Научная статья на тему 'О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского'

О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
644
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБОБЩЁННЫЕ СУММЫ РОГОЗИНСКОГО / ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ НОРМ ОПЕРАТОРОВ / НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЙ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бабушкин Максим, Жук Владимир Васильевич

Пусть $C$ пространство непрерывных $2\pi$-периодических функций с нормой $\left\|f\right\|=\max\limits_{x \in R}\left|f(x)\right|$. Положим \begin{gather*} U_{n}(r, \alpha;f) = \sum\limits_{k=0}^{n}\left(1 \left(\frac{\sin\left(\frac{\alpha k}{n+1}\right)}{\sin \alpha}\right)^{r}\right)A_{k}(f), \left\|U\right\| = \sup\limits_{f \in C}\frac{\left\|U(f)\right\|}{\left\|f\right\|},\quad A(r,\alpha) = \sup\limits_{n \in Z_+}\left\|U_{n}(r,\alpha)\right\|. \end{gather*} В работе изучаются величины $A(r,\alpha)$ как функции параметров $r$ и $\alpha$. Полученные оценки применяются для установления неравенств типа \begin{gather*} \left\|f U_{n}(f)\right\| \leq C_{1} \Phi(f), \Psi(f) \leq C_{2}\left\|f U_{n}(f)\right\|, \end{gather*} где $\Phi$ и $\Psi$ некоторые функционалы, представляющие интерес для теории аппроксимации

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 5-29 = Математика

УДК 517.5

О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского

М. В. Бабушкин, В. В. Жук

Аннотация. Пусть С — пространство непрерывных 2п-периодических функций с нормой ||/1| = max |/ (x)|. Положим

xGR

Un(r,a;/) = ± (l - () ) Ak(/>•

|UII = sup )l , A(r,a) = sup ||Un(r,a)|| . fee II/У nez+

В работе изучаются величины A(r, а) как функции параметров r и a. Полученные оценки применяются для установления неравенств типа

II/ - Un(/)|| < С1Ф(/),

Ф(/) < С2II/- ип(/)||,

где Ф и Ф — некоторые функционалы, представляющие интерес для теории аппроксимации

Ключевые слова: обобщённые суммы Рогозинского, двусторонние оценки для норм операторов, неравенства для отклонений.

1. Введение

1.1. Основные обозначения и агрегаты приближения. В

дальнейшем М, М+, Z+, N суть соответственно множества вещественных, неотрицательных вещественных, неотрицательных целых, натуральных чисел. Запись к = а,Ь, где а, Ь € М, означает, что к пробегает все целые числа между а и Ь, включая а и Ь, если они целые. Все функции предполагаются вещественными. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в этой точке по непрерывности; в других случаях символ

ь

0 понимается как 0. Сумма ^ при Ь < а считается равной 0. Если а € М, то

а

[а] — целая часть числа а.

Через С обозначаем пространство непрерывных 2п-периодических функций /: М ^ М с нормой

у/У = тях|/(х)| ;

жЄК

С(г) = {/ Є С: 3/(г) Є С}. Далее С (Е) — множество функций, непрерывных на отрезке Е, С(г) (Е) = {/ Є С (Е) : 3/(г) Є С (Е)}. Через Нп обозначаем множество тригонометрических полиномов порядка не выше п;

ГО

Н = У Нп. При 1 ^ р < то через обозначаем пространство измеримых

п=0

/ П \ 1/p

2п-периодических функций f, у которых ||f Ур = f J |f |pj < ж; L^ = C.

— П '

Пусть f Є L1. Тогда

П

ak(/) = 1 J /(t) cos kt dt, bfc(/) = 1 J /(t) sin kt dt

— П —П

— коэффициенты Фурье функции /; при k € N

Ak(/, x) = ak(/) cos kx + bk(/) sin kx, Ao(/, x) = ao(/-).

Для n € Z+, / € Li полагаем

n n

Sn(/,x) = J] Ak (/,x), Sn(/,x) = J] (—bk(/) cos kx + ak(/) sin kx), k=0 k=1

k xr N

Rn,r(f) = 1 — ^) Ak(f).

Через Dn и Фп обозначаем соответственно ядра Дирихле и Фейера:

nn

n

Dn(t) = 1 I 2 + ^ cos кЛ , D-1(t) = О,

М 2 \ к=1 /

1 П

Фп(-) = —+у ^^п(-), Ф_1(*) = 0.

— + к=0

Пусть {цк}^=1 — числовая последовательность. Тогда

Ацк = Цк+1 — Цк, Д2цк = Цк+2 — 2цк+1 + Цк •

Пусть г € Z+, - € М, /: М ^ М. Тогда через (/) обозначаем конечную центральную разность г-го порядка функции / с шагом -

г -(/,х) = £(-1)кСк/ (х + Г- - к-).

к=0

П

Пусть 1 ^ р ^ ж, / € £р. Тогда (/,Л,)Р = вир (/)|1 —

|*|<й

модуль непрерывности порядка г функции / в пространстве Ьр,

Еп(/)р = М ||/ — Т||р — наилучшее приближение функции /

Т £Нп

тригонометрическими полиномами порядка не выше — в пространстве Ьр.

B. Рогозинский [1] ввёл в рассмотрение средние

Д,(ап, /, х) = 1 (5П(/, х + а,) + 5П(/, ж — ап)),

где ап — некоторые числа, и показал, что при некоторых ограничениях на эти числа для любой / € С

Иш || / — Дп(ап,/)|| = 0.

