О нулях дзета-функции Римана ((s), лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511

О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА Z(S), ЛЕЖАЩИХ НА ПОЧТИ ВСЕХ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

До Дык Там (г. Белгород)

Аннотация

Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функция Римана Z(s) на критической прямой Ks = 1/2. На полуплоскости Ks > 1 дзета-функция Римана задаётся рядом Дирихле

+w

Z(s) = Е

n=1

и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s = 1. Хорошо известно, что все нетривиальные нули дзета-функция Римана расположены симметрично действительной оси и прямой Ks = 1/2, которая называется критической. В 1959 г. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули Z(s) лежат на критической прямой Ks = 1/2. Первое доказательство бесконечности множества нулей Z(s) на критической прямой принадлежит Г. Харди. В 1942 г. А. Сельберг установил, что больше, чем cH ln T нулей нечетного порядка функции Z(0, 5+it) лежит на отрезке [T, T+H], H = T0>5+е, где е — произвольная малая постоянная. В 1984 г. А. А. Карацуба усилил результат Сельберга, а именно для отрезка критической прямой меньшей длины [T, T + H], H = T27/82+е. Проблема уменьшения длины выше указанного отрезка представляет собой трудность. Тем не менее, если рассматривать эту задачу «в срденем», то она решена А. А. Карацубой. Он доказал, что почти все отрезки прямой Ks = 1/2 вида [T, T + Xе], где 0 < X0(e) < X ^ T ^ 2X, содержат более c0(e)Te lnT нулей нечетного порядка функции Z(1/2 + it). В 1988 г. Киселёва Л. В. получила результат подобного рода, но для отрезка (X, X + X 11/12+е). В настоящей работе длина отрезка осреднения уменьшена. Автор доказал результат Карацубы для отрезка (X, X + X7/8+е).

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая.

Библиография: 17 названий.

ON THE ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION, LYING IN ALMOST ALL SHORT INTERVALS OF THE

CRITICAL LINE.

Do Duc Tam (Belgorod)

Abstract

In this paper, we study the distribution of non-trivial zeros of the Riemann zeta function Z(s), which are on the critical line Ks = 1/2. On the half-plane Ks > 1, the Riemann zeta function is defined by Dirichlet series

+w

Z(s) = Е n-s,

n=1

and it can be analytically continued to the whole complex plane except the point s = 1. It is well-known that the non-trivial zeros of the Riemann zeta function are symmetric about the real axis and the line ifts = 1/2. This line is called critical. In 1859, Riemann conjectured that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line ifts = 1/2. Hardy was the first to show in 1914 that Z(1/2 + it) has infinitely many real zeros. In 1942, Selberg obtained lower bound of the correct order of magnitude for the number zeros of the Riemann zeta functions on intervals of critical line [T, T + H], H = T0 5+e, where e — an arbitrary small constant. In 1984, A. A. Karatsuba proved Selberg's result for shorter intervals of critical line [T, T + H], H = T27/82+e. It is difficult to reduce the length of interval, which was pointed out above. However, if we consider this problem on average, then it was solved by Karatsuba. He proved that almost all intervals of line ifts = 1/2 of the form [T, T+Xe], where 0 < X0(e) < X ^ T ^ 2X, contain more than c0(e)Te lnT zeros of odd orders of the function Z(1/2 + it). In 1988, Kicileva L. V. obtained result of this kind, but for the averaging intervals (X, X + X 11/12+e). In this paper, the length of the averaging interval has reduced. We proved Karatsuba's result for interval (X, X + X7/8+e).

Keywords: the Riemann zeta function, non-trivial zeros, critical line.

Bibliography: 17 titles.

1. Введение

Дзета-функция Римана задаётся на полуплоскости !Rs > 1 рядом Дирихле

i

z(s) = Е

п3

п= 1

и аналитически продолжается на всю комплексную плоскости кроме точки Кз = 1. Леонард Эйлер доказал следующее замечательное тождество, выражающее £(5) через эйлерово произведение

1

Z(s) = n 1 - ^ , Ks> 1.

к 1 х± V V3 р \

Бернхард Риман стал изучать дзета-функццию как функцию комплексного переменного. В 1859 г. Б. Риман [1] высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули ((з) дзета-функцции лежат на критической прямой Кз = 1/2.

Первое доказательство бесконечности количества нулей ((з) на критической прямой принадлежит Г. Харди [2]. Пусть *о(Т) — число нулей нечетного порядка функции ((0, 5 + ¿¿), лежащих на промежутке (0,Т]. В 1921 г. Г. Харди и Д. Литтлвуд [2] доказали следующую теорему:

Для любого е > 0 существуют Т0 = Т0(е) > 0, с = с(е) > 0 такие, что при Т > Т0, Н = = т°.5+е справедливо неравенство:

*о(Т + Н) - *о(Т) > сН.

В 1942 г. А. Сельберг улучшил результат Харди и Литтлвуда. Он доказал, что при условиях теоремы Харди и Литтлвуда справедливо неравенство:

*о(Т + Н) - *о(Т) > сН 1пТ. (1)

Из формулы Мангольдта

*(т )=§1п! - +0(1п т >

для числа N(T) нулей Z(s) в прямоугольнике 0 < Ks < 1, 0 <9s < T следует, что оценка Сельберга (1) является неулучшаемой по порядку роста при T ^ +œ>.

