1921, " The zeros of Riemann zeta-function on the critical line" , Math. Zs., vol.10, pp.283-317.

2. Selberg A. 1942, "On the zeroes of Riemann's zeta-function", Skr. Norske Vid. Akad. Oslo, vol. 10.

3. Karatsuba A. A. 1983, ilBasic Analytic Number Theory", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 222.

4. Gritsenko S. A. 2017, " On the zeros of the Davenport Heilbronn function", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 296, pp. 65-87.

5. Karatsuba A. A. 1986 , "Zeros of the Riem,ann zeta function on the critical line11, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 167, pp. 187-200.

6. Karatsuba A. A. 1990, "Zeros of certain Dirichlet series", Russian Math. Surveys, vol. 45, № 1, pp. 207-208.

7. Karatsuba A. A. 1991 , "On the zeros of the Davenport-Heilbronn function lying on the critical line11, Math. USSR-Izv., vol. 36, № 2, pp. 311-324.

8. Karatsuba A. A. 1992, "On the zeros of a special type of function connected with Dirichlet series", Math. USSR-Izv., vol. 38, № 3, pp. 471-502.

9. Karatsuba A. A., 1993, "On the zeros of a class of functions generated by the Hurwitz function", Russian Math. Surveys, vol. 48, № 5, 175-176.

10. Karatsuba A. A. 1994, "On the zeros of arithmetic Dirichlet series without Euler product", Russian Acad. Sci. Izv. Math., vol 43, № 2, pp. 193-203.

11. Karatsuba A. A. 1995, " A new approach to the problem of the zeros of some Dirichlet series", Proc. Steklov Inst. Math., vol 207, pp. 163-177.

12. Karatsuba A. A. 2002, 11 Fractional Moments and Zeros of ((s) on the Critical Line", Math. Notes, vol. 72, 4, 466-472.

13. Titchmarsh E. C. 1986, " The Theory of the Riemann Zeta-function" 2-nd edition, Oxford University Press, New York.

14. Heath-Brown D. R. 1981, "Fractional m,om,ent,s of Riem,ann zeta-function", J. Lond. Math. Soc., vol. 24, № 2, pp. 65-78.

15. Ivic A. 1985, " The Riemann Zeta-function" John Wilev and Sons, New York.