CC BY
23Механика
УДК 539.3:532.685
МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ ДЛЯ НАПОЛНЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД
Г. Л. Бровко1
Предлагается разработка многофазной модели жидкогазонаполненной пористой среды, учитывающей конечные деформации каркаса, произвольные течения жидкостей и газа, а также фазовые массообмены между каркасом и жидкостями; приводятся основные соотношения краевых задач в случаях произвольных и малых движений. Подробно рассматриваются определяющие соотношения свойств сопротивления каркаса деформированию (напряжения каркаса) и взаимосопротивления компонент (интерактивные взаимодействия). Обсуждаются возможности интерактивных воздействий на каркас со стороны протекающей сквозь него жидкости (газа) в виде сил лобового сопротивления, подъемных (смещающих) сил, а также опрокидывающих и вращающих (винтовых) моментов.
Ключевые слова: наполненные пористые среды, деформируемый каркас, жидкая и газообразная фазы, краевые задачи, определяющие соотношения каркаса, интерактивные взаимодействия.
The model of multi-phase fluid-gas-saturated porous media accounting finite deformations of a skeleton, arbitrary flows of fluids and gas, and inter-phase mass transitions is elaborated, the main relations of the boundary value problems in cases of small and arbitrary motions are formulated. Constitutive relations of a skeleton properties (skeleton stresses) and of mutual resistances among components (inner interactions) are considered in detail. Possibilities of inner actions from fluid (gas) flow on skeleton in the forms of knock-on forces, lifting (shifting) forces as well as overturning and rotational (screw) moments are discussed.
Key words: saturated porous media, deformable skeleton, liquid and gas phases, boundary value problems, constitutive relations for skeleton, internal interactions.
На основании общих и специальных подходов к описанию сред сложной структуры, в том числе методов осреднения и концепции взаимопроникающих континуумов для многокомпонентных сред [1—18], в работе [19] для жидкогазонаполненного пористого конгломерата, составленного из деформируемого твердого каркаса, нескольких жидких и газообразной фаз, построен вариант модели гетерогенной среды, описывающей конечные деформации каркаса, произвольные течения жидких и газообразной фаз и учитывающей частичные фазовые массообмены между твердой и жидкими компонентами (связывание частиц жидкости на каркасе и их освобождение), в частности характерные для набухающих и пучинистых грунтов [20, 21]. С использованием принципа материальной независимости от системы отсчета [22, 23] и теории размерностей [24] в развитие подхода работы [25] в [26-28] построены общие приведенные формы интерактивных взаимодействий в гетерогенных средах, дана классификация видов силовых взаимодействий, для которых получены количественные оценки; в [28, 29] предложены новые модели двухфазных пористых сред, для которых сформулированы основные соотношения краевых задач; в [30] проведено сопоставление с соотношениями известных моделей.
В настоящей работе с использованием результатов, полученных в [26-30], предлагается разработка и конкретизация модели [19]. Для простоты рассмотрение проводится на примере трехфазных наполненных пористых сред (твердый каркас-жидкость-газ) без учета фазовых переходов (связывания и освобождения жидкости). Приводятся основные соотношения краевых задач в случае произвольных движений каркаса и подвижных (жидкой и газообразной) фаз. Подробно изучаются и формулируются упрощения соотношений, допускаемые в классическом случае малых деформаций каркаса и произвольных движений жидких фаз, а также в случае малых движений всех фаз. Особое внимание уделяется определяющим соотношениям, описывающим свойства сопротивления деформированию наполненного каркаса (напряжения каркаса) и свойства сопротивления взаимопроникновению компонент в наполненном конгломерате (интерактивные взаимодействия). В общем случае произвольных движений всех фаз предлагается структура определяющего соотношения каркаса наполненной среды, на основе которой строится конкретная
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glb@mech.math.msu.su.
форма определяющего соотношения изотропного линейно-упругого каркаса в случае малых деформаций каркаса. Подробно изучается структура простых интерактивных взаимодействий (интерактивных сил) и выводится конкретная форма их определяющих соотношений. Обсуждаются виды составных (силовых и моментных) интерактивных взаимодействий, выявляются принципиальные возможности возникновения интерактивных взаимодействий новых типов, не рассматривавшихся ранее в научной литературе по наполненным пористым средам, а именно воздействий на каркас со стороны протекающей сквозь него жидкости (газа) в виде нового типа сил лобового сопротивления, в виде подъемных (смещающих) сил, а также опрокидывающих и вращающих (винтовых) моментов.
1. Основные соотношения
1.1. Соотношения краевой задачи в общем случае трехфазной жидкогазонаполненной пористой среды. Рассмотрим жидкогазонаполненный пористый конгломерат, представляющий собой трехфазную среду — деформируемый твердый пористый каркас из несжимаемого материала, наполненный несжимаемой однородной жидкостью и сжимаемым баротропным газом (вакуумные пустоты будем считать предельно разреженной газообразной фазой). Пользуясь гипотезой взаимопроникающих континуумов, припишем фазам соответствующие эффективные свойства классического типа. Допуская конечные деформации, для движения каркаса примем лагранжев способ описания с независимыми переменными х, а для движения жидкой и газообразной фаз — эйлеров способ с независимыми переменными х, Ь (£ € [¿о,^1 ], х £ Оо, х £ О, где Оо и О — области отсчетной и актуальной конфигураций каркаса).
Согласно модели [19], состояние конгломерата в любой момент движения характеризуют следующие функции (искомые функции краевой задачи): Уп, Ук, Уж, Уг — удельные объемы порового пространства, каркаса, жидкой и газообразной фаз; рг.ср, рп — средние в макрообъеме истинная плотность массы газовой среды и давление в порах; £ — вектор положения точек каркаса в актуальной конфигурации (х = £(х, £) — лагранжево описание движения); А — аффинор деформаций каркаса; Е — тензор деформаций Грина для каркаса (эффективные деформации фазы каркаса); Бк — эффективный тензор напряжений Коши для фазы каркаса; vк, vж, vг — векторы скоростей перемещений точек каркаса, жидкости и газа (осредненные в макрообъеме) — всего 39 "скалярных" величин.
