Одномерное течение жидкости сквозь плоский пористый слой при конечных деформациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

где

W(N) = Y^ Л(ш}/(m)/(d)p(mda).

md^N

Отсюда находим W (N) = P (N) + V, где

P(N) = £ lnp/(p)/(d)p(pda), |V| < £ £ lnpf (pr)| £ |/(d)|.

pd^N r^2 pr^N d^Np-r

Пользуясь неравенством Коши, получим

|V| < AN |/(pr)|p-r lnp < N.

P,r>2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dabousst H., Delange H. Quelques propriétés des fonctions multiplicatives de module au plus égal a 1 // C.r. Acad. sei. Paris. Ser. A. 1974. 278. 657-660.

2. Dabousst H. Fonctions multiplicatives presque périodiques B. D'après un travail commun avec Hubert Delange // Journées Arithmétique de Bordeaux (Conf. Univ. Bordeaux, 1974). Astérisque. 1975. 24—25. 321-324.

3. Montgomery H.L., Vaughan R.C. Exponential sums with multiplicative coefficients // Invent. math. 1977. 43. 69-82.

Поступила в редакцию 27.06.2014

УДК 539.3

ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПЛОСКИЙ ПОРИСТЫЙ СЛОЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

И. О. Фасхеев1

В статье приводится постановка и численное решение задачи об одномерном поперечном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь плоский деформируемый пористый слой конечной толщины из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора при конечных деформациях.

Ключевые слова: насыщенные пористые среды, деформируемый каркас, жидкая фаза, краевые задачи, интерактивные взаимодействия, конечные деформации.

The problem of one-dimensional transversal time-independent flow of compressible fluid through the plane deformable porous layer with finite thickness made of an incompressible material in the case of finite strains with influence of Darcy's interaction and frontal head pressure forces is formulated and numerically solved.

Key words: saturated porous media, deformable skeleton, liquid phase, boundary value problems, internal interactions, finite strains.

В развитие классических работ по механике пористых насыщенных сред [1-4] в работе [5] предложена модель с интерактивными силами, учитывающая материальные межфазные взаимодействия [6] и различные режимы движения жидкости и каркаса [7].

В предыдущей работе автора [8] рассмотрена задача об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора в случае малых деформаций каркаса. В настоящей работе рассматривается аналогичная задача в случае конечных деформаций твердого каркаса.

В работе [8] ввиду малости перемещений точек каркаса пористость каркаса m, а также коэффициенты, характеризующие интерактивные силы типа Дарси и фронтального напора (do и со соответственно), принимались постоянными.

В случае конечных деформаций будем считать пористость функцией от координат, а коэффициенты интерактивных сил — функциями пористости. В качестве функций d(m) и c(m), характеризующих

1 Фасхеев Игорь Олегович — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

интерактивные силы типа Дарси и типа фронтального напора в данном случае, возьмем соответственно следующие функции:

то 1 - т то 1 - т а(т) = ао — --, с(т) = со

т 1 - то о т 1 - то

удовлетворяющие естественным условиям:

т = т0 d = d0, т — 1 ^ d — 0, т — 0 d — то;

т = т0 с = с0, т — 1 ^ с — 0, т — 0 с — то.

Коэффициенты dо и со зависят от проницаемости и пористости каркаса в недеформированном состоянии и от свойств жидкости [2].

Отдельно подчеркнем, что данные функции являются модельными и, вообще говоря, для их точного определения следует решать задачу о деформации скелета на микроуровне и о течении вязкой жидкости внутри пор.

Рассмотрим задачу об одномерном стационарном поперечном течении сжимаемой жидкости сквозь плоский деформируемый пористый слой конечной толщины Ь из несжимаемого материала (сечение слоя на выходе жидкости закреплено во избежание перемещений) в отсутствие внешних массовых сил и при конечных деформациях слоя.

Для описания движения воспользуемся моделью [7]. Будем считать, что эффективные вязкости [5] жидкой фазы отсутствуют ^ = 0 № = 0). Связь между истинным давлением в порах рр и истинной плотностью жидкости рт примем линейной. За отсчетную конфигурацию каркаса примем конфигурацию, которую занимает конгломерат при нулевой скорости жидкости. Ось координат х направим по течению жидкости.

С учетом этих предположений большинство скалярных уравнений модели [7] выполнится тождественно. Остальные уравнения для рассматриваемого течения жидкости (х — лагранжева координата относительно отсчетной конфигурации) примут следующий вид:

2 \

2 \Д<*х

_ 1 - т0 dx 1 — т '

d(рf V)

' = 5 ж -1 ■ (1)

(2)

dx

0, (3)

^ 1 — то\ , то то 2 п

— Р -- ) +do — V + с0 — ь=0, (4)

dx \ 1 — т ; т т

dSf , то то 2 dv

—--do — У-СО — 1Г = р{У—, (5)

dx т т dx

л (df\-1 dU

Sf = — трр, (7)

Рр = Ро + С{т - Рйпо) • (8)

Неизвестными скалярными функциями являются: компонента вектора положения точек каркаса в актуальной конфигурации Д компонента эффективного тензора деформаций Грина е = £ц для каркаса, пористость т, скорость жидкости V, истинное давление в порах рр, эффективная плотность жидкости Pf = т • рт, компонента эффективного тензора напряжений Коши Sf = Sf ц для жидкости, компонента эффективного тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода Р = Рц для каркаса.

Коэффициенты сил Дарси dо и фронтального напора со, пористость каркаса при нулевой скорости течения жидкости то, упругий потенции деформаций каркаса и считаются известными.

Таким образом, имеем систему из восьми скалярных уравнений для восьми неизвестных скалярных функций.

