Научная статья на тему 'О распределении нулей линейных комбинаций L-функций Дирихле, лежащих на критической прямой'

О распределении нулей линейных комбинаций L-функций Дирихле, лежащих на критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
86
16
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ / НЕТРИВИАЛЬНЫЕ НУЛИ / КРИТИЧЕСКАЯ ПРЯМАЯ / L-ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — До Дык Там

В работе рассматривается линейные комбинации функций, аналогов функции Харди, соответствующих L-функциям Дирихле. Исследуется распределение нулей, которые лежат на критической прямой Rs = 1/2. Для функций указанного типа доказаны утверждения, аналогичные результатам А.А. Карацубы для дзета-функции Римана.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О распределении нулей линейных комбинаций L-функций Дирихле, лежащих на критической прямой»

38 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38

MSC 11М25

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

До Дык Там

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, г. Белгород, 308007, Россия, e-mail: doductaml40189@gmail.com

Аннотация. В работе рассматривается линейные комбинации функций, аналогов функции Харди, соответствующих L-функциям Дирихле. Исследуется распределение нулей, которвю лежат на критической прямой !Rs = 1/2. Для функций указанного типа доказанв1 утверждения, аналогичные резулвтатам А.А. Карацубы для дзета-функции Римана.

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая, L-функция Дирихле.

1. Введение

Пусть Z(t,x) = + it, х) , где функция 9(t,x) подобрана так, что Z(t,x)

вещеетвена при вещественных t [1, с. 485]. Пусть далее

G(t) = a\Z(t, xi) + a2Z(t, xi) +-+ atZ(t, xi) , (1)

где a1,a2, ■ ■ ■ , al - произвольные вещественные числа, хь ■ ■ ■ ,Xi ~ примитивные характеры Дирихле по модулям соответственно k1,k2, ■ ■ ■ ,kl.Z(t,x) представляет собой аналог функции Харди [2, гл. 2].

В 1991 году А.А. Карацуба [1] поставил и решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей нечетного порядка функции G(t) на отрезке (T,T + H), где H = Т82+е, е - произвольное малое положительное число.

В настоящей работе получены оценки для числа нулей функции G(t) на почти всех промежутках вида (T, T + H), где H = X£l, X < T < 2X, е1- сколь угодно малое фиксированное положительное число. Доказательства проводятся по схеме работы А.А. Карацубы [1]. Пусть [k1,k2, ■■■ , kl] - наименьшее общее кратное натуральных чисел k1, ■ ■ ■ ,kl. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть £,£1 > 0 - произвольно малые фиксированные положительные числа и K = [k1,k2, ■ ■ ■ ,kl] ^ 3 в = 1/^(K), X 3 X0(£, £1) H = X£l, X 3 T 3 2X. Если E1 - множество тех T из промежутка [X, 2X], для которых не выполняется неравенство

No(T + H, х) - No(T, х) > C1H (lnT)в-£ , (2)

то для меры множества Е1 справедлива оценка ц(Е1) ^ X 1-0>5ei.

Теорема 2. Пусть £,£1 > 0 - произвольно малые фиксированные положительные числа и K = [k1,k2, ■■■ ,kt] 3 3 X 3 X0(£,£1), H = X£\ M = [XH-1]. При m =

M + 1, M + 2, ■■■ , 2M рассмотрим интервалы вида [mH,mH + H ]. Тогда в каждом из этих интервалов, за исключением не более M 1-0-5ei из них, содержится более чем c2H(ln X)в-£ нулей нечетного порядка функции G(t).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

39

2. Вспомогательные утверждения.

Для доказательств теорем нам понадобятся леммы. Эти леммы близки к известным леммам [3, е. 1215].

Пусть £i,£2,hi - положительные числа е условиями £i < 0.01, £2 < 1, /д < 1, г

- натуральное число, Н = X£1. Р = у/^, Ро = При j = 0,1,2 суммы Wj(T)

определяются равенствами:

Wo(T) =

X

Ai<A2<P

a(Ai)a(A2) ^yTR-(f in(^))/ VA2A1 V Ai,

W,(T) = T а(ЛД^г) (В(\0вЩе-Х'''ХУ ,

. .1-^ VA2A1 \Ai)

31-£2 2 — 3 0

w2(T) = V а(лД1г) (P)'Te-("'<W~,

i-£o . „ VA2A1 \Ai/

где B(A) = ((PA 1)ihl — l)r (ln(PA 1)) r , a(A)- числа из приближеного функциональ-

ного уравнения для аналога функции Харди-Сельберга F(t,x) [Ф с- 490].

Лемма 1. Имеет место неравенство

2 r 2X

V / W2(T) < r4(l + 8£-1L-1)4rh2x(£21 + 8£-2L-1h-1)4XH-1Y12L7 ,

UJ x

где L = ln X.

Следствие 1. Пусть 5 - произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 - множество таких из интервала [X, 2X], для которых

2

Y, W2(T) > r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4X1-5H-1Y12L7 . (3)

j=0

Тогда для меры множества Е1 справедлива оценка д(Е1) С X5.

Лемма 2. При обозначениях теоремы 2 справедливо неравенство 2 2 м

Y, Y, W2(mH) < r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4MH-1У12L8 . (4)

j=0 m=M

Следствие 2. Пусть 5— произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 - множество таких M < m < 2M, для которых 2

Wj(mH) > r4(l + 8£-1L-1)4rh2(£-1 + 8£-2L-1h-1)4M1-5H-1Y12L8 . (5)

j=o

Тогда для количества элементов этого множества ц(Е1) справедлива оценка д(Е1) ^ M5.

40 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

3. Схема доказательства теоремы 1.

