CC BY
33
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 5-29 = Математика
УДК 517.5
О приближении периодических функций обобщенными суммами Рогозинского
М. В. Бабушкин, В. В. Жук
Аннотация. Пусть С — пространство непрерывных 2п-периодических функций с нормой ||/1| = max |/ (x)|. Положим
xGR
Un(r,a;/) = ± (l - () ) Ak(/>•
|UII = sup )l , A(r,a) = sup ||Un(r,a)|| . fee II/У nez+
В работе изучаются величины A(r, а) как функции параметров r и a. Полученные оценки применяются для установления неравенств типа
II/ - Un(/)|| < С1Ф(/),
Ф(/) < С2II/- ип(/)||,
где Ф и Ф — некоторые функционалы, представляющие интерес для теории аппроксимации
Ключевые слова: обобщённые суммы Рогозинского, двусторонние оценки для норм операторов, неравенства для отклонений.
1. Введение
1.1. Основные обозначения и агрегаты приближения. В
дальнейшем М, М+, Z+, N суть соответственно множества вещественных, неотрицательных вещественных, неотрицательных целых, натуральных чисел. Запись к = а,Ь, где а, Ь € М, означает, что к пробегает все целые числа между а и Ь, включая а и Ь, если они целые. Все функции предполагаются вещественными. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в этой точке по непрерывности; в других случаях символ
ь
0 понимается как 0. Сумма ^ при Ь < а считается равной 0. Если а € М, то
а
[а] — целая часть числа а.
Через С обозначаем пространство непрерывных 2п-периодических функций /: М ^ М с нормой
у/У = тях|/(х)| ;
жЄК
С(г) = {/ Є С: 3/(г) Є С}. Далее С (Е) — множество функций, непрерывных на отрезке Е, С(г) (Е) = {/ Є С (Е) : 3/(г) Є С (Е)}. Через Нп обозначаем множество тригонометрических полиномов порядка не выше п;
ГО
Н = У Нп. При 1 ^ р < то через обозначаем пространство измеримых
п=0
/ П \ 1/p
2п-периодических функций f, у которых ||f Ур = f J |f |pj < ж; L^ = C.
— П '
Пусть f Є L1. Тогда
П
ak(/) = 1 J /(t) cos kt dt, bfc(/) = 1 J /(t) sin kt dt
— П —П
— коэффициенты Фурье функции /; при k € N
Ak(/, x) = ak(/) cos kx + bk(/) sin kx, Ao(/, x) = ao(/-).
Для n € Z+, / € Li полагаем
n n
Sn(/,x) = J] Ak (/,x), Sn(/,x) = J] (—bk(/) cos kx + ak(/) sin kx), k=0 k=1
k xr N
Rn,r(f) = 1 — ^) Ak(f).
Через Dn и Фп обозначаем соответственно ядра Дирихле и Фейера:
nn
n
Dn(t) = 1 I 2 + ^ cos кЛ , D-1(t) = О,
М 2 \ к=1 /
1 П
Фп(-) = —+у ^^п(-), Ф_1(*) = 0.
— + к=0
Пусть {цк}^=1 — числовая последовательность. Тогда
Ацк = Цк+1 — Цк, Д2цк = Цк+2 — 2цк+1 + Цк •
Пусть г € Z+, - € М, /: М ^ М. Тогда через (/) обозначаем конечную центральную разность г-го порядка функции / с шагом -
г -(/,х) = £(-1)кСк/ (х + Г- - к-).
к=0
П
Пусть 1 ^ р ^ ж, / € £р. Тогда (/,Л,)Р = вир (/)|1 —
|*|<й
модуль непрерывности порядка г функции / в пространстве Ьр,
Еп(/)р = М ||/ — Т||р — наилучшее приближение функции /
Т £Нп
тригонометрическими полиномами порядка не выше — в пространстве Ьр.
B. Рогозинский [1] ввёл в рассмотрение средние
Д,(ап, /, х) = 1 (5П(/, х + а,) + 5П(/, ж — ап)),
где ап — некоторые числа, и показал, что при некоторых ограничениях на эти числа для любой / € С
Иш || / — Дп(ап,/)|| = 0.
C. Н. Бернштейн[2, с. 523-525] построил близкие по идее к суммам Рогозинского полиномы
вп(/х) = 2 (МЛ х) + 5П (Л х + 2—
которые также при — ^ ж для функции / € С равномерно сходятся к /.
Введённые выше агрегаты приближения, а также их многочисленные модификации изучались многими авторами в различных направлениях. Не претендуя на полноту, укажем ряд работ, имеющих отношение к обсуждаемому вопросу. Статья [3] имеет обзорный характер, в ней имеется список работ, вышедших до 1951 г., посвящённых методу суммирования Бернштейна-Рогозинского. В книге [4, с. 330-332] даны указания на ряд работ, относящихся к обсуждаемой теме. См. также [5, с. 269-272], [6-13].
1.2. Постановка задачи. При 1 ^ р ^ ж для оператора и: £р ^ Н полагаем
1|Ц (/)НР
/ ёЬр
р = йИр
Пусть
2 V V 2(— + 1)/ V 2(— + 1)
В [12] указан способ, позволяющий вычислять ||Дп|| для каждого — € Ъ+ с любой степенью точности. Ранее В. К. Дзядык [14, с. 123] показал, что
71
||Д,|| = — г.
