Течение жидкости в цилиндрическом пористом каркасе с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Течение жидкости в цилиндрическом пористом каркасе с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора

Фасхеев И.О.

Московский государственный университет имениМ.В. Ломоносова

8-910-456-34-57,/ют$и@таИ. ги Аннотация. В статье приводятся постановка и численное решение задачи о стационарном протекании сжимаемой жидкости сквозь твердый деформируемый пористый цилиндрический слой из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.

Ключевые слов: пористые наполненные среды, интерактивные силы, межфазные взаимодействия

Введение

В развитие классических моделей [1-3] предложена модель [4], учитывающая материальные межфазные взаимодействия [5] и различные режимы движения жидкости и каркаса

[6]. На основании модели [4] в работе [7] была получена модель, учитывающая произвольные движения жидкости и малые перемещения точек твердого каркаса.

Постановка задачи

Рассмотрим плоскую осесимметричную задачу о стационарном течении сжимаемой жидкости в цилиндрическом пористом слое (с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь ) при отсутствии внешних массовых сил. Жидкость поступает из внутреннего полого цилиндра в пористый слой и вытекает наружу; при этом будем считать, что мы умеем регулировать входную скорость жидкости У1пс. Будем считать, что внутренний цилиндр закреплен

от перемещений. Введем стандартную цилиндрическую систему координат и будем считать, что в силу симметрии задачи все функции будут зависеть только от радиуса г (единственными нетривиальными компонентами вектора перемещений и вектора скорости будут компоненты и = иг и V = Vг соответственно). Для описания движения воспользуемся моделью

[7].

Примем ряд упрощений: отсутствие эффективных вязкостей жидкой фазы (А^- = 0, = 0); малость перемещений и градиентов перемещений каркаса; пористость т

будем считать постоянной.

Также будем считать, что из интерактивных сил [6,7] действуют только сила типа Дарси и сила фронтального напора, взятые, соответственно, в виде {в = V, и в виде

Г/ = со I у/ I'у/ (гДе 4)>со — известные константы, V— скорость жидкости). Связь между

истинным давлением в порах рр и истинной плотностью жидкости р^ примем линейной.

С учетом этих предположений большинство скалярных уравнений модели [7] выполнится тождественно (0 = 0). Остальные уравнения для рассматриваемого стационарного движения жидкости примут вид:

^ 99 + + С0у2 = 0, (1)

ёг г

ё ^ _ , 2 (Ь

- - с0у ту—, (2)

/ и и ' 1Ш /

аг ах

йг

4" (дарйп ГУ) = 0, (3)

„I и ёи „ ёи = -(1 - т)Рр [ - + — I + 2—, (4)

1 г аг) аг

„ (и йи Л „ и = -(1 - т)р + - + — 1 + 2|дк -, ^ г аг) г

„ , = -о-„> л + (Е+±),

= а* ее = ^ гг = -тр.,

(5)

(6)

(7)

Рр = Ро + ^(Рб. "РйпоХ (8)

где неизвестными функциями являются: компоненты эффективных тензоров напряжений каркаса и жидкости а5гг, а5ее, а5, а/гг, а/ее, а/22; ненулевая компонента вектора скорости

жидкости V, ненулевая компонента вектора перемещения точек каркаса и , истинное давление в порах рр, истинная плотность жидкости р^ .

Коэффициенты сил Дарси и силы фронтального напора с0, эффективные характеристики упругого каркаса Xж, пористость т, характеристики связи давления и истинной плотности жидкости р0, р^т, считаются известными константами.

Таким образом, получаем систему из десяти уравнений на десять неизвестных.

Примем следующие граничные условия:

и(а) = О, у(а) = о\г(Ь) =-(1 -т)ръ, р(Ь) = ръ.

т

(9)

Первое граничное условие означает закрепление внутренней (входной) границы каркаса, второе — увеличение входной скорости обратно пропорционально пористости каркаса; третье и четвертое — силовые условия на внешней (выходной) границе.

Выражая уравнения системы (1) - (8) через переменные и и V приходим к системе двух дифференциальных уравнений на три неизвестные и , V, с,

■ч •

С1С6п

1 йу 1 1 7 с, (йу V

— -Т- + — I-^ - с0 у = i — + -гу аг г V) г I аг г ,

С1С6п '

1 -т ( 1 йу ^ 1 ж (йи и\^

т I гу2 ёг г 2у) г I ёг

+ )

г а 2и

г )

^ 1 ёи и

У йг1 Г йг Г 2 J

+ ё0у + с0у = 0.

(10)

(11)

Константа с1 характеризует расход жидкости:

тр /ту = ■

(12)

Для приведения системы (10) - (11) к безразмерному виду возьмем следующие величи-

ны:

[а] = м, [р/та3 ] = кг,

а

= с.

(13)

Безразмерные аналоги соответствующих размерных величин будем помечать знаком тильда.