Сельберг [3] высказал гипотезу о том, что оценка (1) имеет место при меньших H, то есть, при H = Ta+e, где а положительная постоянная, меньшая 1/2.

Ряд замечательных работ о нулях дзета-функцции Римана выполнил А. А. Карацуба [4]-[10]. В 1984 г. А. А. Карацуба установил, что неравенство (1) справедливо при H = T27/82+e. Тем самым он доказал гипотезу Сельберга о числе нулей дзета-функцции Римана, лежащих на критической прямой. А. А. Карацуба решил задачу о числе нулей дзета-функцции Римана на очень коротких промежутках критической прямой «в среднем». В [6] доказана следующая теорема:

Пусть е > 0 — произвольно малое фиксированное число, X ^ Xo(e) > 0, H = Xе, X ^ T ^ 2X. Рассмотрим соотношение:

No(T + H) - No (T) ^ ciH ln T, (2)

где ci = ci(e) > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от е, и через Ei обозначим множество тех T из промежутка X ^ T ^ 2X, для которых (2) не выполняется. Тогда для меры этого множества ^(Ei) справедлива оценка:

MEi) < Xi-0'5e.

В 1988 г. Киселёва Л. В. [12] получила результат подобного рода, но для отрезка (X, X+ +Xii/i2+e). В настоящей работе автор уменьшил длину отрезка осреднения. Сформулируем основные теоремы:

Теорема 1. Пусть е > 0 — произвольно малое число, X > X0(e) > 0, H = Xе, Xi > X7/8+е, X < T < X + Xi.

Через E обозначим множество тех T из промежутка [X, X+Xi], для которых интервал [T, T + H] содержит меньше, чем c0H ln T нулей нечетного порядка функции Z(0, 5 + it), где c0 = с0(е) > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от е. Тогда для меры этого множества ^(E) справедлива оценка ^(E) ^ XiX-0,5е.

Теорема 2. Пусть 0 < е — произвольно малое число, X > X0(e) > 0, H = Xе, Xi ^ X7/8+е, X < T < X + Xi, M = [X/H], Mi = [Xi/H]. При m = M + 1,M + 2, ••• ,M + Mi рассмотрим интервалы вида [mH, mH + H].

Тогда в каждом из указанных интервалов, за исключением не более MiM-0,5е из них, содержится более чем ciH ln T нулей нечетного порядка функции Z(0, 5+it), где ci = ^(е) > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от е.

2. Вспомогательные утверждения

В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения: е, £1 ■ ■ ■ > 0 — произвольно малые фиксированные числа, X — растущий параметр, XI ^ Х7/8+£, X < Т < X + XI, Р = л/ Т/2п, Н = Xе, Ь = 1п X, У = Я0,01, 0 < 1 — параметры, зависящие от Т, зна-

чение которых будет определено позднее, А, А1, А2 ■ ■ ■ — положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходит У, действительные числа ) находятся из соотношения

1 -£ ^, 1,

n=i

числа в(v) и а(А) определяются следующим образом:

a(A)= у- e(vi)e (V2) в (v) = J a(v ) (1 - ln v/ ln Y ), если 1 < v<Y, ) V2 , в(v) |0, если v > Y.

nv 1 =AV2 ^ _

Лемма 1. Пусть при ] = 1, 2 суммы (Т) определяются равенствами:

И'1(Т)= Е ^^ТПтЧ т) 'Т ехр

^2(Т)=

\1<\2<Р

а( Л1)а

ЛХ<Л2 <Р

а(Л1)^(Л1)а(Л2)^(Л2^ Л2\

-Г? а Л2

л/ Л1Л2

гТ

Л1;

где

-Н1

-(ц/Н)2 I р

ехр -

¿и.

? 4 £

2 V Л

Тогда справедливы следующие оценки:

С X+Х1 ху 11 Г 10 с X+Х1

ш2(Т)^Т« , Ш2(Т)^Т«

./X ? Ух

где постоянные в знаке ^ зависят только от е.

^У11Г10 Н !

Доказательство. Пусть Ш(Т) — одна из двух сумм (Т),^ = 1,2. Через Б(ЛЬЛ2) будем обозначать слагаемые Ш(Т). Пусть далее, ^1(Л) = 1, Л,2 = 1, если Ш(Т) = Ш1(Т), а ^1(Л) = ^(Л), Л,2 = Л,, если Ш(Т) = Ш2(Т). Легко видеть, что часть суммы Ш(Т), отвечающая таким слагаемым, у которых Л2 > Л1 (1 + Г/Н), есть величина 0(е-0'01^ ). Таким образом, в силу определения а(Л), имеем

2

|Ш(Т)|2 « Е ^(^1,^2,^3,^4)

+ О(в-0'02ь2),

где

£(^1,^2,^3,^4)= Е

Е

Б

П2<Р^4/^з

.

V!

^3 )

Далее, применяя неравенство Коши к сумме по ^1,^2,^3,^4, получаем

|Ш(Т)|2 « У4 Е |£(^2,^)|2 + 0(е-0'02^).