где 0 < Гп <
В [15] был рассмотрен метод приближения
A (/),
который может быть записан в виде
Un(r, а; /) =
<
/
если 2 Є Z+,
если Є Z+.
(1)
В настоящей работе величина
A(r, а) = sup ||Un(r, а)У
n€Z+
изучается как функция параметров r и а.
Ранее аналогичная задача была рассмотрена в [16] для величин sup ||ХП)ГУ и sup yRra;rУ, где Xn,r и соответственно суммы
Ахиезера-Крейна-Фавара и средние Рисса порядка г.
2. Вспомогательные результаты
2.1. Известные результаты. Нам понадобятся следующие результаты.
Теорема 1 (см., например, [17, с. 168]). Пусть ф € C([0,1]), ф(0) = 1,
Теорема 2 (см. [18, с. 114]). Пусть n € N, r € Z+, 1 ^ p ^ ж, h € (0, ,
T € . Тогда
n
ф(1) = ° Un(/) = Ё ф (n+г) A(/)- Тогда fc=0
Теорема 3 [16, с. 46]. Пусть r € N. Тогда
Лемма 1. Пусть ф € C(2) ([0,1]), ф(0) = 1, ф(1) = 0, ф'(£) ^ 0 на [0,1], ф' (0) = 0. Тогда
СО 1
У У ф(£) cos(xt) dt
о о
2 2
^ Si (п) +— (1 — ln 2) +— ln 1 + п п
|ф'(1)1 +J |ф''(t)l dt
о
Лемма 1 — частный случай леммы 2 из работы [16, с. 39].
Лемма 2 [16, с. 41]. Пусть ф € C([0,1]), 5 ^ / |ф(^ — 1| dt > 0. Тогда
о
ф^) cos(xt) dt
dx ^ — 2 ln 5 + 0,159 — п5. п2
2.2. Новые результаты. Установим ряд вспомогательных утверждений. Лемма 3. Пусть г > 1, 0 < а ^ §, ф(£) = 1 - (. Тогда
2а^/г
Ф)1 + J |ф''(t)| dt = < (sin а)
2га ctg а
г—1
1\~ 2
1-----I , если cos2 а ^
r
, если cos2 а ^ Доказательство. Производные функции ф имеют вид
га г_ 1
ф (t) = — (—--(sin аt) cos аt,
ф' '(t)=(sin агГ'2(1—cos2 аг)-
Пусть cos2 а ^ 1. Отсюда следует, что уравнение cos2 at единственное решение to на отрезке [0,1]. Поэтому
(2)
(3)
- имеет
r
1
1
'(1)1 + J Iф''(t) I dt = —ф'(1) + J (—'ф"№) dt + J ф''(t)dt
о о to
= —ф' (1) + ф' (0) — ф' (to) + ф' (1) — ф' (to) = —2ф' (to) =
2га г-1 , 2а^Т
(sin а^) cos at0 =
(sin а)
(sin а)г
г—1
1 — ^ ^
r
1
1
1
Пусть теперь cos2 а ^ 1 .В этом случае 1
1ф'(1)I + I ^''(t)| dt = —ф'(1) + ф'(0) — ф'(1) =
о
,,, , 2га г_ 1
= —2ф (1) = —-------— (sin а) cos а = 2га ctg а.
Следующая лемма, по существу, хорошо известна. Приведём её вместе с доказательством.
Лемма 4. Пусть x > 0, Г — гамма-функция Эйлера. Тогда
Г (х + 1) <
Г(х + 1) < д/ж’
Доказательство. Пусть f (x) = (++)2). Производная функции f
имеет вид
f (x) = Г (x + 1) + f (x) 2^r(x + 1) +
Vх (Г' (x + 1) r(x + 1) — Г (x + 1) r'(x + 1)) =
+ r(x + l)2 =
Г (x + 2) Vxr (x + 1) l Г' (x + 2) r'(x + 1)
+
^vxr(x + 1) r(x + 1) v r(x + 1) r(x + 1)
Г (x + 1) l l l 1
2
1 + 2x ф x + - — ^(x + 1)
2д/жГ(ж + 1) \ \ V 2
где ф(ж) = ^(аХ)^ — дигамма-функция. Применяя формулу конечных
приращений, находим
Г (ж + 11
^(ж)=2У5Г(ж + 1) (1 - ж^К)), (4)
где ж + 2 <£<ж + 1.
Для производной дигамма-функции справедливо разложение в ряд (см. [19, с. 59, формула (9)])
ф' (о =
О 1
k=o (^ + k)
2
Предполагая, что k Є N, имеем k+1/2
dt І І
J (е + t)2 е + k - 1 е + k + 2
fc-1/2 ІІ
(е + k - 1 )(е + k + 1) (е + k)2
Следовательно,
.1 [ dt 1 4 1
е2 + J (е+1)2 е2 + е + 2 < (2x + і)2 + x + 1 ■
1/2 2
Таким образом,
,, . 4ж ж 4ж3 + 8ж2 + 5ж
ж < (2ж + 1)2 + ж + 1 4ж3 + 8ж2 + 5ж + 1 < ’
Отсюда и из формулы (4) следует, что функция /(ж) возрастает, а значит /(ж) ^ Иш /(£). Осталось показать, что Нш /(£) = 1. Для этого
воспользуемся формулой Стирлинга (см. [19, с. 62, формула (2)]). Имеем
^жУ2Пеж 1п(а+1/2)е-а-1/2 (1 + о (а))
/(x) =
v/^e(x+1/2)ln(x+1)e-x-1 (l + O ( і))
/xe1/2 (i + о( = n^e1/2 (1 + о(|» (1
д/x + 1 ex ln(x+1)-x ln(x+1/2) Yx + 1 (1 + 2x+x)x
что и требовалось.