C. Н. Бернштейн[2, с. 523-525] построил близкие по идее к суммам Рогозинского полиномы

вп(/х) = 2 (МЛ х) + 5П (Л х + 2—

которые также при — ^ ж для функции / € С равномерно сходятся к /.

Введённые выше агрегаты приближения, а также их многочисленные модификации изучались многими авторами в различных направлениях. Не претендуя на полноту, укажем ряд работ, имеющих отношение к обсуждаемому вопросу. Статья [3] имеет обзорный характер, в ней имеется список работ, вышедших до 1951 г., посвящённых методу суммирования Бернштейна-Рогозинского. В книге [4, с. 330-332] даны указания на ряд работ, относящихся к обсуждаемой теме. См. также [5, с. 269-272], [6-13].

1.2. Постановка задачи. При 1 ^ р ^ ж для оператора и: £р ^ Н полагаем

1|Ц (/)НР

/ ёЬр

р = йИр

Пусть

2 V V 2(— + 1)/ V 2(— + 1)

В [12] указан способ, позволяющий вычислять ||Дп|| для каждого — € Ъ+ с любой степенью точности. Ранее В. К. Дзядык [14, с. 123] показал, что

71

||Д,|| = — г.

где 0 < Гп <

В [15] был рассмотрен метод приближения

A (/),

который может быть записан в виде

Un(r, а; /) =

<

/

если 2 Є Z+,

если Є Z+.

(1)

В настоящей работе величина

A(r, а) = sup ||Un(r, а)У

n€Z+

изучается как функция параметров r и а.

Ранее аналогичная задача была рассмотрена в [16] для величин sup ||ХП)ГУ и sup yRra;rУ, где Xn,r и соответственно суммы

Ахиезера-Крейна-Фавара и средние Рисса порядка г.

2. Вспомогательные результаты

2.1. Известные результаты. Нам понадобятся следующие результаты.

Теорема 1 (см., например, [17, с. 168]). Пусть ф € C([0,1]), ф(0) = 1,

Теорема 2 (см. [18, с. 114]). Пусть n € N, r € Z+, 1 ^ p ^ ж, h € (0, ,

T € . Тогда

n

ф(1) = ° Un(/) = Ё ф (n+г) A(/)- Тогда fc=0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 3 [16, с. 46]. Пусть r € N. Тогда

Лемма 1. Пусть ф € C(2) ([0,1]), ф(0) = 1, ф(1) = 0, ф'(£) ^ 0 на [0,1], ф' (0) = 0. Тогда

СО 1

У У ф(£) cos(xt) dt

о о

2 2

^ Si (п) +— (1 — ln 2) +— ln 1 + п п

|ф'(1)1 +J |ф''(t)l dt

о

Лемма 1 — частный случай леммы 2 из работы [16, с. 39].

Лемма 2 [16, с. 41]. Пусть ф € C([0,1]), 5 ^ / |ф(^ — 1| dt > 0. Тогда

о

ф^) cos(xt) dt

dx ^ — 2 ln 5 + 0,159 — п5. п2

2.2. Новые результаты. Установим ряд вспомогательных утверждений. Лемма 3. Пусть г > 1, 0 < а ^ §, ф(£) = 1 - (. Тогда

2а^/г

Ф)1 + J |ф''(t)| dt = < (sin а)

2га ctg а

г—1

1\~ 2

1-----I , если cos2 а ^

r

, если cos2 а ^ Доказательство. Производные функции ф имеют вид

га г_ 1

ф (t) = — (—--(sin аt) cos аt,

ф' '(t)=(sin агГ'2(1—cos2 аг)-

Пусть cos2 а ^ 1. Отсюда следует, что уравнение cos2 at единственное решение to на отрезке [0,1]. Поэтому

(2)

(3)

- имеет

r

1

1

'(1)1 + J Iф''(t) I dt = —ф'(1) + J (—'ф"№) dt + J ф''(t)dt

о о to

= —ф' (1) + ф' (0) — ф' (to) + ф' (1) — ф' (to) = —2ф' (to) =

2га г-1 , 2а^Т

(sin а^) cos at0 =

(sin а)

(sin а)г

г—1

1 — ^ ^

r

1

1

1

Пусть теперь cos2 а ^ 1 .В этом случае 1

1ф'(1)I + I ^''(t)| dt = —ф'(1) + ф'(0) — ф'(1) =

о

,,, , 2га г_ 1

= —2ф (1) = —-------— (sin а) cos а = 2га ctg а.

Следующая лемма, по существу, хорошо известна. Приведём её вместе с доказательством.

Лемма 4. Пусть x > 0, Г — гамма-функция Эйлера. Тогда

Г (х + 1) <

Г(х + 1) < д/ж’

Доказательство. Пусть f (x) = (++)2). Производная функции f

имеет вид

f (x) = Г (x + 1) + f (x) 2^r(x + 1) +

Vх (Г' (x + 1) r(x + 1) — Г (x + 1) r'(x + 1)) =

+ r(x + l)2 =

Г (x + 2) Vxr (x + 1) l Г' (x + 2) r'(x + 1)

+

^vxr(x + 1) r(x + 1) v r(x + 1) r(x + 1)

Г (x + 1) l l l 1

2

1 + 2x ф x + - — ^(x + 1)

2д/жГ(ж + 1) \ \ V 2

где ф(ж) = ^(аХ)^ — дигамма-функция. Применяя формулу конечных

приращений, находим

Г (ж + 11

^(ж)=2У5Г(ж + 1) (1 - ж^К)), (4)

где ж + 2 <£<ж + 1.

