Венский доклад: о количестве нулей дзета-функции Римана на коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 1 (2015)

УДК 511

ВЕНСКИЙ ДОКЛАД: О КОЛИЧЕСТВЕ

НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА НА КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ1

А. А. Карацуба (г. Москва)2

Аннотация

Доклад, сделанный на семинаре П. М. Грубера кафедры математического анализа математического факультета Технического Университета Вены 13 июня 1994 г.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, гипотеза Римана, гипотеза Сельберга.

Библиография: 13 названий. UDK 511

Vienna Talk: On the Number of Zeros of the Riemann Zeta Function in Short Intervals of the

Critical Line3

A. A. Karatsuba4

Abstract

The invited talk presented at the seminar of Prof. P.M. Gruber at the Chair of Mathematical Analysis of the Department of Mathematics of Vienna University of Technology at the June 13, 1994.

Keywords: Riemann Zeta Function, the Riemann hypothesis (RH), the Selberg hypothesis (SH).

Bibliography: 13 titles.

1 Доклад подготовлен к печати Е. А. Карацубой.

2Анатолий Алексеевич Карацуба (31.01.1937 — 28.09.2008) — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом теории чисел Математического института им. В. А. Стеклова РАН, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

3The report was prepared for publication E. A. Karatsuba.

4Anatoly Alekseevich Karatsuba (01.31.1937 — 28.09.2008) — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Number Theory Mathematics Institute. Russian Academy of Sciences, professor of the Moscow State University named after M. V. Lomonosov.

А, /U Karudrsuii

•< U- iíWv. ь4 'с ca- Ъ е^ ( кл. Ka й_н. ^ ^

ÏZjib") AeVbCU-t^utV K<x Ко-ч ^AJJLCHA.,

ВелуЬ SL. ^rc-f ¿tj L2"^ - \ 7 }-t— •

J . . v 1л p- - ßjL.f> А o-KrtA-e.JL3ue-uw.tjX_

^HHaA У ^ ^ ^ ' I

1 ^ < со

1Д — \

Есть a^l^ra^ ^

tji^- П (i - yO ,

OCT^üL

f

^о^ЛР. Ы ^(Дс^хсА формуй»*; Э-ú JLÜIJL^ iL кхиилл .

TT Dj г ~> -t сСсрЛ^^Д^ вЛо^ , llfUA. I ^

VH

IjLXiA—

т" rittet ^

OL +

. . , U l3 j

1 J>

1

с*э 2,

QU.

e>G.

TT эгИ.

и -= А

Upólas ^ааъ О) Оуй^ы ^ ллоХы-Х ^ ¥■) 4 илс-ы-е. h i V. i ,TÜ.

§1. Мой доклад будет о нулях функции Римана Z(s), лежащих на критической прямой. Везде ниже s = а + it, i2 = — 1,a,t — вещественные числа. Функция Z(s) при а = Res > 1 определяется рядом Дирихле:

Z(s) = И п'-

n=1

Есть и другая формула для Z(s) :

Z(s) = П f1 - А) , p-простые. p \ р /

Формула (2) называется формулой Эйлера или эйлеровым произведением. При Res > 1 справедливо тождество:

те i

п 2Г(2) Z(s)= ф—Г) + J1 (x '21 + Х'0 °i(x)dx,

где Г (s) — гамма-функция Эйлера,

те

ж-"V 2

X —ПХП2

0i(x) = }_„ e-nxn

n=1

Правая часть (3) определена при любых в. Следовательно формула (3) продолжает £ (в) на всю в -плоскость.

Из (3) следует римановское функциональное уравнение £ (в) :

g(s) = g(1 - s), g(s) = п-2г(|) Z(s). (4

2,

§2. Известно, что все комплексные нули Z(s) лежат в полосе 0 < Res < 1 ("критическая" полоса). Риманова гипотеза (RH) утверждает, что все они лежат на одной прямой Res = 2 ("критическая" прямая).

Пусть T > 2, N(T) — количество нулей Z(s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < T, N0 (T) — количество нулей Z (s) на отрезке Res = 1, 0 < Ims < T. Ясно, что

No(T) < N(T). (5)

RH утверждает, что

No(T) = N (T).

Для N(T) справедлива формула Римана-Мангольдта, позволяющая судить о величине N (T) при T ^ :

N (T > = ! 1о«2п- 2п+0 (log T > -

§3. В 1942 г. А. Сельберг [1] доказал Теорему A: Теорема 1. (Теорема A.)