Возьмем в Следствии 1 5 = 1 — 0.5Щ. Докажем, что для T, не принадлежащих множеству Ei, выполняется неравенство (2). Тогда из следствия 1 легко следует утверждение теоремы.

Для T, не принадлежащих множеству E1, выполняется неравенство

W02(T) + W1(T) + W22(T) < r4(1 + 8e-1L-1)4rh1(e-1 + 8e-1L-1h-1)4H-0'5Y 12L7 . (6)

Посредством символа к обозначим величину

r2(1 + 8e-1L-1)2r}ц(£-1 + 8e-1L-1h-1)2H-0-25Y6L3'5 .

1) По аналогии е работой [1], определим функцию

9 ( 2 + й

F (t) = G(t) где G(t) определяется равенством (1),

Ф) = ф,Х) = Ет¥^-) = 1-2-----1-

v<Y

e(v)

Е

a(v) ( 1 —

V ' если 1 < v < Y = Hom , ln Y

0 если v > Y ;

a(v)

П

1

1/2

1---- при Res > 1

Ps

v=1 p=1 (mod K)

Посредством E обозначим подмножество (T, T + H), на котором выполняется неравен-

ство

phi ph\

|F(t + u1 + ... + ur)| du1...dur >

phi phi

F (t + u1 + ... + ur )du1...dur

Далее, следуя рассуждениям А.А. Карацубы [1] получаем неравенство:

Л + I2 > 1з ,

(7)

2

0

0

0

0

где

h

12

13

(•hi

(•hi

T+H

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

T

гЩ

F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)du1 ■ ■ ■ dur ) dt

phi

a

r f u-e ,

a

F (t + u1 + ■ ■ ■ + ur )du1 ■ ■ ■ dur

>0

dt,

T+H / f-hi T \J0

r-hi

|F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)|du1 ■ ■ ■ dur ) dt

E \J0 J0

a

0

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып.

a - число из отрезка (0,1).

2) Для /3 из [1] имеем оценку снизу

/а > c4h[aH.

3) Для /1 из [1] имеем оценку сверху

/1/а < (^(E))2/a-1 hfH (Ус + |Wo| + T-0’2) ,

где

So

У

л<р

Н^)Г л

W0- тригонометрическая сумма из леммы 2.

Сумма У0 оценивается аналогично тому, как это было сделано в [1] с учетом 5 [1, е. 505]:

So

У

Л<Р

И^)Г л

1пТ

(In Y)? '

Для суммы W0 справедливо неравенство (6), поэтому

Wo < к.

Таким образом из (8)-(10) получаем

Д <С5 (М-E))l-a/2ha{Ha/2

ln T

а/2

(ln Y )в,

4) Подобно тому как это сделано в [1], для /2 получаем оценку сверху

где

nT+H

(21

(22

IT

r-T+H

IT

a << н2/а-1 (/21 + /22 + ht-0-2h2r) ,

Г hi r hi 2

L ... Fi(t + ui + . J0 . + ur, x)du1...dur dt

г hi г hi 2

1 ... 1 F2(t + Ui + . J 0 . + ur, x)du1...dur dt

FAt,x) = 2В,еуЩе‘и<‘> T 44Ц-

„ ,^i-^ V А

Л^Рс1 "2

Т2((,Л = 2ЯеДЫе“«<<>

Рс1 t2 <Л<Р

38 41

(8)

леммы

(9)

(10)

42

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

Для /21 справедливо неравенство

/21 < H

Si

8

£2 In Т

2 r

+ |Wi|

где

Si

\<p

1

W1- тригонометрическая сумма леммы 2.

Сумма S1 оценивается аналогично сумме S0:

Si <

InT

(In У)/3 '

Используя (6), получаем оценку суммы W1:

W1 < к.

(н)

(12)

(13)

Из (11)-(13) следует

/21 < H

8 \2г 1пТ

е21пТ ) (In YY +Н

Аналогично тому, как это было сделано в 3) для оценки /1; для /22 получаем неравенство

& « Hh? (£2 + *) . (14)

Таким образом, получаем:

/2 < ннт Д1

где

Д1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8

2 r

ln T

e2h1 ln T/ (ln Y )e

h

-2r

1

к

£2

InT

(InT)/

a/2

к

Из полученных оценок для Д, /2 и /3 с учетом неравенством (7) найдем нижнюю границу для ц(Е). Из этой оценки уже легко будеть следовать, что для T выполняется (2).

Доказательство теоремы 2 с очевидными изменениями повторяет доказательство теоремы 1.

Литература

1. Карацуба А.А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Известия АН СССР. Серия Математическая. - 1991. - 55:3. - С. IКЗ-51 I.

2. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / М.: Физматлит, 1994. - 376 с.

3. Карацуба А.А. Распределение нулей функции + it) // Известия АН СССР. Серия Математическая. - 1984. - 48; 6. - C.12i4-1224.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

43

4. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльброна, лежащих на критической прямой // Известия АН СССР. Серия Математическая. -1990. - 5 1:2. - С.303-315.

ON ZERO DISTRIBUTION OF LINEAR COMBINATIONS OF L-DIRICHLET FUNCTIONS LYING ON THE CRITICAL LINE

Do Due Tam Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:doductaml40189@gmail.com

Abstract. Linear combinations of functions which are analogous Hardy’s functions, corresponding L-Dirichlet functions are studied. It is investigated the zero distribution which are on the critical line Ks = 1/2. Assertions which are analogous some Karatsuba’s results concerning Riemann’s zeta-function have been proved for functions pointed out.

Key words: Rieman’s zeta-function, non-trivial zeros, critical line, L-Dirichlet function.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.