CC BY
72
УДК 539.374
АНАЛОГИ ФОРМУЛ К. ТЕРЦАГИ И А. СКЕМПТОНА ДЛЯ ПОРИСТЫХ СРЕД, ОПИСЫВАЕМЫХ ТРЕМЯ УПРУГИМИ ПАРАМЕТРАМИ
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
В статье получена формула для тензора деформации, связывающая тензор напряжений и поровое давление в насыщенных жидкостью пористых средах. Также получена формула для массы поровой жидкости на единицу объема материала через девиатор тензора напряжений и порового давления. Показано, что в этих формулах коэффициенты выражаются через три упругих параметра пористой среды (скорости быстрой и медленной продольных волн, а также скорость поперечной волны). Получена формула для коэффициента Скемптона В, выражающаяся через три упругих параметра пористой среды.
Ключевые слова: пористая среда, насыщающая жидкость, упругие параметры, вязкость, парциальная плотность.
AN ANALOG OF TERZAGHI'S AND SKEMPTON'S FORMULAS FOR POROUS MEDIA DESCRIBED BY THREE ELASTIC PARAMETERS
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, Lavrentiev Ave, 6, Doctor of Science, Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
In this paper, the formula for the strain tensor connecting the stress tensor and the pore pressure in a saturated porous media fluid is obtained. Also, a formula for the mass of the pore fluid per volume unit of material through the stress tensor deviator and the pore pressure is obtained. It is shown that in these formulas, the coefficients are expressed in terms of three parameters of a porous elastic medium (fast and slow velocities of longitudinal waves as well as of the shear wave velocity). The formula for the Skempton coefficient B, expressed in terms of three elastic parameters of a porous medium is derived.
Key words: porous medium, saturated fluid, elastic parameters, viscosity, partial density.
Моделирование двухфазных потоков через гетерогенные пористые среды широко используется в нефтедобыче. Например, моделирование бассейна призвано восстановить геологическую историю осадочного бассейна и, в особенности, перемещение компонентов углеводорода в геологическом масштабе времени. Такое моделирование бассейна направлено на понимание и предсказание движения потоков в процессе нефтедобычи. С другой стороны, моделирование двухфазных потоков через пористые среды играет важную роль для прогноза землетрясений, так как процесс подготовки землетрясений является энергонасыщенным [1].
Коллекторы углеводородов это, как правило, осадочные горные породы, содержащие поры и трещины. Такие среды можно рассматривать как композитные среды. Неоднородностями таких композитных сред являются частицы твердого вещества, а так же пустоты, заполненные флюидом (нефтью, пластовой жидкостью). Вещественный состав породы (минеральный состав, тип флюида, заполняющего поровое пространство), форма, ориентация и взаимное расположение неоднородностей определяют макроскопические физические свойства породы. Этот факт используется в разведочной геофизике для поисковых работ на углеводороды.
Задача вычисления эффективных свойств [2] пористых материалов возникает в геологической разведке при анализе свойств образцов материала (кернов), слагающего пласты месторождения для последующего использования в моделировании процессов, происходящих в процессе разработки.
Тензоры напряжений и деформаций играют фундаментальную роль в геодинамике и тектонофизике. Горная порода характеризуется своими определяющими соотношениями, устанавливающими связь между тензорами напряжений (Гц и деформаций е^. По геофизическим измерениям определяется, в основном, тензор деформаций.
Математическую модель, описывающую взаимовлияние течения флюида и изменение напряженно-деформированного состояния поровой матрицы, впервые предложил К. Терцаги [3, 4] для вычисления коэффициента проницаемости
глины. В этих работах К. Терцаги ввел эффективный тензор напряжений
зависящей от деформации матрицы и давления флюида
= аЦ ~ аеР8ц. (1)
В формуле (1) — компоненты единичной матрицы.
Био в [5, 6] обобщил это соотношение на пороупругие среды
аИ = аЦ ~ аеР8ч> (2)
где тензор эффективных (по Нуру) напряжений, который зависит от
тензора деформаций. Иногда соотношение (2) называют соотношением Терца-ги-Био. Оно фактически является определением трещиновато-пористой среды. В ней есть скелет и насыщающая его жидкость. Отличие от тождественного нуля тензора а*? означает существование связного скелета. Коэффициент ае показывает, во сколько раз поровое давление снижает действие суммарного напряжения на скелет.
В работах [7-10] получена формула, связывающая тензор напряжений с тензором деформации и поровое давление
{
х-к
\ ар2)
Р8«> (3)
Р = (К~ ссрр:,)% - а/щекк, (4)
Ч/ - V-]
где и = (щ, и2, и3) и и = ([/•!_, £/3) - векторы перемещений упругой матрицы и насыщающей жидкости с соответствующими парциальными плотностями р5
и рь р = рь + р3, Л = Л-(ар2у1К2, К = Л + -/и, Л,¡г, ар2 - упругие параметры пористой среды [11]. Упругие параметры к,/л,а выражаются через скорость распространения поперечной волны с8 и две скорости продольных волн с , с [12, 13].