Следовательно,

г Х+Х1

гХ+Х1

/ |Ш (Т )|2 ^Т « У8/ 'х Ух

ЕЕ

Ф(П1,П2,Т )

где

П1^аР п1в<п2 Кп1в(1+Ь/И)

Ф(п п Т) = ^1(П1У1/У2К(П2У3М) / гТ ех/ (? 1п 1, 2, ^ \ 2 VП1 в

а = ^2/^1,в = ),7 = и — некоторые фиксированные натуральные

числа, не превосходящие У. Пусть Ро = л/Х/(2п). Разбивая промежуток суммирования по п на два промежутка точкой Роа, приходим к неравенству:

2

¿Т,

П2

гХ+Х1

/

|Ш(Т)|2 ^Т « У8

ГХ+Х1

ЕЕ

Ф(П1,П2 ,Т)

П1^Роащв<П2 ^П1в(1+£/Я) П2^Р 7

^Т+

2

1

2

Л

2

+

ГХ+Х1

IX

Е

Е

Ф(П1 ,П2,Т)

Роа<га1^Рага1в<га2^га1в(1+Ь/Н)

2

^Т

(3)

/

Обозначаем интегралы в правой части (3) через 71 и 72. В подынтегральной сумме для 71 п1 ^ Р0а, а для 72 — Р0а < п1 ^ Ра.

Оценим 72 сверху. Пусть Р2 = д/^ + X1)/(2п) и М = [Р2У] + 1. Пользуясь формулой

1

М

м-1

Е Е

е

2пй(га-га' )/М

1=0 Роа<га'^Ра

преобразуем подынтегральную сумму по п1,п2 в 72 так:

1 м-1

1, если п = п', 0, если п = п',

Е ф(п..»2,т) = м Е Е

Ро«<га1^Ра

м^ ^ ехч--мм—;К(М2,Т),

¿1,12=0 Роа<га'1,га'2^Ра

где

К (11,12 ,Т)= Е

^ ^ /2пгщ1Л /2пгп212\

Е ф(п1,п2,т) -м-; ехР ;

Ро«<П1^аР2 га1в<га2^га1в(1+Ь/Н) П2 ^7Р2

Переходя от последнего равенства к неравенству и применяя неравенство Коши, получаем:

2

Е

Е

Ф(П1,П2,Т )

М-1М-1

<

Ь2

11=0 ¿2=0

Следовательно,

М-1 М-1

72 < ь2 Е Е-

¿1=0 ¿2=0

1 1 11 + 112+ и х

/•Х+Х1 />х +Х1

/ |К(11,12,Т)|2 ^Т < Ь4 / |К(11,12,Т)|2 ^Т, (4 Ух Ух

1 1 11 + 112 + 1

X+Х1

|К (11,12,Т )|

2

где 0 ^ 1' ,12 < М — некоторые фиксированные натуральные числа. Заметим, что в случае Ш(Т) = Ш2(Т) выражение К(1',12,Т) содержит множители ^(п1 ^1/^2) и ^(п2^3/^4), которые зависят от Т. С помощью преобразования Абеля и интегрального неравенства Коши, получаем:

' гБ1 'в (и, у) |2

/а2 иУ

(Г Б1 г / /

у а

-^■и^у +

2

+,,6 ( /В1 №М! Йа + /В2 ШвИУИ: + * (Вь В2)|2

М1

и

/А2

V

где А = Р0а, В = Р2а, А = Р07, В = Р27

1

пп

А1<П1<« А2 <«2<^

Е(и, у) = У^ V , 1 ехр [ — ( Н 1п ( -П2-

^ ^ ^П1П2^1^2^з\ V 2

2\ / \ ¿Т

П2

П1

х ехр

/2пгп11' \ /2пгп212 , ч

' 1 I — < 2 >Е(П1,П2),

М

ехР ехР

М

( 1, если п1в < п2 < п1в(1 + Г/Н), Е (П1,П2) = <

0, в остальных случаях. Из (4) и последнего неравенства следует, что:

72 « Г4-4/(В1 ,В2),

где

¡■X+Х1

/(В,В2) = А шах I №,^)|2 ^Т.

Если Ш(Т) = Ш1(Т), то для 72 выполняется неравенство:

72 « Г4/(в1,В2).

Тем самым, получаем

72 « -4Г4/(В1,В2), (5)

Оценим теперь /(В1,В2). Применяя известный приём (см., например в [5, с. 576]), получаем:

е-((Т-Х)/Х1)2 ^(В1,В2)|2 ^Т «

-те

« —Е Е . 1 ехр(- (X1п (^Е(щ,П2)Е(П3,п4) <

^2^4 . ^ у'П1П2п3п4 \ \2 \nm4JJ

А1<П1,пз<Б'1, А2<П2,П4<Б2

1 2 3 4 0 I Роа<п1,пз<Р2а п1в<п2<п1в(1+Ь/Я)

пзв<п4<пзв(1+Ь/н) |п2пз -п1п4 |<Р2 «7Б/Х1

£ Х1

-Я + О (е-0>01ь2)

где Я — число возможных ^1,^2,^3,^4, удовлетворяющих условиям:

Р0а < п1, п3 < Р2а, п1в < п2 < п1в(1 + Г/Н), п3в < п4 < п3в(1 + Г/Н), |п2п3 - п1п4

| < Р22а7Г/Хь

Если зафиксируем числа П1, и П4 то число возможных пар П2,П4 не превосходит величины Е1, где

я. = Е Т(т) « ^.

- Р^ «7Б/Х1 +п1 п4 £т£п1п4 +Р^ «7Б/Х1

Откуда получаем

я « (Р2 - РоОа^Р^ « .

? X1 ?

