CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 48-59
Математика
УДК 517.5
О поперечниках некоторых классов аналитических в круге функций
М. Ш. Шабозов, Ш. А. Холмамадова
Аннотация. Найдены точные значения различных п-поперечников для классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Харди Н2, удовлетворяющих ограничению
0
к
где 0 < Н < ж, 1/г < д ^ 2, г € М, а шm(f(г); £) — модуль
непрерывности т-го порядка производной /€ Н2; Ф(*) — непрерывная возрастающая функция, такая, что Ф(0) = 0.
Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности, п-поперечники.
Вопросы, связанные с наилучшей полиномиальной аппроксимацией и вычислением колмогоровских п-поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности и гладкости в пространстве Харди Нр, 1 ^ р ^ то, были изучены Л.В.Тайковым [1, 2] и Н.Айнуллоевым и Л.В.Тайковым [3]. Полученные в [1-3] результаты распространены С.Б.Вакарчуком [4-6] для других п-поперечников. При этом в [4-6] построены наилучшие линейные методы приближения в Нр, 1 ^ р ^ то, реализующие точные значения линейных п-поперечников. В работах [7-10] некоторые результаты [1-3] распространены на другие банаховые пространства аналитических функций.
В данной работе аналогичные задачи изучаются для классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Н2, и вычислены точные значения различных п-поперечников.
Далее обозначим N — множество натуральных чисел, Ъ+ = N и {0}, М+
— множество положительных чисел.
Введение
Пусть /(г) — произвольная аналитическая в единичном круге функция
/(г) = 2 Скгк ’ г = Р^, 0 <р < 1
-к п„И
Ск к=0
с конечной нормой пространства Харди Нр, 1 ^ р ^ то,
2п \ 1/р
Ііш 1 1 (реіі)\Р
р^-1-0
0
1 7 \
2п \/(ре%і')\< ж, і ^р< ж,
шах|\/(г)| : \г\ < 1|, р = ж.
Известно [11], что для /(г) € Нр почти везде на окружности \г\ = 1 существуют угловые граничные значения /(£) := /(ви) € Ьр, 1 ^ р ^ ж.
Через /(г)(£)(г € Ъ+; /(0)(£) = /(£)) обозначим граничные значения обычной г-й производной /(г)(г) = йг//йгг, а через /^г)(^) (г € Ъ+; /<0)(*) = /(£)) обозначим граничные значения г-й производной по аргументу
/«(г) := дг/(р^)/д1г, г € Ъ+.
При этом
/ (г) = /'(;Ы /„Иг) = {/-"(г)} [ ,г > 2.
Всюду в дальнейшем полагаем
/(г)(г) = У^ ак,гСкгк-г, ак,г = к(к - 1)... (к - г + 1),к ^ г, (1)
к=г
/„Г)(г) = ^кУСкРкеШ := ^(гк)гСкгк. (2)
к=1 к=1
Множество всех комплексных алгебраических полиномов степени не выше п обозначим
Рп = < рп(г) : рп(г) = ^ акгк, ак € С > . к=0
Величина
Еп(/)р := Е(/; Рп-^Ир = \\/ - рп-1\\пр : рп-1(г) €^-1}
называется наилучшим приближением функции /(г) € Нр полиномами рп-1(г) € Рп-1. Если /(г) € Нр имеет непрерывные граничные значения
р := II/\\Нр = ^
f (t), то их гладкость характеризуем модулем непрерывности m-го порядка в Lp-норме
Vm(f; t)p = sup{\\Am(f;-,u)\\p : u G [0, t]j, 1 ^ p ^ to,
ГДе m /4
Am(f; x, u) = ^2-1)4 m)f (x + (m - k)u) k=0 ' '
— конечная разность m-го порядка функции f (z) G Hp в точке x с шагом u.