Из (3) выразим тензор деформации £ц через тензор напряжений о^ и поро-вое давление р. Имеем
= о--
у у ЗА+ 2//
+
2/и
ЗЛ + 2/и
1-
К
9
ар )
(5)
Сравнивая поровое давление (4) с поровым давлением из [7-10], получим выражение для определения одного из четырех параметров Био Я = —аррг. Повторяя рассуждения из [14] и учитывая термодинамическое тождество для пористых сред, с учетом (5) из (2) [14] получим
1
=
ЗЯ + 2/л
1-
К
ар2
арр1
-Р
(6)
Следуя [14] масса т = ру порового флюида в единице объема материала может быть выражена из (2) [14] в линейном приближении
т — т0 = (р — р0)р + РоО - у0) =
где индексом нуль обозначено равновесное значение соответствующих переменных. При этом зависимость плотности от давления примем в виде [15]:
Р~Ро
Р/Ро = 1 +
Я
Г
где Щ - коэффициент сжимаемости флюида.
Далее под «сухой деформацией» мы понимаем Ат = 0. В этом случае из соотношения (7) получим аналог формулы Скемптона [16] для первоначального индуцированного порового давления и общего гидростатического напряжения
Ар =-В
В =
(яф)
к
ар2_
Ур 1 К/ аРР1
Выражение для «сухого коэффициента Пуассона vu» может быть получено путем замены из (8), для Ар, в (5) и сравнения коэффициентов, полученных с определением тензора напряжений для упругого тела
2рЬЕу = ^aij-^-A(тkkSij,
что приводит к следующему выражению
u "
При выводе этой формулы мы воспользовались следующими формулами, связывающими коэффициент Пуассона и упругие параметры пористой среды
_ Я Я _ V 2ß _ l—2v
2(Я+/0' ЗЯ+2Д _ 1+v' iX+гц ~ 1+v '
Иногда удобно использовать В и vu вместо a, K, и так как они являются
удобными для физических интерпретаций. В самом деле, мы можем либо рассчитать В и vu по другим параметрам, или просто брать их непосредственно из эксперимента, в котором измеряются коэффициент Пуассона и поровое давление. В терминах этих коэффициентов, формулы (5) и (7) можно представить в виде
V 3(vu —v)
= "Ч -T+i'vJtt + В(1 + v)(l + V„)vS*
т-т = 3po(v"~v) \а _i_ I „1
0 2^B(l+v)(l+vu) L кк В^У
Отметим, что эти формулы похожи по форме на [14], но есть существенное отличие, а именно, коэффициент Пуассона для пористой среды выражается через три упругих параметра среды. Это в свою очередь приводит к зависимости коэффициента Скемптона В от трех параметров пористой среды.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Теорема о среднем для неоднородной системы пористоупругости // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2009, 2(4), с. 394-400.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов — М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.
3. Terzaghi K. Die Berechnung der Durchassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlaufder hydrodynamischen Spannungsercheinungen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math. Naturwiss. Kl., Abt. 2A, 1923, v.132, pp. 105-124.
4. Terzaghi, K., The shearing resistance of saturated soils // Proc. Int. Conf. Soil Mech. Found. Eng. 1st, 1936, pp. 54-55.
5. Biot, M. A., General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys., 1941, v. 12, pp.155-164.
6. Biot, M. A., Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys., 1955, v. 26, pp.^-^.
7. Imomnazarov Kh.Kh. Concentrated force in a porous half-space // Bulletin of Novosibirsk Computing Center, ser. Geophysics, 1998, issue 4, pp. 75-77.
8. Грачев Е.В., Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Сосредоточенная сила в упруго-пористом полупространстве // Доклады РАН, 2003, т. 391, N0. 3, с. 331-333.
9. Grachev E., Imomnazarov Kh., Zhabborov N. One nonclassical problem for the statics equations of elastic-deformed porous media in a half-plane // Applied Matematics Letters, Vol. 17, Issue 1, 2004, Р. 31-34.
10. Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. Ташкент, 2012., 212 с.
11. Blokhin A.M., Dorovsky V.N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. -New York: Nova Science, 1995.
12. Имомназаров Х.Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН - 2000. - Т. 373. - № 4. - С. 536-537.
13. Imomnazarov Kh.Kh. Some Remarks on the Biot System of Equations Describing Wave Propagation in a Porous Medium // Appl. Math. Lett. - 2000. - Vol. 13. - № 3. - P. 33-35.
14. Rice J.R., Clearly M.P. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents // Rev. Geophys. Space Phys., 1976, v. 14, pp. 227241.
15. Агеев П.Г., Колдоба А.В., Гасилова И.В., Повещенко Н.Ю., Якобовский М.В., Тка-ченко С. И. Комплексная модель отклика пласта на плазменно-импульсное воздействие // Ma-thematica montisnigri, 2013, v. 28, pp. 75-98.
16. Skempton, A. W. The pore-pressure coefficients A and B // Geotechnique, 1954, v. 4, pp.143-147.
© Х. Х. Имомназаров, 2016
