CC BY
10при растяжении меньше любого напряжения So, вызывающего пластическую деформацию при в = 0. Вследствие этого кривая 3 для коэффициента ks возрастет от угла в = 0 до в = п/3. В заключение можно сделать следующие выводы:
а) соотношения (3), (6) и (7) представляют собой основной алгоритм методики по определению напряженного состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации при наличии данных о функциях Фт и
б) пластические материалы проявляют тензорную нелинейность, если коэффициент ks = 1 и s* = s при 0 < в < п/3;
в) материалы тензорно-линейны, если ks = 1, а s* = s при любом значении угла в;
г) если коэффициент ks как функция от угла в имеет минимум, то значение угла в*, соответствующее этому минимуму (показанное на рис. 2, а), определяет напряженное состояние с наименьшим сопротивлением пластической деформации;
д) если коэффициент ks как функция от угла в не имеет минимума, то наименьшее сопротивление пластической деформации соответствует напряженному состоянию с наименьшим значением коэффициента ks.
Автор приносит искреннюю благодарность рецензенту за замечания, позволившие точнее сформулировать цель работы и тем самым полнее раскрыть ее содержание.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ягн Ю.И., Митрохин Н.М. О систематическом отклонении от законов пластичности // Докл. АН СССР. 1960. 135, № 4. 796-799.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть первая. Упругопластические деформации. М.: Логос, 2004.
3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948. 168-205.
4. Комков К.Ф. Восстановление закономерности изменения вида деформируемого состояния и сдвиговых характеристик пластических материалов // Вестн. МГТУ им. Баумана. Сер. естеств. науки. 2009. № 2 (33). 81-91.
5. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: ИЛ, 1969.
Поступила в редакцию 23.01.2012
УДК 539.3
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПОРИСТЫЙ КАРКАС С УЧЕТОМ ИНТЕРАКТИВНЫХ СИЛ ТИПА ДАРСИ И ФРОНТАЛЬНОГО НАПОРА
И. О. Фасхеев1
В статье приводятся постановка и численное решение задачи об одномерном стационарном течении сжимаемой жидкости сквозь твердый пористый каркас из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.
Ключевые слова: насыщенные пористые среды, деформируемый каркас, жидкая фаза, краевые задачи, интерактивные взаимодействия.
The problem of one-dimensional time-independent flow of compressible fluid through a solid porous skeleton made of an incompressible material is formulated and numerically solved with consideration of the Darcy and frontal pressure interaction forces.
Key words: saturated porous media, deformable skeleton, fluid phase, boundary value problems, internal interactions.
В развитие классических моделей [1-4] предложена модель [5], учитывающая материальные межфазные взаимодействия [6] и различные режимы движения жидкости и каркаса [7].
1 Фасхеев Игорь Олегович — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fiomsu@mail.ru.
Рассмотрим задачу о стационарном течении сжимаемой жидкости в бесконечной цилиндрической трубе сквозь пористый каркас конечной длины (сечение каркаса на входе жидкости закреплено от перемещений) при отсутствии внешних массовых сил. Введем декартову систему координат с началом в точке проникновения жидкости в каркас, ось х направим в сторону течения жидкости. Будем считать движение одномерным (т.е. все функции зависят только от координаты х).
Для описания движения воспользуемся моделью [5].
Примем ряд упрощений: отсутствие эффективных вязкостей жидкой фазы ^ = 0, ^ = 0); малость перемещений и градиентов перемещений каркаса; пористость т (т = то + (1 — то )ё1уи8, где то — пористость каркаса в ненапряженном состоянии, ив — поле перемещений каркаса) положим постоянной: т = т0.
Величины, относящиеся к жидкой фазе, будем помечать нижним индексом "Р, а величины, характеризующие элементы пористого каркаса, — нижним индексом "в".
Также будем считать, что из интерактивных сил [6] действуют только сила Дарси и сила фронтального напора, взятые в виде [6, 7] = ^^, ^ = со^ | ■ Vf (где ¿о, Со — известные константы, Vf — скорость жидкости) соответственно. Наличие данных интерактивных сил соответствует двучленному закону сопротивления Форхгеймера [2], справедливому для процессов фильтрации как при больших, так и при малых (по сравнению с единицей) числах Рейнольдса. Связь между истинным давлением в порах рр и истинной плотностью жидкости р^ примем линейной.