Примем следующие граничные условия (vinc и p¡nc — известные значения скорости и давления):

f(L) = L, v(0) = ^, P(0) = -(l-m(0))pinc, Pp(0)=Pinc (9)

Первое граничное условие в (9) означает закрепление выходного края, второе задает входное значение скорости; третье и четвертое граничные условия — силовые условия на входном краю каркаса.

В качестве упругого потенциала каркаса U возьмем потенциал для неогукова сжимаемого упругого материала [9]

U(A) = a |A||2 + cJ2 - hln J, J = |det A|, a> 0, c> 0, h> 0,

где A — аффинор деформации, a ||A||2 = tr (ATA) [9].

Выражая уравнения системы (l)-(8) через переменные v и m, приходим к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными v, m, ci:

( ( c1 \ h 2(a + c)(1 — mo A dm

P0 + Cfm--PfmO + z- + -Тл-г,- -j- +

\ vmv / 1 — m0 (1 — m)2 ) dx

CfmCi(1 — m) dv mo , mo 2 n /1Пл

H--5--r + «o — V + Co — v = 0, (10)

mv2 dx m m

(cfmc1 ( ( c1 \\\ dm (cfmc1 \ dv -- p0 ■ - '

mv

/ С1 \\\ йт ттС1 \ то то 2 п

+ Сйп--Рйп0 -Г" + -о--С1 л---^ ~ С° -V =0. (11)

\т" ///ах V V2 /ах т т

Неизвестная константа С1, выражающая расход жидкости, получается из уравнения (3): трт-и = сь Значение расхода определяется из уравнения (8) при помощи второго, третьего и четвертого граничных условий (9).

Для приведения системы (10)—(11) к безразмерному виду возьмем (в качестве параметров обезразме-ривания) следующие постоянные величины: Ь, рШ0Ь\ —.

"тс

Далее приведем соотношения между физическими величинами задачи и их безразмерными аналогами (тильда обозначает безразмерный аналог соответствующей физической величины):

"тс ~ т ~ ~ 2 ~ Р^о ~ , Pfm0 "пс Г

V =-V, х = Ьх, а = РыоУшсС!, С{т = У1псС{т, с0 = —— Со, do =---с1о, Р = РоР-

т0 ь ь

Граничные условия (9) примут вид

/(1) = 1, Г(0) = 1, т(0) = то, рр(0) = Рте (12)

Третье граничное условие в (12) получено из третьего и четвертого граничных условий в (9) и уравнения (6).

Для численного решения системы (10)—(11) (после приведения ее к безразмерному виду) возьмем следующие размерные величины, качественно соответствующие протеканию воды сквозь пористый резиновый каркас:

сьп = 2,55-106 ^; «¡пс = 1-; Ь = 1м; т = 0,2; рГтО = 1000^; р0 = Ю5^; а = с = 1г = 106^|. (13)

с2 с м3 м2 м2

Для каркаса используем значение проницаемости к = 10-10 м2. Для коэффициента силы Дарси и коэффициента силы фронтального напора примем следующие значения: (йо,Со) = (4 • • 105^|).

Расчет проведем в двух случаях — с наличием силы фронтального напора и в ее отсутствие при фиксированном значении коэффициента силы Дарси.

Вязкость воды / при нормальных условиях имеет порядок 10-3 Па • с. Характерный размер пор йр

Гк

найдем по формуле dp = \ — (см. [21).

т

Тогда для числа Рейнольдса 11е = ^^—- получим оценку 11е 1. Согласно таблице влияния ин-

/

терактивных сил [6], при данных значениях числа Рейнольдса основной "силовой" вклад будут вносить

силы типа Дарен и фронтального напора, причем при увеличении числа Рейнольдса влияние силы Дарен будет уменьшаться по сравнению с силой фронтального напора.

Для параметров (13) численно решим систему (10) (11) с граничными условиями (12). Графики основных параметров задачи приведены на рисунке.

На рисунке, а показано, что скорость течения жидкости V на границе проникновения в пористый каркас меньше скорости на выходе.

Согласно рисунку, 5, перемещения точек каркаса й (в силу наличия сопротивлений Дарен и фронтального напора) убывают от входа к выходу и имеют нулевую производную в нуле, что согласуется с граничными условиями и механическим смыслом.

Истинное давление на входе (рисунок, в) выше истинного давления на выходе (в силу направления движения жидкости).

Пористость каркаса на входе (рисунок, г) больше пористости на выходе.

v/v-

1ПС

Графики безразмерных величин при наличии силы фронтального напора (сплошная линия) и ее отсутствии (пунктирная линия): а скорости жидкости V, б — перемещения точек каркаса й, в — истинного давления р,

г — пористости т

Как видно из входных и выходных значений всех величин, учет силы типа фронтального напора существенно влияет на полученные численные решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biot М.А. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl. Phys. 1962. 33. N 4. 1482 1498.

2. Коллинз P. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.

3. Николаевский В.Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

4. Ниглштулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

5. Бровко Г.Л. Модель неоднородной жидкогазонаполнснной среды с деформируемым твердым каркасом // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 5. 45 52.

6. Бровко Г.Л. Принцип материальной независимости от системы отсчета и структуры интерактивных взаимодействий в гетерогенных средах // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мсхан. Информ. 2005. 11, вып. 2. 21 29.

7. Бровко Г.Л. Модели и задачи для наполненных пористых сред // Вести. Моск. ун-та. Матем. Мсхан. 2010. № 6. 33 43.

8. Фасхеев И. О. Одномерное течение жидкости сквозь пористый каркас с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора /'/' Всстн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 6. 62 66.

9. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.

Поступила в редакцию 05.06.2013