Сосредоточенная сила в однородной пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА В ОДНОРОДНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

X. X. Имомназаров, Ш. X. Имомназаров, С. Т. Туйчиева*

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090,

Новосибирск, Россия * Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, 100167, Ташкент, Узбекистан

УДК 550.344

Получено решение системы уравнений иороупругости в частотной области для сосредоточенного источника. Показано, что при исчезновении пористости построенное решение переходит к решению системы уравнений линейной теории упругости в частотной области.

Ключевые слова: пористая среда, гиперболическая система, фундаментальное решение, коэффициент трения.

The solution of the poroelsticitv system of equations in the frequency domain for a concentrated source has been obtained. It is shown that with the vanished porosity the constructed solution goes to solving a system of linear elasticity equations in the frequency domain.

Key words: porous media, hyperbolic system, fundamental solution, friction coefficient.

Большинство встречающихся в природе и используемых в науке и технике сред не являются однофазными и не могут быть отнесены к классу жидкостей, газов или твердых упруго деформируемых тел. Отличия в свойствах отдельных фаз, составляющих среду, и межфазные взаимодействия играют определяющую роль в динамике таких сред.

Теоретическое и экспериментальное исследования волновых процессов в упруго деформируемой пористой среде, насыщенной жидкостью или газом, являются актуальными и существенны для развития представлений о процессах, сопровождающих применение современных технологий использования пористых сред. К настоящему времени для теоретического исследования распространения волн в упруго деформируемой, пористой, насыщенной жидкостью среде имеется ряд подходов, из которых следует упомянуть теорию типа Френкеля-Био [1-3]. Данная математическая модель имеет ряд недостатков [4], и, кроме того, неясна возможность ее обобщения на случай конечных деформаций упругого скелета. В [5] отмечено, что произвольные изменения четырех параметров среды приводят к нефизичным результатам. Феноменологический подход, основанный на общих первых физических принципах, был использован при построении модели течения жидкости в упругой пористой среде для случая конечных деформаций [6]. Отметим, что система определяющих дифференциальных уравнений, построенных в [6], является гиперболической, однако привести все ее уравнения к симметрическому виду не удается. В [7] уравнения течения сжимаемой жидкости в упругой пористой среде выводятся с использованием метода термодинамически согласованных систем. Полученные дифференциальные уравнения

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации „Ведущие научные школы" НШ-5666.2014.5

образуют гиперболическую систему законов сохранения. Особенностью этих моделей является, наряду с распространением поперечной и продольной сейсмических волн, наличие второй продольной волны.

Данная работа посвящена получению решений линеаризованной системы уравнений пороупругоети из [6] для простых сил. Отметим, что простейшие источники в пористых средах (модель Био) также рассматривались в [8-11] и в указанной в них литературе.

Пусть пространство Я3 заполнено упруго деформируемой изотропной пористой средой, Распространения сейсмических волн в такой среде описываются следующей системой уравнений: линеаризованной системой динамических уравнений из [6]. Векторы скорости упругого скелета и и жидкости V удовлетворяют динамическим уравнениям для упругой и жидкой фаз в отсутствии диссипации энергии

д?и - с? Ди + (с? - аг) V V ■ и + а2 V V ■ V = Е(£, х), 52V + аз V V ■ и - а4 V V ■ V = Е(£, х),

(1) (2)

где Е = (^1,^2,^3) — массовая с ила, и = (щ,и2,и3), V = (г>1,г>2,г>3), — частная производная по времени ¿, Д, V и V- - операторы Лапласа, градиента и дивергенции по

х = (х1, х2, х3) соответственно, коэффициепты а^ ] = 1, 2, 3, 4 выражаются с одной сто-

\ к

роны тремя упругими параметрами А, р, а = ра3 + и соответствующими парциальными плотностями упругой матрицы р3, жидкоети рх формулами [6, 12]:

А+2р 2К а1 =----+ а р«

Рз

Р

а4 = а р1,

2

К = А +3 р,

а2

Р1

РР

К

аР

а3

К р

арз

Р = Р1 + Р«;

с другой стороны, тремя скоростями с^, С11, сх2 и соответствующими парциальными плотностями упругой матрицы р3, жидкоети рх следующими формулами [13, 14]:

а = Р (г2 + с2 ^ + 4 Р с2 + Р« - Рх =

а1 = р ^ +^ + 3+

а2

Р1 Р

с? + с? - 25 - 4 с2

а4

а3

Р. I 2 + с2 4 Р«-Р Г? + с°2 - 3 ^ - Р

Р« / 2,2 о ~ 4 2

^ + - ^ - 3 С2

Р1

8 Р.