Для производной дигамма-функции справедливо разложение в ряд (см. [19, с. 59, формула (9)])

ф' (о =

О 1

k=o (^ + k)

2

Предполагая, что k Є N, имеем k+1/2

dt І І

J (е + t)2 е + k - 1 е + k + 2

fc-1/2 ІІ

(е + k - 1 )(е + k + 1) (е + k)2

Следовательно,

.1 [ dt 1 4 1

е2 + J (е+1)2 е2 + е + 2 < (2x + і)2 + x + 1 ■

1/2 2

Таким образом,

,, . 4ж ж 4ж3 + 8ж2 + 5ж

ж < (2ж + 1)2 + ж + 1 4ж3 + 8ж2 + 5ж + 1 < ’

Отсюда и из формулы (4) следует, что функция /(ж) возрастает, а значит /(ж) ^ Иш /(£). Осталось показать, что Нш /(£) = 1. Для этого

воспользуемся формулой Стирлинга (см. [19, с. 62, формула (2)]). Имеем

^жУ2Пеж 1п(а+1/2)е-а-1/2 (1 + о (а))

/(x) =

v/^e(x+1/2)ln(x+1)e-x-1 (l + O ( і))

/xe1/2 (i + о( = n^e1/2 (1 + о(|» (1

д/x + 1 ex ln(x+1)-x ln(x+1/2) Yx + 1 (1 + 2x+x)x

что и требовалось.

Лемма 5. Пусть r > —1, 0 < а < 2. Тогда

[ (sin а^г dt < Л+ 1-1 (si.n а) +. .

J V д/—2 ln (sin а) / а(r + 1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

o v

Доказательство. Разложение функции (1 — x2)-2 в ряд Тейлора вблизи нуля имеет вид

1 -1+1l—111— 2 — О — l—1 — ^ (—x2)‘

vl-x2 frjv 2 A 2 A" \ 2 ' 7 k!

, + V (-1)*Г(*+ 2) (~1)kx2k ^ Г (* + 2) x2k

+ Й г(1) k! ^ П* + 1) ■

Производя замену переменной x = sin а^ находим

1 sin а

f (sin а^г dt = 1 f 1 2 dx =

00 sin а

а J л/1 —

x

^ Г (k + 2; x2* dx = а^ J ~ tk Г (k + 1) x dx

:

x:

0 k=0

sin а

5'

4= E r(k. + 2) I x2k+: dx =

а^/— Г (k + 1) J

1 g Г (k + 2) (sin а)2к+:+1

Г (k + 1) 2k + r + 1 ’

k=0

Принимая во внимание лемму 4, получаем 1 /

/(sin а()" dt < (sin^ ( + V ^(sin а)2к

У ад/^ yr + 1 k= \/fc(2fc + r + 1)

(СО

A + f (sin а)2* dt

r + 1 o Vt(2t + r + 1)

Полагая a = л/—2 ln(sin а) и производя замену переменной t = x

СО СО 2

/■ <sin а»2‘ dt = —,«=

2

J \/t(2t + r + 1) J \/t(2t + r + 1)

00

с

9 9

e-“ x 2x 2

2^2

dx < ------------- e “ x dx =

J 2x (x2 + :^+^) " r + 1

0 2 0 2 л/п л/п

г + 1 2а (г + 1)д/—21п(вш а) Сопоставляя полученное неравенство с (5), получаем требуемое. Лемма 6. Пусть г> 0, 0 <а ^ |. Тогда

г 2

2

1

У (sinаt): dt < (sinа):у^ —

<

(Б)

, находим

Доказательство. Установим, что при t е [0,1]

nt

sin(at) ^ (sin a) sin —. (6)

С этой целью рассмотрим функцию

nt

f (t) = (sin a) sin —— sin(at).

Её вторая производная имеет вид

fw(t) = — ^ (sin a) sin ^2 + a2 sin(at).

Так как a е [0, §], то sin a ^ ^. Поскольку sin x возрастает на отрезке [0, П ] и at ^ n-t ^ -, то sin n-t ^ sin(at). Принимая во внимание сказанное, имеем

п2 2a . . 2 / п \

f (t) ^ —— • — sin(at) + a sin(at) = a — — a sin(at) ^ 0.

4 п V 2 /

Следовательно, функция f (t) выпукла вверх на [0,1]. Кроме того, f(0) = f(1) = 0. Таким образом, f(t) ^ 0 на [0,1], а значит справедливо неравенство (6).

Интегрируя обе части (6), возведённые в степень г, по отрезку [0,1], получаем

1 1

Г / ,тЬГ

Г

У (sin at)r dt ^ (sin a)r J ^sin dt.

2

Интеграл в правой части неравенства выражается через гамма-функцию следующим образом (см. [19, с. 25, формула (19)]):

7т/2

г 2 Л . 1 „ (т + 11

У (sin f) dt = 2 / (sint)rdt = 1 B ( г (^) r (1 ) _ r (i + 1)

nr(i + 1) vnr(i + 1)'

Остаётся воспользоваться леммой 4.

Лемма 7. Пусть r > 1, 0 <a ^ §, h > 0. Тогда

M (r, a)

2

1

sin a^ r

1 — -------- cos(xt) dt

sin a

о

h

где

г — 1

2а^Г Л Л 2 2 ^1

7-----— 1--- , если СОВ2 а ^ -,

М (т,а) = <(^п а) V т/ т

2та ctg а

2 1 если сов2 а ^ -.