Движение конгломерата регулируется [19] уравнениями для удельных объемов
Уп + Ук = 1, Уп = Уж + Уг', (1)
уравнениями кинематики каркаса (I — единичный тензор)
= А = £ = ^ (АТА — I) (х = {(х, ¿)); (2)
уравнениями неразрывности для фазы каркаса (уко — удельный объем каркаса в отсчетной конфигурации)
= = </ = |с1е1А|), (3)
1 + и
для жидкой и газообразной фаз соответственно
йУж
(И
+ гж(Иу Vж = 0, (4)
(УгРг.ср) + Уг Рг.ср ^у Vг = 0; (5)
(И
уравнениями движения жидкой, газообразной фаз и каркаса соответственно
сНу + рж%ж + £ж = Рж , (6)
( V
сНу + рг%г + £г = рг —ф, (7)
сНу + ркёк + = Рк (8)
где §ж, §г, §к — заданные внешние массовые силы, а £ж, £г, ^ — интерактивные (со стороны других фаз) объемные силы воздействия на жидкость, газ и каркас, и, наконец, определяющими соотношениями баротропного газа (с известной функцией ргаз)
Рп = Ргаз (Рг.ср) (9)
и фазы каркаса (с известным отображением р)
Бк = Р(х,*)Р ([£(х,т)]^г^;Рп, х) Рх(х, ¿) (10)
(Р — ортогональный тензор полярного разложения аффинора деформации каркаса А).
Здесь истинные плотности жидкости рж.ср и материала каркаса рм.к считаются известными константами, а эффективные плотности фазы каркаса, жидкой и газообразной фаз определяются равенствами рк = гкрм.к, рж = гжрж.ср, рг = ггрг.ср. В соотношении (9) использована гипотеза совпадения средних по макрообъему истинных значений давления жидкости и газа в порах. Через Бж, Бг, Бк обозначены эффективные напряжения жидкой и газообразной фаз и фазы каркаса. Определяющие соотношения для жидкой и газообразной фаз здесь приняты в виде
Бж = -Рж1 + Аж^ж + 2ржУж, Бг = -Рг1 + Аг + 2^г Уг, (11)
где Аж, Аг, — эффективные коэффициенты вязкости жидкой и газообразной фаз (часто полагаются константами); рж = гжрп, рг = ггрп — эффективные давления жидкой и газообразной фаз; Уж = 8уш Vxvж, Уг = 8уш Vxvг — эффективные тензоры скоростей деформаций жидкой и газообразной фаз, а $ж = ^Уж = vж, = ^Уг = vг — эффективные скорости относительного изменения объема этих фаз2. В целях сокращения количества искомых функций величины Бж, Бг исключаются из числа неизвестных и используются в уравнениях (6), (7) лишь как обозначения вида (11).
Таким образом, соотношения (1)-(10) с учетом (11) составляют систему 39 "скалярных" уравнений относительно указанных выше 39 неизвестных функций. Присоединение начальных и граничных условий замыкает постановку краевой задачи для трехфазной модели пористой среды вида [19] в общем случае наличия всех трех фаз. При этом в областях конгломерата с наличием предельно разреженной газообразной фазы (вакуумных пустот), где рг.ср = 0, гг = 0, уравнение (5) удовлетворяется тождественно; положив vг = 0, а также £г = 0, получаем тождественное выполнение уравнения (7); уравнением (9) определяется значение давления в порах рп в предельно разреженной газовой среде (для материальной функции ргаз можно считать, что ргаз(0) = 0).
Напротив, в областях конгломерата, где газообразная фаза отсутствует (гг = 0), функции гг, рг.ср, vг (5 "скалярных" функций) исключаются из числа неизвестных, а уравнения (5), (7), (9) (5 "скалярных" уравнений) исключаются из системы, давление в порах рп не задается определяющими соотношениями (находится при решении всей краевой задачи, что типично для несжимаемых сред) и система уравнений в этих областях сводится к системе 34 "скалярных" уравнений относительно 34 "скалярных" функций.
Подчеркнем, что для конкретных трехфазных пористых сред (с конкретной структурой каркаса и геометрией порового пространства, конкретными свойствами жидкости и газа, в том числе с учетом смачиваемости каркаса и капиллярных эффектов) постановка задачи требует предварительного (экспериментального) установления конкретных эффективных механических характеристик конгломерата: эффективных коэффициентов вязкости жидкой Аж, и газообразной Аг, фаз в (11), вида функции ргаз в (9), вида отображения р в определяющем соотношении (10) фазы каркаса (в условиях его наполнения жидкостью и газом), а также вида (определяющих соотношений) интерактивных сил £ж, £г, ^ взаимодействия фаз в (6)—(8).
Обратим внимание также на то важное обстоятельство, что в общем случае конечных деформаций конгломерата (каркаса) возникают типичные для задач механики сплошной среды с конечными деформациями (например, для задач нелинейной теории упругости) проблемы не только при построении процедуры их решения, но и при их изначальной постановке: описание движения жидкой и газообразной фаз проводится эйлеровым способом в области актуальной конфигурации каркаса О, которая изменяется со временем и наперед неизвестна, внешние массовые силы §ж, §г, §к, равно как и граничные условия для конгломерата (его фаз), должны быть априорно заданы в точках актуальной конфигурации каркаса и ее
2 Заметим, что, несмотря на несжимаемость материала каркаса и жидкой среды (рм.к = const, рж.ср = const), их эффективные плотности рк, рж, входящие в уравнения (6), (8), не являются постоянными и соответственно эффективная объемная деформация фазы каркаса вк и эффективная скорость объемной деформации жидкой фазы фигурирующие в уравнениях (3), (4) и первом уравнении (11), вообще говоря, отличны от нуля.
