Сосредоточенная сила в однородной изотропной пористой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.34

СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Холматжон Худайназарович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: [email protected]

Сайера Тахировна Туйчиева

Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, 100167, Узбекистан,

г. Ташкент, ул. Адилходжаева, 1, старший преподаватель, тел. (371)276-88-71, е-mail: [email protected]

В статье получены решения системы динамических уравнений пороупругости для простых сил. Отметим, что полученные решения позволяют изучить области дилатансии в насыщенных жидкостью пористых средах. При этом полученные формулы позволяют моделировать скорости смещений пористого каркаса и насыщающей жидкости в нем, а также порового давления и компоненты тензора напряжений, как при заданных упругих параметрах среды, так и в заданных скоростях распространений поперечных и продольных волн в пористой среде.

Ключевые слова: области дилатансии, сосредоточенная сила, пористая среда, медленная волна, фундаментальный тензор.

CONCENTRATED FORCE IN A HOMOGENEOUS ISOTROPIC POROUS MEDIUM

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Lavrentiev Ave, Doctor of Science, Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: [email protected]

Sayyora T. Tuychieva

Tashkent Institute of Railway Transport Engineers, 100167, Uzbekistan, Tashkent, 1 Adilkhodjaev st., senior lecturer, tel. (371)276-88-71, e-mail: [email protected]

In this paper, a solution of a system of dynamic poroelasticity equations for simple forces is obtained. One should note that the resulting solution allows the exploration of the dilatancy field in fluid-saturated porous media. In this case, the formula obtained allows us to simulate the displacement velocity of the a porous body and saturating fluid in it, as well as the pore pressure and stress tensor components with given elastic parameters of the medium, and with the prescribed propagation velocity of transverse and longitudinal waves in this porous medium.

Key words: dilatancy domain, concentrated force, the porous medium, slow wave, fundamental tensor.

Большинство встречающихся в природе и используемых в науке и технике сред не являются однофазными и не могут быть отнесены к классу жидкостей, газов или твердых упругодеформируемых тел. Отличия в свойствах отдельных

фаз, составляющих среду, и межфазные взаимодействия играют определяющую роль в динамике таких сред.

Теоретическое и экспериментальное исследования волновых процессов в упругодеформируемой пористой среде, насыщенной жидкостью или газом, является актуальным и существенно для развития представлений о процессах, сопровождающих применение современных технологий использования пористых сред. К настоящему времени для теоретического исследования распространения волн в упругодеформируемой, пористой, насыщенной жидкостью среде имеется ряд подходов, из которых следует упомянуть теорию типа Френкеля-Био [1-3]. Данная математическая модель имеет ряд недостатков [4] и, кроме того, не ясна возможность ее обобщения на случай конечных деформаций упругого скелета. В [5] отмечено, что произвольные изменения четырех параметров среды приводят к нефизичным результатам. Феноменологический подход, основанный на общих первых физических принципах, был использован при построении модели течения жидкости в упругой пористой среде для случая конечных деформаций [6]. Отметим, что система определяющих дифференциальных уравнений, построенных в [6], является гиперболической, однако привести все ее уравнения к симметрическому виду не удается. В [7] уравнения течения сжимаемой жидкости в упругой пористой среде выводятся с использованием метода термодинамически согласованных систем. Полученные дифференциальные уравнения образуют гиперболическую систему законов сохранения. Особенностью этих моделей является, наряду с распространением поперечной и продольной сейсмических волн, наличие медленной (второй) продольной волны.

Пусть пространство И2 заполнено упруго-деформируемой изотропной пористой средой. Распространения сейсмических волн в такой среде описываются следующей системой динамических уравнений из [6]. Вектора скорости упругого скелета и и жидкости v удовлетворяют динамическим уравнениям для упругой и жидкой фаз в отсутствии диссипации энергии

где и = (и1ги2,и2Х V = , Д, V ~ операторы Лапласа, градиента по х = (х1гх1гх3) соответственно, е Е Я3, коэффициенты = 1,2,3,4 выражаются с одной стороны тремя упругими параметрами А, а и соответствующими парциальными плотностями упругой матрицы жидкости р1 [6, 8]

- с?Ди+ (с? - а±)У(]1у1И- = ер^ВД^бСх -

(1) (2)

а 1 =

----Г и4 —

Рз Р

с другой стороны тремя скоростями си сг с-1г и соответствующими парциальными плотностями упругой матрицы р5, жидкости рг [9, 10]

3 р

Р

Ps~Pl

у

64 PlPs 4

,

Г (I) - форма зондирующего сигнала.

В данной работе получены решения системы (1), (2) в частотной области

и = ^/(и^е, V =

Gu(co)x1x0) =

+pitPs)

3-iktR

R

+ w

С

-iktR

- V1

e"ikriR k=R

V-

k=R

Vi =

4tths2:P l-l/mz

l-m^yin,' a

w

1 e

--niiVi-

=

k=R

— m2v2

bfR

m1 =

m2 =

l-m1/m2 a-1

Таким образом, получены решения системы уравнений пороупругости в частотной области для сосредоточенного источника. Отметим, что при исчезновении пористости построенное решение переходит к решению системы уравнений линейной теории упругости в частотной области. Из построенных решений можно получить различные решения для разных сил в пористых, насыщенных жидкостью средах. Также из этих решений можно получить решения системы уравнений пороупругости во временной области.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ: № 13-01-00689-а, ИП СО РАН 54.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. - 1944. - т. 8, No 4. -C.133-150.

2. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. I. Low. Frequency Range // J. Acoust. Soc. Am. 1956, v. 28, No. 2 p.168-178.

3. Carcione J. M. Wave Fields in Real Media: Wave Propagation in Anisotropic, Anelastic Porous and Electromagnetic Media. N. Y.: Elsevier, 2007.

4. Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. Ташкент, 2012., 212 с.

5. Stoll R.D. Comments on "Biot model of sound propagation in water-saturated sand" // J. Acoust. Soc. Amer. 1998. V.103. P.2723-2725.

6. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modeling in the theory of multivelocity continuum. N. Y.: Nova Sci., 1995.

7. Роменский Е.И. Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде // Сибирский журнал индустриальной математики, 2011, Т.14, №4(48), с. 86-97.

8. Dorovsky V.N., Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium // Mathl. Comput. Modelling -1994.v.20, No 7. p.91-97.

9. Имомназаров Х.Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН. 2000, Т. 373, No.4, с.536-537.

10. Imomnazarov Kh.Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000, v. 13, No. 3, p 33-35.

11. Купрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. - М. Наука, 1976г. 663с.

12. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Том 1. М., Мир, 1983.

© Х. Х. Имомназаров, С. Т. Туйчиева, 2015