CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов, М.М.Миркалонова О ПОПЕРЕЧНИКАХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.09.2013 г.)
В пространстве Харди Hp, 1 < p < го, для определённых классов функций, задаваемых усреднёнными значениями модулей непрерывности и гладкости граничных значений r -ых производных, вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских n -поперечников.
Ключевые слова: наилучшие линейные методы приближения - граничные значения - пространства Харди - мажоранта - п-поперечники.
К настоящему времени в задаче отыскания точных значений n -поперечников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах получен ряд окончательных результатов. Так, вопросы, связанные с вычислением точных значений n -поперечников в пространстве Харди Hp, p > 1, изучались, например, в ряде статей (см. [1-9] и литературу, приведнную там). В
пространстве Бергмана аналогичные вопросы изучались сравнительно недавно в работах [10-12]. Отметим также некоторые работы, в которых найдены наилучшие линейные методы приближения классов функций [10,13,14]. Тем не менее для многих классов аналитических функций значения n -поперечников еще не найдены.
1. Всюду далее, N - множество натуральных чисел; Z = N и {0 {; М+ - множество положительных чисел.
Напомним необходимые в дальнейшем определения и факты. Пусть X - банахово пространство, S - единичный шар в X, N - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в
X, Ln с X — n -мерное подпространство. Величины
bnX) = sup{sup{^ > 0: ^SnLn+1 с 91}: Ln+1 с X},
dn , X) = inf {sup {inf {f — 4x : p e Ln}: f e N}: Ln с X}
называют соответственно бернштейновским и колмогоровским n -поперечниками. Указанные n -поперечники удовлетворяют неравенства (см., напр., [1])
bn (N, X) < dn (N, X). (1)
Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734025. Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: G [email protected]
Всюду далее под X будем понимать пространство Харди Н , 1 < р <да функций /(г), аналитических внутри единичного круга
f (z) = £ ckzk, z = pel, 0 <p< 1
k=0
с конечной нормой
= lim
p p^1-0
f 1 2n V7 p
- \\f P )\ Pdt
V 2* 0 = sup{ \f (z)\: \z \ < 1}.
Принимая одни и те же обозначения нормы, мы тем самым подчёркиваем независимость полученных результатов от значения параметра p в пространстве H .
Хорошо известно, что норма функций в пространстве H , 1 < p < да реализуется на угловых
граничных значениях, которые в дальнейшем будем обозначать как f (t) := f(elt) = lim f(pel). В
p^-1-0
случае p = да будем предполагать f (z) непрерывной в замкнутом круге \ z \ < 1. Граничные значения f (t) функции f (z) G Hp характеризуем посредством нормы разностей первого и второго порядков
A>(f,x) Н| f (x +1) - f (t)|,
4(f,2x) f (x +1) -2f (t) + f (t -x)||,
а структурные свойства функции f (z) G H , 1 < p < да определим скоростью убывания к нулю модуля непрерывности и гладкости значений производных r -ых порядков по аргументу z :
((f(r) ,8) = sup{Aj(f, x): \x\ <8},
(2r),28) = sup^f,2x) :| x |<8},
задавая эту скорость убывания посредством мажоранты некоторых усредненных величин (( f r) ,8) и ( (f r), 28). При этом полагаем
/j(z) = f\z)zt = f\z)zi и = {fir-l\z)\a, г > 2, г g N.
Пусть Vn - множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше il. Наилучшее приближение функции f(z) g Нр элементами р g Vn определим равенством
Положим
В работе [3] доказано, что для произвольной функции /(г) е (г > 1, г е М) имеет место точное неравенство
яУ(2и)
П / (2 П )
i(/) <7-^ j r), ям
Е
2иг
2п 0 (2)
а в [4] указана зависимость между наилучшим приближением функции е 1 < р < го, г > 1, г е РТ) и усреднённым модулем гладкости производной г -го порядка:
1 п/(2я )
E j o(/j'),2td
(3)
(п- 2)nr 0
причём оба неравенства (2) и (3) обращаются в равенства для функции вида /0(2)=а?<=Н<£, аеС.
Пусть Фг (и) (/ = 1,2) - непрерывные неубывающие выпуклые вниз при и > 0 функции такие, что Нт(Фг (и): и ^ 0} = ф (0) = 0 (/ = 1,2).