границы, что в общем случае затруднительно. Выход из этого положения в общем случае представляется возможным благодаря использованию инкрементального подхода к решению задачи и попутному (на каждом шаге) уточнению ее постановки. Однако в определенных конкретных случаях указанные затруднения можно обойти подобно тому, как это делается в задачах нелинейной теории упругости [31].
Отметим, наконец, что соответствующими упрощениями приведенные выше соотношения краевой задачи для трехфазной пористой среды сводятся к соотношениям краевых задач для двухфазных пористых сред (каркас-жидкость или каркас-газ) [28, 29].
1.2. Соотношения краевой задачи при малых деформациях каркаса и произвольных режимах протекания жидкости и газа. В классическом случае малых деформаций каркаса, когда малы деформации |Е| ^ А ^ 1, повороты — 1| ^ А ^ 1 и перемещения ик = х — х, эйлеровы х и лагран-жевы х пространственные переменные (и производные по ним), а также области О и Оо актуальной и отсчетной конфигураций конгломерата соответственно могут быть отождествлены, положение точек каркаса в деформированной конфигурации может быть описано вектором перемещений ик(х, £) (вместо вектора положения х = £(х,£)), тензор деформаций Грина Е может быть заменен на линейный тензор деформаций Коши е, а вектор скорости точек каркаса vк = дик/д£ и аффинор А могут быть исключены из рассмотрения (из числа искомых функций).
В этом случае уравнения (2) кинематики каркаса сводятся к соотношению Коши
е = 8уш Уик, (12)
уравнение (3) неразрывности фазы каркаса упрощается:
Ук = Уко(1 — 0) (0 = ^ е = ё1у ик), (13)
уравнение движения каркаса (8) принимает вид
д2 ик
сНуБк + РкЕк + ^ = Рк (14)
а определяющее соотношение (10) фазы каркаса — вид
Бк = Т ([е(х,т)]40^^;Рп, х) . (15)
Тем самым уравнения (1), (12), (13), (4)-(7), (14), (9), (15) (с учетом (11)) составляют основную систему соотношений краевой задачи трехфазной пористой среды в случае классически малых деформаций каркаса. Это система 27 "скалярных" уравнений относительно искомых функций (от независимых переменных х, £) Уп, Ук, Уж, Уг, рг.ср, рп, ик, е, Бк, vж, vг (27 "скалярных" функций)3.
В силу малых деформаций каркаса выполнены приближенные равенства Ук ~ Уко, рк ~ Укорм.к, и потому, во-первых, первое равенство (1) позволяет считать величины удельных объемов пор Уп и каркаса Ук постоянными во времени (функциями только от х) и равными их (известным) значениям Упо и Уко в неде-формированной (отсчетной) конфигурации (а тем самым исключить их из числа неизвестных функций), во-вторых, в уравнении (14) величину рк также можно принять постоянной во времени (функцией лишь от х), равной величине эффективной плотности массы каркаса в недеформированной (отсчетной) конфигурации: рко = Укорм.к. Однако в силу произвольности режимов протекания жидкости и газа подобная замена, вообще говоря, недопустима для величин рж и рг в уравнениях (6) и (7).
Очевидно, что классический случай малых деформаций каркаса исключает отмеченные в п. 1.1 трудности постановки и решения краевой задачи.
1.3. Соотношения краевой задачи при малых деформациях каркаса и малых движениях жидкости и газа. В случае малых (в классическом смысле) деформаций всех трех фаз их движение может быть описано лагранжевым способом с векторами перемещений фаз ик, иж, иг (как функциями от х, £), тензоры дисторсий перемещений Уик, Уиж, Уиг имеют порядок малости А ^ 1 и сами перемещения малы.
Тогда уравнения неразрывности жидкой (4) и газообразной (5) фаз принимают аналогично (13) лагранжеву форму
Уж = Ужо (1 — 0ж) (0ж = й1у иж), (16)
3 Заметим, что в этих уравнениях в силу отождествления переменных х и х все дифференциальные операторы по пространственной переменной понимаются как операторы по х. При этом, однако, в уравнениях для жидкой и газообразной фаз переменная х продолжает играть роль эйлеровой переменной (вместо х) и полные производные по времени исчисляются в эйлеровом смысле (с конвективными членами).
ггрг.ср = ггорг.сро(1 - (г) ((г = иг), (17)
а уравнения движения (6), (7) этих фаз переписываются аналогично (14) в виде
<92 иж
сНу Бж + р^ж + £ж = рж (18)
д2 иг
сНу8г + + £г = Рт-д^г- (19)
Уравнения (1), (2), (13), (16)-(19), (14), (9), (15) (с учетом (11)) составляют основную систему соотношений краевой задачи трехфазной пористой среды в случае малых деформаций всех трех фаз — каркаса, жидкости и газа. Это система 27 "скалярных" уравнений относительно искомых функций (от независимых переменных х, ¿) гп, гк, гж, гг, рг.ср, рп, ик, е, Бк, иж, иг (27 "скалярных" функций). Она допускает (подобно случаю п. 1.2) следующие приближенные упрощения.
Малость дисторсий перемещений Vuж, Vuг обеспечивает выполнение приближенных4 равенств для эффективных относительных объемных деформаций (ж, (г жидкой и газообразной фаз: (ж = $ж, вг = $г, а также для эффективных тензоров деформаций еж = эуш Vuж, ег = 8уш Vuг этих фаз: еж = Уж, ег = Уг, что приводит определяющие соотношения (11) жидкой и газообразной фаз к виду
Бж = -Рж1 + Аж^^ж + 2^жё ж, Бг = -Рг1 + Аг (9г + 2^,ёг. (20)
Малость деформаций дает в силу (16), (17) приближенные равенства гж ~ гжо, гг рг.ср ^ гго рг.сро, позволяющие в уравнениях (18), (19) заменить величины рж, рг их значениями ржо = гжоржср, рго = ггорг.сро в отсчетной конфигурации — известными функциями лишь от пространственной переменной х (подобно замене рк на рко в уравнении (14)), а в уравнениях (20) заменить величины рж = гжрп, рг = ггрп на рж = гжорп, рг = ггорп с известными функциями гжо, гго от х. При этом, конечно, предполагается, что соотношения (1) выполнены и для отсчетной конфигурации:
гпо + гко = 1, гпо = гжо + гго- (21)
При такой замене (с выполнением (21)) подсистема, составленная из уравнений движения фаз (18), (19) (с учетом (20)) и (14), а также определяющих соотношений газа (9) и каркаса (15) (всего 23 "скалярных" уравнения), отщепляется и служит независимой системой соотношений для отыскания неизвестных функций рг.ср, рп, ик, е, Бк, иж, иг (всего 23 "скалярные" функции).