No(T + H) - No(T) > с (N(T + H) - N(T)), (6)

где H = Ta, 2 <a < 1, с & 10"6.

Из (6) следует Теорема B:

Теорема 2. (Теорема B.)

No(T) > cN(T). (7)

В [1] доказана также Теорема C:

Теорема 3. (Теорема C.) "If Ф(£) is a function of t which is positive and increases to infinity with t, then for "almost all" t > 0, there is at least one zero of Z (2 + t between t and t + that is: the measure of those t, 0 < t < T, for which

there is no zero in the interval (t,t + fg^ , is 0(T)■" Из Теоремы C, в частности, следует:

no<t> > NT^ ■ (8)

Ясно, что (8) слабее (7).

В связи с Теоремой A Сельберг пишет в [1] (с. 5):

"The result of the present paper do not pretend to be best which can be obtained by these and similar methods. In fact, several things seem to suggest, that the condition a > 2 of Theorem A and Theorem D, if we use still more sophisticated arguments, may be replaced by a > 9 where 9 < 2■"

Неравенство (6) с H = Ta, a > 9, 9 < 2, получило имя "гипотезы Сельберга" (SH).

§4. В 1984 г. автор доказал (см. [2]) Теорему D:

Теорема 4. (Теорема D.) Неравенство (6) справедливо при

27 1 1

H = Ta, a>9 = — =---.

' 82 3 246

Таким образом, Теорема D есть SH с 9 = Ц ■ Тогда же автор доказал Теорему E ([3]):

Теорема 5. (Теорема E.) Для почти всех T неравенство (6) справедливо при H = Ta, 0 < a < 1, a — любое.

Другими словами, для почти всех Т БИ справедлива при в = е > 0, е — сколь угодно мало.

Очевидна схожесть Теорем С и Е. Однако, Теорема Е в определённом смысле сильнее Теоремы С, так как из неё получается (7), в то время как из Теоремы С следует только (8).

§5. При доказательстве БИ я пользуюсь оценками определённого вида тригонометрических сумм. Методы оценок таких сумм, которые сейчас существуют, и дают границу величины в, в = |7, и даже чуть меньшую, если применить современные оценки Бомбьери-Иванца-Колесника-Хаксли.

В среднем эти тригонометрические суммы имеют корневую оценку, то есть предельно возможную. Это дало возможность для почти всех Т получить в = е > 0, е — сколь угодно мало, другими словами, доказать Теорему Е.

§6. При доказательстве Теоремы E я существенно пользуюсь тем, что H = Ta, a > 0, a — фиксированное.

В силу формулы Римана-Мангольдта из RH следует, что каждый промежуток (T, T+H), где H > ci > 0, содержит не меньше чем cH log T нулей ( + it) . Поэтому естественно сделать попытку получить утверждение Теоремы E при H существенно меньших, чем Ta.

В 1992 г. я доказал Теорему F ([4]):

Теорема 6. (Теорема F.) Для почти всех T и для H с условием

exp (exp \/loglogTj < H < tfT (9)

справедливо неравенство

No(T + H) - No(T) > cH log H exp ^• (10)

Следствие Теоремы F:

Следствие 1. При любых e > 0, ei > 0, и H с условием

exp (log£ T) < H < VT, для почти всех T выполняется оценка:

No(T + H) - No(T) > H (log H)i-£l. (11)

Неравенства (10) и (11) слабее, чем (6), так как правая часть (6) есть величина порядка H log T. Но (10) и (11) много лучше того, что получалось раньше при таких малых H.

§7. Остановлюсь на идейной стороне метода, позволившего доказать Теорему Р. Прежде всего, сделаю несколько очевидных замечаний.

Нули £ (в), лежащие на критической прямой, это вещественные нули функции ( (2 + И) . Определим вещественную функцию в (¿) равенством

Жг)

П Х2 8 Г V 2 О

п-2 Г (1)

Тогда, в силу (4), функция 2(г),

2(г) = вгв(г)([ ^ + И

(2+«)

2

при вещественных г принимает вещественные значения. Следовательно, ственные нули 2(г) — это нули £(в), лежащие на критической прямой. Из формулы Стирлинга для Г(в) следует:

* 1 г г 7 ^ (1)

г > и > 0.

Если выполняется неравенство:

веще-

:12)

пг+н

\2(п)\ ¿п >

гг+н

2 (п)в,п

то функция 2(п) имеет нуль нечётного порядка на интервале (г, г + к) Харди-Литтлвуда-Ландау).