5 = 2 ^ + * - 3 7 +

1( 2 _ 2 )2 _ 64

4( ^ С12) 9 р'

3 4 с4.

Парциальные плотности рх и р3 связаны с соответствующими физическими плотностями жидкости р^ и упругого скелета р{ следующими формулами рх = р^ и р 3 = р{ (1 - ^0), где — пористость.

Заметим, что при исчезновении пористости уравнение (1) переходит к неоднородной системе Ламе для однородной упругой среды [15, 16],

В случае, когда массовая сила Е, отнесенная к единице массы, имеет магнитуду ^0 и сосредоточена в точке х = х0, она имеет вид

1

рЕ = е /(*) ¿(х - хо),

(3)

где е — единичный вектор из Я3, ^(х) — функция Дирака, /(¿) — форма зондирующего сигнала по времени. Источники такого вида принято называть простой силой или сосредоточенной силой. Подставляя (3) в (1), (2) и переходя в полученных уравнениях к образам Фурье по времени, получим

р0 л

ш2 и — с? УхУх и + а! V V ■ и — а2 V V ■ V = —е — /(ш) $(х — х0)

Р

ш2 V — а3 VV ■ и + а4 V V ■ V = —е — /(ш) #(х — х0),

р

(4)

(5)

где Vx — оператор ротора по х, значок „крышка" означает преобразование Фурье по ш

Используя хорошо известную формулу векторного анализа

, , е .1 1

е ¿(х — *>) = — 4п д Я = — 4П

^■(Я)—Я

и полагая

и = ^0 /(ш) V V ■ (щ е) — VxVx(Uí е) V = ^0 /(ш) V V ■ (V е),

пз (4) и (5) получим

с? Дщ + ш2м4

4прЯ

ш2 йг + а! Дйг — а2 Диг ш2 — аз Дщ + а4 Диг

1

4пр Я 1

4прЯ,

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

где Я = |И.|, И = х — х0, с = л/

Удобно ввести новые функции йг, иг по формуле

иг VI

ш2 — ш!

т2 —1 ш! 1

иг

(11)

где ш! = аз 2 , ш2 = аз2 .

Подставляя (11) в (9) и (10), получим следующее уравнение

1 — 1/Ш2

сг1 Дщ + ш Щ

с,2 Дйг + ш2йг

4пр (1 — ш!/ш2)Я' 1 — ш!

(12)

(13)

г2 г ' г 4пр (ш2 — т!)Я

Отметим, что при исчезновении пористости из (12), с учетом определения коэффициентов а3, а4, ш!; ш2 и определения скоростей продольных волн сг1, сг2, получим уравнение для скалярного потенциала в упругой среде [15, 16],

Решениями уравнений (8)—(10), удовлетворяющих условиям йь(ш, 0) = 0 йг(ш, 0) = 0, иг(ш, 0) = 0, являются функции

1

1

и4(ш, Я)

1 1 _ Я

4пш2р Я ,

их(ш, Я) =

VI (ш, Я)

1 1 - 1/т2 1 - е-гк11 Я 4пш2р 1 - ш1/ш2 Я

1 1 - т1 1 - е-гкг2 Я 4пш2р т2 - т1 Я '

где кп = п = /1, /2__сп

Подставляя эти выражения в (6) и (7), получим

¿0/(ш) /е-гкгЯ и = 0 ^ 1 / (—— е + V V

4пр с;

Я

—г кг Я

к? Я

V!

е-гк11 Я

"кГн

V?

е-гк;2 Я

к? Я

Л ^0/(ш)^ V = 0 ^ ^ V V 4пш2р

е-гк11 я

е{ Я -т1 1/1 ^

т2 V?

е-гк;2 Я

к? Я

(14)

(15)

где

Vl

1 - 1/Ш2

V?

1/т2 - ш1/ш2

1 - 1 - т1 /т2

Формулы (14) и (15), используя единичную матрицу Е = (^)3х3, можно представить в эквивалентном виде

и

^0 / (ш) 4пш2р

УхУх Е

е

-г кг Я

Я

- УУ

Е Vl

е-гк11 Я

Я

+ V?

