CC BY
19
УДК 517.956.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НАСЫЩЕННЫХ МИНЕРАЛИЗОВАННОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПОРИСТЫХ СРЕД
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
Александр Анатольевич Михайлов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
В статье предложен алгоритм численного моделирования распространения сейсмического волнового поля в насыщенной минерализованной жидкостью пористой среде в дисси-пативном приближении. Рассматривается модель двумерно неоднородной среды, без учета обратного влияния концентрации солей на волновое поле пористого упругого тела. Исходная задача записывается в виде динамических уравнений распространения волнового поля. Уравнения для пористой среды записаны в терминах компонент скоростей смещений, напряжений и порового давления. В уравнении концентрации в качестве источника участвует относительная скорость. Для решения задачи предлагается метод на основе совместного использования спектрального метода Лагерра по времени и конечно-разностной аппроксимации по пространственным координатам. Приводится описание численной реализации предлагаемого алгоритма, и анализируются его эффективность при расчетах.
Ключевые слова: сосредоточенная сила, пористая среда, минерализация, медленная волна, преобразования Лагерра.
NUMERICAL SIMULATION OF TWO-DIMENSIONAL DYNAMIC PROBLEM OF SATURATED POROUS MEDIA WITH MINERALIZED FLUIDS
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, D. Sc., Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
Aleksander A. Mikhailov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, Ph. D., Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
This paper proposes an algorithm of numerical modeling of a seismic wave field propagation in a saturated with mineralize fluid porous medium in the dissipative approximation. This model is a two-dimensional inhomogeneous medium, excluding the reverse influence the concentration of salts in the wave field of a porous elastic body. The initial problem is written in the form of dynamic equations of propagation of the wave field. The equations for a porous medium are written in terms of the velocity component of displacement, stress and pore pressure. In the concentration equation a relative velocity as the source is involved. To solve this problem we propose a method based on the combine the Laguerre spectral method with respect to time and finite difference ap-
proximation of the spatial coordinates. The proposed numerical algorithm is described and its efficiency in the calculations is analyzed.
Key words: concentrated force, porous media, mineralization, slow wave, Laguerre transform.
Система уравнений, описывающая распространение сейсмических волн в пористой среде насыщенной минерализованным флюидом при наличии потери энергии для Декартовой системы координат описывается следующей системой дифференциальных уравнений [1, 2]:
du¡ 1 da
— + -0- dp = F, — - (K - apps) divu + арр divv = 0,
dt Ps dxk PPs dx, dt
(1)
dv, 1 dp daik
—'- +--— = F, —- + V
dt р dx¿ dt
'dUk , диг ^ v dx, dxk J
(
P-к - 2 n
P 3 ^
Л
Sik divu -PsK5lk divv = 0.
P
рdC = div(pDVc + рЛ(u - v))-(j, Vc) .
(2) (3)
Здесь ps - парциальная плотность пористого тела, р1 - парциальная плотность жидкости, р = р + ps, ps=p (1 -d0), p¡=pfda, pfs и pf - физические плотности упругого пористого тела и минерализованной жидкости соответственно, d - пористость, sik - символ Кронекера, p - поровое давление, а1к - тензор напряжений, u = (ul3u2) и v = (v,v) - вектора скоростей смещения частиц в пористом теле и жидкости соответственно, c - концентрация примеси, j = pu + pv -импульс, D - коэффициент диффузии, Я - кинетический коэффициент, F = (F,f2) - вектор массовых сил, к = Я + 2^/3,Я> 0, и> 0 коэффициенты Ламе, а = p0a3 + K / pl, p^a3 > 0 - модуль объемного сжатия жидкой компоненты гете-рофазной среды. Упругие модули к, и, а выражаются через скорость распространения поперечной волны c и две скорости продольных волн c , c соответствующими формулами [4, 5]:
U = Po,sCs > K
Po P0,s
{
2 Po,l
2,2 8 po,l 2 Cp + Cp ~-^
V
2 2 V 64 Po,l Pos 4
3 Po
-121- c p f -
9
Po
/
a
2p2
2,2 8 Po,s 2 , c + c---— c +
Pl P2 ^ s 1
V
3 Po
í 2 2 V 64 Po,i Po,s 4 (c - c )---:—— c
VP P2>
9
Po2
Задача решается при нулевых начальных данных
u| = vi = d = p| =G;\ = o
It=o It=o It=o =o ik\t=o
s
1
и граничных условиях на свободной поверхности при х2 = 0
I Р
Р + а22\ п= Р Г 22 2 =0 р Г
= В
о 3X2
X-, =0 2
= 0.