Следовательно,

г(В В^ Х1 Х(07)2г3 = Из (5) и этого неравенства получаем:

72 « . (6)

Оценим интеграл 71 сверху. Заметим, что в формуле, которой определяется 71, условие П2 ^ Р7 лишнее, так как

П2 < щв(1 + Ь/Н) < Р0ав(1 + Ь/Н) < Р27.

Разбивая промежуток суммирования по П1 в этой формуле на ^ Ь промежутков вида N < п1 < N1 < 2Ж < Р0а, приходим к неравенству

гХ+Х1

71 < Ь2

'X

Е Е Ф(П1 ,П2,Т)

N<^<N1 га1в<га2^П1в(1+Ь/Н)

¿Т.

Повторяя такие же рассуждения, как и в случае для 72, получаем неравенство:

71 < ^4Ь2/1,

где

(7)

Г-Х+Х1

11

/X

ЕЕ

е-(н 1п(п2/п1в)/2)^ П2

¿Т

— Е (П1,П2)

Е(П1,П2) =

N<^<N2 ^3<п2<^в

1, если N < щ < N1 и щв < П2 < щв(1 + Ь/Н),

^Т,

0, в остальных случаях,

N<N2 ^ N1 и N<N3 ^ N1(1 + Ь/Н) — некоторые фиксированные числа.

Оценим теперь /1 сверху. Рассуждая так же как это было сделано для оценки I(В1, В2), имеем

/1 < X!

/ N ¿X

Е Е П? П(П1,П2,П3,П4)Е (П1,П2)Е (пз,П4)

N<^1,^3<N2 ^3<п2,п4<^вП1П4/

где

П(П1,П2,Пз, П4) =

3-(Я 1п(п2/(п1в))/2)2 е-(Я 1п(п4/(пзв))/2)2 е-(Х11п(п2Пз/(щп4))/2)2

Если |п2пз — п1п4| > N2вЬ/X1, то

1/ пМ

\П1П4/

Ь 2X1

Отсюда следует, что часть последней кратной суммы по щ, П2, пз, П4, отвечающая таким слагаемым, есть величина 0(е-0,01^2). Тем самым получаем:

/1 < Xl (£ + |Ш|) + о(е-0,01Ь^ ,

(8

где £ — часть последней суммы, отвечающая таким слагаемым, у которых п2пз = п1п4, а Ш — слагаемым, у которых 1 < п2пз — п1п4 < N2вЬ/X1. Оценим сумму £ тривиально. Имеем:

£ ^

1

N 2в

Е

Е

1.

пз в<П4^газв(1+Ь/я) га1«,4=га2«.4

2

2

Пусть d = (n^n3). Тогда n = db, n3 = da, (b, a) = 1. Из условия n^4 = n2n3 следует, что n4 = ma и n2 = mb. Откуда получаем

V 1 Y^ Y^ Y^ 1 1 V^ N2 d^L L2

(b,a) = i

Оценим сумму W. Вместо множителя E(ni,n2),E(пз,п4) наложим на переменные ni, П2, Пз, П4 дополнительные условия

CsNeL

0 < П2 - nie < —77— и 0 < П4 - Пзв <-77-.

H H

От такого преобразования сумма W изменится на величину O(e-0,0iL2). Пусть l = П2П3 — niП4, 1 < l < N2eL/Xi и d = (ni,n3). Тогда n3 = da, ni = db, (b,a) = 1, l = dli, 1 < li < < N2eL/(Xid), an2 — bn4 = li. Последнее равенство равносильно тому, что n4 = —lib (mod a) и n2 = (bn4 + li)/a. Пользуясь формулой:

1 ^ /2nix(n4 + libU J 1, если n4 = —lib (mod a),

a a/2<X<a/2 a / [0, в остальных случаях,

преобразуем сумму W следующим образом:

w = ЕЕ Е ^

d<N2eL/X1 i<11<N2eL/(X1d) N/d<b, a<N2/d

(b, a) = i

x Е Е ¿f x

0<ra4-d«e<C3NeL/H

x exp (2nix(n^ + lib))ni(b,a,li,m) + O^^2),

где ni(b, a, li, n4) = n(b, (bn4 + li)/a, a, n4). Разобьем сумму W на две суммы: Wi — часть этой суммы, отвечающая слагаемым с условием x = 0, W2 — остальным слагаемым. Оценим теперь сумму W2. Если пропустим условие

bn4 + li C2N^L

0 <--dbe < ———,

a H

то сумма W2 изменится на величину O(e-0,0iL2). Пользуясь формулой

1, если (b, a) = 1,

7 ^(di)

0, если (b, a) > 1,

di/(b,a) ^ v '

преобразуем сумму W2 так:

w = Е ЕЕ ^ Е Or x

d^N2^L/X1 i<11^N2eL/(X1 d) di<N/d i N/(ddi)<ai<N2/(ddi) i

X ^ (1 + dibin4 X

0<n4-dd1a1e<c3NeL/H N/(dd1)<b1<N2/(dd1^ i i 4

хп1(й1 Ь1, ^1а1,11, п4) + 0(е

-0,01Ь2

).