т

зт \г

Доказательство. Положим ф(£) = 1 — ()Г. Дважды интегрируя по частям, а также принимая во внимание формулу (2), находим

1 1

У ф(£) сов(ж£) ^ = —1 У ф(£) вт(ж£) ^ =

о о

1

11

= ^7Ф(1)совж-- ф"(£) сов(ж£)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ж2 ж2 У

Поэтому

СО 1 СО / 1 \

У У ф(£) сов(ж£) ^ ^ж ^У I |Ф(1)| + / |ф/;(^)| ^ж =

ь о ь V о /

= Н (|ф(1)| + У|ф//(^ ач •

Остаётся воспользоваться леммой 3.

Следствие 1. Пусть т ^ 2, Н > 0. Тогда

пт

аж ^ ,

г—1

аж < ^ ^ 2

Нт

Лемма 8. Пусть 0 <а ^ П, ж> 0. Положим

/г (ж) =

2

sin ж

ж

если 2 €

1 — сов ж т — 1

------------, если —-— €

1

1

Тогда при т € Z+

1

вш аА г\ sin ж (—1) [г/2]

1 — ~---------- сов ж£^ =-----------------------——----------(/г, ж) •

Доказательство проводится методом математической индукции. При т = 0 имеем

'(• ^ sin ж (—1)[г/2]

(вт а£) сов ж£а£ = --------- = -------—------°2« (/, ж) •

о

Если же т = 1, то

1 1

1

У (вт а£)г сов ж£^ =^J (sin(ж + а) £ — вт(ж — а) £) ^ =

оо

1 / 1 — сов(ж + а) 1 — сов(ж — а) \ (—1) [г/2]

2 V ж + а ж — а ) 2

г/ ,

-^2а (/г,ж) •

Предполагая справедливость формулы при некотором значении т, находим

( —1)[ “1 *г+2 (/).„ж) = — 1 Л2 ^ ( —1)[Г/2] Л2

1

2г+2 (/г+2,ж) = — ^^^(/г, О ,ж^ =

1 О \

= — 4 I (sin а£)г сов(-£) ^ 1 =

1

= — 4 / <в!п а'*)" (с»(ж + 2а) - 2 сов ж + с»(ж — 2а)‘) * =

0

1 1

= — 4 у (вт а£)г (2сов2а£ — 2) сов ж£^ = J (sin а£)г+2 сов ж£^.

Окончательно,

1

sin аА г

1 — ---------- ) ) сов ж£ ^ =

\ sin а

о

1 1

= сов ж£ ^ —

(sin а)г оо

У (sin а£)г сов ж£ ^ =

1

sin X (—1)Ir/2l

ж (2вш а)г

Лемма 9. Пусть т € М, тогда

^2а (fr,x) •

nm

со 1

j J (1 — (sin I)2m) cos(xt) dt

0

dx =

1 m-1 / j-1

- 22m ( —1)j I 2 C2m + C2m ) (Si(n(2m — j)) — Si(nj)) • j=0 \ k=0 /

Доказательство. Пусть I(m,x) = / ^1 — (sin nt)2mj cosxtdt. Полагая

a = 2 в лемме 8, имеем

T, s sinx (—1)m _,,k„k sin(x + nm — nk)

I(m,x) =----------v 0y > (—1)kCim— ---------------------—L

x 2im ^ x + nm — nk

k=0

/1 1 2m ^k \

1 1 C2m \ _

= (sin x) - — Trim

ж 22т ^ ж + пт — пк /

\ к=0 /

(1 1 _т_ ст+к \

ж — 22т I:

к=-т /

Поскольку функция 1 выпукла вниз при £ > 0, то, в силу неравенства Йенсена, при ж > пт получаем

т ст+к 1 ( т с т+к \ 1

I: ^ >(е <*+'км =

=-т =-т

(т ^т+к т х~*т+к \ 1 ^

Е Сйтж + Е %!гпк = ж •

=-т =-т

Следовательно, предполагая А > пт, находим А А

Г Г ( 1 ”

I1 (m,x)|dx = |sinx| ^

V k= — m

-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 m лт+k -1

^ °2m________I dx =

m , x + nk x

nm 4 k=-m

2m A

v- Ck / 1 sin(x + n(k — m))| dx_ 22mz=^ °2my x + n(k — m) dx

k—0 n-m

22т

£с

к=о

А

к ( 1 sin ж| = 2т I

ж

пт

/ А+7г(к-т)

£ск

22т ^ ^2т

к=о

| sinж|

А

аж

1

у пк / 7гт

V"1 ск

22т 2т

2 к=о

| втж|

А

аж

\пк

А+п(к—т)

\

вт ж| аж =

ж ) \

| sin ж аж

ж )

Полагая ^(к) = / 1 8™х| йж и устремляя А к бесконечности, получаем о

О 1 2т

|/(т,ж)| йж =^^ С2кт (Мт) — Мк)) =

2 к=о

пт к=о

1 2т

= ^(т) — С2тМк)-

(7)

к=1

Функция ^(к) выражается через функцию з(к) = (—1)к+1Б1(пк) при к € € Ъ+ следующим образом:

к—1

Мк) =2^ .(0) + .(к).

.7=1

(8

Действительно, при к = 0 формула верна. Принимая во внимание определение ^(к), имеем

п(к+1)

^(к + 1) = ^(к) + У

| вш ж|

аж =

пк

= ^(к) + (—1)к+2 (Б1(п(к + 1)) — Б1(пк)) = к—1 к

= 2 ^ «0) + в(к) + «(к + 1) + «(к) = 2 ^ в(;) + в(к + 1). .7=1 .7=1

Возвращаясь к (7), находим

0 2т / к—1 \

2» / 11К X) 1 *, = 22тд(т> — £ С*. 2 £ .0) + .(*)

к=1

.7=1

1

1

ж

ж

ж

2т к—1 2т

= 22т^(т) — 2 ЕЕ С2т. 0) — I] С2т.