Лемма 5. Пусть r > —1, 0 < а < 2. Тогда
[ (sin а^г dt < Л+ 1-1 (si.n а) +. .
J V д/—2 ln (sin а) / а(r + 1)
o v
Доказательство. Разложение функции (1 — x2)-2 в ряд Тейлора вблизи нуля имеет вид
1 -1+1l—111— 2 — О — l—1 — ^ (—x2)‘
vl-x2 frjv 2 A 2 A" \ 2 ' 7 k!
, + V (-1)*Г(*+ 2) (~1)kx2k ^ Г (* + 2) x2k
+ Й г(1) k! ^ П* + 1) ■
Производя замену переменной x = sin а^ находим
1 sin а
f (sin а^г dt = 1 f 1 2 dx =
00 sin а
а J л/1 —
x
^ Г (k + 2; x2* dx = а^ J ~ tk Г (k + 1) x dx
:
x:
0 k=0
sin а
5'
4= E r(k. + 2) I x2k+: dx =
а^/— Г (k + 1) J
1 g Г (k + 2) (sin а)2к+:+1
Г (k + 1) 2k + r + 1 ’
k=0
Принимая во внимание лемму 4, получаем 1 /
/(sin а()" dt < (sin^ ( + V ^(sin а)2к
У ад/^ yr + 1 k= \/fc(2fc + r + 1)
(СО
A + f (sin а)2* dt
r + 1 o Vt(2t + r + 1)
Полагая a = л/—2 ln(sin а) и производя замену переменной t = x
СО СО 2
/■ <sin а»2‘ dt = —,«=
2
J \/t(2t + r + 1) J \/t(2t + r + 1)
00
с
9 9
e-“ x 2x 2
2^2
dx < ------------- e “ x dx =
J 2x (x2 + :^+^) " r + 1
0 2 0 2 л/п л/п
г + 1 2а (г + 1)д/—21п(вш а) Сопоставляя полученное неравенство с (5), получаем требуемое. Лемма 6. Пусть г> 0, 0 <а ^ |. Тогда
г 2
2
1
У (sinаt): dt < (sinа):у^ —
<
(Б)
, находим
Доказательство. Установим, что при t е [0,1]
nt
sin(at) ^ (sin a) sin —. (6)
С этой целью рассмотрим функцию
nt
f (t) = (sin a) sin —— sin(at).
Её вторая производная имеет вид
fw(t) = — ^ (sin a) sin ^2 + a2 sin(at).
Так как a е [0, §], то sin a ^ ^. Поскольку sin x возрастает на отрезке [0, П ] и at ^ n-t ^ -, то sin n-t ^ sin(at). Принимая во внимание сказанное, имеем
п2 2a . . 2 / п \
f (t) ^ —— • — sin(at) + a sin(at) = a — — a sin(at) ^ 0.
4 п V 2 /
Следовательно, функция f (t) выпукла вверх на [0,1]. Кроме того, f(0) = f(1) = 0. Таким образом, f(t) ^ 0 на [0,1], а значит справедливо неравенство (6).
Интегрируя обе части (6), возведённые в степень г, по отрезку [0,1], получаем
1 1
Г / ,тЬГ
Г
У (sin at)r dt ^ (sin a)r J ^sin dt.
2
Интеграл в правой части неравенства выражается через гамма-функцию следующим образом (см. [19, с. 25, формула (19)]):
7т/2
г 2 Л . 1 „ (т + 11
У (sin f) dt = 2 / (sint)rdt = 1 B ( г (^) r (1 ) _ r (i + 1)
nr(i + 1) vnr(i + 1)'
Остаётся воспользоваться леммой 4.
Лемма 7. Пусть r > 1, 0 <a ^ §, h > 0. Тогда
M (r, a)
2
1
sin a^ r
1 — -------- cos(xt) dt
sin a
о
h
где
г — 1
2а^Г Л Л 2 2 ^1
7-----— 1--- , если СОВ2 а ^ -,
М (т,а) = <(^п а) V т/ т
2та ctg а
2 1 если сов2 а ^ -.
т
зт \г
Доказательство. Положим ф(£) = 1 — ()Г. Дважды интегрируя по частям, а также принимая во внимание формулу (2), находим
1 1
У ф(£) сов(ж£) ^ = —1 У ф(£) вт(ж£) ^ =
о о
1
11
= ^7Ф(1)совж-- ф"(£) сов(ж£)
ж2 ж2 У
Поэтому
СО 1 СО / 1 \
У У ф(£) сов(ж£) ^ ^ж ^У I |Ф(1)| + / |ф/;(^)| ^ж =
ь о ь V о /
= Н (|ф(1)| + У|ф//(^ ач •
Остаётся воспользоваться леммой 3.
