CC BY
59
УДК 550.34
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЛАСТИ ДИЛАТАНСИИ
ДЛЯ СОВМЕЩЕННОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ И ПОРОУПРУГОСТИ
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
Александр Анатольевич Михайлов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
В статье предложен алгоритм численного моделирования распространения сейсмического волнового поля в вязкоупругой и в пористой среде с учётом диссипации энергии. Рассматривается совмещенная модель неоднородной среды, составленная из изотропных вязко-упругих и пористых слоёв. Исходная задача записывается в виде динамических уравнений распространения волнового поля. Уравнения для пористой среды записаны в терминах компонент скоростей смещений, напряжений и порового давления с учётом диссипации энергии. Распространение волн в вязкоупругой среде записывается системой уравнений через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений и компонент тензора напряжений, используя принцип суперпозиции Больцмана в интегралах свёртки с функциями последействия. Для решения задачи предлагается метод на основе совместного использования спектрального метода Лагерра по времени и конечно-разностной аппроксимации по пространственным координатам. Приводится описание численной реализации предлагаемого алгоритма и анализируются его эффективность при расчетах. Также исследованы области дилатансии для разных источников возбуждения.
Ключевые слова: области дилатансии, сосредоточенная сила, вязкоупругая и пористая среда, медленная волна, преобразования Лагерра.
NUMERICAL MODELING OF THE DILATANCY FIELDS FOR A COMBINED MODEL OF A VISCOELASTIC AND POROELASTIC MEDIA
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Lavrentiev Ave, Doctor of Science, Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
Aleksander A. Mikhailov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Lavrentiev Ave, Candidate of Science, Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
In the present work, an algorithm to solve numerically the dynamic problem of seismic waves propagation for the combined mathematical model of viscoelastic and porous medium with allowance for energy dissipation is considered. The propagation of seismic waves in a fluid-saturated porous medium with energy loss is described by a system of first-order differential equations in a Cartesian system of coordinates. The initial system is written as a hyperbolic system in terms of the
velocities of the elastic medium and saturating fluid, components of the stress tensor and fluid pressure. Mathematical statement of the problem of seismic wave propagation in a viscoelastic medium is written as a system of first-order equations in terms of a relation between the displacement velocity vector and stress tensor components using the Boltzmann superposition principle in convolution integrals with relaxation functions. This makes it possible to consider general relations between stress and strain by specifying arbitrary relaxation functions. To solve this problem numerically, a algorithm for combining the integral Laguerre transform with respect to time with a finite-difference approximation along the spatial coordinates is used. The algorithm used for the solution makes it possible to perform efficient calculations in simulation of a complicated combined viscoelastic and porous medium and study wave effects emerging in such media. Also, explore the dilatancy domain for different excitation sources.
Key words: dilatancy domain, concentrated force, viscoelastic and porous media, slow wave, Laguerre transform.
Система уравнений, описывающая распространение сейсмических волн в пористой среде насыщенной флюидом при наличии потери энергии для Декартовой системы координат описывается следующей системой дифференциальных уравнений [1-3]:
Gil I
~dt
1 д(7а
Po,s дхк
А
0,1
dp Po,i
Po.SPO дх, А
XPoM-vi) = F1,
(1)
0,5
dv, , 1 дР ( \ Т7
-^7 + — я--ZPoAui~vi) = Fi>
Ot р0 OXi
dp ~dt
- С - aPoPo s jjn'" + aP{)P{) i divv = 0 (2)
dt
ди, du,.
дх, dx
к J \ У0
Po,s ~ 2
Po 3
S.kdivu -f^- KS.kdivv = 0 • Po
(3)
Здесь р() 3 - парциальная плотность пористого тела, р{)1 - парциальная плотность жидкости, р{] = /?0 /+А1Л., А,л- = Ро'л-П , А)./ = р1/о , р[, И р{, - физические плотности упругого пористого тела и жидкости соответственно, й0 - пористость, коэффициент межфазного трения, д1к - символ Кронекера, р - поровое давление, <т1к- тензор напряжений, и = (//,,//2) и = (,) - вектора скоростей смещения частиц в пористом теле и жидкости соответственно, Р = (1-\,1-2) - вектор массовых сил, К = Л + 2/и!Ъ ,Л>0, // > о коэффициенты Ламе, а = р0а3 + К / р], р\аъ > о - модуль объемного сжатия жидкой компоненты гете-рофазной среды. Упругие модули К, ¡л, а3 выражаются через скорость распространения поперечной волны е1, и две скорости продольных волн с соответствующими формулами [4,5]:
Pl ' СР2
JU
РоА-
К =
Po Po,s
{
2 Poj
2,2 8 Po j 2 с + с---—с -
Pl Р2 о - s
V
3 Po V
f2 2 ^ 64 Po,lPo,s 4 t — с---:-—c
*Л P2 О
Po
аъ =
l
2p0
2 2 С + С
Pl P2
8 Po.
4* +
'< P
64 Po,lPo,s 4 --
ч ЗРо V 9 Ро- ,
Распространение сейсмических волн в вязкоупругой среде записывается через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений и компонент тензора
2
напряжений системой уравнений первого порядка, используя принцип суперпозиции Больцмана в интегралах свёртки с функциями последействия. Математическая постановка задачи в Декартовой системе координат приводит к системе уравнений вида [6]:
ОН1
Ро дхк
=ргт,
Эсг,
¡к
&
ды,,.
