CC BY
15
38 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38
MSC 11М25
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ
До Дык Там
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, г. Белгород, 308007, Россия, e-mail: doductaml40189@gmail.com
Аннотация. В работе рассматривается линейные комбинации функций, аналогов функции Харди, соответствующих L-функциям Дирихле. Исследуется распределение нулей, которвю лежат на критической прямой !Rs = 1/2. Для функций указанного типа доказанв1 утверждения, аналогичные резулвтатам А.А. Карацубы для дзета-функции Римана.
Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая, L-функция Дирихле.
1. Введение
Пусть Z(t,x) = + it, х) , где функция 9(t,x) подобрана так, что Z(t,x)
вещеетвена при вещественных t [1, с. 485]. Пусть далее
G(t) = a\Z(t, xi) + a2Z(t, xi) +-+ atZ(t, xi) , (1)
где a1,a2, ■ ■ ■ , al - произвольные вещественные числа, хь ■ ■ ■ ,Xi ~ примитивные характеры Дирихле по модулям соответственно k1,k2, ■ ■ ■ ,kl.Z(t,x) представляет собой аналог функции Харди [2, гл. 2].
В 1991 году А.А. Карацуба [1] поставил и решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей нечетного порядка функции G(t) на отрезке (T,T + H), где H = Т82+е, е - произвольное малое положительное число.
В настоящей работе получены оценки для числа нулей функции G(t) на почти всех промежутках вида (T, T + H), где H = X£l, X < T < 2X, е1- сколь угодно малое фиксированное положительное число. Доказательства проводятся по схеме работы А.А. Карацубы [1]. Пусть [k1,k2, ■■■ , kl] - наименьшее общее кратное натуральных чисел k1, ■ ■ ■ ,kl. Доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть £,£1 > 0 - произвольно малые фиксированные положительные числа и K = [k1,k2, ■ ■ ■ ,kl] ^ 3 в = 1/^(K), X 3 X0(£, £1) H = X£l, X 3 T 3 2X. Если E1 - множество тех T из промежутка [X, 2X], для которых не выполняется неравенство
No(T + H, х) - No(T, х) > C1H (lnT)в-£ , (2)
то для меры множества Е1 справедлива оценка ц(Е1) ^ X 1-0>5ei.
Теорема 2. Пусть £,£1 > 0 - произвольно малые фиксированные положительные числа и K = [k1,k2, ■■■ ,kt] 3 3 X 3 X0(£,£1), H = X£\ M = [XH-1]. При m =
M + 1, M + 2, ■■■ , 2M рассмотрим интервалы вида [mH,mH + H ]. Тогда в каждом из этих интервалов, за исключением не более M 1-0-5ei из них, содержится более чем c2H(ln X)в-£ нулей нечетного порядка функции G(t).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
39
2. Вспомогательные утверждения.
Для доказательств теорем нам понадобятся леммы. Эти леммы близки к известным леммам [3, е. 1215].
Пусть £i,£2,hi - положительные числа е условиями £i < 0.01, £2 < 1, /д < 1, г
- натуральное число, Н = X£1. Р = у/^, Ро = При j = 0,1,2 суммы Wj(T)
определяются равенствами:
Wo(T) =
X
Ai<A2<P
a(Ai)a(A2) ^yTR-(f in(^))/ VA2A1 V Ai,
W,(T) = T а(ЛД^г) (В(\0вЩе-Х'''ХУ ,
. .1-^ VA2A1 \Ai)
31-£2 2 — 3 0
w2(T) = V а(лД1г) (P)'Te-("'<W~,
i-£o . „ VA2A1 \Ai/
где B(A) = ((PA 1)ihl — l)r (ln(PA 1)) r , a(A)- числа из приближеного функциональ-
ного уравнения для аналога функции Харди-Сельберга F(t,x) [Ф с- 490].
Лемма 1. Имеет место неравенство
2 r 2X
V / W2(T) < r4(l + 8£-1L-1)4rh2x(£21 + 8£-2L-1h-1)4XH-1Y12L7 ,
UJ x
где L = ln X.
Следствие 1. Пусть 5 - произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 - множество таких из интервала [X, 2X], для которых
2
Y, W2(T) > r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4X1-5H-1Y12L7 . (3)
j=0
Тогда для меры множества Е1 справедлива оценка д(Е1) С X5.
Лемма 2. При обозначениях теоремы 2 справедливо неравенство 2 2 м
Y, Y, W2(mH) < r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4MH-1У12L8 . (4)
j=0 m=M
Следствие 2. Пусть 5— произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 - множество таких M < m < 2M, для которых 2
Wj(mH) > r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4M1-5H-1Y12L8 . (5)
j=o
Тогда для количества элементов этого множества ц(Е1) справедлива оценка д(Е1) ^ M5.
40 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
3. Схема доказательства теоремы 1.
Возьмем в Следствии 1 5 = 1 — 0.5Щ. Докажем, что для T, не принадлежащих множеству Ei, выполняется неравенство (2). Тогда из следствия 1 легко следует утверждение теоремы.