Более того, подстановка в уравнения движения каркаса (14) выражений (12), (15) тензоров деформаций е и напряжений Бк фазы каркаса через вектор перемещений ик сокращает число "скалярных" уравнений и неизвестных функций еще на 12 и получаемая таким образом независимая подсистема уравнений (18), (19) (с учетом (20)), (14) (с учетом (12), (15) как обозначений) и (9) содержит 11 "скалярных" уравнений относительно искомых функций рг.ср, рп, ик, иж, иг (11 "скалярных" функций).
Система соотношений краевой задачи для трехфазной пористой среды в рассматриваемом случае малых деформаций всех фаз также может быть соответствующими упрощениями сведена к системе соотношений краевой задачи для двухфазной пористой среды, допускающей сравнение с известными моделями двухфазных сред, в том числе с классической моделью Био [14], проведенное в работе [30] и выявившее смысл "перекрестных" констант модели Био.
2. Определяющие соотношения
Вид функции ргаз в (9), характеризующей баротропию газа, определяется его физической (термомеханической) природой. В ряде случаев эта функция может быть задана как линейная: рг(рг.ср) = Сгрг.ср. Эффективные коэффициенты вязкости Аж, Аг, в (11) зависят, вообще говоря, от натуральных свойств вязкости жидкости и газа, их удельных объемов, строения пор, температуры и скорости протекания через каркас. В изотермических процессах при малых деформациях каркаса в определенном диапазоне величин удельных объемов и скоростей протекания сквозь каркас эти коэффициенты могут быть приняты зависящими только от (переменной по телу конгломерата) пористости каркаса, а при однородной пористости — постоянными.
4 С абсолютной погрешностью не хуже Д • Дж и Д • Дг соответственно, где Дж = шах{|УшУж|, |Ухйж|} и Дг = шах{|УшУг|, |Ухйг|}.
Рассмотрим здесь определяющие соотношения каркаса (10) ((15) при малых деформациях) и интерактивных взаимодействий фаз друг с другом.
2.1. Определяющие соотношения каркаса.
2.1.1. Общий случай. Материал каркаса будем считать твердым, деформируемым, однородным, изотропным и несжимаемым. Поры каркаса будем считать сообщающимися (связными) и открытыми, т.е. пористое пространство — связным и связанным с окружающим пространством.
Предположим также, что присутствие тех или иных подвижных фаз (жидкостей, газов) в порах каркаса не влияет на механические свойства его материала, а влияет на эффективные напряжения в каркасе только через создаваемое ими давление в порах рп. Тем самым проводимые ниже рассмотрения одинаково применимы к каркасам, заполненным произвольным количеством любых жидкостей (газов), т.е. к многофазным жидкогазонаполненным пористым средам.
Учитывая однородность материала каркаса, предположим, что тело каркаса в "сухом" состоянии (при рп = 0) обладает естественной конфигурацией (с отсутствием напряжений). Примем эту конфигурацию за отсчетную. Тогда при отсутствии деформаций (Е(х, т) = 0) относительно этой конфигурации (и отсутствии давления в порах), согласно (10), имеем
Т ([0]40 ^ ^ ;0, х) = 0. (22)
Предположим далее, что отображение Т линейно по рп: Т ([Е(х, т)]
*0<т;рп(х,£),х) = Тп.к ([Е(х, т)\г0^т
; х) Рп(х, £) + Тс.к ([Е(х, т)]^^; х) , (23)
и в новом выражении тензора напряжений (10) Бк(х, £) = Бп.к(х, £) + Бс.к(х, £)
Бп.к(х,£) = д(х,£) ■ Тп.к([Е(х,т)]40^^; х) • РТ(х,£) Рп(х,£), (24)
Бс.к(х, £) = д(х, £) ■ Тс.к ([Е(х, т)]40<т^; х) ■ РТ(х, £)
назовем соответствующие слагаемые напряжениями от порового давления и напряжениями сухого каркаса.
Условие (22) в применении к (23) немедленно дает
Тс.к ([0]40^^; х) = 0, (25)
т.е. напряжения сухого каркаса при отсутствии деформаций равны нулю.
Погрузим мысленно макрочастицу каркаса целиком в жидкую (газообразную или смешанную жид-когазообразную) среду с однородным, произвольно меняющимся во времени давлением. Тогда вся поверхность макрочастицы (пористая и наружная) будет омываться жидкостью и испытывать во всех точках это однородное давление, равное давлению в порах рп. В силу однородности и изотропии материал макрочастицы каркаса во всех точках получает истинные напряжения —рп1, а из-за несжимаемости материала деформации отсутствуют: Е = 0, вследствие чего, в частности, удельный объем фазы каркаса Ук остается постоянным во времени (совпадает с Уко), а эффективный тензор напряжений равен —Укорп1. Тем самым, согласно (23), (24), с учетом (25) получаем
Тп.к ([0]40 ^ ^ ; х) =—Уко (х)1. (26)
При отсутствии давления в порах соотношение (10) сводится в силу (23) и первого равенства (24) ко второму равенству (24), позволяющему в принципе полностью определить отображение Тс.к из экспериментов на деформацию сухого каркаса. В то же время исследование свойств отображения Тп.к в общем случае представляется затруднительным. Подчеркнем при этом, что, несмотря на однородность, изотропию и несжимаемость материала каркаса, эффективные свойства фазы каркаса, выраженные отображением Т в соотношении (10) (в том числе отображениями Тп.к и Тс.к в принятом здесь виде (24)), по причине сложной геометрии каркаса и неоднородности порового пространства не являются, вообще говоря, однородными, изотропными и несжимаемыми.