Кдхг
+ 6иЛсИ\щ - 0.
(4)
Здесь дг] - символ Кронекера, р0(ху,х2)~ плотность среды, й = (и1,и2) - вектор скорости смещений, <тг. - компоненты тензора напряжений. /•'(х|,х2) = /<\ёх +/\е:
описывает распределение локализованного в пространстве источника, а /(г) -заданный временной сигнал в источнике. Л и М - интегральные операторы следующего вида:
* I
Лм>(0 = /1м>(0 - Я \>{т)у{1 - т)ёг , = - р ]м<г)?7(7 - т)ёт , (5)
где Л(хъх2), //(х,,х2) - упругие параметры среды; Л(хг,х2), //и,,х2) - параметры неупругости среды; у(г), //(/) - некоторые функции последействия.
Следовательно, задача для совмещённой математической модели пористой и вязкоупругой среды может быть записана системой уравнений вида:
сЦ
ы
1 дал
Ро, дхк
р,
0,1
Ро.
1 др
Ро дх,
п
(и,-V, ) = *;/(*)
о/ р0 дх1
до* дг
ды, ды,
дх, дх,
к У
^ К--м Ро 3
р
V Ро
--^ - 0ср{)р{) л ¿/¡\>И + сср()р() ! сИ\>\>
дг
¿ЬСЙУМ -П^КЗ^СИуу = 0 •
Задача решается при нулевых начальных данных
м.| = V I = <Х = £>| =0
и граничных условиях на свободной поверхности при х2 = О
сг
= сг„
Ро, Ро
= 0
(6) = 0, (7) (8)
(9) (10)
^=0
Пример результатов расчёта волнового поля для совмещённой модели вязкоупругой и пористой сред представлен на рисунке 1. В качестве модели была задана среда состоящая из трёх однородных слоёв: верхний слой - упругая среда; нижний левый слой - пористая среда; нижний правый слой - вязкоупругая среда. Физические характеристики слоёв были заданы следующими:
-5
1) верхний упругий слой - р = 1.2 г/см , ср = 1.4 км/сек, сл = 1 км/сек;
2) нижний правый вязкоупругий слой с заданными функциями последей-
Л
ствия - р = 1.5 г/см , ср =1.9 км/сек, с, =1.3 км/сек, С)р =80, С)х =50;
3) нижний левый пористый слой с поглощением - р^= 1.5 г/см3, р(и = 1
Л -5
г/см , ср1 =1.9 км/сек, ср2 =0.4 км/сек, с, =1.3 км/сек, <1 = 0.1, ^ = 100 см /(г-сек).
Времена релаксаций подбирались так, чтобы задать значения добротности О, = 80 для продольной волны и о, =50 для поперечной волны в частотном диапазоне моделируемого сигнала в источнике. Толщина верхнего упругого слоя - 0.6 км. Вертикальная граница раздела между пористыми слоями проходит по линии х1 = 0.7 км. Волновое поле моделировалось от точечного источника типа центра расширения с координатами х1 = 0.7 км, х2 =0.5 км, расположенным в верхнем упругом слое. Временной сигнал в источниках задавался в виде импульса Пузырёва:
ДО - ехр
{ ? л
2 тг/^-^У
г2
где / = 4, /0 = 30Гц, t0 = 0.05 сек.
На рис. 1 изображен мгновенный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений и( х1, х2) в фиксированный момент времени при Т= 0.4 секунды. Из рисунка видно, что в нижнем левом пористом слое присутствует вторая продольная волна ср =0.4 км/сек, а в правом вязкоупругом слое
распространяется только поперечная и одна продольная волны имеющие заданное поглощение.
Рис. 1. Численный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений и(х, х2) в момент времени 1=0.4 секунды
Границы раздела слоев показаны сплошной линией. Верхний слой - упругая среда, левый нижний - пористый слой, правый нижний - вязкоупругий слой. Также проведены серия тестовых численных расчетов для определения области дилатансии.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ: № 13-01-00689-а, ИП СО РАН 54.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В., Роменский Е.И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва - 1993. - № 1. - С. 100-111.
2. Blokhin A.M., Dorovsky V.N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. -New York: Nova Science, 1995.
3. .Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium: I. Excitation of Oscillations of the Magnetic Field by the Surface Rayleigh Wave // Math. Comput. Modeling - 1996. - Vol. 24. - № 1. - P. 79-84.
4. Имомназаров X.X. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН -2000. - Т. 373. - № 4. - С. 536-537.
5. Imomnazarov Kh.Kh. Some Remarks on the Biot System of Equations Describing Wave Propagation in a Porous Medium // Appl. Math. Lett. - 2000. - Vol. 13. - № 3. - P. 33-35.
6. Carcione J.M., Kosloff D. and Kosloff R. Wave propagation simulation in a linear viscoe-lastic medium. // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. - 1988. - № 95. - P.597-611.
7. Имомназаров Х.Х., Михайлов А.А. Применение спектрального метода для численного моделирования сейсмических волн в пористых средах при наличии диссипации энергии // СибЖВМ, 2014, Т. 17, №2, с. 139-147.
© Х. Х. Имомназаров, А. А. Михайлов, 2015