(13)

(идея

§8. Пусть к > 0, к — некоторый параметр. Пусть Е — подмножество чисел г £ (Т,Т + Н) таких, что для них выполняется (13). Если ц(Е) — мера Е, то для количества нулей 2(*) на (Т, Т + Н) выполняется оценка

N(Т + Н) - Ма(Т) > 1 ^ ■

14)

Следовательно, надо уметь хорошо оценивать снизу ц(Е) при возможно меньших к. Один из методов оценки снизу ц(Е) состоит в следующем. Из определения множества Е приходим к цепочке соотношений:

ГТ+Н

'Е

С

II

гг+н

Т

гг+н

\2(п)\ ¿п) ¿г =

)

\2(п)\ ¿п) ¿г +

г

)* + /еС

гг+н

\2(п)\ ¿п) ¿г =

)

>Е

пг+н

I \2 (п)\ ¿^¿г + J

гг+н

2 (п)в,п

¿г <

s= 2 +гг

г

г

г

г

г

< 12 + 13

:15)

где

С

(■г+ь,

>Е

1г(и)| йи^ йг, 13

сТ+Н

1Т

г-г+ь

г (и)йи

¿г.

Тем самым, применяя к 12 неравенство Коши, получаем

Л - 1з <у/КЁ)У~2

:1б)

где

т+Н

.]2 = I (^г г(и)ййг.

Формально неравенство (16) даёт оценку снизу для ц(Е). Надо только иметь нетривиальную нижнюю оценку для разности интегралов Д — 13. Интегралы 1\ и 13 очень похожи. Что же даёт возможность установить их различие? Это позволяет сделать следующее обстоятельство. Для г(г) известна формула Римана-Зигеля:

гг+ь

г (г)

£

сое (в(г) — г к^ п)

п

+ о (г-11о§ ^ .

:17)

Из формулы (12) для в (г) и (17) видно, что слагаемые суммы в г (г) осциллируют. В 1\ внутренний интеграл берётся от г(и)|, в то время как в 13 — от г (и). Это обстоятельство и позволяет установить отличие 1\ от 13. Здесь же видно, что чем больше величина параметра к, тем, возможно, проще уловить осцилляцию г (и). Итак, имеем:

г (и)| =

<(2 + "') |= 1+ £ ^п~г" + о (т-2)

Д > к

к

Г т+н (

Т 1+ £

и 1 \ 2<п<1

т+Н

т+ь

2<п<Т

<( 2+»)

¿и

—= п-гг + о

п

(т 1))

йг

> кН (1 + о(1)).

:18)

2<п<т

Видно, что главный член получился на слагаемом, равном 1 . Все остальные слагаемые —п п-гг, п > 2, сильно осциллируют и после интегрирования дают

остаток. Здесь также видно, что Н должно быть "велико", скажем Н > Т6, чтобы хорошо оценилась сумма проинтегрированных слагаемых.

Величину 13 оценивают сверху, применяя неравенство Коши, предварительно проинтегрировав во внутреннем интеграле:

2

г

I f T+H ( nt+h )

1з < WHJ (Jt Z(u)duj dt.

г

Если к и Н не очень малы, то для 13 удаётся получить оценку:

1з < 2 кН.

Отсюда и из (16) следует:

2кН < Ь — 13 <у/р(Е, (19)

Интеграл .]2 в (19) оценивается также применением неравенства Коши.

Изложенный метод принадлежит Харди-Литтлвуду-Ландау. Он дал возможность (см. [5]) Харди и Литтлвуду в 1921 г. доказать неравенство:

Ао(Т + Н) — N(Т) > сН, Н = Та, а > 1.

§9. Применяя метод Харди-Литтлвуда-Ландау, мы несколько раз пользовались неравенством Коши вида:

f-T+H \ 2 гT+H

I F(t)dtj < H J F2(t)dt. (20)

Известно, что неравенство Коши является точным, если F(t) = const. Поэтому, чем ближе F(t) на (T,T + H) к константе, тем точнее (20). Это соображение с большим успехом было использовано А. Сельбергом в 1942 г. Вместо Z(t) он рассмотрел функцию F(t),

F(t) = Z(t)

ф(1 + й) '

причём ф(в) подбиралась так, чтобы Г (г) в среднем была близка к константе. Это позволило ему доказать Теоремы А, В, С (см. [1]). При выборе ф(в) А. Сельберг существенно пользуется тем, что £(з) имеет эйлерово произведение. Более точно,

.,= >№), в(V) = (1 - &) • - < *

Ф) = Е ^, вм =

v<X У.

v<X

а числа a(v) определяются равенством:

Vs 10, v> X,

Е—=пfi--М2, Res> 1,

^ Vs 11 V ps

V=1 p 4 '

X > 1 — некоторое число (параметр задачи).