е-гк;2 Я

Я

^0 / (ш) 4пш2р

УУ

1

е-гк11 Я

Е| Я - т1 Vl к2 Я

т2 V?

е-гк;2 Я

к? Я

Здесь ^ - символ Кронекера.

В этих формулах легко узнать, что выражения

1 , { е-гкг Я

Ои(ш; х, х0) = --— ( VxVx ( Е

4пш2р V

Я

- УУ

Е[ Vl

е-гк11 Я

Я

+ V?

е-гк12 Я

Я

1

Е

е

-г кг Я

4пр(1 + Рх/Р«) V Я 1

С(ш; х, х0)

4пш2р 1

УУ-

+ VV

1

-г кг Я

е-гк11 Я

I к? Я

Vl

к? Я

V?

е-гк12 Я

"кТЯ"

е-гк11 Я

Е< Я - т1 Vl к2 я

е-гк2Я

- т2 V?

к? Я

1

е-г к;1 я

4пш2р VV и - т1 ^ к2 Я

- т2 V?

е-гк;2 Я

"Ар"

являются фундаментальной матрицей с компонентами С"- (ш; х, х0), С'",., (ш; х, х0) (г =

3 г 3

г + 3,^' = ] + 3, г, = 1, 2, 3) системы уравнений пороупругости (9)-(11), удовлетворяющей следующей системе дифференциальных уравнений:

е

е

е

w2 Gu - c2 VxVxGu + ai W- Gu - W- Gv = -p-1 E ¿(x - xo),

w2 Gv - аз V V ■ Gu + a4 V V ■ Gv = -p-1 E¿(x - xo).

Тогда решения u и V через фундаментальные матрицы Gu и Gv выражаются согласно формулам

u = Fo f (w) Gu e, V = Fo f (w) Gv e.

Таким образом, получены решения системы уравнений пороупругоети в частотной области для сосредоточенного источника. Показано, что при исчезновении пористости построенное решение переходит к решению системы уравнений линейной теории упругости в частотной области. Из построенных решений можно получить различные решения для разных сил в пористых, насыщенных жидкостью средах. Также из этих решений можно получить решения системы уравнений пороупругоети во временной области.

Список литературы

1. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. „Геогр. и геофиз." 1944. Т. 8. № 4. С. 133-150.

2. Вют М. A. Theory of propagation of elastic waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. I. Low-Frequency Range //J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28. N 2. P. 168-178.

3. Carcione J. M. Wave Fields in Real Media: Wave Propagation in Anisotropic, Anelastic Porous and Electromagnetic Media. N. Y.: Elsevier, 2007.

4. Жавворов H.M., Имомназаров X.X. Некоторые начально-краевые задачи механики

двухскоростных сред. Ташкент, 2012.

„"

„

6. Blokhin A.M., Dorovsky V.N. Mathematical modeling in the theory of multivelocitv continuum. N. Y.: Nova Sci., 1995.

7. Роменский Е.И. Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14. № 4(48). С. 86-97.

8. Bonnet G. Basic Singular Solutions for a Poroelastic Medium in the Dynamic Range // J. of the Acoustical Society of America. 1987. V. 82. P. 1758-1762.

9. bljrrldge R., Vargas c. A. The fundamental solution in dynamic poroelasticitv // Geophvs. J.R. Astron. Soc. 1979. V. 58. P. 61-90.

10. Kaynia A.M. Banerjee P.K. Fundamental solution of Biot's equations of dynamic poroelasticitv // Int. J. of Eng. Sci. 1992. V. 77. P. 12-23.

11. Молотков Л. А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб: Наука, 2001.

12. Dorovsky V.N., Imomnazarov Кн. Кн. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium // Mathl. Comput. Modelling. 1994. V. 20. N 7. P. 91-97.

13. Имомназаров X. X. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН. 2000. Т. 373. № 4. С. 536-537.

14. Imomnazarov Кн. Кн. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000. V. 13. N 3. P. 33-35.

15. Купрадзе В. Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М. Наука, 1976.

16. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. Том 1. М.: Мир, 1983.

Имомназаров Холматжон Худайназарович — д-р физ.-мат. паук, вед. науч. сотр. Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

Имомназаров Шерзад Холматжонович — аспирант Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Туйчиева Сайера Тохировна — старший преподаватель Ташкентского института инженеров железнодорожного транспорта

Дата поступления — 10.04-2015