2.1.2. Случай малых деформаций изотропного линейно-упругого каркаса. Ограничимся случаем малых деформаций каркаса (пп. 1.2, 1.3) и рассмотрим определяющие соотношения эффективных свойств каркаса (15), предполагая их линейно-упругими, изотропными (материал каркаса по-прежнему однороден, изотропен и несжимаем).
Все соотношения п. 2.1 сохраняются, лишь равенства (24) упрощаются:
Бп.к(х, *) = рп.к (е(х, *); х) Рп(х, ¿), Бс.к(х, ¿) = Рс.к (е(х, *); х) . (27)
Далее для краткости зависимость от аргументов (х, ¿) в записях отмечать не будем.
Линейность и изотропия отображений рп.к и рс.к в (27) придают им известный вид [1, 2, 4, 31]:
рп.к (е) = (с( + + ее, Рс.к (е) = (с'( + + е'е (28)
с некоторыми константами с, е, с', , е'.
Как отмечено в п. 2.1.1, константы с', е' полностью определяются из экспериментов с сухим каркасом, причем в силу "начального" условия (25) имеем в! = 0 и, записывая с', в! как классические константы Ламе с' = А, е' = 2^, для напряжений сухого каркаса получаем определяющее соотношение классического вида [1, 2, 4, 31]
Бс.к = А(1 + 2^е. (29)
Далее, "начальное" условие (26) для первого равенства (28) дает
^ = -гко- (30)
Для определения оставшихся констант с и е проведем следующий мысленный эксперимент с макрочастицей пористой среды (в окрестности точки х). Произведем кинематическое нагружение макрочастицы сухого каркаса до какого-либо (произвольного) значения тензора деформаций е = е* и зафиксируем это значение; вместе с ним получит свое фиксированное значение удельный объем каркаса: гк = гк*. При фиксированных деформациях наложим на всю поверхность частицы (включая ее поровую и граничную поверхности) дополнительное всестороннее истинное давление, равное давлению в порах рп; это соответствует наложению на макрочастицу всестороннего эффективного дополнительного напряжения Бп.к = — гк*рп1 (напряжения сухого каркаса Бс.к остаются постоянными в силу постоянства деформаций е*). Тогда из (28), (30) имеем
(с(* — гко)1 + ее* = -гк*Рп1- (31)
Полагая в (31) тензор е* произвольным (ненулевым) девиатором, получаем е = 0, и тогда из (31) с учетом (13) имеем с = гко. Тем самым
е = 0, с = гко - (32)
Таким образом, в силу (27), (28), (30), (32) с учетом (13) определяющее соотношение для тензора напряжений от порового давления примет вид
Бп.к = —гкРп1- (33)
В соответствии с (24) сложение формул (29), (33) приводит к общему виду определяющего соотношения линейно-упругих, изотропных, эффективных свойств фазы каркаса в трехфазной среде при малых деформациях каркаса:
Бк = -гкРп1 + А(1 + 2^е. (34)
Соотношение (34) используется в моделях двухфазных наполненных пористых сред [28, 29].
2.2. Определяющие соотношения интерактивных взаимодействий.
2.2.1. Интерактивные силы. Для объемных интерактивных сил £ж, £г, £к, фигурирующих в уравнениях (6)—(8) (в уравнениях (14), (18), (19)), предположим наличие у них статических (действующих в статике и в движении) и динамических (действующих только в движении) составляющих:
£к.стат + £к.дин ^ж ^ж.стат + ^ж.дин ^г ^г.стат + ^г.дин- (35)
Учитывая, что в статике взаимодействие фаз регулируется лишь величиной давления в порах рп и их удельными объемами, примем (после несложных геометрических расчетов) следующие выражения для статических составляющих:
^к.стат = Рп grad гк, ^ж.стат = Рп grad гж, ^.стат = Рп grad гг, (36)
из которых следует, что статические составляющие порождаются только неоднородностью удельных объемов пор (каркаса), а также жидкой и газовой компонент в порах.
Далее будем рассматривать лишь динамические составляющие £к.дин, £ж.дин, £г.дин и для сокращения записи индекс "дин" использовать не будем.
С учетом попарного взаимодействия фаз трехфазной среды динамические составляющие £ж, £г, £к объемных интерактивных сил можно представить в виде
£к £к——ж + £к——г, £ж £к——ж + £ж——^ £г £к——г £ж——г, (37)
где через £к—ж, £к—г, £ж—г обозначены динамические составляющие сил попарного воздействия жидкости на каркас, газа на каркас и газа на жидкость.
Предполагая для этих составляющих зависимость от векторов скоростей vк, vж, vг и ускорений 'к, 'ж, 'г движения фаз в виде
£к——ж £к——ж(vк, Vж, 'к, 'ж), £к——г £к——г ^к, Vг, 'к, 'г), £ж—г £ж—г(vж, Vг, 'ж, 'г), (38)
применяя подход работы [25], основанный на принципе материальной независимости от системы отсчета [22], в развитие результатов работ [27-29] получаем для динамических интерактивных сил (38) общие приведенные формы определяющих соотношений
£к——ж /к——ж^ж.отн.к ^ж.отн.к) vж.оТН.к,
£к——г Ук-—г(Уг.отн.к,^г.отн.к) V0.отн.к, (39)
£ж——г Уж——г(Уг.отн.ж, ^г.отн.ж) Vо.отн.ж,
где Уж.отн.к, Уг.отн.к, Уг.отн.ж и vЖ.отн.к, v0.отн.к, v0.отн.ж — модули и направляющие единичные векторы от-
носительных скоростей движения соответствующих фаз, а -шж.отн.к = Уж.отн.к, ^г.отн.к = Уг.отн.к, "Шг.отн.ж = Уг.отн.ж — производные по времени (проекции векторов относительных ускорений 'ж.отн.к, 'г.отн.к, 'г.отн.ж на направления соответствующих относительных скоростей), /к—ж, /к—г, /ж—г — материальные скаляр-нозначные (неотрицательные) функции (модули векторов (39)).