Разобьем последнюю сумму на две суммы Шгл и Ш2.2, где в Шгл входят слагаемые, у которых ¿1 < X/X1, а в Ш2.2— слагаемые с ¿1 > X/X1. Оценивая тривиально сумму Ш2.2, получаем:

|Ш2.2| «

У 2Ь2 Н '

Оценим сумму Шг.ь Применяя к сумме по 61 преобразование Абеля, приходим к неравенству:

1w2.1i« Е 5 Е Е

1

_ X

где

Е £ Е N2^^

^(^^а^^Д^) 1 0<п4-^1а1в<сз^ЗЬ/Я

= Е ехК " 1Ч1 + 51^))

1 1 4

(10)

М<Ь1<М1

М = N/(5^), и N/(5^) < М1 < ^/(¿¿^ — некоторое фиксированное число. Применяя к сумме Ш2.з лемму о замене тригонометрической суммы интегралом и полагая в ней

X / 1 а = М, Ь = М1, / (ж) = X 1п ( 1 + —1—

2п V а1жп4

|/ '(ж)| =

X1l

находим

2пж(51п4ж +11)

| М1

<

X 2NвЬ

< X-0,1 < 1,

X?

Ш2.з =

е2пг/(х)5ж

М

+ 0(1).

Оценивая последний интеграл по первой производной, имеем:

М1

е2п/(х)5ж

М

«

N з

X1ld2dl

Тем самым получаем:

N з

Ш2.з « „ ,о + 1.

X1l 5251

Подставляя последнюю оценку в (10), приходим к неравенству:

У2Ьз

IW2.1I «

Н

Из оценок для Ш2.1 и Ш2.2 следует, что

Ш2 «

У 2Ьз Н '

(11)

Оценим теперь сумму Ш1 сверху. Можно считать, что N не меньше, чем Xl1/2-е/2. Если это не так, то 1 < 11 < вЬX-е < 1. Из условия ¿ав < п4 следует, что ¿Ьв < (Ьп4 + 11)/а. Таким образом, если пропустим условие

Ьп4 +11 С2^Ь

0 <--¿Ьв < -тг-,

аН

X

то сумма Ш' изменится на величину О ^е 0,С)1^2^. Кроме этого, имеет место равенство

ехр (2П (11п (1 + ±))) = ехр (2п- (^)) + 0 (.X-).

Далее, применяя к суммам по Ь и п4 преобразование Абеля, потом переходя от получившего равенства к неравенству, получаем:

Ь4 1 ( )

Ш1 « N. Е Е Е > + О (X-°,°75-£), (12)

в 2вЬ/Х1 1<г1<^в£/(Х1N/^<«<N2/^

где _

^ V—^ /2X1^ /2п-ж(п4 + 11Ь)

5 = £ £ ехр(ех4-а-

ж=0 (Ь,а)=1

а^3<п4 <N5,3

N < N4 < N2, ад < N5 < ад + сз^/Н.

Применим преобразование Абеля к сумме по Ь в 5, потом освободимся от зависимости предела суммирования по Ь от переменного интегрирования. Получаем:

5 = 51 + 52, (13)

где

51 = 1 Е Г Е , , Е ехр («Ш, х

а -а/2^у<а/2"' ^^ -а/2^ж<«/2

х=0 (Ь,а)=1

1

X

Е/ 2пшг\ 1 ./жп4 X11 \\ -X11 ,

ехр--> — ехр 2п---1--—аи,

\ а / ^^ п4 \ \ а 2пип4 / / и2

^ /2п-ж1'Ь\ / /жп4 X11d \\

5 = Е Е ,ехр(—) ехр(М— + 2X1^]]■

х=0 (Ь,а) = 1

Разобъем сумму 51 на 3 суммы: 51.1 отвечает таким слагаемым, у которых

ж < X1la/(2пuN52в2),

51.2 — слагаемым, у которых X1la/(2п■uN|в2) ^ ж <

X1la/(2пua2d2в2)

и 51.з — остальным

слагаемым. Тогда из (12) и (13) следует

ш « ^ Е Е Е 51-1 + 512 а+ 5'-э + 52, (14)

в 2в^/Х1 в^/(Х1^) N/^<«<N2/^

Разобъем сумму в правой части последнего неравенства на 4 суммы Шз, Ш4, Ш5, Шб, соответственно суммам 5'.', 5'.2, 5'.з, 52.

1) Оценим Шб. Имеет место неравенство:

I Шб I < ^ Е Е Е Е

2вЬ/Х1 1<11^2в£/(Х1^) N/^<«<N2/^ -й/2^ж<й/2

ж=0

где

Е = £ е*р(Ц= + 2^)).

а^З<п4<МБв

Здесь мы воспользовались оценкой, (см. [13, с. 50]):

Е ) <е1 а0'5+£1 У^^Г,

(15)

(Ь,а) = 1

где 0 < е1 < 0, 01е — произвольная малая постоянная.

Если х не принадлежит [Х11/(32п*2в2), 2Х11/(п*2в2)), то для оценки Е воспользуемся леммой о замене тригонометрической суммы интегралом (см. [16, гл. 3]). Получаем:

( /хг ХМ \

Е = ехр 2п ( — + 1 1

Jadв \

\ а

ХМ \\ , —¿г + О(1).

Применяя к интегралу в правой части лемму об оценке интеграла по первой производной (см. [14, гл. 4]), найдём оценку

Е « а/ |х|.

Если Х11/(32п*2в2) < х < 2Х11/(п*2в2), то для оценки V воспользуемся теоремой Ван дер Корпута (см. [16, с. 362]). Полагая /(п4) = хп4/а + Х11^/(2п*4п4), к = 2, найдём Е « N2/^ХМ.