(к) =

к=2 7=1 к=1

2т—1 / 2т \ 2т

22т^(т) — 2 ^ 5°) I ^ С^т) — ^ С2т.(0). 7=1 \к=7+1 / 7=1

Снова пользуясь формулой (8) и разбивая суммы в полученном выражении на три части, получаем

СЮ 1

( О т— 1

-)2т

/»/</- л.

|1 (т,ж)| dж = 22т+1 в(0) + 22т^(т)

7=1

7гт «•'

пт

т—1 / 2т \ / 2т

8(0) I > С 2^ I — 2«(т) ( V С2т

~2 .(0) ( ^ С2т ) — 2«(т) ( ^ С

7=1 \к=7+1 / \к=т+1

2т / 2т \ т—1

к7

“2 ^ .(0) ( ^ С2т I — ^ С2т«(0) — С2т.(т)_

7=т+1 \к=7+1 / 7=1

2т т— 1 / 2т

У, С2т.°) = X/ .(0М 22т+1 — 2 X/ С2т — С27

2т / 2т \ т—1 / 7

к | /"<^ \ ___ \ Л „/„Л I

_ X/ .(0) ( 2 X/ С2т + С2т = X/ .(0М 2 С2т — С2т ' _

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

.0)1 2 2_> С2т + с2т = 2_>.

7=т+1 V к=7+1 ) 7=1 \ к=о

2т / 2т—7 — 1 \

к , р2т—7 I

£ .(0и 2 £ с2т + С

7=т+1 \ к=о

т— 1 7— 1

= Е «(0М^ С2*т + С2;

7=о V к=о

т— 1 7— 1

к

- Е .(2т — 0) 2 С2т + С2т

.

7=о \ к=о

т— 1 7— 1

т— 1 7— 1

Е ( 2 X/ С2т + С2т ) (.(0) — .(2т — 0)) •

7=о V к=о /

Принимая во внимание определение функции 8(0), получаем требуемое.

7=т+1 7 = 1 \ к=7+1

3. Основные результаты

Пусть, как и ранее,

ak ' n+1,

k=0

sin а

Ak (f )•

Теорема 4. Пусть т> 1, 0 <а< П. Тогда

max{m1(r), m2(r, a)} ^ sup ||Un(r, a)|| ^

n€Z+

4 2 4

^ —i ln (1 + [M(r, a)]) +— Si(n) +—-(1 — ln2),

"Г2 П "7r2

п2

п2

где

2 n 0,318

m1(r) = —- ln r +------- ln — +

п2

п2

2

44

m2(r, a) = —- ln(r + 1)- lnC(a) +

22

2

п V nr 0,318 C(a)

п2

п2

C(a) = 1 +

1

\J 2 ln(sin a) J a

п sin a

r+1

2a^/r

M (r,a) = <|(sin aM r

2ra ctg a

r — 1

1-1

cos2 a

cos2 a

Доказательство. Оценка сверху получается сопоставлением теоремы 1, леммы 1 и леммы 3. Полагая 5 = ^Г+о! или 5 = \р2г в лемме 2 и принимая во внимание лемму 5 или 6 соответственно, приходим к оценке снизу.

Теорема 5. Пусть r > 1, тогда

2 2 п 0,318 /2

— ln r +--i ln - +---------\j ^ sup

п2

4

^ -i ln п2

п

22

п

пг

n€Z+

Un (r, 2

r—1

WH 1 — 2

r

24 + 1 ] + — Si(п) + (1 — ln 2).

п

п2

Доказательство. Для получения оценки сверху достаточно сопоставить теорему 1, лемму 1 и лемму 3. Применяя теорему 1, лемму 2 и лемму 6, получаем оценку снизу.

2

1

1

Замечание 1. Из теоремы 4 следует, что при 0 < a < - и всех достаточно больших r

44

ln r + C1(a) ^ sup ||Un(r, a) || ^ ln r + C-(a),

п2 n€Z+ п2

где C1(a) и C-(a) — некоторые константы, зависящие только от a. Из теоремы 5 вытекает, что при r > 1

2

—- ln r — 0,61 ^ sup

n€Z+

п

Un (r, 2

2

ln r + 1,88.

п2

Действительно,

ln

r—1

пл/г ( 1 — 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

r

+ 1 ^ 1п(пд/Т + 1) =

Поэтому

sup

n€Z+

п 2 4 2

Un ( r, - ) ^ —y ln r + ^2 (1п(п + 1) + 1 — ln 2) + - Б1(п) ^

2 п2 п2 п

^ ln r + 1,88. п2

С другой стороны, ^ . Следовательно,

sup

n€Z+

Un (r, 2

2 2 п 0,318 12

^ ln r +----------^ ln — +---------------л I - >

п2

п2 2

п

п2

Замечание 2. Пусть 0 <r ^ 1, 0 <a ^ П, n € Z+. Тогда оператор Un(r, a) является положительным и ||Un(r, a)|| = 1.