В частности, из равенства (1) следует, что если f (r)(t) угловое граничное значение производной f (r)(z) G H2, то, согласно равенству Парсеваля, имеем
(f(r); t)2 = 2msup] V air \ck|2 (1 - cos(k - r)u)m : u G [0,t]l . (3)
.. k=r+1
Аналогичным образом, если fa\z) G H2, то, используя равенство (2)
находим
шт(f(r); t)2 = 2m sup £ k2r ICkI2 (І — cos ku)m : u Є [О,^ > .
, k=1
Отметим, что для произвольной аналитической в единичном круге функции /(г) € Н2 в силу уравнения замкнутости справедливо равенство
1 2п п— 1 те
Еп(/) = 2П \/(^\2^ - 2 \Ск\2 = 2 \Ск\2.
0 к=0 к=п
Кроме того, согласно неравенству Гельдера
Еп(/)Нр ^ Еп(/)Н2 , 1 ^ р ^ 2. (4)
Всюду далее для 1 ^ р ^ ж положим
Н„г) = {/(г) € Нр, \\/(г)\р < ж} , Н„Г2 = {/(г) € Нр, ||/М||р < ж) .
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть /(г) € Нр\ 1 ^ р ^ 2. Тогда для любых т,п € М,
г € Ъ+ при 0 <Н ^ п/(п — г), п > г, 1 ^ д ^ 2 имеет место неравенство
( Н тд \—1/Я ( Н \1/Я
Еп(/)р < 2—та—1г ( ^ (п 2 г)^ ( / шт(/(г)^)2м\ , (5)
где ап,г = п(п — 1)... (п — г + 1), п ^ г. При р = 2 существует функция /0(г) € Н2Г); обращающая (5) в равенство.
Доказательство. Используя неравенства Минковского [12, с. 104] ' д/2 \1/д (оо М \2/д\‘/2
/(Е 1Л(‘)12У л) »(£{/ \!киг*)
,0 ^к=п / ) \к=п\0 )
, Н> 0, 0 < д ^ 2,
/ /
и учитывая (3), получаем ' н \ 1/д / н
Ушт(/(г),^)2^ (0 (
V
к=п
д/2
>
2т^2 ак,г\ск|2(1 - ^(к - г)і)
\ 2/д\ 1/2
1/д И I ^
Е {аЬIе*-1"[(1 -«®(к-г)г)тд/2йг\
к=п \ п
= 2т/2 | £ ІСкI2 К ,г /(1 - соз(Л - г)і)тд/2іі\
/ /
ч 2/д Ї V2
(6)
Функция
г к
ір(к) = адк I (1 - сов(к - г)і)тд/2 іі ’ і о
для значений к ^ п > г является строго возрастающей, поскольку при 1 ^ ^ д ^ 2 имеем
—
^'(к) = к—г ^ а9к’г (1 - С08(к - г)Н)тд/2 +
V— 1
+ак ,V д^2
в=0
к — в к — г
\ к
) У (1 - сов(к - г)і)тд/2 іі ^ 0, 0
а потому
шіп {^(к) : к ^ п > г} = р(п) = аП,^ (1 - сов(п - г)і)тд/2 іі. (7)
Учитывая соотношение (7), из (4), (6) получаем
н \ 1/9
1
1
к
/ 1 h \ 2|q „ \1|2
^ 2m|2
a^r [ ї(І — cos(n — r)t)mq|2dtj Е IckI2
0 k=n
h \ 1|q
a
0
= 2m|2an,r ( J (І — cos(n — r^r^2 dt\ En(f )2 ^
h , \ l|q
mq|2
> ‘2m!‘2an,r ( / (2 si„2 ^ dtj En(f)p =
h \ 1|q mq
= 2man,r [ J ^sin (n 2 r)^ dt j En(f)p, І ^ p ^ 2.
0
Из неравенства (8) следует (5). Непосредственным вычислением убеждаемся, что знак равенства в неравенстве (5) реализует функция f0(z) = zn G H(r\ В самом деле, с одной стороны En(f0)n2 := En(zn)H2 = 1, ас другой стороны простой подсчет показывает, что
Wm(f0(r),t)H2 = 2man,r (sin П——Г t) , n>r.