X =0
Пример результатов расчета волнового поля для разных моделей сред представлен на рис. 1 и 2. В первом случае в качестве модели была задана среда, состоящая из двух однородных слоев: верхний слой - упругая среда; нижний слой - пористая среда.
Физические характеристики слоев были заданы следующими:
1) верхний слой - р = 1.2 г/см3, с р = 1.5 км/сек, с8 = 1 км/сек;
2) нижний слой - р{ = 1.5 г/см3, р { = 1 г/см3, ср = 2 км/сек, ср = 0.45 км/сек,
С = 1.3 км/сек, й0 = 0.1.
Толщина верхнего слоя - 18 км. Волновое поле моделировалось от точечного источника типа центра расширения с координатами х0 = 24 км, 20 = 12 км, находящегося в верхнем упругом слое. Временной сигнал в источниках задавался в виде импульса Пузырёва:
/ Ц) = ехр
V
У
81П(2л № - ?0)) ,
У
где у = 4, /0 = 30 Гц, t0 = 0.05 сек.
Результаты численных расчетов волнового поля для заданной модели среды представлены на рис. 1.
Рис. 1. Мгновенный снимок волнового поля для пг (х, 2) компоненты скорости смещений в момент времени ? = 12 секунд
На данном рисунке изображен мгновенный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений и2 (х, 2) в фиксированный момент
времени при Т = 12 сек. Граница раздела слоев показана сплошной линией.
Из рисунка видно, что при падении продольной волны, излучаемой источником типа центра расширения, на границу раздела слоев образуются соответствующие типы волн для упругой и пористой среды. В верхнем слое - продольная и поперечная волна, а в нижнем пористом слое - две продольных и одна поперечная волна.
В следующем случае в качестве модели была задана среда, состоящая из пористого слоя и упругого полупространства. Физические характеристики среды были заданы следующими:
1) пористый слой - р0 = 0.4 г/см3, р^ = 0.01 г/см3, с = 1.1 км/сек, с = 0.25 км/сек, с = 0.7 км/сек, коэффициент пористости й = 0.5;
2) нижнее упругое полупространство - р = 1.5 г/см3, ср = 1.2 км/сек, С = 0.8 км/сек.
Толщина верхнего пористого слоя - 20 метров. Волновое поле моделировалось от точечного источника типа центра расширения с координатами х0 = 200 метров, 20 = 4 метра, расположенным в верхнем слое.
Рис. 2. Мгновенный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений и2(х, 2) в момент времени ? = 0.15 секунды.
Несущая частота сигнала в источнике 100 Гц
На рис. 2 изображен мгновенный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений и2 в фиксированный момент времени при Т = 0.15 секунды. Временной сигнал в источнике задавался в виде импульса Пузырёва с несущей частотой 100 Гц. Из рисунка видно, что в пористом слое возникают многократно отраженные волны, которые генерируют в упругом полупространстве различные продольные и поперечные волны.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант N0. 16-01-00729а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Доровский В. Н., Подбережный М. Ю., Нефедкин Ю. А. Зависимость длины поглощения волны Стоунли от концентрации солей в жидкости, насыщающей пористую среду // Геология и геофизика. - 2011. - Т. 52, № 2. - С. 312-321.
2. Перепечко Ю. В. Уравнение течения минерализованной жидкости в пористой среде // Материалы научн. конф. КаршиГУ «Актуальные вопросы анализа». - Карши : Изд-во КаршиГУ, 2016. - С. 162-164.
3. Имомназаров Х. Х., Михайлов А. А. Применение спектрального метода для численного моделирования сейсмических волн в пористых средах при наличии диссипации энергии // СибЖВМ. - 2014. - Т. 17, № 2. - С. 139-147.
© Х. Х. Имомназаров, А. А. Михайлов, 2017