Следствие 1. Пусть т ^ 2, Н > 0. Тогда
пт
аж ^ ,
2Н
г—1
аж < ^ ^ 2
Нт
Лемма 8. Пусть 0 <а ^ П, ж> 0. Положим
/г (ж) =
2
sin ж
ж
если 2 €
1 — сов ж т — 1
------------, если —-— €
1
1
Тогда при т € Z+
1
вш аА г\ sin ж (—1) [г/2]
1 — ~---------- сов ж£^ =-----------------------——----------(/г, ж) •
Доказательство проводится методом математической индукции. При т = 0 имеем
'(• ^ sin ж (—1)[г/2]
(вт а£) сов ж£а£ = --------- = -------—------°2« (/, ж) •
о
Если же т = 1, то
1 1
1
У (вт а£)г сов ж£^ =^J (sin(ж + а) £ — вт(ж — а) £) ^ =
оо
1 / 1 — сов(ж + а) 1 — сов(ж — а) \ (—1) [г/2]
2 V ж + а ж — а ) 2
г/ ,
-^2а (/г,ж) •
Предполагая справедливость формулы при некотором значении т, находим
( —1)[ “1 *г+2 (/).„ж) = — 1 Л2 ^ ( —1)[Г/2] Л2
1
2г+2 (/г+2,ж) = — ^^^(/г, О ,ж^ =
1 О \
= — 4 I (sin а£)г сов(-£) ^ 1 =
1
= — 4 / <в!п а'*)" (с»(ж + 2а) - 2 сов ж + с»(ж — 2а)‘) * =
0
1 1
= — 4 у (вт а£)г (2сов2а£ — 2) сов ж£^ = J (sin а£)г+2 сов ж£^.
Окончательно,
1
sin аА г
1 — ---------- ) ) сов ж£ ^ =
\ sin а
о
1 1
= сов ж£ ^ —
(sin а)г оо
У (sin а£)г сов ж£ ^ =
1
sin X (—1)Ir/2l
ж (2вш а)г
Лемма 9. Пусть т € М, тогда
^2а (fr,x) •
nm
со 1
j J (1 — (sin I)2m) cos(xt) dt
0
dx =
1 m-1 / j-1
- 22m ( —1)j I 2 C2m + C2m ) (Si(n(2m — j)) — Si(nj)) • j=0 \ k=0 /
Доказательство. Пусть I(m,x) = / ^1 — (sin nt)2mj cosxtdt. Полагая
a = 2 в лемме 8, имеем
T, s sinx (—1)m _,,k„k sin(x + nm — nk)
I(m,x) =----------v 0y > (—1)kCim— ---------------------—L
x 2im ^ x + nm — nk
k=0
/1 1 2m ^k \
1 1 C2m \ _
= (sin x) - — Trim
ж 22т ^ ж + пт — пк /
\ к=0 /
(1 1 _т_ ст+к \
ж — 22т I:
к=-т /
Поскольку функция 1 выпукла вниз при £ > 0, то, в силу неравенства Йенсена, при ж > пт получаем
т ст+к 1 ( т с т+к \ 1
I: ^ >(е <*+'км =
=-т =-т
(т ^т+к т х~*т+к \ 1 ^
Е Сйтж + Е %!гпк = ж •
=-т =-т
Следовательно, предполагая А > пт, находим А А
Г Г ( 1 ”
I1 (m,x)|dx = |sinx| ^
V k= — m
-
1 m лт+k -1
^ °2m________I dx =
m , x + nk x
nm 4 k=-m
2m A
v- Ck / 1 sin(x + n(k — m))| dx_ 22mz=^ °2my x + n(k — m) dx
k—0 n-m
22т
2т
£с
к=о
А
к ( 1 sin ж| = 2т I
ж
пт
2т
/ А+7г(к-т)
£ск
22т ^ ^2т
к=о
| sinж|
А
аж
1
2т
у пк / 7гт
V"1 ск
22т 2т
2 к=о
| втж|
А
аж
\пк
А+п(к—т)
\
вт ж| аж =
ж ) \
| sin ж аж
ж )
Полагая ^(к) = / 1 8™х| йж и устремляя А к бесконечности, получаем о
О 1 2т
|/(т,ж)| йж =^^ С2кт (Мт) — Мк)) =
2 к=о
пт к=о
1 2т
= ^(т) — С2тМк)-
(7)
к=1
Функция ^(к) выражается через функцию з(к) = (—1)к+1Б1(пк) при к € € Ъ+ следующим образом:
к—1
Мк) =2^ .(0) + .(к).
.7=1
(8
Действительно, при к = 0 формула верна. Принимая во внимание определение ^(к), имеем
п(к+1)
^(к + 1) = ^(к) + У
| вш ж|
аж =
пк
= ^(к) + (—1)к+2 (Б1(п(к + 1)) — Б1(пк)) = к—1 к
= 2 ^ «0) + в(к) + «(к + 1) + «(к) = 2 ^ в(;) + в(к + 1). .7=1 .7=1
Возвращаясь к (7), находим
0 2т / к—1 \
2» / 11К X) 1 *, = 22тд(т> — £ С*. 2 £ .0) + .(*)
к=1
.7=1
1
1
ж
ж
ж
2т к—1 2т
= 22т^(т) — 2 ЕЕ С2т. 0) — I] С2т.