Отсюда, для 0 < h ^ п/(п — г) и 1 ^ q ^ 2 имеем:
( h mg \ -1/Ч ( Н \1/Я
2-lma-]r ^sin (n 2 r)^ dt j I У Uqm(f0(r),t)2dt I = 1 := En(f0)H2 ,
00
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Аналогичным образом доказывается, что если структурные свойства аналитических функций задавать модулем непрерывности шт(/<„г); £)2, то справедлива
Теорема 2. Пусть f (z) Є Hp)i, І ^ p ^ 2. Тогда для любых чисел
m,n,r Є N, І/r ^ q ^ 2 и О <h ^ n/n имеет место неравенство
1 h \ -l|q 1 h \1^
En(f )p < 2-mn-r (У (sin у) dtj (У Uqm (fr),t)2dtj . (9)
При p = 2 для функции f0(z) = zn Є неравенство (9) обращается в
равенство.
Основные результаты
В этом пункте, прежде чем сформулировать другие результаты, приведем несколько определений и обозначений общего характера.
Пусть 5 = € Н2 : ||^>\| ^ 1} — единичный шар в Н2; М — выпуклое
центрально-симметричное подмножество в Н2. Лп С Н2 — п-мерное подпространство; Лп С Н2 — подпространство коразмерности п; I : Н2 ^ Лп
— линейный непрерывный оператор, переводящий элементы пространства Н2 в Лп; I^ : Н2 ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования пространства Н2 на подпространство Лп. Величины
bn(M, H2) = sup {sup {е > 0; eS П Лп+i С M} : Лп+i С H2} ,
dn(M, H2) = inf {sup {\\f ||2 : f G M П Лп} : Лп С H2} ,
dn(M, H2) = inf {sup {inf {\\f - g\\2 : g G Лп} : f G M} : Лп С H2} ,
An(M, H2) = inf {inf {sup {\\f - If Ц2 : f G M} : IH2 С Лп} : Лп С H2} ,
nn(M, H2) = inf {inf {sup {||f - l±f Ц2 : f G M} : С Лп} : Лп С H2}
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным n-поперечниками множества M в пространстве H2. Указанные n-поперечники монотонны по п ив гильбертовом пространстве H2 удовлетворяют соотношения [12, 13]
bn(M; H2) < dn(M; H2) < dn(M; H2) = An(M; H2) = nn(M; H2). (10)
Пусть Ф^) — произвольная непрерывная, возрастающая при u ^ 0 функция, такая, что Ф(0) = 0. При любых m,n,r G N, соответственно при 0 < h ^ n/(n - r), r < n, 1 ^ q ^ 2 и 0 < h ^ n/n, 1/r ^ q ^ 2, определим классы функций
Wr(Ф) := W(m, n, r, q, Ф) = |f (z) G h2[] : J uqm(f(r); t)2dt < Фд(h)| ,
Wra (Ф) := W (m, n,r,q, Ф) = |f (z) G H^ : J ^ (fr); t)2dt < ^(h)
Используя результаты первого пункта, вычислим точные значения всех перечисленных выше n-поперечников множеств WГ (Ф) и Wr (Ф) в пространстве H2. С этой целью положим
(sin t)m := j (sin t)m, если 0 <t ^ n/2; 1, если t>n
Теорема 3. Пусть функция Ф(и) при всех ц Е №+,т,п,г Е М, соответственно для 1 ^ д ^ 2, 0 < Н ^ п/(п — г), п > г и 1/г < д ^ 2, 0 < Н ^ п/п, удовлетворяет условию
где 7п(-) — любой из п-поперечников: колмогоровский йп(), бернштейновский Ъп(), гельфандовский (1п(■), линейный Хп(-), проекционный пп(■).