Для T, не принадлежащих множеству E1, выполняется неравенство
W02(T) + W1(T) + W22(T) < r4(1 + 8e-1L-1)4rh1(e-1 + 8e-1L-1h-1)4H-0'5Y 12L7 . (6)
Посредством символа к обозначим величину
r2(1 + 8e-1L-1)2r}ц(£-1 + 8e-1L-1h-1)2H-0-25Y6L3'5 .
1) По аналогии е работой [1], определим функцию
9 ( 2 + й
F (t) = G(t) где G(t) определяется равенством (1),
Ф) = ф,Х) = Ет¥^-) = 1-2-----1-
v<Y
e(v)
Е
a(v) ( 1 —
V ' если 1 < v < Y = Hom , ln Y
0 если v > Y ;
a(v)
П
1
1/2
1---- при Res > 1
Ps
v=1 p=1 (mod K)
Посредством E обозначим подмножество (T, T + H), на котором выполняется неравен-
ство
phi ph\
|F(t + u1 + ... + ur)| du1...dur >
phi phi
F (t + u1 + ... + ur )du1...dur
Далее, следуя рассуждениям А.А. Карацубы [1] получаем неравенство:
Л + I2 > 1з ,
(7)
2
0
0
0
0
где
h
12
13
(•hi
(•hi
T+H
T
гЩ
F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)du1 ■ ■ ■ dur ) dt
phi
a
r f u-e ,
a
F (t + u1 + ■ ■ ■ + ur )du1 ■ ■ ■ dur
>0
dt,
T+H / f-hi T \J0
r-hi
|F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)|du1 ■ ■ ■ dur ) dt
E \J0 J0
a
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып.
a - число из отрезка (0,1).
2) Для /3 из [1] имеем оценку снизу
/а > c4h[aH.
3) Для /1 из [1] имеем оценку сверху
/1/а < (^(E))2/a-1 hfH (Ус + |Wo| + T-0’2) ,
где
So
У
л<р
Н^)Г л
W0- тригонометрическая сумма из леммы 2.
Сумма У0 оценивается аналогично тому, как это было сделано в [1] с учетом 5 [1, е. 505]:
So
У
Л<Р
И^)Г л
1пТ
(In Y)? '
Для суммы W0 справедливо неравенство (6), поэтому
Wo < к.
Таким образом из (8)-(10) получаем
Д <С5 (М-E))l-a/2ha{Ha/2
ln T
а/2
(ln Y )в,
4) Подобно тому как это сделано в [1], для /2 получаем оценку сверху
где
nT+H
(21
(22
IT
r-T+H
IT
a << н2/а-1 (/21 + /22 + ht-0-2h2r) ,
Г hi r hi 2
L ... Fi(t + ui + . J0 . + ur, x)du1...dur dt
г hi г hi 2
1 ... 1 F2(t + Ui + . J 0 . + ur, x)du1...dur dt
FAt,x) = 2В,еуЩе‘и<‘> T 44Ц-
„ ,^i-^ V А
Л^Рс1 "2
Т2((,Л = 2ЯеДЫе“«<<>
Рс1 t2 <Л<Р
38 41
(8)
леммы
(9)
(10)
42
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Для /21 справедливо неравенство
/21 < H
Si
8
£2 In Т
2 r
+ |Wi|
где
Si
\<p
1
W1- тригонометрическая сумма леммы 2.
Сумма S1 оценивается аналогично сумме S0:
Si <
InT
(In У)/3 '
Используя (6), получаем оценку суммы W1:
W1 < к.
(н)
(12)
(13)
Из (11)-(13) следует
/21 < H
8 \2г 1пТ
е21пТ ) (In YY +Н
Аналогично тому, как это было сделано в 3) для оценки /1; для /22 получаем неравенство
& « Hh? (£2 + *) . (14)
Таким образом, получаем:
/2 < ннт Д1
где
Д1
8
2 r
ln T
e2h1 ln T/ (ln Y )e
h
-2r
1
к
£2
InT
(InT)/
a/2
к
Из полученных оценок для Д, /2 и /3 с учетом неравенством (7) найдем нижнюю границу для ц(Е). Из этой оценки уже легко будеть следовать, что для T выполняется (2).
Доказательство теоремы 2 с очевидными изменениями повторяет доказательство теоремы 1.
Литература
1. Карацуба А.А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Известия АН СССР. Серия Математическая. - 1991. - 55:3. - С. IКЗ-51 I.
2. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / М.: Физматлит, 1994. - 376 с.
3. Карацуба А.А. Распределение нулей функции + it) // Известия АН СССР. Серия Математическая. - 1984. - 48; 6. - C.12i4-1224.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
43
4. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльброна, лежащих на критической прямой // Известия АН СССР. Серия Математическая. -1990. - 5 1:2. - С.303-315.
ON ZERO DISTRIBUTION OF LINEAR COMBINATIONS OF L-DIRICHLET FUNCTIONS LYING ON THE CRITICAL LINE
Do Due Tam Belgorod State University,
Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:doductaml40189@gmail.com
Abstract. Linear combinations of functions which are analogous Hardy’s functions, corresponding L-Dirichlet functions are studied. It is investigated the zero distribution which are on the critical line Ks = 1/2. Assertions which are analogous some Karatsuba’s results concerning Riemann’s zeta-function have been proved for functions pointed out.
Key words: Rieman’s zeta-function, non-trivial zeros, critical line, L-Dirichlet function.