Доказательство. Положим pk = 1 — Абеля дважды, имеем

sin

ak

n+1

Применяя преобразование

11

n+1

п2

+ E Pk cos kt = E Pk (Dk(t) — Dk-1 (t))

k=1

k=0

n+1

n+1

E PkDk(t) — ^ PkDk-1(t) = ^ (PkDk(t) — Pk+1Dk(t))

k=0

k=0

k=0

sin2 a

n

n

(рк — Рк+і) ((к + 1)Фк(і) — кФк;-1(і)) —

к=0

п п

(—Арк) (к + 1)фк(і) — (—Арк) кФк-і(і) —

к=0 к=0

— (—Арп) (п + 1)Фп(і) +

п- і

+ (( —Арк) (к + 1)фк(і) — (—Арк+1) (к + 1)фк(і))

к=0

пі

Рп(п + 1)Фп(і) + Е (А2Р^ (к + 1)Фк(і).

к=0

Из равенства (3), справедливого при 0 < т < 1, следует, что вторая производная функции ф(£) = 1 — ()Г неотрицательна на (0,1]. Если же т = 1, то ф"(£) = а2 ^ 0. Таким образом, при к = 0, п — 1 будет Д2рк ^ 0,

а значит

пі

+ Е РкСО!3 кч — Рп(п + 1)Фп(і) + Е (А2Р^ (к + 1)Фк(і) ^ 0. к=1 / к=0

Окончательно,

2п

1

+ Рк СО8 кі

2п

11

к=1

2п

МУ 2

0

У 2 ^ Рк у СО8 кі 1 — 1.

П к=1 П /

4. Некоторые неравенства, связанные с величиной II/ - ип(г,а; /)||р

Теорема 6. Пусть п Є ^+, г Є М, 1 ^ р ^ ж, / Є Тр, 0 < а ^ П. Функционал Ф: Тр ^ М+ обладает свойством: Ф(#і + д2) ^ Ф(#і) + Ф($2) для любых функций ^1,^2 Є Тр. Положим

ІФІ

эир

/ ЄС

Ф(/)

^п,г,р — ЯИр

Ф(Т)

Т ЄЯп

£ к- А (т) к=1

Тогда

Ф(/) < (||Ф||р + ^п,г;р(п + 1)г ||Цп(г, а)||р) ||/- ип(г, а; /)||?

п

п

2

р

п

р

р

Доказательство. Для произвольного полинома Т Є Нп полагаем

3 (Т) —

т,

если 2 Є М,

А(Т), если *+ Є N.

Учитывая (1), оператор ип(г, а; /) можно записать в виде

( —1)[ 2 1

ип(/) — ип(г, а; /) — ЗД) - Д . ) ,г ^ (3(ЗД))). (9)

(2эш а)г

п + 1

Имеем

Ф(/) — Ф(/ - ип(/) + ип(/)) < Ф(/ - ип(/)) + Ф(Цп(/)) < < 1|Ф|р II/ - ВД)|р + ^п,г,р 3(ВД))(Г)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Принимая во внимание теорему 2, находим

з (ад ))(г)

п + 1 2зіп а

(3(Цп(/)))

П + 1

п + 1 2эш а

Г

(3(5п(Цп(/))))

П + 1

— (п + 1)Г ||5п(Цп(/)) - Цп(Цп(/))||р — — (п + 1)г ||Цп(/) - ип(ип(/))||р < (п + 1)г ||Цп||р II/ - ип(/)|р . Окончательно получаем Ф(/) < ||Ф||( II/ - ип(/)|р + ^п,г;р(п + 1)Г ЦЦпУр II/ - ип(/)|р —

— (||Ф||р + ^п,г,р(п + 1)- ЦЦпУр) II/ - ВД)||р .

Эта теорема представляет некоторую модификацию теоремы 1 на стр. 272 в [18] с учётом особенностей, которыми обладает рассматриваемый агрегат приближения.

Теорема 7. Пусть п Є Ъ+, 2 Є М, 1 ^ р ^ ж, 0 <а ^ 2, / Є Ьр, Н > 0. Положим

Д(г, а)р — зир эир

Еп(/)р

пє2+ /єЬР (/, п+1)р

Тогда

- ип(г,а; /)|р < ( (1 + |ип(г,а)||„ +7-7

1

+

(2 зіп а)г

^г I /,

р ' (зіп а)г 2а

£(г, а)р+

п + 1

р

(/,Н)р < (2- + Н(п +1)г |1ип(г,а)У || / - ип(г,а;/)|р

(10)

(11)

р

г

р

р

р

1

Доказательство. Пусть Тп — полином наилучшего приближения функции /, то есть ||/ - Т„||р = £„(/)р. Тогда

II/- ип(г,а;/ )|р =

= ||/ — Тга + — ига(г) а; ТП) + ип(г а; — /) ||р ^

1

^ Еп(/)р + (2 • а)г 6^2^ (Тп - / + /) + ||ига(г, а)||р Еп(/)р ^

(2 8ш а)' п+1 р ^

^ (1 + |ига(г, а)||р) Еп(/)р + (в1па)г Еп(/)р +

1 / 2а

(2 8ш а)г \ ’ п + 1

р

Принимая во внимание, что Еп(/)р ^ Д(г, а)ршг (/, П+т)р, получаем неравенство (10).

Неравенство (11) вытекает из теоермы 6, если в качестве Ф(/) взять модуль непрерывности (/, Л)р.

Нахождение значений величин ^(г, а)р представляет трудную задачу теории приближений. Самые последние результаты, касающиеся этого вопроса для пространства С, можно найти в статье [20].