Из полученных оценок для Е следует, что

1

Шб « ?.

2) Оценим Ш3. Имеет место неравенство ХГ6

Ш3 «

N 3в

Е * Е

11

Е

а-0'5+£1х

d<W2вL/X1 ^^М^АХ^) N^<«<N2^

Е

д/ (х11, а)

-а/2£ж<Х11«/(2п«оМ|в2)

ж=0

Е

аdв<n4<Wбв

1

п4

ехр (+

\ \ а 2пи0п4 / /

(16)

где и0 — некоторое число из промежутка N4/^]. Через ^ обозначаем сумму по п4 в

правой части последнего неравенства. Применяя к Q преобразования Абеля, потом переходя от получившего равенства к неравенству, получаем:

Q « д^

где

Ql =

Е

о43<п4£М6,3

(хп4 Х11 \ Р \ а 2пи0п4)

где а^ < *6 £ *5 — некоторое фиксированное число. Если х < 0, то Q1 оценивается по аналогии с оценкой Е в пункте 1). Получаем оценку Q « а/(*в |х|). А если

х

0 < ж < X1la/(2пuoN5в2), то применяя к ф' теорему о замене тригонометрической суммы интегралом, приходим к неравенству:

/^бв ( (хх X1l ехр I 2п- (--+

/«¿в V

¿х

+

\ а 2пи0х

Оценивая последний интеграл по второй производной, получаем

N 2вз/2

/^ев Л ./хх X1 ехр 2п---1--

/«¿в V Vа 2пи0х

Ь))

¿х

<

С другой стороны, так как 0 < х < X11a/(2п■u0N5в2), то по теореме об оценке интеграла по первой производной, имеем

/ хх X1l

ехр 2п- — + --

/«¿в V V а 2пи0х

Таким образом, справедлива оценка для ф:

¿х

<

х

X11

X1l

а 2пuo(Nбв )2

-1

а 2пuo(Nбв )2

N 2в з/Л

, ^Xh5 I + Nв.

1

Пусть д = (х1', а), а = тд, х1' = 5д, х = Х'^', 1' = 12д2, д'д2 = д. Собирая выше полученные оценки для ф, из (16) получаем

Шз «

XЬб

N 4в2

Е ^ д'

1+£1

Е 121 Е д'1

1<г2<^в£/(Х1 ¿92) \ 91 <2N/d

Е

т

-0,5+е1

Е

m,xN/ (¿9192))

тд2 |х1|

+ Е д'1 Е

т-0,5+е1 х

х ^^ ш1п

Кж1<Х1292/^ 2в2)

-т92/з^Ж1<0

х' X12д2

91<Х/Х1 тхй/ (¿9192)

-1 N2вз/2 \

тд2 2п-u1(N7в)2 Применяя к сумме по х' лемму из [15, с. 94], получаем:

у

+ 0(Н-1).

Шз « Н.

4) Сумму Ш5 оценим по аналогии с Шз:

Ш « Н.

5) Оценим теперь сумму Ш4. Через Р будем обозначать сумму по п4 в 5'.з. Применяя к этой сумме лемму о замене тригонометрической суммы интегралом (см. [16, гл. 3]), получаем:

„ /^5в 1 ( (хх X1l \

Р = - ехр 2п- ( — + -—- |

Jadв х V

I ■ . . ¿х + О ( )

\а 2пихУУ \NвJ

Далее, применим к последнему интегралу метод стационарной фазы (см. [16, гл. 3]). Получаем

1 + - / 2п«а\ 1/4

Р

^(501/4 + О(Я)

х

X

X

где

1 *2Н 1

Е = + Ж" + ш1п

1

х

Х/1

а 2пи(айв)2

1

N 2в3/2'

+

+ N0 Ш1п

Х/1

а 2пu(N5в)2

1

N 2в3/2'

^Хм

Подставляя это равенство в формулу, определяющую Ж4, потом переходя от получившего равенства к неравенству и пользуясь неравенством (15), получаем:

Ш4 «

Х3/4Г5

Е

жхХ11/(Мв)2

N 2в

д/(х!1, а) х1/4

Е

Е

/3

!1

3/4

Е

5/4+£1

Е

d<N 2в^/Х1 1<11<М 2вЬ/(Х^) N^<«<N2^

-а/2£у<а/2

'и

У^ ехр ( - ) ехр ( I -^тйи

а

2пиа / и7/4

+ О

У 3Г8 Н

(17)

где

■ ^ Х/1а и = та^ —,

N . /N4 Х/1а \ N

й ' 2пxN2вV ^ и = ^Ч^ 2пха2й2в2У ~

Через С будем обозначать интеграл в правой части (17). Меняем порядок интегрирования и суммирования по г в С, потом интегрируем по частям. Получаем

С = Е е-2-/а/;1 Ц4™/!^

йи —

2

па

х Е ехр

и<г£^1

2пги11/4^ХЦх

ехр I 4пг\1 Х}Х I х

2пгуг\ л/2

па

а / 8пгл/Х/1х ,/и

Е

и <г£ц

ехр

/ 2пгуг\

ехр 4пг

Х/1х 1

2пиа / и5/4

+

2

па

2пгл/Х/1х

Е ехр(2пг( -УГ +2

и<г£и1

Х/1 х

1

2пга / / г1/4'

йи+

(18)

Через £ будем обозначать сумму по г в последнем слагаемом равенства (18). Применяя к £ преобразование Абеля, потом переходя к неравенству, получаем:

й \1/4

Е ехр 2" - V+2

и<г£и2 \ \

Х/1 х 2пга

где и < и £ и — некоторое фиксированное число. Далее, к сумме по г применим лемму о замене суммы интегралом. Получаем:

иЕ ЧЧ - УГ +2-щ

и2

/и ЧЧ— + О(1).