Как подчёркивает сам Сельберг, идея рассматривать функции, подобные

F(t), принадлежит Бору и Ландау.

"The underlying idea of our methods is to introduce an auxiliary function, which

to a certain extent neutralizes the peculiarities of (s)| on the line a = a0; in this

paper we have always a0 = 2• This idea, with a0 > 2, was first invented by Bohr

and Landau in their researches concerning N(a,T) for fixed a > 2, and has later

been used by other authors in connection with the same problem" (см. [1], с.5).

1

2 '

Легко доказать, что при H = Ta, a > 1

f-T+H

H-1 J IZ(t)|2 dt « logT; (21)

r t+H

H-1 J IF(t)|2 dt « const• (22)

Следовательно, IZ(t)| в среднем на (T,T + H) есть VlogT, а IF(t)| есть константа.

Ещё раз подчеркну, что метод А. Сельберга применим только к функциям, имеющим эйлерово произведение.

§10. Занимаясь проблемами, связанными с нулями арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения, но имеющих риманово уравнение, я нашёл общий метод, позволяющий удовлетворительно оценивать снизу количество нулей таких рядов на отрезках критической прямой. Позднее этим методом я доказал Теорему Р.

Изложу существо метода на самом простом примере (см. [12], [13]).

Одним из самых простых арифметических рядов Дирихле является функция Дэвенпорта-Хейльбронна f (в),

f («) = Е

r(n)

Res > 0,

n=1

ns

К,

где r(1) = 1, r(2)

_ у/10-2^5-2

" V5-1 '

Функция f (s) удовлетворяет уравнению риманова типа:

к

(23)

r(3) = -к, r(4) = -1, r(5) = 0, r(n + 5) = r(n),

g(s)

g(i - s) g(s) = (5)-2 КsJ2r)

f(s).

(24)

Для f (s) RH не имеет места. Г. Дэвенпорт и Г. Хейльбронн (см. [6]) доказали, что f (s) имеет не меньше, чем cT, c> 0, нулей в полосе Res > 1, 0 < Ims < T. С.М. Воронин доказал, что в каждом прямоугольнике вида 2 < а < Res < ß <

1, 0 < Ims < T, функция f (s) содержит не меньше, чем cT нулей, c (см. [7]).

c(a,ß) > 0

Тем не менее, критическая прямая Res = 2 является особым множеством для нулей f(s). Как доказал в 1980 г. С.М. Воронин (см. [8]), на ней содержится аномально много нулей f (s). Более точно, для N0(T), отвечающей f (s), выполняется оценка:

No(T) > T exp^Vloglogloglog T ^j . (25)

Позднее появились численные исследования Д. Хейчала (см. [9]) нулей f (в) и дзета-функций Эпштейна. Д. Хейчал в [9] сообщает, что неравенство (25) мог доказать А. Сельберг уже в 1942 г. Кроме того, Э. Бомбьери и Д. Хейчал (см. [10]) условно доказали теорему о том, что почти все нули f (в) лежат на критической прямой. Они предполагали справедливой расширенную ИН и ещё одну гипотезу о расположении нулей Ь -функций Дирихле. Наконец, А. Сельберг в [11] доказал, что вне критической прямой в полосе 0 < 1тв < Т лежит не меньше, чем сТ у/1о^Тс^Т нулей f (в).

Вот какая удивительная функция f (в) !

В 1989 г. я доказал своим методом вместо (25) такое неравенство (см. [12] и [13]):

' '-сл/ЬкЬк Т). (26)

No(T) > Tx/bgTexp ( -C\Jlog log T ) .

Понятно, что (26) много сильнее (25). Как же получается (26)? Функцию f (в) можно представить ещё так:

f (в)=1~—К ЦэлН1-^ Ь(в,х), (27)

где х = х(п) — характер Дирихле по модулю 5 такой, что х(2) = г.