Следствие 2. Пусть п € Z+7 | € М, 1 ^ р ^ ж, / € Ьр,

^(г)р = вир эир

Еп(/)р

п€2+ /еЬр <^г (/, П+Т / р

(-1) 2-V™,'(/) = ЗД) + (—^<Т_+_ (ЗД)) 2 ' п+1

Тогда

11/ - ^(/)|р ^ ( (П21пг + Одр + 2^ ^ (л -+_) р,

(Л П"П"^) ^ (2'+ (П2 1п Г + 1,8^) |/ - ^(/)|р •

Доказательство. В силу равенства (1) будет УП)Г(/) = ип (г, П; /). Принимая во внимание замечание 1, а также то, что ||ип(г, а)||р ^ ||ип(г, а)||, получаем требуемые неравенства из теоремы 7 при а = П, Л = п+т.

Теорема 8. Пусть п € ^+7 г € М, 1 ^ р ^ ж, / € Тр, 0 < а ^ |. Тогда

II/- и«(г,а;/)|р <

^ (1 + 11ип(г, а)11р + ( а ) (2 + ||^п,г ||р)) ||/ - ^П,г(/)|р ,

— Дга,г(/)||р ^

< (л + llRn)vlip + H^nfcaOllp) llf — Un(r,а; f)yp.

(l2)

Доказательство. Пусть Тп — полином наилучшего приближения функции /, то есть ||/ — Тп||р = Еп(/)р. Принимая во внимание равенство (9), имеем

||/ - и„(г, а; /) ||р = ||/ - Т„ + Т„ - ига(г, а; Т„) + ига(г, а; Т„ - /)|1 <

1

^ En(f)p + (2 ■ )

(2 sin а)

^ (Л + ||Un(r,«OIL) En(f)p +

б^а (J(Tn)) + HUn/r^Hp En(f)p <

n + 1 p

а \ r~ 1

p + 1 —

sin a

(n + 1)?

J (Tn)

( )

p

Учитывая определение R^ (f), находим

1

(n + 1)?

J (Tn)W = HTn — Rn," (Tn)Hp =

= HTn — f + f — Rn,"(f) + Rn,"(f — Tn)Hp < ^ En(f )p + Hf — Дп," (f )Hp + ЦДп," Hp En(f )p.

Поскольку En(f)p ^ Hf — Rn,"(f)Hp, то

Hf — Un(r, а; f)Hp < (Л + HUn(r5 а)У En(f)p +

+ (sina) (E™(/)p + П/ (/)llp + 11 lip En(/^) ^

v sin a /v /

^ (l + llUn(ri a)llp + ( sin a ) (2 + nRra,r ||p)) П/ - Rn,r(/)ПР •

Неравенство (12) вытекает из теоремы 6, если положить Ф(/) =

= П/- Rn,r (/)|p.

Следствие 3. Пусть n € Z+, r € N, 1 ^ p ^ то, / € Lp,

Sn(f) +

(—1)

Vn," (f) =

2

-б^ (Sn(f))

n + 1

( 1) ~

Sn(f) + (— і 2 б^ (Sn(f))

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

если 2 Є N,

r + 1 И

если —-— Є N.

n + 1

Тогда

Hf — Vn,"(f)Hp < ^ ( П2lnr+2,88^2) (пі lnr+3,6^Hf—йп,"(f)Hp

— Rn,"(f)Hp < (П2 lnr + 4,5^ Hf — Vn,"(f)Hp.

(13)

(14)

p

Доказательство. При r ^ 2

ln ( r +— | =ln r + ln (1 +-------------| ^ ln r + ln 5 •

2 V 2r 4

Следовательно, в силу теоремы 3

HR™.

4 1 4

^ ||Rn,r П ^ —о ln r + - + 1,59 ^ —2 ln r + 1,69.

п2 V 2 1 ’ п2

Из формулы (1) следует, что РП)Г.(/) = Un (r, П2; /). Принимая во внимание замечание 1, то обстоятельство, что ||Un(r, a)||p ^ ||Un(r, a)||, а также теорему 8 при a = П, получаем требуемое.

Вопросы, касающиеся установления двусторонних оценок для отклонений различных агрегатов приближения, ранее рассматривались В.В. Жуком и Р.М. Тригубом (см. [18], [21] и указанную там литературу).

5. Таблицы величин sup ||Un(r, а)У

Приведём таблицы величин M(r) = sup ||Un(r, 2)|| и N(r) = = sup ||Un(r, П)|| и их разностей (табл. 1 и 2). При организации вычислений

использовалось следствие 1, леммы 8 и 9.

На рис. 1 представлены графики функций

M(r) = sup

4

Mi(r) = -2 ln

п2

r—1 " . , 1\ 2 Wn 1 —

r

24 + 11+— Si(n) +-------------о (1 — ln 2),

п

п2

^ 2 л 2 п 0,318

^Мз(г) = 2 ln r + —2 ln - +-------

п2 п2 2 п

На рис. 2 представлены графики функций

п

2

пг

4 / г пг1\ 2 4

Ni(r) = —2 ln(1 + — ) + - Si^) +—2 (1 — ln 2)

п2 2 п п2

sup Un(

ra€Z+ V

"пг' \ 2

+ -

2 п

4

п2

N2(r) = max{m1(r), m2(r)},

22 ln п

п2 2

2 2 п 0, 318 2 4

mi(r) = ln r +—2 ln - +------------------------\ —, m2(r) = ln(r + 1) —

2 2 п 2

пг

п2

—4 Ь(Л + i )^\ + м18 — л + i \ ^

п2 W \/ln^/ п J п V \/Ш2/ п(г + 1)

Значения величин М(г) и их разностей

Таблица 1

г М(г) ДМ (г) Д2М (г)