Далее, учитывая зависимость модулей динамических интерактивных сил (39) от характерного размера ( пористой структуры (например, в отсчетной конфигурации), удельных объемов фаз Ук, уж, уг, величин относительных скоростей Уж.отн.к, Уг.отн.к, Уг.отн.ж и коллинеарных относительных ускорений шж.отн.к, ^г.отн.к, -шг.отн.ж, эффективных плотностей рж, рг и вязкостей Лж, Мж, Лг, Мг жидкости и газа:
Ук——ж /к——ж(( Ук, yж, рж, Лж, Мж, Уж.отн.к, ^ж.отн.к^
Ук——г /к——г(( Ук, Уг, рг, Лг, Уг.отн.к, ^г.отн.к), (40)
Уж——г /ж——г(( Уж, yг, рж, рг, Лж, Мж, Лг, Мг, Уг.отн.ж, ^г.отн.ж^
используя методы теории размерностей [24], подобно [26-28], получаем
ржУж .отн.к
—ж ( ук, уж, ^ж;
, ^к^ж ^к, р , р,
( \ ^еж.отн.к Вж.отн.к,
Ук^г = РГ^ГН-К и, уг, 1г, , (41)
( \ ^ег.отн.к Вг.отн.к /
р У2 1
/» _ Рг ^г.отн.ж ¡11
/ж«—Г --^Рж.*-—Г I VГч ^ГЧ ^г/жЧ ^1>г/жЧ "р ч -Ц)
( \ ^ег.отн.ж Вг.отн.ж
Здесь введены числа Рейнольдса И,е и новые безразмерные параметры В:
Т-) _ Рж^ж.отн.к^ Т-) _ Рг^г.отн.к^ Т-) _ Рг^г.отн.ж^
-Г^Ж.ОТН.К --ч "^^Г.ОТН.К --ч "^^Г.ОТН.Ж --ч
Мж Мг Мг
У2 У2 У2
Т) _ Ж.ОТН.К Т) _ Г.ОТН.К Т) _ н.отн.ж .
ВЖ.ОТН.К --7 Ч -^Г.ОТН.К --7 Ч -^Г.ОТН.Ж --7 ч
^ж.отн.к( ^г.отн.к( ^н.отн.ж(
использованы обозначения безразмерных величин 1ж = Лж/Мж, ¿г = Лг/Мг, Гг/ж = рг/рж, ^г/ж = Мг/Мж ^к—ж, ^к—г, ^ж—г — некоторые материальные функции.
1
1
Предполагая, что функции ^>к—ж, г, ^>ж—г линейно зависят от последних двух аргументов:
<£>к^ж = (ук, Уж, 1Ж) + Уж, 1Ж) -----Ь (ьк, Уж, 1Ж)
■р 1 г к—ж -ж/ -рч ?
^еж.отн.к вж.отн.к
^К^Г = («к, Уг, 1г) + («к, «Г, ¿г) - + (^к, ¿г) _ 1
г.отн.к
р ' гк^п^) -Г)
^ж—г - ——г (гж,гг, ¿ж, ¿г, гг/ж, Гор/^ + г (гж,гг, ¿ж, ¿г, гг/ж, ™г/ж) р--Ь
В ( ) 1
+ ^ж—г (гж,гг, ¿ж, ¿г , гг/ж, тг/ж/
Вг.отн.ж
приходим к соответствующему представлению динамических интерактивных сил (41) в виде
/ = / Р + / Б + / В о к— ж о к— ж 1 о к—ж 1 «/к—ж'
/ = / Р + / Б + / В к— г к—г к— г к—г / = / р + / Б + / В
ж— г ж— г ж— г ж— г
где (^ж = ^ж/рж — эффективная кинематическая вязкость жидкости)
г2
//■^ = Л /Л^ ж.отн.к
/р = к—ж Рж^'ж.ОТН.К
(i
/В = к—ж Рж ^Ж.ОТН.К
(1
/В = к—ж Рж ^Ж.ОТН.К
(-1
й '
в 1 __Б ^жгж.отн.к
^к^ж 77" = Рж^к^ж "72 )
^еж.отн.к й
В
— рж^к—ж^ж.отн.к
в
ж.отн.к
и выполнены аналогичные формулы для соответствующих составляющих сил /к—г и /ж—г из (41).
Итак, определяющие соотношения для интерактивных сил попарного взаимодействия фаз (41) получают представление
^к——ж —ж + —ж + ^в—ж — ( с0к——жгж.отн.к + й0к——ж + Ь0к
—Ж ■'"К*—Ж ^ —Ж ^ —Ж - \ —ЖГЖ.ОТН.К "Г —ж "Г —ж I "^ж>отн>к;
гж.отн.к
—Г - —Г —Г —Г = ( ^-Ок^г^г.отн.к ¿Ок^Г Ьок^Г ) ^Г-ОТН-К, (42)
гг.отн.к /
п __, пи I ГВ _ I I ,] I I. ^Г.ОТН.Ж I
Гж<—Г —Г ' Ж<—Г ' Ж<—Г = \ —Г^Г.ОТН.Ж —Г О0ж<—г ~ ] ^г.отн.ж;
^г.отн.ж
где введены обозначения
рж^к —ж
<--0к<—ж ^ ч —ж 1 0К<—ж гж^к<—ж?