Сама f (в) не имеет эйлерова произведения. Но каждое слагаемое в (27) имеет эйлерово произведение, так как

Ь(в,х) = П (1 - )"'

р

Очевидно, что Ь(в,х) и Ь(в,х) делятся на общую часть своих эйлеровых произведений, именно, на к(в),

вд= п (1 -й"1

p=1 (mod 5) х 1 /

Следовательно, на h(s) при Res > 1 делится f (s). Поэтому для f (s) можно найти такую <^(s), что функция F(t),

F (t) = e^f^ 2 + 1 + 12

хотя и не будет в среднем константой, но будет много меньше, чем \f\ogt (аналог идеи А. Сельберга). Более точно, указанная Г(Ь) в среднем есть величина порядка -^То^Т. Однако, этого ещё не достаточно, чтобы доказать (26). Другим существенным соображением является мысль сравнивать "малые" степени интегралов, то есть вместо неравенства Харди-Литтлвуда-Ландау (13) рассматривать следующее неравенство:

С

r-t+h

\F (u)\du

)

>

t+h

F (u)du

где а — 0 при Ь — ж.

За счёт этих двух соображений мы в значительной степени нейтрализовали неточность применяемого неравенства Коши и доказали (26). Этот же метод был применён мной к доказательству Теоремы Р.

а

t

t

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Selberg, A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo, 1942, nr. 10, pp. 1-59.

2. Карацуба А. А. О нулях функции ((s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, № 3, с. 569-584.

3. Карацуба А. А. Распределение нулей функции ( + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, № 6, с. 1214-1224.

4. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1992, т. 56, № 2, с. 372-397.

5. Hardy, G. H., Littlewood, J. E., The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift, 1921, Vol. 10, Issue 3-4 , pp. 283-317.

6. Davenport, H. and Heilbronn, H., On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 11, 1936, pp. 181-185 and pp. 307-312.

7. Воронин С. М., О нулях дзета-функций квадратичных форм // Теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятипятилетию, Труды МИАН СССР, т. 142, 1976, с. 135-147.

8. Воронин С. М., О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1980, том 44, № 1, с. 63-91.

9. Hejhal, D.A. Zeros of Epstein zeta functions and supercomputers // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1986 (Berkeley), pp.1362-1384.

10. Bombieri, E. and Hejhal, D.A. Sur les zeros des fonctions zeta d'Epstein // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 304, 1987, pp. 213-217.

11. Selberg, A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, Salerno, 1992, pp. 367-385.

12. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1990, т. 54, № 2, с. 303-315.

13. Карацуба А. А. О нулях арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения // Изв. РАН. Сер. матем., 1993, т. 57, № 5, с. 3-14.

REFERENCES

1. Selberg, A., 1942, "On the zeros of Riemann's zeta-function." , Skr. Norske Vid. Akad. Oslo, nr. 10, pp. 1-59.

2. Karatsuba A. A., 1985, "On the zeros of the function ((s) on short intervals of the critical line" , Math. USSR Izv., 24, pp. 523-537; translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 48:3, pp. 569-584 (1984).

3. Karatsuba A. A., 1984, "The distribution of zeros of the function ( Q + it)." , Math. USSR Izv., 25, pp. 519-529 (1985); translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 48:6, pp. 1214-1224.

4. Karatsuba A. A. On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line. Russ. Acad. Sci., Izv. Math., 40:2, pp. 353-376 (1993); translation from Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat., 56:2, pp. 372-397 (1992).

5. Hardy, G. H., Littlewood, J. E., The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line, Mathematische Zeitschrift, 1921, Volume 10, Issue 3-4 , pp 283-317.

6. Davenport, H. and Heilbronn, H., On the zeros of certain Dirichlet series, J. London Math. Soc. 11, 1936, pp. 181-185 and pp. 307-312.

7. Voronin, S. M. The zeros of zeta-functions of quadratic forms. Trudy Mat. Inst. Steklov., 142, pp. 135-147 (1976).

8. Voronin, S. M. On the zeros of some Dirichlet series lying on the critical line. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 44:1, pp. 63-91 (1980).

9. Hejhal, D.A. Zeros of Epstein zeta functions and supercomputers, Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1986 (Berkeley), pp. 1362-1384.

10. Bombieri, E. and Hejhal, D.A. Sur les zéros des fonctions zêta d'Epstein, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 304, 1987, pp. 213-217.

11. Selberg, A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, Salerno, 1992, pp. 367-385.

12. Karatsuba A. A. On the zeros of the Davenport-Heilbronn function lying on the critical line. Math. USSR Izv., 36:2, pp. 311-324 (1991); translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 54:2, pp. 303-315 (1990).

13. Karatsuba A. A. On the zeros of arithmetic Dirichlet series without Euler product. Russ. Acad. Sci., Izv. Math., 43:2, pp. 193-203 (1994); translation from Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat., 57:5, pp. 3-14 (1993).

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Поступило 10.02.2015