О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НУЛЯХ ФУНКЦИИ ДЭВЕНПОРТА-ХЕИЛЬБРОННА, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ А. С. Аминов (г. Душанбе) E-mail: [email protected]

Пусть x(n) комплексный характер по модулю 5 такой,что х(2) = i

_ Vl0 —2V5 - 2

Ж — ;=

V5 -1

Определение 1. Функцией Дэвенпорта-Хейльбронна называется функция

f (s) = "" L(s,x О + Ц^ L(s,x 1) (1)

где

X(n)

L(s,x) = E

ns

n=1

Функция f (s) введена и исследована в [1], (см. также [2,3]). Она удовлетворяет уравнению римановского типа:

g(s) = g(1 - s), (2)

где

g(s) = (5)* г( f (s).

Однако для f (s) гипотеза Римана (все комплексные нули f (s) лежат на прямой Res = 1) не выполняется. Более того, число нулей f (s) в области

Res > 1, 0 < Ims < T превосходит cT, c > 0 — абсолютная постоянная. В 1980 г. С. М. Воронин [3, 4] доказал, что тем не менее, прямая Res = 2 является исключительным множеством для нулей f (s). Пусть N0(T) — число нулей нечетного порядка f (s) на промежутке Res = 1, 0 < Ims < < T. Теорема С. М. Воронина формулируется так:

N0(T) > cT exp ^^ //log log log log T^ , c > 0 — постояннная.

В 1985 г. А. А. Карацуба [3] доказал следующий результат:

Теорема 1. Пусть £ и £1 — произвольно малые фиксированные по-

27

ложительные числа не превосходящие 0, 01. Тогда при Н = Т27 +£1, Т > То(£,£1) > 0 выполняется соотношение

г ->-

No(T + H) - No(T) > H(logT)2 Определение 2. Если B > 1, 0 < h < B, f (u) G CTO(B, 2B), A > 1,

ABi-r < |f(r) (u) |< ABi-r, r = 1,2,3, ••• ,

где постоянная под знаком ^ зависит только от r, и имеет место оценка

^ e(f (n)) < AkBA, где 0 < k < 0, 5, 0, 5 < A < 1,

B<n<B+h

то пара (k; A) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) является экспоненциальной парой. E. Phillips [4] показал, что если (k; А)экспоненциальная пара, то

A(k; ^(¿Ъ, | + (A - проЦеСС)

B(k; A) = (A - 0, 5, k + 0, 5) (B - процесс)

также являются экспоненциальными парами. Основным результатом этой работы является.

Теорема 2. Пусть £ и £1 — произвольно малые фиксированные положительные числа не превосходящие 0,00001, (k; A) — произвольная экспоненциальная пара, 0(k; A) = щкщ. Тогда при H = Te(k';AA)+£l, T > T0(£,£i) > 0 выполняется соотношение

No(T + H) - No(T) > H(logT)2"£.

Из работ [5, 6] следует, что

7 11 = ® ^ Л) ^ 22 = 3 - 66•

Библиографический список

1. Davenport H, Heilbronn H. On the zeroes of certain Dirichlet series. I, II // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11.

2. Титчмарш E. K. Теория дзета-функции Римана. М. : Иностр. лит., 1953.

3. Воронин С. М, Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М. : Физ-матлит, 1994.

4. Phillips E. The zeta-fucntion of Riemann; further developments of van der Corput's method // Quart. J. Math. (Oxford). 1933. Vol. 4.

5. Graham S. W., Kolesnik G. Van der Corput's Method of Exponential Sums. Cambridge University Press, 1991.

6. Heath-Brown D. R., Huxley M. N. Exponential sums with a difference // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1 И. Н. Балаба, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва (г. Тула) E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Многочленом Туэ порядка n называется многочлен вида P(z)—aQ(z), где P(z), Q(z) — целочисленные многочлены, такой, что многочлен P(z) — aQ(z) делится на многочлен (z — a)n. Это естественным образом приводит к рассмотрению ZfzJ-модуля пар Туэ вида < P(z),Q(z) > из Z[z]2 порядка n, то есть таких пар, что соответствующий многочлен Туэ имеет порядок n.

Как показал М. Н. Добровольский в 60-х годах XX столетия, каждый модуль Туэ имеет два образующих многочлена (основные многочлены Туэ порядка n). Кроме того, в работах М. Н. Добровольского и В. Д. Подсыпанина было показано, что существуют рекуррентные формулы перехода от основных многочленов Туэ порядка n к основным многочленам Туэ порядка n + 1 .

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-01540).