Исходя из неравенств (2) и (3), вводим в рассмотрение классы И/'Г>(Ф1) (г е М, / = 1,2) функций которые при любом /? е К , соответственно, удовлетворяют условия
h . h
\ J о(/r),2t)dt < Ф-(й), Т. J о/),2t)dt < Ф2(h). h 0 h 0
Если M - некоторый класс функций, принадлежащий пространству H , - < p < го, то положим также
En j(M) = sup{E„_): / е M}. Далее введем следующие обозначения
(sinnt\ := {sinnt, если 0 < nt <п/2; 1, если nt >п/2}, (4)
(- - cos ntX := {- - cos nt, если 0 < nt < n; 2, если nt > п}. (5)
В принятых нами обозначениях справедлива следующая
Теорема 1. Пусть г eZ+, neN и мажоранта Ф, при любом h е R+ удовлетворяет условию
Ф, (ж/ (2n)) 2nh
Тогда имеют место равенства
к wr h1 = dn wг,h, 1 =
J (sin t).dt. (6)
= Е^Ч^НУ^Щ (7)
Множество функций {Ф^, удовлетворяющих условию (6), не пусто. Ограничению (6) удовлетворяет, например, функция Ф* ^) = 1а, где а = ж / 2 — 1.
Доказательство. В самом деле, учитывая определение класса Жг)(ф), из неравенства (2) для произвольной /(г) е Жг)(ф) имеем
E -1) <7-Л
4 n
^ 2п*/(2") ^
о
2П Jf,2t)dt4>r (8)
4 nr 1 2n
Воспользовавшись соотношением (1) из неравенства (8) получаем оценку сверху для указанных п -поперечников
bn W Г)(Ф )' HP j< dn W Г)(Ф ), Hpj <
< E-i f We(r)( ФД Hp, )<Ж-Л Фл ГЖ1. (9)
' 17 p j 4 nr 1 ^ 2n y
С целью получения оценки снизу указанных n -поперечников, равной правой части неравенства (9), во множестве Рп гл Нр рассмотрим шар
и покажем, что шар <Jn+1 ^ Wя( r)( Ф ). Для этого используем неравенство [5]
®(p£, 2t) < 2n ' (sin nt).||pj, (10)
справедливое для произвольного полинома рп Е 1->п. Из (10), учитывая определение класса ^'' '(Ф,), для любого рп е <хй+1 и произвольного числа h gBL, в силу неравенства (6), получаем
Iй Ia
^ j , 2t )dt < 2n - | \pn | | • ^ j (sin nt) . dt <
0 o
1 С \ -I nh
ж 1 ^ ( ж ] 1
< 2nr----Ф,| — I--f (sin t). dt
4 nr 11 2n) nh e
\ nh
ж \ ж
Ф l — -i (Sin tdt ^^
2п) 2пк
у о
откуда и следует, что (Гп+1 ^ Ж7)(ф). Согласно определению бернштейновского п -поперечника, имеем оценку снизу
К Wr )(Ф1), И > bn k+1, Hp ) > ж - -1 Ф11 — I. (11)
ж 1 (ж
"р ~п ^п+1'~р Т' П7 1 [2П
Сравнивая оценки сверху (9) и снизу (11), получаем требуемое равенство (7).
Тот факт, что функция Ф*(I) = 1а, где а = (ж / 2) — 1 удовлетворяет условию (6), проверяется непосредственными вычислениями. Теорема 1 доказана. Из доказанной теоремы 1 вытекает Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства
ъп ж 7 нр)=< ж 7 нр) =
^ N ж/2
(^И" 1-1 Е I „—(1)—ж/2
= Еп—! Ж^Ф*),Нр] = п
Имеет место следующая
Теорема 2. Пусть и мажоранта Ф2 при любом /геЕ+ удовлетворяет условию
(12)
^(h) (1 - costXdt.
ф(ж/(2n)) ж-2 nh i
Тогда при всех 1 < р < да имеют место равенства
bn W ЧФ2), Ир J = dn Г)(Ф2), ИР ) = En_x{W(a )(Ф2) ^ =
= Ф2 Гж). (13)
2(ж- 2) nr 2 ^ 2n .J
Множество мажорант {Ф}, удовлетворяющих условию (12), не пусто.