Р Б
рг^к
—г —г В
_ , _ ЯтУк<-г , _ в с43)
Сок^г — -^-, Щ)к<—г — --' —г — Рг<£к<-г> ^ '
Р Б
_ РгУж^г 7 _ /^гУж^г 7 _ в
СОж^г — -^-, "Ож^г — --' —г — Рг^ж^г-
Величины (43) размерны и зависят от аргументов соответствующих функций (40), кроме двух последних — относительных скоростей и ускорений. В определенном диапазоне изменения их аргументов величины (43) могут быть приняты постоянными.
Векторные слагаемые в (42), помеченные индексами "р", "и "В" (и их представления в правых частях через коэффициенты, обозначенные буквами со, йо и Ьо с соответствующими индексами), имеют смысл интерактивных объемных сил фронтального сопротивления (динамического напора), вязкого сопротивления (типа Дарси) и инерционного сопротивления (типа присоединенных масс Био) при попарном
г к——ж
взаимодействии фаз. Подстановка (42) в (37) дает окончательный вид динамических составляющих, а последующая подстановка (36), (37) в (35) приводит к окончательному виду определяющих соотношений для полных (статических и динамических совместно) интерактивных сил.
Фактически представления динамических составляющих интерактивных сил во многих случаях могут быть упрощены (см., например, [16], а также [26-28]).
2.2.2. Составные интерактивные взаимодействия. В предположении динамических взаимодействий фаз в виде распределенных объемных сил f и моментов M (f — вектор, M — антисимметричный тензор второго ранга) — составных взаимодействий — для двухфазных (твердо-твердых и твердожидких) сред в [27, 28] получены определяющие соотношения таких сил и моментов в предположении их зависимости от векторов скоростей vOTH = vж — vK и ускорений wOTH = wж — wK движения жидкости относительно каркаса, а также от тензора скорости вращения (спина) Нотн = Нж — Нк жидкости относительно каркаса:
f = avOTH + bHOTH ' vOTH + cHotH ' vOTH + : ^отн J
2 (44)
M = aHoth + B skw (vOTH ® Hoth • voth) + C skw (vOTH ® HOTH • voth ) + ^к • voth j
где коэффициенты a, b, c, d, A, B, C, D являются скалярными функциями от wOTH • vOTH и совместных инвариантов vOTH и HOTH, а к — тензор Леви-Чивиты и skw L означает антисимметричную часть тензора L.
Первое слагаемое в выражении силы f в формуле (44) коллинеарно относительной скорости. При отсутствии зависимости от Нотн оно совпадает по виду с силами (39), а значит, описывает силы лобового фронтального, вязкого и инерционного сопротивления, рассмотренные в п. 2.2.1. При условии коллинеарности вектора относительного вихря с^отн = | rot vOTH и вектора относительной скорости vOTH второе и третье слагаемые равны нулю (а вектор, выражаемый четвертым слагаемым, коллинеарен первому); в противном случае вектор, выражаемый вторым слагаемым, перпендикулярен плоскости этих векторов и описывает силу кориолисова характера (по отношению к вихрю), а третьим слагаемым — лежит в этой плоскости и перпендикулярен вектору вихря. В случае, когда вектор ^отн перпендикулярен вектору vOTH, второе слагаемое можно наглядно интерпретировать как смещающую по отношению к потоку жидкости силу, т.е. как подъемную силу (в этом случае вектор третьего слагаемого коллинеарен первому). Вектор четвертого слагаемого коллинеарен вектору относительного вихря и может быть интерпретирован как сила, вызываемая "ввинчиванием" жидкости в поры каркаса, т.е. сила типа воздействия на флюгер (сила "флюгерного" типа).
В выражении (44) для момента M первое слагаемое пропорционально относительному спину Нотн и непосредственно олицетворяет вращательное воздействие этого спина. В случае коллинеарности векторов относительного вихря ^отн и относительной скорости vOTH второе и третье слагаемые равны нулю, а первое и четвертое пропорциональны друг другу. Если же эти векторы не коллинеарны, второе слагаемое есть антисимметричный тензор с осью, перпендикулярной плоскости вектора скорости и вектора интерактивной силы кориолисова типа (второго слагаемого) в выражении f, он описывает вращающее воздействие вокруг этой оси; в случае перпендикулярности векторов ^отн и vOTH второе слагаемое наглядно проявляется как опрокидывающий момент (в этом случае третье слагаемое равно нулю). Третье слагаемое является антисимметричным тензором с осью, перпендикулярной плоскости вектора скорости и вектора вихря, и описывает вращающее воздействие в этой плоскости. Четвертое слагаемое есть антисимметричный тензор с осью, коллинеарной вектору скорости, оно описывает вращающее моментное воздействие потока жидкости на каркас, которое, подобно четвертому слагаемому в выражении f, можно интерпретировать как воздействие потока на каркас "флюгерного" типа, однако вращающего (моментного, а не силового) характера.
Заметим, что наличие в потоке жидкости, омывающей поры каркаса, тензора относительного спина Нотн (вектора относительного вихря ^отн), обусловливающего действие смещающих (подъемных) сил, сил "флюгерного" типа, опрокидывающих и винтовых ("флюгерных") моментов, может быть вызвано принудительно по отношению к потоку жидкости специальной геометрией пористого пространства, а именно упорядоченной витиеватостью пор.
Учет распределенных моментных воздействий, выводя за рамки классической механики сплошной среды (тензор напряжений Коши становится несимметричным) [2], требует привлечения неклассических теорий, в том числе теории континуума Коссера [32].