С учетом этих предположений большинство скалярных уравнений модели [5] выполнится тождественно (0 = 0). Остальные уравнения для рассматриваемого стационарного течения жидкости примут следующий вид:
+ ^ + соУ = 0, (1)
dof 2 ¿V
—--а0У-С0У = тр$ту —, (2)
¿X ¿X
(1{тр{ту) = о ¿х '
(т8 = -(1-т)рр + (Л8 + 2/х8)^, (4)
Of = —трр, (5)
Рр = Ро + — р^о), (6)
где неизвестными функциями являются: компоненты эффективных тензоров напряжений каркаса и жидкости ов = о811, Of = Ощ; скорость жидкости V; перемещение точек каркаса и; истинное давление в порах рр; истинная плотность жидкости р^.
Коэффициенты сил Дарси ¿о и фронтального напора со, эффективные характеристики упругого каркаса Лв, , постоянная пористость т, характеристики связи давления и истинной плотности жидкости ро, Р^о, с^ считаются известными константами.
Таким образом, имеем систему из шести уравнений для шести неизвестных функций.
Примем следующие граничные условия (£ — длина каркаса):
и(0) = 0, у(0) = а8(Ь) = -(1 - т)роиьс, РрЩ = роиЫ. (7)
Первое граничное условие в (7) означает закрепление левого (входного) края каркаса, второе задает значение входной скорости, обратно пропорциональное пористости каркаса ^пс — известная скорость жидкости перед входом в пористый каркас); третье и четвертое задают силовые условия на правом (выходном) краю каркаса (р0^с — давление свободной жидкости на выходе из каркаса).
Выражая уравнения системы (1)—(6) через переменные и и V, приходим к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными и, V, С1:
(С1 <ст \ ^ , 2 п /ол --С1) — - а0У - с0У = 0, (8)
(1 — т)с^т\ ¿V ¿2и
+ (Л8 + 2цв) — +с10у + с0У2 = 0. (9)
mv2 ) ¿х ¿х2
Неизвестная константа ci, выражающая расход жидкости, получается из уравнения (3):
mpfmv = ci.
Для приведения системы (8), (9) к безразмерному виду возьмем (в качестве параметров обезразме-ривания) следующие постоянные величины: L, pfmoL3,
Далее укажем соотношения между физическими величинами задачи и их безразмерными аналогами (тильда обозначает безразмерный аналог соответствующей физической величины):
vinc ~ т - т - ~ 2 ~ pfm0 ~
V = -V, U = Lu, X = Lx, а = Рfm0 VincCi, Cfm = V-mc Cfm, C0 = —¡~ C0,
m L
Pirn = PfmOPfm, ¿0 = Pim0^mC d0, As + 2/Xs = pfm0 vfnc (As + 2/is), '[) = '[)Qf). В терминах безразмерных величин система (8), (9) запишется следующим образом:
me!** _ ёЛ dS _ /¿Л. _ / Д \ ~2 = ^ (10)
v2 mJ dx \m) \m2_
О-Л^Щ M + (As + + (*>+ (■¿ = 0. (11)
v2 J dx ^dx2 ^У \m2y
Граничные условия (7) примут вид
d u
ü(0) = 0, ü(0) = l, —(1) = 0, Pp(l)=Poutc. (12)
Третье граничное условие в (12) получено из третьего и четвертого граничных условий в (7) и уравнения (4).
Чтобы решить систему (10), (11), воспользуемся следующими размерными величинами, качественно соответствующими протеканию воды сквозь песчаниковый ("sandstones") каркас [8]:
6 м2 м 1
cfm = 2,55 • 10° -5-; vinc = 0,05-; L = 10 м; m = —,
с2 с 20 (13)
кг о Н с Н
pfm0 = 1000 -3 ; As + 2¡is = 12 • 109 -2 ; p0 = Ю5
м3 м2 м2
Для коэффициентов интерактивных сил возьмем последовательно 6 пар значений:
(со, do) = {(100; 1), (100; 100), (100; 1000), (0; 1), (0; 100), (0; 1000)}.