Доказательство. Из неравенства (3) сразу получаем оценку сверху для наилучших приближений класса множеством полиномов 'Рп :
En-1 (WT)) = sup{En (f): f e W(r)r)}
2)}<
Ж 1 <----Бир <
( 2ПЖ'(2" ) ^
2(ж- 2) пг
УЖ 0
1 щ(/(аг),2Х)йХ : / ^)(Ф2)
<
< Ж 1 | Ж )
< 2(ж- 2) 'П7 21^2п/
Отсюда, в силу соотношения (1) между указанными п -поперечниками, получаем оценку
сверху
к к7,нр) < < ж7Нр) < ^Ж-^• п?ф2 (Ж). (14)
Для получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника вводим в рассмотрение шар
<>-■={?■■ ф>{ъ,
и докажем, что шар <У*+1 содержится внутри класса Ж7)(Ф2 ).
Пусть - граничное значение произвольного полинома Рп(г) ^ Воспользуемся из-
вестным неравенством [4]:
(рП,,2*) <2пг(1 -со8пО.||Рп||, 0 <пХ <ж. (15)
Учитывая условие (12) и определение класса Ж7)(Ф) для любого рп (г) е <У*п+1, из неравенства (15) получаем
к! (рп ,2) <* <2п • ^ • } • ф ■ (Ж) • пк 1 (1 - сов <
/ \ 1 пк
Ж ^ I Ж ) 1 < —
• Ф2 I Ж I •-— 1 (1 - сов X)пЖ < ф2 (к).
ж - 2 I 2 п ^ пк
0
Последнее неравенство означает, что ^ Ж7)(Ф) . Из этого включения и определения бернштейновского п -поперечника следует оценка снизу
к (К 7 )(Ф г),Нр) > к (<„Нр) > ^Ж—^ • ^ Ф(Ж > (16)
Сопоставляя оценку сверху (14) и оценку снизу (16), получаем требуемые равенства (13). Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться в том, что условию (12) удовлетворяет, например, функция вида Фп(X) = Ха , где а = 2 / (ж — 2), чем и завершаем доказательство теоремы 2. Следствие 2. В условиях теоремы 2 имеют место равенства
bn [ w г)(ф2), Hp)=dn Wa r)(o;x Hp) = War )(Ф2), HP) = = (*/ 2f (*-2)(*- 2)-1 «-r-2/(-2).
Поступило 17.09.2013 г.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. - Успехи матем. наук, 1960, т.15, №3, с. 81-120.
2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. -Матем. заметки, 1967, т.1, №2, с. 155-162.
3. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций. - Anal. math., 1976, v.2, №1, pp. 77-85.
4. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций. - Матем.заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-294.
5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. - Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с. 341-351.
6. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. - Киев: Наукова думка, 1983, с. 62-73.
7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2. - Укр. матем. журнал, 1989, т.41, №6, с. 799-802.
8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций. - ДАН России, 2002, т.382, №6, с. 747-749.
9. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2. - Матем. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.
10. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. - Матем. заметки, 1995, т.57, №1, с. 30-39.
11. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана. - ДАН России, 2002, т.383, №2, с.171-174.
12. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2009, №3(136), с. 7-23.
13. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди H? q > 1, 0 <р< 1. - Матем. заметки, 2009, т.85, №3, с. 323-329.
14. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
Г.А.Юсупов, М.М.Миркалонова ОИДИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДАВРАИ ВО^ИДИ
АНАЛИТИКИ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар фазой Харди Hp, 1 < р барои синфи функсияхои муайян, ки ба воситаи
;иматх,ои модули бефосилагии миёнакардашуда ва модули суфтагии ;иматх,ои сархддии х,осилах,ои тартиби г -ум дода мешаванд, кимати аники п -кутрх,ои бернштейнй ва колмогоровй х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: методи наздиккунии беутарини хатти - модули бефосилаги - циматуои саруадй - фазои Харди - мажоранта - п -цутр^о.
G.A.Yusupov, M.M.Mirkalonova ON THE WIDTHS OF SOME CLASSES ANALYTICAL IN UNIT DISK
FUNCTIONS
Tajik National University
In Hardy space H , 1 < p < » for defined classes functions given by modules of continuity and
the modules of smoothness of boundary value of r th derivative and the exact value of Bernstein and Kol-mogorov n -widths are calculated.
Key words: the line method of best approximation - modulus of continuity - boundary value - Hardy's space - majorant - n-widths.
