CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.Ш.Шабозов, Г.А.Юсупов* НАИЛУЧШИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет
Построены наилучшие линейные методы приближения классов аналитических в единичном круге функций, усредненные значения модулей непрерывности г-ых производных которых мажорируются заданной функцией. Полученные результаты обеспечивают возможность вычисления точных значений различных п-поперечников на указанных классах функций.
Ключевые слова: наилучшие линейные методы приближения - модуль гладкости - пространства Харди - мажоранта - поперечники.
1. Экстремальная задача отыскания наилучших линейных методов приближения для классов аналитических функций представляет определенный интерес при вычислении гельфандовских и линейных п -поперечников. В этом направлении исследования имеется ряд окончательных результатов (см., например, [1-7] и приведенную там литературу).
В данной работе построены наилучшие линейные методы приближения для некоторых классов аналитических функций, ранее изучавшихся в [8] и вычислены точные значения ряда п -поперечников нижеприведенных классов функций в более общих пространствах Харди Я <д 0<р< 1).
Говорят, что аналитическая в единичном круге | г |< 1 функция /(2) принадлежит банахову пространству Н, если
{ 1 2л V/q
:= lim
р^1-0
1 2 Л
- \\f <pe' )Г
dt
V2Л о...... у
< го, 1 < q < го.
При этом норма функции /(г) е Н , 1 < д < да реализуется на её угловых граничных значениях /(1) := /(в11). В случае д = да дополнительно будем предполагать функцию /(г) непрерывной в замкнутом круге | г |< 1. Обозначим через Н Р(1 < д <да, 0 < р < 1) пространство Харди аналитических в круге | г |< р функций /(г), для которых \/(г) = /(рг) <да.
Ндр Нд
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Пусть Р - множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п. Символом Еп (/= 1пГ |||/ — р^Цч ■ рп_х ^ обозначим наилучшее приближение функции /(2) е множеством полиномов степени < п — 1. Производную г -го порядка функции /(2) по аргументу 2 обозначим как обычно /{г\г) := сГ/(г) / ёгг(г е М, = /(г)).
Структурные свойства функции /(г)(2) е И охарактеризуем скоростью стремления к нулю модуля гладкости ее граничных значений производной
с/; ■= 8ир{||/(г)(- + т) — 2/(г)(0 + /(г)(- — т)\\д ■\т\< ф
при ^ ^ 0, задавая эту скорость убывания к нулю через мажоранты некоторой усредненной величины, содержащей с2 (г); 2t)н .
Пусть Ф(х) (х > 0) - произвольная положительная неубывающая выпуклая вниз функция такая, что Ф(0) = 0. Для любого заданного значения параметра ¡л> 1 / 2, через г)(Ф;^) геК, \<с/< х обозначим класс функций /(г)<=Нд, для которых производная /<г>(2) е Н ч при любом к е К удовлетворяют условию
Iй ( irt\
- J o2(f( ') ; 2t )q 11 + - l)sin j I dt < Ф(й).
Приводим необходимые для дальнейшего определения и обозначения. Пусть X - банахово пространство; S - единичный шар в нем; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; Ln œ X - n -мерное подпространство; V( f, Ln) - линейный непрерывный оператор, переводящий X в Ln ; L - линейное подпространство коразмерности n из X. Через
E(f, Ln ) x = inf | f -4 x 4 g Ln } обозначим наилучшее приближение функции f g X, а через
E(fV(f))x -=S(f,V(f,Ln))x =\\f -V(f,Ln)||X
уклонение функции f g X от линейного непрерывного оператора V( f, LB ) в пространстве X. Для введенного выше множества MM œ X полагаем
Е(Ш,Ln)x =sup{E(f,Ln)x : f g Ш], E(m,V, Ln )X d=sup{E(f ,V(f, Ln ))X : f g Щ.
Равенства
E(M;Ln)х = inf{E(M;Л,Ln)x :ЛсV(f,Ln)} (1)
характеризует наилучшее линейное приближение множества M с X элементами подпространства
Ln с X. Линейный оператор Л* = Л* (f, Ln ) с V(f, Ln ), если он существует и реализует точную
нижнюю грань в (1), является наилучшим для множества M с X линейным методом приближения. Величины
bn(M;X) = sup{sup{e > 0: eSоLn+l с M}: Ln+l сX}, dn (M; X) = inf{ En (M, Ln)x : Ln с X}, dn (Ш; X) = inf {sup {I f ||x : f e Ml о Ln}: Ln с X},
S„ (M; X) = inf{inf{En (M, V, Ln )x : V: X ^ Ln}: Ln с X}
соответственно называют бернштейновским, колмогоровским, гельфандовским и линейным n -поперечниками. Между перечисленными выше n -поперечниками для любого центрально-симметричного компакта M с X выполняются соотношения (см., напр., [9]):
dn (M; X )
bn (Mi; X) < nV J<S (M.; X). n 7 dn (M; X) n ' J
Из результата [8, с.93] и следствия 3 работы [10, с.289] следует, что если при заданном [Л > 1 / 2, любых г е (0, ж / 2] и t е Ж функция Ф удовлетворяет условию
1 f , Л /
л г L ntx '
л fN ntx л . 2 1Ч • лх ^ O(t)
-oJ!1 -c°s^ 1 + (М -^sin—Idx (2)
Л- 2 о I 2мУЛ 2 У ф)
о
где
(1 - c°s x)„ := {1 - c°s x, если 0 < x <л; 2, если x >л}, то для любых п, г е N, п> r> 1 справедливы равенства
bn W9 г)(Ф;м); Hq)=dn ^г)(Ф;м); Hq у =
= En (((Ф^РМ = —Л-¥
Л
г
Л
q n- Ч 2( Л - 2)«n,r ^2(n - rV у
_,Мм)
(3)
где ССй , = п(п — 1) • • -(п — г +1), п>г. Там же доказано, что функция Ф (и) = и , где
а(М) = Л оч J xf1 + (М2 - 1)sin ЛХ1sin ^^
2(л-2)м о V 2 У 2м
удовлетворяет ограничению (2), причём а(1) = 2/(ж — 2), Нша(л) = 2 и при всех ¡е[1,го) вы-
Л-ю
полняется неравенство 2 / (ж — 2) < а(л) < 2.