(к) =
к=2 7=1 к=1
2т—1 / 2т \ 2т
22т^(т) — 2 ^ 5°) I ^ С^т) — ^ С2т.(0). 7=1 \к=7+1 / 7=1
Снова пользуясь формулой (8) и разбивая суммы в полученном выражении на три части, получаем
СЮ 1
( О т— 1
-)2т
/»/</- л.
|1 (т,ж)| dж = 22т+1 в(0) + 22т^(т)
7=1
7гт «•'
пт
т—1 / 2т \ / 2т
8(0) I > С 2^ I — 2«(т) ( V С2т
~2 .(0) ( ^ С2т ) — 2«(т) ( ^ С
7=1 \к=7+1 / \к=т+1
2т / 2т \ т—1
к7
“2 ^ .(0) ( ^ С2т I — ^ С2т«(0) — С2т.(т)_
7=т+1 \к=7+1 / 7=1
2т т— 1 / 2т
У, С2т.°) = X/ .(0М 22т+1 — 2 X/ С2т — С27
2т
2т / 2т \ т—1 / 7
к | /"<^ \ ___ \ Л „/„Л I
_ X/ .(0) ( 2 X/ С2т + С2т = X/ .(0М 2 С2т — С2т ' _
.0)1 2 2_> С2т + с2т = 2_>.
7=т+1 V к=7+1 ) 7=1 \ к=о
2т / 2т—7 — 1 \
к , р2т—7 I
£ .(0и 2 £ с2т + С
2т
7=т+1 \ к=о
т— 1 7— 1
= Е «(0М^ С2*т + С2;
7=о V к=о
т— 1 7— 1
к
- Е .(2т — 0) 2 С2т + С2т
.
7=о \ к=о
т— 1 7— 1
т— 1 7— 1
Е ( 2 X/ С2т + С2т ) (.(0) — .(2т — 0)) •
7=о V к=о /
Принимая во внимание определение функции 8(0), получаем требуемое.
7=т+1 7 = 1 \ к=7+1
3. Основные результаты
Пусть, как и ранее,
ak ' n+1,
k=0
sin а
Ak (f )•
Теорема 4. Пусть т> 1, 0 <а< П. Тогда
max{m1(r), m2(r, a)} ^ sup ||Un(r, a)|| ^
n€Z+
4 2 4
^ —i ln (1 + [M(r, a)]) +— Si(n) +—-(1 — ln2),
"Г2 П "7r2
п2
п2
где
2 n 0,318
m1(r) = —- ln r +------- ln — +
п2
п2
2
44
m2(r, a) = —- ln(r + 1)- lnC(a) +
22
2
п V nr 0,318 C(a)
п2
п2
C(a) = 1 +
1
\J 2 ln(sin a) J a
п sin a
r+1
2a^/r
M (r,a) = <|(sin aM r
2ra ctg a
r — 1
1-1
cos2 a
cos2 a
Доказательство. Оценка сверху получается сопоставлением теоремы 1, леммы 1 и леммы 3. Полагая 5 = ^Г+о! или 5 = \р2г в лемме 2 и принимая во внимание лемму 5 или 6 соответственно, приходим к оценке снизу.
Теорема 5. Пусть r > 1, тогда
2 2 п 0,318 /2
— ln r +--i ln - +---------\j ^ sup
п2
4
^ -i ln п2
п
22
п
пг
n€Z+
Un (r, 2
r—1
WH 1 — 2
r
24 + 1 ] + — Si(п) + (1 — ln 2).
п
п2
Доказательство. Для получения оценки сверху достаточно сопоставить теорему 1, лемму 1 и лемму 3. Применяя теорему 1, лемму 2 и лемму 6, получаем оценку снизу.
2
1
1
Замечание 1. Из теоремы 4 следует, что при 0 < a < - и всех достаточно больших r
44
ln r + C1(a) ^ sup ||Un(r, a) || ^ ln r + C-(a),
п2 n€Z+ п2
где C1(a) и C-(a) — некоторые константы, зависящие только от a. Из теоремы 5 вытекает, что при r > 1
2
—- ln r — 0,61 ^ sup
n€Z+
п
Un (r, 2
2
ln r + 1,88.
п2
Действительно,
ln
r—1
пл/г ( 1 — 2
r
+ 1 ^ 1п(пд/Т + 1) =
Поэтому
sup
n€Z+
п 2 4 2
Un ( r, - ) ^ —y ln r + ^2 (1п(п + 1) + 1 — ln 2) + - Б1(п) ^
2 п2 п2 п
^ ln r + 1,88. п2
С другой стороны, ^ . Следовательно,
sup
n€Z+
Un (r, 2
2 2 п 0,318 12
^ ln r +----------^ ln — +---------------л I - >
п2
п2 2
п
п2
Замечание 2. Пусть 0 <r ^ 1, 0 <a ^ П, n € Z+. Тогда оператор Un(r, a) является положительным и ||Un(r, a)|| = 1.
Доказательство. Положим pk = 1 — Абеля дважды, имеем
sin
ak
n+1
Применяя преобразование
11
n+1
п2
+ E Pk cos kt = E Pk (Dk(t) — Dk-1 (t))
k=1
k=0
n+1
n+1
E PkDk(t) — ^ PkDk-1(t) = ^ (PkDk(t) — Pk+1Dk(t))
k=0
k=0
k=0
sin2 a
n
n
(рк — Рк+і) ((к + 1)Фк(і) — кФк;-1(і)) —
к=0
п п
(—Арк) (к + 1)фк(і) — (—Арк) кФк-і(і) —
к=0 к=0
— (—Арп) (п + 1)Фп(і) +
п- і
+ (( —Арк) (к + 1)фк(і) — (—Арк+1) (к + 1)фк(і))
к=0
пі
Рп(п + 1)Фп(і) + Е (А2Р^ (к + 1)Фк(і).