Доказательство. Не умаляя общности, докажем, например, соотношение (12). Используя неравенство (5), запишем оценку сверху проекционного п-поперечника класса Шг(Ф), полагая в (5) Н = п/(п — г) :
Для получения оценки снизу бернштейновского п-поперечника класса Шг(Ф) введем в рассмотрение (п + 1)-мерную сферу
П
// у \шд /*/ у \шд
(вш 2 ^ йу ^ Ф9(уи) ^ йу. (11)
о
о
Тогда для любого п Е N справедливы равенства
(12)
(13)
Пп(Шг(Ф), Н2) < вир ВД) : / Е Шг
1/9
(14)
и укажем, что £п+1 С Шг(Ф). В работе [14] доказано, что для произвольного полинома рп(г) Е Бп+1 имеет место неравенство
^ш(рПг); t)2 ^ 2man,r ^sin (П 2 r)t ^
ап,г \\РпЫ. (15)
Обе части неравенства (15) возведем в степень д (1/т < д ^ 2) и проинтегрируем полученное соотношение по Ь в пределах от 0 до цп. Затем в интеграле, расположенном в правой части неравенства, произведем замену переменной пЬ = V, заменим норму полинома рп(г) Е £п+1 радиусом сферы и в итоге получим
ЦП
]^(рПг);Ь)2^Ь < ф9 (п—т) х 0
цп ( п/(п—т) \ 1
х , | sin (n^X"'dt
0
(П — r)t dt
0
/
n(n-r)u / n \-1
=ФЧn—r) / (sin 2)mqdv (/sinmq 2dvj • (ie)
0 \0 /
В правой части (16) введем обозначение n/(n — r) = и и, используя условие (11), придем к неравенству
цп цп / п \ — 1
J (Рп); t)2 dt ^ Фq (и) j (sin V j dv ( J sinmq 2 dvj ^ Фq (^u),
0 0 \0 /
которое равносильно включению Sn+1 С Wr(Ф) Используя определение бернштейновского n-поперечника, запишем оценку снизу
bn(Wr(Ф),Н2) > bn(Sn+i,H2) =
(п/2 \-1/q
= 2-(m+1)(n — r)1 a-1r J sinmq tdt ф( n—r)^ (17)
0
Сравнивая неравенства (14) и (17) с учетом (10) получаем равенство (12). Аналогичным образом доказывается (13). Теорема 3 доказана.
Условие (11) в формулировке теоремы 3 выглядит не совсем естественным и труднопроверяемым. Однако, на наш взгляд это не так.
Теорема 4. Множество функций Ф, удовлетворяющих условию (11), не пусто.
m
sinmq
Доказательство. Рассмотрим, например, степенную функцию Ф,(и) =
а, где i
а := п1, /( sin 2 )mpdv| . (18)
Из (18) получаем
- < а < - (тр + 1). (19)
р р
Условие (11), выполнение которого предстоит доказать для функции Ф*, в рассматриваемом случае запишется в виде
ЦП , П
f > j (sin|)’'“”*<// |rv,
0 ' 0
С учётом (18) данное неравенство примет вид
ЦП
П ( / V )тР
>J (sin 2), (20)
,
0
где 0 < ц < <x>. Рассмотрим вспомогательную функцию
ЦП
П ( / V )тР
R(f‘):= 0pf‘v-J (sin2). *’. (21)
В бесконечно малой окрестности нуля с учетом (21) имеем
ЦП
ЦП ,
П f /V \ mp / П
вд = о-/аг — J (2) dv = "i op,—
0
П I /V )mP I П Птр+! \
" aP _ I (!) dv = ,,ap\ —___________-_________ ump+l-ap (22)
2mp(mp +1) '
Следовательно, при ц — 0+ из (22) и (19) получаем Е(ц.) > 0. Из (21) и (18) имеем Я(0) = Я(1) = 0. Покажем, что на интервале (0,1) функция (21) является знакопостоянной. Для этого, рассуждая методом от противного, полагаем, что существует некоторая точка £ € (0,1), в которой функция Я меняет знак. В силу теоремы Ролля производная первого порядка функции Я, то есть
= п„«Р-1-п( Е.ГР
Я’(р) = П^а - — П ^ sm ■ у
должна иметь на интервале (0,1) не менее двух различных нулей. Столько же различных нулей на (0,1) ив тех же точках, что и Я', должна иметь функция
Я,(/л) := П1/(тр)(^(«p-1)/(mp) — sin (23)
Так как в силу левой части неравенства (19) и соотношения (23) Я, (0) = = Я, (1) = 0, то функция
Я, (ц) = П1/(тр) (^(ap-mp-1)/(mp) — 2 cos (24)
на основании теоремы Ролля должна иметь на (0, 1) не менее трех различных нулей. Из (24) и правой части неравенства (19) следует, что на интервале (0,1) Я' является разностью двух положительных функций, одна из которых монотонно убывает и выпукла вниз, а другая монотонно убывает и выпукла вверх. Из геометрических соображений очевидно, что Я' может иметь на (0,1) не более двух различных нулей. Полученное противоречие доказывает, что Я(ц) > 0 для любого ц Е (0,1).