Если в левой части неравенства (2) выполнить замену переменной т = ж/ 2(п — г)л (п > г,1 / 2 < л < ю), то вместо (2) получим эквивалентное условие
ж
ж — 2
Ф
ж
1г
2(п — г)л) Х-
| (1 — соб(п — г)х^ 1 + (л2 — 1) бш Ж | <Лх < Ф(Х).
(4)
Последнее неравенство играет ключевую роль при доказательстве нижеприведенного утверждения, в котором результат (3) распространяется на более общее пространство р, 1 < q < ю,
0 < р < 1. В данной работе без доказательство приводим некоторые результаты, которые развивают соответствующие результаты из [6-9].
Теорема 1. Пусть п, г е М, п> г, //>1/2 и мажоранта Ф при любых / е удовлетворяет ограничению (2). Тогда при всех 1 < q < ю и 0 < р < 1 имеют место равенства
Ъп (Жг)(Ф; л);И, = < (Ж(г)(Ф; Л);И, =
Е (ж(г)( Ф;л) )я
ж рп
2(ж - 2) а
Ф
ж
\
п ,г V
2(п - г) л
2. Для нахождения точных значений гельфандовского и линейного п -поперечников нам потребуется построение наилучшего линейного метода приближения функций класса Жг)(Ф;л) в
пространстве Иqр. С этой целью для произвольной функции /(г) = £ скгк е А(и) запишем следующий линейный полиномиальный оператор степени п — 1:
к=0
А п^р{/; г) <= £ ск (/) гк
+
к=0
а
1 + р2( п—к) а
2п—к ,г
Ук ,г
1 —
к — г
2п — к — г
2
— 1
С (/) гк,
(5)
где
2л(п — г)
Ук ,г 0
ж — 2
ж/2л(п—г)
| соз(А: - г)х{ 1 - зт(и - г) /их)сЬс, к>г> 1, г е N.
п—1
Теорема 2. Пусть / - произвольная функция из класса г е М,
1 < ^ < да, ¡л> 1 / 2, 0 < р < 1, и - любое натуральное число больше г. Тогда справедливо неравенство
( «г \
^^. (6)
2(п - г
Если мажорирующая функция Ф при любом I е удовлетворяет ограничению (4), то неравенство (6) неулучшаемо в том смысле, что существует функция V(z) г)(Ф;м) , обращающая его в равенство.
Основной результат статьи содержится в следующем утверждение.
Теорема 3. Если мажоранта Ф удовлетворяет ограничению (4), то при любых п,г еМ, п > г и 0 < р <1, /л> 1/2 справедливы равенства
* (Х(г)(Ф;м);Ич, 1 = г)(Ф;м) ,
п
= Еп^Ф^Л^) «Ф
<?,Р
2(* - 2) а.
п,г V 2(п - г
где *и (•) - любой из п -поперечников Ьп (•), <п (•), <п(•), (•), а наилучший линейный метод приближения Лп_1г (•) определен равенством (5).
Поступило 17.12.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, т.22, с. 631-640.
2. Тайков Л.В. О наилучших линейных методах приближения функций классов Бг и Н - Успехи мат. наук, 1963, т.18, №4(112), с. 183-189.
3. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения. - Матем. заметки, 2002, т.72, №5, с. 665-669.
4. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди НЧ:К, q > 1, 0<Ж1. - Матем. заметки, 2009, т.85, №3, с. 323-329.
5. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
6. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. - ДАН России, 2013, т.450, №5, с. 518-521.
7. Юсупов Г.А. О наилучших линейных методах приближения функций в пространствах Харди НЧ:К, 0<Д<1. - ДАН РТ, 2013, т.56, №12, с.946-952.
нч.р
8. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций в единичном круге. - В кн.: Геометрические вопросы теории функций и множеств. Калинин, 1986, с. 91-101.
9. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
10. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций. - Матем. заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-294.
М.Ш.Шабозов, Г.А.Юсупов*
УСУЛХОИ НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ ХАТТЙ ВА ЦУТРХОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯХО ДАР ФАЗОИ ХАРДИ
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишго%и миллии Тоцикистон
Усулхои наздиккунии бехтарини хаттй барои синфи функсияхои дар давраи вохиди аналитикй тартиб дода шудаанд, ки модули бефосилагии миёнакардашудаи хосилаи тартиби r -умаш бо функсияи дода шуда махдуд мебошад. Натичахои ёфташуда имконият медиханд, ки кимати аники n -кутрхо барои функсияхои нишондодашуда хисоб карда шавад. Калима^ои калиди: усулхои наздиккунии бехтарини хаттй - модули суфтагй - фазой Харди -мажоранта - цутр^о.
M.Sh.Shabozov, G.A.Yusupov* BEST LINEAR APPROXIMATION METHODS AND THE WIDTHS OF CERTAIN CLASSES OF FUNCTIONS IN THE HARDY SPACE
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
*Tajik National University Construct best linear approximation methods classes of analytic functions in the unit circle, the average values of the moduli of continuity of r th derivatives which are dominated by a given function. The results obtained make it possible to calculate the exact values of different n -widths for these classes of functions.
Key words: best linear approximation methods - modulus of smoothness - Hardy space - majorant - widths.