к=0
Из равенства (3), справедливого при 0 < т < 1, следует, что вторая производная функции ф(£) = 1 — ()Г неотрицательна на (0,1]. Если же т = 1, то ф"(£) = а2 ^ 0. Таким образом, при к = 0, п — 1 будет Д2рк ^ 0,
а значит
пі
+ Е РкСО!3 кч — Рп(п + 1)Фп(і) + Е (А2Р^ (к + 1)Фк(і) ^ 0. к=1 / к=0
Окончательно,
2п
1
+ Рк СО8 кі
2п
11
к=1
2п
—
МУ 2
0
У 2 ^ Рк у СО8 кі 1 — 1.
П к=1 П /
4. Некоторые неравенства, связанные с величиной II/ - ип(г,а; /)||р
Теорема 6. Пусть п Є ^+, г Є М, 1 ^ р ^ ж, / Є Тр, 0 < а ^ П. Функционал Ф: Тр ^ М+ обладает свойством: Ф(#і + д2) ^ Ф(#і) + Ф($2) для любых функций ^1,^2 Є Тр. Положим
ІФІ
эир
/ ЄС
Ф(/)
^п,г,р — ЯИр
Ф(Т)
Т ЄЯп
£ к- А (т) к=1
Тогда
Ф(/) < (||Ф||р + ^п,г;р(п + 1)г ||Цп(г, а)||р) ||/- ип(г, а; /)||?
п
п
2
р
п
р
р
Доказательство. Для произвольного полинома Т Є Нп полагаем
3 (Т) —
т,
если 2 Є М,
А(Т), если *+ Є N.
Учитывая (1), оператор ип(г, а; /) можно записать в виде
( —1)[ 2 1
ип(/) — ип(г, а; /) — ЗД) - Д . ) ,г ^ (3(ЗД))). (9)
(2эш а)г
п + 1
Имеем
Ф(/) — Ф(/ - ип(/) + ип(/)) < Ф(/ - ип(/)) + Ф(Цп(/)) < < 1|Ф|р II/ - ВД)|р + ^п,г,р 3(ВД))(Г)
Принимая во внимание теорему 2, находим
з (ад ))(г)
п + 1 2зіп а
(3(Цп(/)))
П + 1
п + 1 2эш а
Г
(3(5п(Цп(/))))
П + 1
— (п + 1)Г ||5п(Цп(/)) - Цп(Цп(/))||р — — (п + 1)г ||Цп(/) - ип(ип(/))||р < (п + 1)г ||Цп||р II/ - ип(/)|р . Окончательно получаем Ф(/) < ||Ф||( II/ - ип(/)|р + ^п,г;р(п + 1)Г ЦЦпУр II/ - ип(/)|р —
— (||Ф||р + ^п,г,р(п + 1)- ЦЦпУр) II/ - ВД)||р .
Эта теорема представляет некоторую модификацию теоремы 1 на стр. 272 в [18] с учётом особенностей, которыми обладает рассматриваемый агрегат приближения.
Теорема 7. Пусть п Є Ъ+, 2 Є М, 1 ^ р ^ ж, 0 <а ^ 2, / Є Ьр, Н > 0. Положим
Д(г, а)р — зир эир
Еп(/)р
пє2+ /єЬР (/, п+1)р
Тогда
- ип(г,а; /)|р < ( (1 + |ип(г,а)||„ +7-7
1
+
(2 зіп а)г
^г I /,
р ' (зіп а)г 2а
£(г, а)р+
п + 1
р
(/,Н)р < (2- + Н(п +1)г |1ип(г,а)У || / - ип(г,а;/)|р
(10)
(11)
р
г
р
р
р
1
Доказательство. Пусть Тп — полином наилучшего приближения функции /, то есть ||/ - Т„||р = £„(/)р. Тогда
II/- ип(г,а;/ )|р =
= ||/ — Тга + — ига(г) а; ТП) + ип(г а; — /) ||р ^
1
^ Еп(/)р + (2 • а)г 6^2^ (Тп - / + /) + ||ига(г, а)||р Еп(/)р ^
(2 8ш а)' п+1 р ^
^ (1 + |ига(г, а)||р) Еп(/)р + (в1па)г Еп(/)р +
1 / 2а
(2 8ш а)г \ ’ п + 1
р
Принимая во внимание, что Еп(/)р ^ Д(г, а)ршг (/, П+т)р, получаем неравенство (10).
Неравенство (11) вытекает из теоермы 6, если в качестве Ф(/) взять модуль непрерывности (/, Л)р.
Нахождение значений величин ^(г, а)р представляет трудную задачу теории приближений. Самые последние результаты, касающиеся этого вопроса для пространства С, можно найти в статье [20].
Следствие 2. Пусть п € Z+7 | € М, 1 ^ р ^ ж, / € Ьр,
^(г)р = вир эир
Еп(/)р
п€2+ /еЬр <^г (/, П+Т / р
(-1) 2-V™,'(/) = ЗД) + (—^<Т_+_ (ЗД)) 2 ' п+1
Тогда
11/ - ^(/)|р ^ ( (П21пг + Одр + 2^ ^ (л -+_) р,
(Л П"П"^) ^ (2'+ (П2 1п Г + 1,8^) |/ - ^(/)|р •
Доказательство. В силу равенства (1) будет УП)Г(/) = ип (г, П; /). Принимая во внимание замечание 1, а также то, что ||ип(г, а)||р ^ ||ип(г, а)||, получаем требуемые неравенства из теоремы 7 при а = П, Л = п+т.
