Нули функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащие в коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №11-12_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

А.С.Аминов

НУЛИ ФУНКЦИИ ДЭВЕНПОРТА-ХЕЙЛЬБРОННА, ЛЕЖАЩИЕ В КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.10.2016 г.)

7 1

--£ --£

Доказано, что при H > T22 существует не менее H(log T)2 нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащие на критической прямой, мнимая часть которых принадлежит отрезку [T ,T + H ].

Ключевые слова: функция Дэвенпорта-Хейльбронна, экспоненциальная пара, критическая прямая. Пусть %(n) - комплексный характер Дирихле по модулю 5 и такой, что %(2) = i,

Jl0-2>/5 -2

ж-Г-•

V5 -1

Определение 1. Функцией Дэвенпорта-Хейльбронна называется функция

f (s) = L(s, Xl) + ^ L( s, K), L(s, X) = Z Х(П)

s

2 2 П=1 п

Функция /(5) введена и исследована в [1] (см. также [2,3]). Она удовлетворяет уравнению римановского типа:

-(1)

С

s + 1

-12 Г V 5 ) V 2

с

- \ 2

f

5

( 1 - s) + 1

f (s)= т1 Г / I f(1 - s).

2

Однако для f (s) гипотеза Римана (все комплексные нули f (s) лежат на прямой Res = —) не

выполняется. Более того, число нулей f (s) в области Res >1, 0 < Ims < T превосходит cT, c >0

- абсолютная постоянная. В 1980 г. С.М.Воронин [4, 5] доказал, что, тем не менее, прямая Res = —

2

является исключительным множеством для нулей f (s). Пусть (T) - число нулей нечетного порядка f (s) на промежутке Res = —, 0 < Ims < T. Теорема С.М.Воронина формулируется так:

Адрес для корреспонденции: Аминов Асламбек ^бирович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

N (T) > cT exp ^-^.^log log log log T j, c >0 - постоянная. В 1990 г. А.А.Карацуба [6] доказал, что если s и ех - произвольно малые фиксированные

27

—

положительные числа, не превосходящие 0.01, то при H = T82 1, T > T (s,s )>0 выполняется

соотношение

i

—s 2

N0(T + H) -N0(T) > H(logT)

Основным результатом этой работы является следующая теорема 1, в которой уточняется результат А.А.Карацубы.

Теорема 1. Пусть s и sl - произвольно малые фиксированные положительные числа, не

7

—s

превосходящие 0.00001. Тогда при H = T22 1, T > T (s,s )>0 выполняется соотношение

1

—s

N0(T + H) -N0(T) > H(logT)2 . Определение 2. Если B > 1, 0 < h < B, f (u) e Cш (B, 2B), A > 1,

AB-r <<| f\ii) |<< AB'-\r = 1,2,3, • • •, где постоянная под знаком зависит только от г, и имеет место оценка

J] e(f(n)) <С АКВЯ, где 0<*-<0.5, 0.5 < Я <1,

B<n<B+h

то пара (к, Л) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) является экспоненциальной парой. E.Phillips [7]

показал, что если (к; Л) экспоненциальная пара, то

А(кЛ) = (А-процесс)-

B(k; Л) = (Л - 0.5, к + 0.5), (B - процесс)

также являются экспоненциальными парами.

Основным утверждением, позволившим доказать теорему А.А.Карацубы для более коротких промежутков критической прямой, является теорема 2, в которой задача о величине промежутков

1

—s

вида (T, T + H) , где содержится не менее H(log T)2 вещественных нулей нечетного порядка функции Дэвенпорта-Хейльбронна, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм.

Определим числа (x(v) и /З(у^) соотношениями

Математика

А.С.Аминов

¿^ = П 11 Ч

1

V=1

V

Квя >1,

^+1(той5) V Р )

Р(у) —

«мо - ^^), 1 -V < х;

0,

v> X.

Из этого определения следует мультипликативность (Х^) , а также равенство

Р(у)Хх(у) — Р(у)х1(у) = h(v).

Пусть далее

АГ1\ V h(v])h(v2)r(n) 1 - /ж 1 + /ж_, ч

А( А) — £ V ^ V ^ 7, г(п) — — (п) + —— ^ (п),

п^ ^ 22

-,0.01а

где А - положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходит X — Т ' 1 и, пользуясь определением чисел А( А) , вводим суммы Ж. — Ж, (Т) , j — 0,1,2 :

где

Ж0— Ж0(Т) — £

а— А— -( н1п— ).

— £<Р л/А А2 V А2

Ж1— Ж1(Т)— £

/ Л"

А(А)А(—) ^ БАШ* V 2—);

— <— <Р1-а2 л/А1А2 V А2

А(А)а— Г А

^ 1 УТ -I Нг^п—

ж2 — Ж2(Т)— £ г— ■

Б(А) — ((1 )й -^ (1п 1)-к, р —Ж

к + А 2(к +1)!

2ж

Теорема 2. Пусть (к, А) - произвольная экспоненциальная пара, в(к,А) — Н — Ув(к—)+е, 0 < а < 0,0001, 0 < е2 < 0,01, 0 < h <1, к > 1. Тогда справедливы оценки

Щ, СГ°-9\ Щ <^(а22к(\пту2к +е-к{\птуккк)т~°-9е1, Ж2(Т) «Г^.

При доказательстве этой теоремы мы в значительной степени используем методы работ [3,6,8-10].

Поступило 27.10.2016 г.

р

<

А

V

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Davenport H., Heilbronn H. On the zeros certain Dirichlet series I, II. - J. London Math. Soc., 1936, v. 11, pp. 181-185 and 307-312.

2. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.

3. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. - М.: Физматлит, 1994, 376 с.

4. Воронин С.М. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой. - Изв. АН СССР, сер. мат., 1980, т. 44, № 1, с. 63-91.

5. Воронин С.М. О распределении нулей некоторых рядов Дирихле. - Тр. МИАН, 1984, т. 163, c. 74-77.

6. Карацуба А.А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой. -Изв. АН СССР. Сер.матем., 1990, т. 54, вып. 2, с. 303-315.

7. Phillips E. The zeta-fucntion of Riemann. further developments of van der Corput's method. - Quart. J.Math. (Oxfort), 1933, v.4, pp. 205-225.

8. Карацуба А.А. Дзета-функция Римана и ее нули. - УМН, 1985, т. 40, в. 5(245), с. 19-70.

9. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана. - Успехи математических наук, 1994, т. 49, №2, с. 161-162.

10. Рахмонов З.Х. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой. -Чебышевский сборник, 2006, т. 7, в. 1, с. 263-279.

А.С.Аминов

НУЛ^ОИ ФУНКСИЯИ ДЭВЕНПОРТ-ХЕЙЛБРОН ДАР ХАТИ РОСТИ КРИТИКИ

Институти математикаи ба номи А. Цураевй Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

7

—^s

Исбот карда шудааст, ки хангоми H > T22 микдори нулхои кисми мавхумашон дар порчаи [T, T + H] -и хати рости критикй чойгирбудаи функсияи Дэвенпорт-Хейльброн аз

1

—s

H (log T )2 кам намебошад.

Калима^ои калиди : функсияи Дэвенпорт-Хейлброн, цуфти жспожнсшлй, хати рости критики.

A.S.Aminov

THE ZEROS DAVENPORT-HEILBRONN'S FUNCTION IN THE CRITICAL LINE

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

1

—s

It is proved that at least H (log T )2 zeros of the Davenport-Heilbronn function lie on the segment [T, T + H] of the critical line.

Key words: Davenport-Heilbronn's function, exponential pair, critical line.