После приведения к безразмерному виду система (10)- (11) примет вид:

1 йу 1

ГУ2 (}г

Г 2 V

--- V -

т т

С0 ~2

т г I йг

<Зу У г

(14)

~~ „ ч| 1 dv 1 ^ 2Д, (dü ü i С, cím( 1 - т) | — — + — 1 + -^- I — - - | + rv dr г V) г I dr г

+(X s + 2Д,)

С d2ü 1 dü 1 ^ ^ -

н------ и

2 ~ JZ «2

dr г dr

+ V + V2 = 0. да да

Граничные условия примут вид:

fí(l) = о, v(l) = ^ ib) = о, Pp(b) = pb. (16)

да dr

Третье граничное условие (16) получено из третьего граничного условия в (9) и уравнения (4).

Четвертое граничное условие из (16) (при заданном втором условии) регулирует величину расхода жидкости. В ряде практических задач требуется обеспечить заданный расход жидкости. В этом случае вместо граничных условий (16) следует использовать условия:

ü{\) = 0, v(l) = ^ (Ъ) = 0, с1 = с1*. (17)

да аг

Тем самым выходное давление в четвертом граничном условии (16) определится из решения задачи.

Решение задачи

Для численного решения системы (14)-(15) возьмем следующие размерные величины, качественно соответствующие протеканию воды сквозь песчаный каркас [8]:

КЗ

cím = 2.ЭЭ• —, vinc = u.i-, т = —, а = 1 м, Ъ = 3ж, pfm0 = 1000 —,

" " 40 М (18) К

мГ"

Для коэффициентов интерактивных сил возьмем последовательно две пары значений: (с0, d0) = {(Ю; 1), (Ю; 100)}.

Вязкость воды ц, при нормальных условиях имеет порядок 10~3 Па ■ с .За характерный

2 , М г. „ М

V - V = i тс 0.1—

с

н

109 — Ро м = 105

размер пор d возьмем величину d =

[2, 10]. Тогда для числа Рейнольдса Re= по-

d0

лучим оценку Re порядка 10 -103.

Согласно таблице влияния интерактивных сил [6] основной "силовой" вклад будут вносить силы типа Дарси и фронтального напора.

При помощи программного пакета Maple для параметров (18) численно решим систему (14)-(15) с условиями (17) (задав значение Cj* = 1.003 ).

Графики основных величин (для двух пар значений (с0, d0)) : скорости жидкости v, перемещения точек каркаса й , истинного давления в порах р0, истинного значения плотности жидкости pfm в зависимости от г представлены на рисунках 1 а)-г) (пунктирной линией построен график для случая (10, 100), а сплошной — для случая (10, 1) ).

График 1а показывает, что скорость течения жидкости на границе проникновения в пористый каркас выше скорости на выходе (в силу постоянства расхода и увеличения площади поверхности цилиндра при увеличении радиуса).

График 16 показывает, что перемещения точек каркаса возрастают от входа к выходу (в силу наличия интерактивных сил), причем увеличение коэффициента силы Дарси влечет увеличение

перепада. Также на рисунке видно, что в точке г = b графики имеют нулевую производную по г, что согласуется с третьим граничным условием в (17).

mv/Vinc

Рисунок 1. График (а) скорости течения жидкости; (б) перемещения точек каркаса; (в) истинного давления в порах; (г) истинной плотности жидкости

Истинное давление и истинная плотность жидкости на входе выше своих выходных значений (рисунки 1в и 1г, соответственно), причем увеличение коэффициента силы Дарси также влечет увеличение перепада величин.

Заключение

Полученные численные решения согласуются с механическим смыслом параметров, входящих в задачу. Как видно из входных и выходных значений всех величин, увеличение коэффициента Дарси вызывает увеличение перепада значений от входа к выходу, что соответствует его механическому смыслу (этот коэффициент характеризует "фильтрационные" свойства интерактивных сил).

Литература

1. Biot М.А. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media //J.Appl.Phys. 1962. 33, N4. 1482-1498.

2. Коллинз P. Течение жидкостей через пористые материалы. М., 1964.

3. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

4. Бровко Г.Л. Модель неоднородной жидкогазонаполненной среды с деформируемым твердым каркасом // Вестник МГУ. Математика, механика. 1998. N 5. С 45-52.

5. Бровко Г.Л. Принцип материальной независимости от системы отсчета и структуры ин-

терактивных взаимодействий в гетерогенных средах // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. 11. Вып. 2. Механика. С 21-29.

6. Бровко Г.Л. Вопросы инвариантности в классических и неклассических моделях сплошных сред // Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006 года) / Под ред. И.А. Кийко, P.A. Васина, Г.Л. Бровко. М.: ЛЕНАНД, 2006. С 110-123.

7. Гришаев А.Г. К моделированию свойств наполненных пористых сред // Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006 года) / Под ред. И.А. Кийко, P.A. Васина, Г.Л. Бровко. М.: ЛЕНАНД, 2006. 124-129.

8. Coussy О. Poromechanics. Chichester, West Sussex: John Wiley and Sons Ltd, 2004.

9. Фасхеев И.О. Одномерное течение жидкости сквозь пористый каркас с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора. Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 2012. № 6. С 62-66.

10. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах, 1984.