Теорема 8. Пусть п € ^+7 г € М, 1 ^ р ^ ж, / € Тр, 0 < а ^ |. Тогда
II/- и«(г,а;/)|р <
^ (1 + 11ип(г, а)11р + ( а ) (2 + ||^п,г ||р)) ||/ - ^П,г(/)|р ,
— Дга,г(/)||р ^
< (л + llRn)vlip + H^nfcaOllp) llf — Un(r,а; f)yp.
(l2)
Доказательство. Пусть Тп — полином наилучшего приближения функции /, то есть ||/ — Тп||р = Еп(/)р. Принимая во внимание равенство (9), имеем
||/ - и„(г, а; /) ||р = ||/ - Т„ + Т„ - ига(г, а; Т„) + ига(г, а; Т„ - /)|1 <
1
^ En(f)p + (2 ■ )
(2 sin а)
^ (Л + ||Un(r,«OIL) En(f)p +
б^а (J(Tn)) + HUn/r^Hp En(f)p <
n + 1 p
а \ r~ 1
p + 1 —
sin a
(n + 1)?
J (Tn)
( )
p
Учитывая определение R^ (f), находим
1
(n + 1)?
J (Tn)W = HTn — Rn," (Tn)Hp =
= HTn — f + f — Rn,"(f) + Rn,"(f — Tn)Hp < ^ En(f )p + Hf — Дп," (f )Hp + ЦДп," Hp En(f )p.
Поскольку En(f)p ^ Hf — Rn,"(f)Hp, то
Hf — Un(r, а; f)Hp < (Л + HUn(r5 а)У En(f)p +
+ (sina) (E™(/)p + П/ (/)llp + 11 lip En(/^) ^
v sin a /v /
^ (l + llUn(ri a)llp + ( sin a ) (2 + nRra,r ||p)) П/ - Rn,r(/)ПР •
Неравенство (12) вытекает из теоремы 6, если положить Ф(/) =
= П/- Rn,r (/)|p.
Следствие 3. Пусть n € Z+, r € N, 1 ^ p ^ то, / € Lp,
Sn(f) +
(—1)
Vn," (f) =
2
-б^ (Sn(f))
n + 1
( 1) ~
Sn(f) + (— і 2 б^ (Sn(f))
2
если 2 Є N,
r + 1 И
если —-— Є N.
n + 1
Тогда
Hf — Vn,"(f)Hp < ^ ( П2lnr+2,88^2) (пі lnr+3,6^Hf—йп,"(f)Hp
— Rn,"(f)Hp < (П2 lnr + 4,5^ Hf — Vn,"(f)Hp.
(13)
(14)
p
Доказательство. При r ^ 2
ln ( r +— | =ln r + ln (1 +-------------| ^ ln r + ln 5 •
2 V 2r 4
Следовательно, в силу теоремы 3
HR™.
4 1 4
^ ||Rn,r П ^ —о ln r + - + 1,59 ^ —2 ln r + 1,69.
п2 V 2 1 ’ п2
Из формулы (1) следует, что РП)Г.(/) = Un (r, П2; /). Принимая во внимание замечание 1, то обстоятельство, что ||Un(r, a)||p ^ ||Un(r, a)||, а также теорему 8 при a = П, получаем требуемое.
Вопросы, касающиеся установления двусторонних оценок для отклонений различных агрегатов приближения, ранее рассматривались В.В. Жуком и Р.М. Тригубом (см. [18], [21] и указанную там литературу).
5. Таблицы величин sup ||Un(r, а)У
Приведём таблицы величин M(r) = sup ||Un(r, 2)|| и N(r) = = sup ||Un(r, П)|| и их разностей (табл. 1 и 2). При организации вычислений
использовалось следствие 1, леммы 8 и 9.