3. Заключение
Таким образом, в настоящей работе на базе результатов, полученных в [19, 26-30], построен вариант модели трехфазной жидкогазонаполненной пористой среды, сформулированы основные соотношения краевых задач в случаях произвольных движений с конечными деформациями каркаса, малых деформа-
ций каркаса, а также малых деформаций каркаса и подвижных (жидкой и газообразной) фаз. В рамках достаточно широкого предположения (23), (24) представлены общие свойства определяющих соотношений каркаса и как следствие при малых деформациях каркаса выведены определяющие соотношения каркаса с изотропными, линейно-упругими, эффективными свойствами (вообще говоря, неоднородными). В развитие ревизионного подхода [25] и результатов [26-30] получены определяющие соотношения интерактивных сил взаимодействия фаз, дана их классификация (статические силы и динамические силы фронтального, вязкого и инерционного сопротивления), отмечены возможности их упрощения в конкретных режимах движения фаз. Предложено понятие составных (силовых и моментных) интерактивных взаимодействий, существенно обобщающее традиционные представления, выписаны теоретически выведенные формы определяющих соотношений для составных взаимодействий, выяснен принципиальный механический смысл входящих в них слагаемых как сил лобового (фронтального, вязкого, инерционного) сопротивления, подъемных (смещающих) сил, винтовых сил ("флюгерного" типа), опрокидывающих и винтовых ("флюгерных") моментов, отмечены возможные причины появления таких взаимодействий в реальных пористых наполненных телах.
Дальнейшие исследования могут быть направлены на подобное проведенному здесь развитие модели [19] для многофазных пористых сред в случае сжимаемого материала каркаса, составных интерактивных взаимодействий, в том числе с использованием неклассических подходов механики континуума.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-01-00565).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
4. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959.
5. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970.
6. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.
7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
10. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
11. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. Киев: Наукова думка, 1984.
12. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смесей. Киев: Наукова думка, 1999.
13. Бровко Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. 55-63.
14. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media //J. Appl. Phys. 1962. 33, N 4. 1482-1498.
15. Green A.E., Naghdi P.M. A dynamical theory of interacting continua // Int. J. Eng. Sci. 1965. 3, N 2. 231-241.
16. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.
17. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.
18. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.
19. Бровко Г.Л. Модель неоднородной жидкогазонаполненной среды с деформируемым твердым каркасом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 5. 45-52.
20. Сорочан Е.А. Строительство сооружений на набухающих грунтах. М.: Стройиздат, 1989.
21. Сажин В.С. , Шишкин В.Я., Волох В.Я. Проектирование и строительство фундаментов сооружений на пучи-нистых грунтах. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1988.
22. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
23. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // Прикл. матем. и механ. 1990. 54, № 5. 814-824.
24. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972.
25. Wilmanski K., Albers B. A note on objectivity of momentum sources in porous materials // Two notes on continuous modeling of porous media. Preprint N 579. Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics. Berlin, 2000.
26. Бровко Г.Л. Принцип материальной независимости от системы отсчета и структура интерактивных взаимодействий в гетерогенных средах // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2005. 11, вып. 2. 21-29.
27. Бровко Г.Л. Вопросы инвариантности в классических и неклассических моделях сплошных сред // Упругость и неупругость / Под ред. И.А. Кийко, Р.А. Васина, Г.Л. Бровко. М.: Эдиториал, 2006. 110-123.
28. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova O.A. Continuum models of discrete heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions //J. Phys.: Conference Series. 2007. 62. 1-22.
29. Гришаев А.Г. К моделированию свойств наполненных пористых сред // Упругость и неупругость / Под ред. И.А. Кийко, Р.А. Васина, Г.Л. Бровко. М.: Эдиториал, 2006. 124-129.
30. Гришаев А.Г. Влияние параметров связности в моделях двухфазных наполненных пористых сред // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2005. 11, вып. 2. 30-39.
31. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
32. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann et Fils, 1909.
Поступила в редакцию 16.01.2008
УДК 532.5.031 + 517.927.25
ОЦЕНКИ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РЭЛЕЯ
Д. В. Георгиевский1
Получены верхние оценки параметра, характеризующего временной рост возмущений в ряде задач на собственные значения для уравнения Рэлея. На границах слоя приняты либо условия непротекания, либо условия свободной поверхности.
Ключевые слова: устойчивость, уравнение Рэлея, спектральная задача, свободная поверхность, возмущение.
Several upper estimates for the parameter characterizing a time increase of perturbations in some eigenvalue problems for the Rayleigh equation are obtained. Either the impermeability conditions or the free surface conditions are accepted on layer boundaries.
Key words: stability, Rayleigh equation, spectral problem, free surface, perturbation.
1. В линеаризованной теории устойчивости уравнение Рэлея, записываемое обычно в одном из следующих видов [1-4]:
(а + ¿sv°)(p'' - s2p) - isv°'V = 0, 0 <ж< 1; (1)
(v° - c)(p" - sV) - v°'' p = 0, 0 <ж< 1, (2)
моделирует развитие со временем плоской картины возмущений (в плоскости ОЖ1Ж2, Ж2 = ж), налагаемых на одномерное плоскопараллельное сдвиговое течение идеальной несжимаемой жидкости в слое -то < Ж1 < то, 0 <ж< 1. Это невозмущенное течение характеризуется известными параметрами
v° = v° (ж), v° = 0, p° = p° (ж), (3)
где v°(x) и p° (ж) — профили продольной скорости и давления, причем давление р°(ж) в случае распределения скоростей (3), согласно уравнениям Эйлера, зависит только от массовых сил.
В (1) и (2) положительный параметр s — волновое число для отдельной гармоники возмущения вдоль оси xi; а = а* + ¿а** и c = ¿а/s = c* + ¿c** — комплексная частота и комплексная фазовая скорость, рассматриваемые как спектральные параметры в соответствующих (1) и (2) задачах на собственные значения. Невозрастание возмущений равносильно неположительности при любом s действительных частей всех собственных частот: a*n) ^ 0 либо мнимых частей всех собственных фазовых скоростей: с*П ^ 0, n = 1, 2,... .
Комплекснозначная функция р(ж) связана с возмущением функции тока ф (vi = ф;2, V2 = -фд) соотношением
ф(ж1, ж, t) = p(x)eisx1 +at = p(x)eis(x1 -ct). (4)
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: georgiev@mech. math. msu. su.