1 1 0,0409 0,0727

2 1,0409 0,1136 -0,0339

3 1,1545 0,0797 -0,0189

4 1,2342 0,0608 -0,0121

5 1,2950 0,0487 -0,0081

6 1,3437 0,0406 -0,006

7 1,3843 0,0346 -0,0044

8 1,4189 0,0302 -0,0034

9 1,4491 0,0268 -0,0029

10 1,4759 0,0239 -0,0021

11 1,4998 0,0218 -0,002

12 1,5216 0,0198 -0,0016

13 1,5414 0,0182 -0,0013

14 1,5596 0,0169 -0,0012

15 1,5765 0,0157 -0,001

16 1,5922 0,0147 -0,001

17 1,6069 0,0137 -0,0007

18 1,6206 0,013 -0,0007

19 1,6336 0,0123 -

20 1,6459 - -

М^г) М(г)

М2(г)

20 Г

5

10

15

Рис. 1. Сравнение значений величин М(г) и их оценок

Таблица 2

Значения величин N(r) и их разностей

r N(r) AN (r) A2N (r)

1 1 0,179 -0,0183

2 1,179 0,1607 -0,0449

3 1,3397 0,1158 -0,0257

4 1,4555 0,0901 -0,0163

5 1,5456 0,0738 -0,0115

6 1,6194 0,0623 -0,0082

7 1,6817 0,0541 -0,0065

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8 1,7358 0,0476 -0,005

9 1,7834 0,0426 -0,004

10 1,826 0,0386 -0,0034

11 1,8646 0,0352 -0,0028

12 1,8998 0,0324 -0,0024

13 1,9322 0,03 -0,0021

14 1,9622 0,0279 -

15 1,9901 - -

2-5; Щг)

2.0 -

: N(r)

1,:

1.0 -

: N2(r)

0.5 - 4 7

- 2 4 6 8 10 12 14 Т

Рис. 2. Сравнение значений величин N(r) и их оценок

Расчеты и построение графиков проводились с помощью вычислительной техники.

Список литературы

1. Rogosinski W. Uber die Abschnitte trigonometrischer Reihen // Math. Ann. 1925. Bd. 95. S. 110-134.

2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 583 с.

3. Стечкин С. Б. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского. Приложение к книге: Г. Харди, Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951. С. 479-492.

4. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук. думка, 1981. 340 с.

5. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 688 с.

6. Харшиладзе Ф. И. Явление Гиббса при суммировании рядов Фурье методами Бернштейна-Рогозинского // ДАН СССР. 1955. Т. 15. № 3. С. 425-428.

7. Харшиладзе Ф. И. Классы насыщения для некоторых процессов суммирования // ДАН СССР. 1958. Т. 122. № 3. С. 352-355.

8. Тригуб Р. М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. № 3. С. 615-630.

9. Фомин Г. А. О линейных методах суммирования рядов Фурье, подобных методу Бернштейна-Рогозинского // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 2.

С. 335-348.

10. Kis O, Nevai G. P. On an interpolational process with applications to Fourier series // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1975. V. 26. № 3-4.

P. 385-403.

11. Kivinukk A. On the measure of approximation for some linear means of trigonometric Fourier series // J. of Approximation Theory. 1997. V. 88. P. 193-208.

12. Dzyadyk V. K., Shevchuk I. A. Remark on the Lebesgue constant in the Rogosinski kernel // Ukr. Math. J. 1997. Т. 49. № 7. С. 1125-1126.

13. Jiaxing He . On summability theory and method of Fourier series // Applied mathematics and computation. 2001. V. 117. P. 151-159.

14. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

15. Жук В. В. Об одном методе суммирования рядов Фурье. Ряды Фурье с положительными коэффициентами // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций: сб. науч. трудов Ленингр. мех. ин-та. 1965.

Т. 50. С. 73-92.

16. Жук В. В., Пименов С. Ю. О нормах сумм Ахиезера-Крейна-Фавара // Вестник СПбГУ, серия 10. 2006. Т. 4. С. 37-47.

17. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 187 с.

18. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 368 с.

19. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

20. Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24. № 5. С. 1-43.

21. Trigub R. M., Bellinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. 585 p.

Бабушкин Максим ([email protected]), ассистент, кафедра

высшей математики, естественнонаучный факультет, Санкт-Петербургский

национальный исследовательский университет информационных технологий,

механики и оптики.

Жук Владимир Васильевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики, факультет прикладной математики и процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет.

On approximation of periodical functions by generalized

Rogosinski sums

M. V. Babushkin, V. V. Zhuk

Abstract. Let C be the space of 2n-periodical continuous functions with norm

11/II = maRx 1/(x)|. Put

x€K

«■(r.* / ) = g( 1 -( ^)' )* (/),

||UII = sup /f)I, A(r,a) = sup ||Ura(r,a)||.

f eC 11/1| neZ+

The quantities A(r, a) are studied in the work as functions of parameters r and a. The derived estimates are applied for establishing inequalities of the type

11/ - Un(/)|| < Ci$(/), *(/) < C2 11/ - Un(/)|| ,

where $ and ^ — some functionals, which are interesting for approximation theory.

Keywords: generalized Rogosinski sums, two-sided estimates for norms of operators, inequalities for deviations.

Babushkin Maksim ([email protected]), assistant, department of higher mathematics, faculty of natural sciences, Saint-Petersburg National Research University of Informational Technologies, Mechanics and Optics.

Zhuk Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of higher mathematics, faculty of applied mathematics and control processes, Saint-Petersburg State University.

Поступила 12.05.2014

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.