На рис. 1 представлены графики функций
M(r) = sup
4
Mi(r) = -2 ln
п2
r—1 " . , 1\ 2 Wn 1 —
r
24 + 11+— Si(n) +-------------о (1 — ln 2),
п
п2
^ 2 л 2 п 0,318
^Мз(г) = 2 ln r + —2 ln - +-------
п2 п2 2 п
На рис. 2 представлены графики функций
п
2
пг
4 / г пг1\ 2 4
Ni(r) = —2 ln(1 + — ) + - Si^) +—2 (1 — ln 2)
п2 2 п п2
sup Un(
ra€Z+ V
"пг' \ 2
+ -
2 п
4
п2
N2(r) = max{m1(r), m2(r)},
22 ln п
п2 2
2 2 п 0, 318 2 4
mi(r) = ln r +—2 ln - +------------------------\ —, m2(r) = ln(r + 1) —
2 2 п 2
пг
п2
—4 Ь(Л + i )^\ + м18 — л + i \ ^
п2 W \/ln^/ п J п V \/Ш2/ п(г + 1)
Значения величин М(г) и их разностей
Таблица 1
г М(г) ДМ (г) Д2М (г)
1 1 0,0409 0,0727
2 1,0409 0,1136 -0,0339
3 1,1545 0,0797 -0,0189
4 1,2342 0,0608 -0,0121
5 1,2950 0,0487 -0,0081
6 1,3437 0,0406 -0,006
7 1,3843 0,0346 -0,0044
8 1,4189 0,0302 -0,0034
9 1,4491 0,0268 -0,0029
10 1,4759 0,0239 -0,0021
11 1,4998 0,0218 -0,002
12 1,5216 0,0198 -0,0016
13 1,5414 0,0182 -0,0013
14 1,5596 0,0169 -0,0012
15 1,5765 0,0157 -0,001
16 1,5922 0,0147 -0,001
17 1,6069 0,0137 -0,0007
18 1,6206 0,013 -0,0007
19 1,6336 0,0123 -
20 1,6459 - -
М^г) М(г)
М2(г)
20 Г
5
10
15
Рис. 1. Сравнение значений величин М(г) и их оценок
Таблица 2
Значения величин N(r) и их разностей
r N(r) AN (r) A2N (r)
1 1 0,179 -0,0183
2 1,179 0,1607 -0,0449
3 1,3397 0,1158 -0,0257
4 1,4555 0,0901 -0,0163
5 1,5456 0,0738 -0,0115
6 1,6194 0,0623 -0,0082
7 1,6817 0,0541 -0,0065
8 1,7358 0,0476 -0,005
9 1,7834 0,0426 -0,004
10 1,826 0,0386 -0,0034
11 1,8646 0,0352 -0,0028
12 1,8998 0,0324 -0,0024
13 1,9322 0,03 -0,0021
14 1,9622 0,0279 -
15 1,9901 - -
2-5; Щг)
2.0 -
: N(r)
1,:
1.0 -
: N2(r)
0.5 - 4 7
- 2 4 6 8 10 12 14 Т
Рис. 2. Сравнение значений величин N(r) и их оценок
Расчеты и построение графиков проводились с помощью вычислительной техники.
Список литературы
1. Rogosinski W. Uber die Abschnitte trigonometrischer Reihen // Math. Ann. 1925. Bd. 95. S. 110-134.
2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 583 с.
3. Стечкин С. Б. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского. Приложение к книге: Г. Харди, Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951. С. 479-492.
4. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук. думка, 1981. 340 с.
5. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 688 с.
6. Харшиладзе Ф. И. Явление Гиббса при суммировании рядов Фурье методами Бернштейна-Рогозинского // ДАН СССР. 1955. Т. 15. № 3. С. 425-428.
7. Харшиладзе Ф. И. Классы насыщения для некоторых процессов суммирования // ДАН СССР. 1958. Т. 122. № 3. С. 352-355.
8. Тригуб Р. М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. № 3. С. 615-630.
9. Фомин Г. А. О линейных методах суммирования рядов Фурье, подобных методу Бернштейна-Рогозинского // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 2.
С. 335-348.
10. Kis O, Nevai G. P. On an interpolational process with applications to Fourier series // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1975. V. 26. № 3-4.
P. 385-403.
11. Kivinukk A. On the measure of approximation for some linear means of trigonometric Fourier series // J. of Approximation Theory. 1997. V. 88. P. 193-208.
12. Dzyadyk V. K., Shevchuk I. A. Remark on the Lebesgue constant in the Rogosinski kernel // Ukr. Math. J. 1997. Т. 49. № 7. С. 1125-1126.
13. Jiaxing He . On summability theory and method of Fourier series // Applied mathematics and computation. 2001. V. 117. P. 151-159.
14. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.
15. Жук В. В. Об одном методе суммирования рядов Фурье. Ряды Фурье с положительными коэффициентами // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций: сб. науч. трудов Ленингр. мех. ин-та. 1965.
Т. 50. С. 73-92.
16. Жук В. В., Пименов С. Ю. О нормах сумм Ахиезера-Крейна-Фавара // Вестник СПбГУ, серия 10. 2006. Т. 4. С. 37-47.
17. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 187 с.
18. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 368 с.
19. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.
20. Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24. № 5. С. 1-43.
21. Trigub R. M., Bellinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. 585 p.
Бабушкин Максим (maxbabushkin@gmail.com), ассистент, кафедра
высшей математики, естественнонаучный факультет, Санкт-Петербургский
национальный исследовательский университет информационных технологий,
механики и оптики.
Жук Владимир Васильевич (zhuk@math.spbu.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики, факультет прикладной математики и процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет.
On approximation of periodical functions by generalized
Rogosinski sums
M. V. Babushkin, V. V. Zhuk
Abstract. Let C be the space of 2n-periodical continuous functions with norm
11/II = maRx 1/(x)|. Put
x€K
«■(r.* / ) = g( 1 -( ^)' )* (/),
||UII = sup /f)I, A(r,a) = sup ||Ura(r,a)||.
f eC 11/1| neZ+
The quantities A(r, a) are studied in the work as functions of parameters r and a. The derived estimates are applied for establishing inequalities of the type
11/ - Un(/)|| < Ci$(/), *(/) < C2 11/ - Un(/)|| ,
where $ and ^ — some functionals, which are interesting for approximation theory.
Keywords: generalized Rogosinski sums, two-sided estimates for norms of operators, inequalities for deviations.
Babushkin Maksim (maxbabushkin@gmail.com), assistant, department of higher mathematics, faculty of natural sciences, Saint-Petersburg National Research University of Informational Technologies, Mechanics and Optics.
Zhuk Vladimir (zhuk@math.spbu.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of higher mathematics, faculty of applied mathematics and control processes, Saint-Petersburg State University.
Поступила 12.05.2014