Пусть теперь 1 ^ ц < о. Тогда на основании (21) и (18) функция Я примет следующий вид
Я(ц) = цар — ар(ц — 1) — 1. (25)
Из (25) получаем
Я'(ц) = ар(^цар-1 — 1^ . (26)
В силу левой части неравенства (19) из (26) получаем, что Я'(ц) ^ 0 на полусегменте [1, о). Поскольку, как следует из (25), Я(1) = 0, то Я(ц) ^ 0 на указанном точечном множестве. Полученное означает, что неравенство (20), а значит и условие (11), справедливо для функции Ф, при любом ц е (0, о). Теорема 4 полностью доказана.
Следствие 1. Для любых m,n,r е N, соответственно при 1 < q ^ 2 и 1/r < q ^ 2, справедливы равенства
Yn(Wr(Ф,),И2) = 2-m Па-1/(1 (aq)1/q а-], (n — r)1/q, n > r;
Yn(Wr(Ф,),И2) = 2-m Па-1^ (aq)1/q n-r+1/q, где Yn( ) ~ любой из вышеперечисленных n-поперечников.
Список литературы
1. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1967. Т.1, №2. С.155-162.
2. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1977. Т.22, №2. С.285-295.
3. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. Т.40, №3. С.341-351.
4. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 1995. Т.57, №1. С.30-39.
5. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классах аналитических функций // Матем. заметки. 1999. Т.65, №2.
6. Вакарчук С.Б. Точные значение поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72, №5. С.665-669.
7. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. Т.383, №2. С.171-174.
8. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Bp, І < p < ж // Докл. РАН. 2006. Т.410, №4. С.461-464.
9. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // Докл. РАН. 2007. Т.412, №4. С.466-469.
10. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Матем. сборник. 2010. Т.201, №8. С.3-22.
11. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. М.: Мир, 1984. 256 с.
12. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 292 p.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Издательство МГУ, 1976. 304 с.
14. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 // Матем. заметки. 2000. Т.68, №5. С.796-800.
Шабозов Мирганд Шабозович ([email protected]), д.ф.-м.н., академик АН Республики Таджикистан, отдел теории функций и функционального анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.
Холмамадова Шогуна Авобековна ([email protected]), аспирант, Хорогский государственный университет им. М. Назаршоева.
About of widths of some classis analytical in the disk functions
Abstract. We obtain the exact values of arbitrary nth widths for classes analytical in the unit disk functions in the space H2, satisfying the condition
С.186-193.
M. Sh. Shabozov, Sh. A. Kholmamadova
here 0 < h < <x>, 1/r < q ^ 2, r E N, um(f(r); t) — modulus of continuity of mth order derivative f(r) E H2; and $(t) is a continuous and an increasing function with $(0) = 0.
Keywords: the best approximation, modulus of continuity, n-widths.
Shabozov Mirgand ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics, Dushanbe.
Kholmamadova Shoguna ([email protected]), postgraduate student, M. Nazarshoev Khorog State University.
Поступила 14.09.2012