Оценивая первый интеграл в правой части (18) по первой производной и пользуясь неравенством |

ехр

и <г£и1

«

|у| + 1'

х

X

X

приходим к неравенству

^ , а ( d ^ 1/4 О «

X1lХ V N

|у| + 1

+

г-^2

ш

Ч*« — ? +4 ^ ¿V

+1

Оценим последний интеграл зависимости от значения у. Обозначим этот интеграл через V. Если у = 0, то для оценки V воспользуемся теоремой об оценке по первой производной. Получаем

' Nз

N за

X1lxd3 X1ld2'

Если

'2X11xаd3 а 1 /X11xad3

у < — V _д,з = М или - > у > —-д/ _Д7з = М1 и у = 0,

пN 3

2

8 V п^3

то оценивая интеграл V по аналогии с пунктом 1), найдем

V < А.

В случае когда М ^ у ^ М', применяя к V теорему об оценке интеграла по второй производной, получаем

' N2

N 5 а

X1l xd5 v/dЗXZl' Собирая полученные оценки, из (17) следует

X1/4Ь5

Ш4 «

Е

^/4« £ ¿'/4 £ 1!/

к ¿<N^^1 1<г1<^в£/(Х^) N/¿<«<N2^

Е

-3/4+£1 .

д/ (х1', а)

х3/4

/

\

N 3

Еа N

+ x^d2 +

N2

жхХ^/^в)2 После несложных вычислений получим

у(/[М,М1] \ У=0

^ М ^^

+ о

У 3Ь8 Н

Ш4 «

У 3Ь8

Из (11), (14), и оценок для сумм Щ/, j = 3, 4, 5, 6, получаем:

з8

Щ «

УзЬ

Н

Из (8), (9) и оценки для Щ следует:

з8

/1 «

X1У 3Ь

Н

Подставляя это неравенство в (7), получаем

^'У 3Ь10 Н

71 «

Из (3), (6) и (19) следует утверждение леммы.

а

х

Следствие 1. Пусть 6 — произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е2 множество таких Т из интервала [X, X + Х1 ], для которых выполняются неравенства

11 Г 10

) > Х1 Н г ,

Н^1- г ПГ10 Н

Ж|(Т) >

Тогда для меры множества Е2 справедлива оценка

Лемма 2. При обозначениях теоремы 2 справедливы неравенства

ж2(шн) < —н—, Е ^2(шн) < -

т=М+1 т=М+1

н ^ 14 н

т=М+1

Лемма 2 доказывается по аналогии с доказательством леммы 1.

3. Доказательство основной теоремы

В следствии 1 полагаем 6 = 1 — 4/7е. Будем рассматривать те числа Т из X < Т < X + Х1, которые не принадлежат множеству Е2; для них выполняются оценки

г 11 г 10 Н4г11 г 10

^> ^^(Т)

Из рассматриваемых чисел Т выбросим те, для которых выполняется неравенство

(20)

[ С (о + ¿(Т + н — 1))^2(о + ¿(Т + н — 1))Ло

71/2

+

+

[ С (о + ¿(Т + 1))^2(о + ¿(Т + 1))йо

1/2

н

(21)

В силу леммы 7 статьи [12] следует, что мера выброшенных чисел есть величина порядка О^^-£).

Далее доказательство проводится по схеме работы А. А. Карацубы [5]. Введём следующие параметры Н = А/(с 1пТ), Н1 = 2Н, Т > X > 0. Будем считать, что X так велико, что 0 < Н < Н1 < 1. Числа 0 < с < 1 и 0 < А будут определены позднее. При Т < £ < Т + н рассматриваются интегралы и ^2(£):

Л(*) = [Н1 в-(и/^)2 (£ + и)| Ли, = Г' в-(и/^)2Р(£ + и)Ли ,

где Р(£) — функция Харди-Сельберга (см. [16, гл. 3]).

Обозначим через Е4 подмножество интервала (Т, Т + н), на котором выполняется неравенство (£) > ^2(£). Так как вне Е4 два интеграла (£) и ^'2(£) равны, то имеем

Л

г г-Т+Я г- г-1 +н г

/ = — Ш<И > —

•/Е4 ^Т ./Е ./Т ./Т

Применяя интегральное неравенство Коши, приходим к соотношению:

^(Е4)/1 ^Ун/2 > 1з,

Т+я

гТ+Н

(22)

где ^(£4) — мера множества £4,

/>Т+Я /-Т+Я /-Т+Я

h = (ji(t))2dt, I2 = / (j2(t))2dt, Is = / ji(t)dt. jt jt jt

Пользуясь способом из работы А. А. Карацубы ([5, с. 572]) и неравенством (21), оценим интеграл /з так:

/з > ЛЯ + С4^НЬ-1. (23)

Интеграл I' оценен в [5, 576]:

/' « ^2Н(ШТ + Щ'(Т)

где Щ'(Т) — тригонометрическая сумма леммы 1. Для суммы Щ' справедлива оценка, которая следует из (20):

Щ'(Т) < Я-0,25У5,5Ь5. Таким образом получаем оценку сверху для I':

/1 < С5^2Н (+ --0,25У5,5Ь^ . (24)

Интеграл /2 оценим сверху, пользуясь способом из работы [17, с. 195]. Получаем

'2 « H i"'2i^F (c + (c" ln T)U./»)» + ¡¡(sW) + W(T)) + "2ht-0'02,

где W2(T) — тригонометрическая сумма леммы 1. Сумма W2(T) оценивается с помощью (20):

W2(T) < "2H-0,25F5,5L5.