Первые три пары соответствуют наличию обеих интерактивных сил, а вторые три — отсутствию интерактивной силы типа фронтального напора.
Вязкость воды /л при нормальных условиях имеет порядок 10_3 Па • с. За характерный размер пор d , lam
возьмем величину а = * -.
do
Тогда для числа Рейнольдса Re = ^^— получим оценку Re ~ 10-103. Согласно таблице влияния
интерактивных сил [6], при данных значениях числа Рейнольдса основной "силовой" вклад будут вносить силы типа Дарси и фронтального напора, причем при увеличении числа Рейнольдса влияние силы Дарси будет уменьшаться по сравнению с силой фронтального напора.
Для параметров (13) численно решим систему (10), (11) с граничными условиями (12). При этом в силу наличия неизвестного параметра ci, не находящегося явно из уравнений и граничных условий, будем поступать следующим образом (изменив исходную постановку): зададим неизвестную константу Ci = 1,0015, тогда выходное давление в граничном условии (7) определится из решения системы (10), (11) (при помощи уравнений (6), (7)).
Графики основных величин (для шести пар значений (Со, с/о)): скорости жидкости V, перемещения точек каркаса и, истинного давления в порах рр, истинного значения плотности жидкости р^ в зависимости от х — представлены на рисунке.
На рисунке, а показано, что скорость течения жидкости на границе проникновения в пористый каркас меньше скорости на выходе (входная скорость г>т = 1 а выходная г'ои1 = 1,00117; 1,00082; 1,00078 ^ при наличии силы фронтального напора; г'ои1 = 1,0004; 1,00004; 1,0000004 ^ при отсутствии).
Графики при (с0, <Со) = {(100; 1), (100; 100), (100; 1000), (0; 1), (0; 100), (0; 1000)} безразмерных величин: а — скорости жидкости V, б — перемещения точек каркаса и, в — истинного давления р, г — истинной
плотности жидкости р{т
На рисунке, б показано, что перемещения точек каркаса (в силу наличия сопротивлений Дарси и фронтального напора) возрастают от входа к выходу (перемещения входного края нулевые, а выходного
1-7
м
и0^ — 0,0016; 0,00116; 0,00111 м при наличии силы фронтального напора; и0^ — 5■10-4; 5■10-5; 5■10 при отсутствии) и имеют нулевую производную по х при х = 1 (что соответствует третьему граничному условию в (12)).
Истинное давление (рисунок, в) на входе выше истинного давления на выходе (входное давление Рт = 39,25 атм, а выходное = 9,22; 18,23; 19,22 атм при наличии силы фронтального напора; = 29,24; 38,25; 39,25 атм при отсутствии).
Истинная плотность жидкости (рисунок, г) на входе выше истинной плотности на выходе (входная плотность Рйп;п = 1001,5 а выходная плотность Рйпоц1 = 1000,32; 1000,67; 1000,71 ^ при наличии силы фронтального напора; Рйпоц1 = 1001,11; 1001,46; 1001,4996 при отсутствии).
Как видно из входных и выходных значений всех величин, увеличение коэффициента Дарси вызывает увеличение перепада величины от входа к выходу, а учет силы типа фронтального напора существенно влияет на полученные численные решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media //J. Appl. Phys. 1962. 33, N 4. 1482-1498.
2. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.
3. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.
4. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
5. Бровко Г.Л. Модель неоднородной жидкогазонаполненной среды с деформируемым твердым каркасом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 5. 45-52.
6. Бровко Г.Л. Принцип материальной независимости от системы отсчета и структуры интерактивных взаимодействий в гетерогенных средах // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2005. 11, вып. 2: Механ. 21-29.
7. Бровко Г.Л. Модели и задачи для наполненных пористых сред // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 33-43.
8. Coussy O. Poromechanics. Chichester, West Sussex: John Wiley and Sons Ltd, 2004.
Поступила в редакцию 22.02.2012