В силу определения Y, ", "1 получаем

I2 ^ С6"2H (mX100е-1 (c + + ) + H-0'25Y5'5L5 + T-

Возьмем теперь

£ л (4800С6)0'5

£

е = (»'

4800сб Vе/

и число X выберем так велико, чтобы выполнялось неравенство

Н-0,25у5,5Ь5 + Т-0,02 <

8сб.

В итоге получаем

/2 < 4й2Я. (25)

Из оценок (22) — (25) получаем неравенство ^(Е4) > с7Н, с7 = с7(е) > 0, откуда следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2 проводится по аналогии с доказательством теоремы 1 и с использованием леммой 2.

4. Заключение

Доказательство главной теоремы основано на получении оценку сверху для специальной кратной тригонометрической суммы. В работе автор пользуется методами А. А. Карацубы получения оценки "сельберговского типа" для числа нулей Z (s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. А. Гриценко за поставленную в работе проблему и внимание к ее решению.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 479 с.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. pp. 283-317.

3. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. pp. 1-59.

4. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157, С. 49-63.

5. Карацуба А. А. О нулях функции Z(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. T. 48, №3. C. 569-584.

6. Карацуба А. А. Распределение нулей функции Z(1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, вып. 6. С. 1214-1224.

7. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 167, С. 167-178.

8. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции Z(1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, №4. С. 171-172.

9. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН. 1985. Т. 40, №5. С. 23-82.

10. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой / / Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, №2. С. 372397.

11. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле // УМН. 1992. Т. 47, №2. С. 193-194.

12. Киселева Л. В. О количестве нулей функции Z(s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52, вып. 3. С. 479-500.

13. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР 1962. Т. 65. С. 3-212.

14. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Мир, 1953. 406 c.

15. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 С.

16. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994. 376 c.

17. Карацуба А. А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле / /

Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова: сборник статей.Тр. МИАН 1994. вып. 207. С. 180— 196.

REFERENCES

1. Riemann, B. 1948, "Xachinenia." (Russian) [The works], OGIZ, Moskva-Leningrad. 479 p.

2. Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. 1921. "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Mathematische Zeitschrift, vol. 10, pp. 283-317.

3. Selberg, A. 1942, "On the zeros of Riemann's zeta-function", Skr. Norske. Vid. Akad Oslo, vol. 10, pp. 1-59.

4. Karatsuba, A. A. 1981, "On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 157 , pp. 49-63. (Russian)

5. Karatsuba, A. A. 1984, "On the zeros of the function Z(s) on short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 3, pp. 569-584. (Russian)

6. Karatsuba, A. A. 1984, "The distribution of zeros of the function Z(1/2 + it)", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 6, pp. 1214-1224. (Russian)

7. Karatsuba, A. A. 1985, "Zeros of the Riemann zeta function on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 167 , pp. 167-178. (Russian)

8. Karatsuba, A. A. 1985, "On the real zeros of the function Z(1/2 + it)", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 4, pp. 171-172. (Russian)

9. Karatsuba, A. A. 1985, "The Riemann zeta function and its zeros", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 5, pp. 23-82. (Russian)

10. Karatsuba, A. A. 1992, "On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 56, no 2, pp. 372-397. (Russian)

11. Karatsuba, A. A. 1992, "A refinement of theorems on the number of zeros lying on intervals of the critical line of certain Dirichlet series", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 47, no 2, pp. 193-194. (Russian)

12. Kiseleva, L. V. 1988, "The number of zeros of the function Z(s) on "almost all" short intervals of the critical line." (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 52, no. 3, pp. 479-500; translation in Math. USSR-Izv. 32 (1989), no. 3, 475-499

13. Malysev, A. V. 1962, "On the representation of integers by positive quadratic forms." (Russian) Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 65, pp. 3-212.

14. Titchmarsh, E. K. 1953, "Teoriya dzeta-funkcii Rimana." (Russian)[Теория дзета-функции Римана], Mir, Moscow, 409 p.

15. Karatsuba, A. A. 1983, "Osnovui analiticheskoi teorii chisel." (Russian) [Fundamentals of analytic number theory], Nauka, Мoscow, 240 p.

16. Voronin, S. V. & Karatsuba, A. A. 1994, "Zeta-funkcia Rimana." (Russian) [The Riemann zeta-function], Fizmatlit, Moscow, 376 p.

17. Karatsuba, A. A. 1994, "A new approach to the problem of the zeros of some Dirichlet series." (Russian) Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 207, pp. 180-196; translation in Proc. Steklov Inst. Math. 1995, no. 6 (207), 163-177.

Белгородский государственный национальный исследовательский университет. Получено 17.12.2015 г. Принято в печать 11.03.2016 г.