ЗНАЧЕНИЯ $n$-ПОПЕРЕЧНИКОВ И НАИЛУЧШИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 40-57

= Математика =

УДК 517.5

Значения п-поперечников и наилучшие линейные методы приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана

М. Ш. Шабозов, М. С. Саидусайнов

Аннотация. В работе найдены точные значения бернштейновс-ких, гельфандовских, колмогоровских и линейных п-поперечников некоторых классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана. Для нахождения точных значений гельфандовских и линейных п-поперечников построены наилучшие линейные методы приближения рассматриваемых классов функций.

Ключевые слова: наилучшие приближения, модуль непрерывности, полином, весовая функция, линейные методы, п-поперечники.

1. Введение

Вопросы наилучших приближений и вычисление точных значений различных п-поперечников некоторых классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана рассмотрены, например, в работах [1-12]. Отметим, что с целью отыскания точных значений линейных п-поперечников определенных классов функций С.Б. Вакарчуком и М.Ш. Шабозовым [10] , а также М.Ш. Шабозовым и М.Р. Лангаршоевым [11] в весовых пространствах Бергмана построены наилучшие линейные методы приближения. Аналогичные наилучшие линейные методы для обычного пространства Бергмана ранее получены в работах М.З. Двейрина и И.В. Чебаненко [1], С.Б. Вакарчука [5, 7]. Здесь мы продолжим исследование в этом направлении и изложим некоторые новые результаты, содержащие, в частности, ранее полученные результаты в цитированных выше работах.

Напомним некоторые обозначения и определения, используемые в дальнейшем. Пусть М, К+ и С, соответственно - множество натуральных,

положительных и комплексных чисел; ид = [г € С : |г| < Я} - круг радиуса Я € (0,1] в комплексной плоскости С; V := V; А(Пд) - множество аналитических в Пд функций. Для произвольной функции / € А(и)

символом Б9>7 обозначим банахово пространство Бергмана с нормой

вЧЛ = (¿/4) 7(1^1)1/(^Г^)1^ ж, 1 < Я < ж, (1)

где 7(|г|) - положительная весовая суммируемая функция, йа - элемент площади и интеграл в (1) понимается в смысле Лебега. Очевидно, что норму (1) также можно записать в виде

1/9

/ Р7 (р)М(/,р)йр < ж,

где

2п

1

М(/,р)= 1;(рег')19^ 1 ^ Я < ж.

о

В случае я = ж дополнительно будем предполагать функцию /(г) непрерывной в замкнутом круге и := {г € С, |г| ^ 1}. Равенством

и (/, *)в,17 = «ир{ ||/(-е*(^/2)) - /(-е<('-Л/2))|Вв^ : N < :=

/ 1 1 2п X 1/9

= ^ирД ¿У/Р7 (р) |/ (ре^/2)) - / (ре*(т-^/2)) |* йрйт (2)

оо

определим модуль непрерывности в пространстве Б9;7. Всюду далее структурные свойства функции / € Б9>7 будем характеризовать скоростью

убывания к нулю модуля непрерывности производных /аГ)(г)(г € М) функций /(г), задавая эту скорость убывания посредством мажоранты

некоторой усредненной с заданным весом 7(|г|) величины и (/^, Л , где для г € М, /<1г)(г) = дг/(рей)/дГ. При этом

/(г) = /'(г) ■ г; = /'(г) ■ гг и /«(г) = |/(г-1)(г))' , г € М,г ^ 2.

Символом Б9;7;д (1 ^ я ^ ж, 0 < К ^ 1) обозначим пространство Бергмана функций / € А(ид), для которых ||/||в?,7,д = II/(К-)||в?,7 < ж. Полагаем также

>0 = {/ € Б9>7 : ||/аг)|в„7 < ж} (г € М, 1 < Я < ж).

Вд,7

а

Через Рп = < рп(г) : рп(г) = ^ акобозначим множество алгебраичес-I к=о )

ких комплексных полиномов степени п. Символом

£п-1(/)в,,7 =inf {||/- рРп-Лв^ : Рп-1(г) еРп-1}

определим величину наилучшего приближения функции /(г) € (1 ^ ц ^ ^ то) множеством Рп-1. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 1.1. Для произвольной функции /(г) € >а> (1 ^ 9 ^ г € М), при любом и € (0,п/(2п)], п € N и 0 < К ^ 1 имеют место неравенства

и

Еп-1 (/)в,.„я < 2|-г / - (/а". 20 в„Л1 +[ш 2 - ^ ^ £} (3)

о

и знак равенства в (1.3) реализуется на функции f0(z) = azn € Bqri, а € C.

Доказательство. Для доказательства (3) воспользуемся доказанным в [9] неравенством

En-i(f< RnEn-i(f)Bq,7, 1 < q < 0 <R < 1. (4)

В связи с неравенством (4), а также неравенством [9]

En-i(f)Bqn < ^En-1 (f(r-1)), r € N

соотношение (3) достаточно доказать для r = 1. Таким образом, требуется доказать, что при любом u € (0,n/(2n)] имеет место неравенство

u

En-1 №в„ <1 /и (f:,а) {1 + 2 - ^1} it (5)

0

С этой целью для произвольной u € (0, n/(2n)] введем в рассмотрение оператор

u

F(f, z) = 4u / if (zeiT) + f (ze-iT)} cos z € U (6) 0

который используем в качестве промежуточного приближения. Полагая ради удобства F(p,t) := f (pert) , перепишем равенство (6) в виде

u

F (f,pei4) = 4U/ {F(P,t + т) + F(p,t - т)} cos ^dr. (7)

0

Воспользовавшись неравенством треугольника

En-l(f )Bq,Y < En-l(f - F(f ))Bq,Y + En-l(F(f ))Bq,Y , (8)

оценим каждое слагаемое в правой части (8), имея в виду, что в любом банаховом пространстве X выполняется неравенство Еп-\(/)х ^ У/Ух• Так как

/{ре1') - Ъ /,реи) =

u

ni ПТ

= - 4U J {F(P, t + т) - 2F(p, t) + F(p, t - т)} cos — dT, (9)

0

то, учитывая, что

т

F(p, t + t) - 2F(p, t) + F(p, t - t) = y {Faa(p, t + 0) - Fa(p, t - 0)} de,

0

и выполнив интегрирование по частям в правой части (9), приходим к равенству

u

/ {pe1') - F (/, pea) = Ц {F(p,t - t) - F'(p,t + t)}(1 - sin dT =

0

u

2 / {/: (pei(í-T^ - / (pei(í+T)) } (l - sin 2^) dT. (10)

0

Возведя обе части равенства (10) по абсолютному значению в степень д (1 ^ д ^ то), затем полученное равенство умножив на р7(р), проинтегрировав по £ в пределах 0 ^ Ь ^ 2п и по р в пределах 0 ^ р ^ 1 и применив обобщенное неравенство Минковского, будем иметь

u

- «/)lk,Y < 1 / / (pe-(-T0 - /; 0 О - sin 2Т) dT.

2

0

Отсюда сразу следует неравенство

u

- sin — ) dT. 2uJ

En-i(/ - F(/Ж,7 < Ц ||/e (pei(í-T)) - / (pei(í+T^ ||Bq Y (l - sin

0

(11)

При оценке второго слагаемого в правой части (8) аналогично [14, с.343] будем считать /(z) и, следовательно, F(z) полиномами степени n, пользуясь тем, что множество всех полиномов всюду плотно в пространстве Bq>7, можем осуществить одновременно приближение как функции /(z), так и ее последовательные производные (z) (s € N) в Bqri. При этом, пользуясь неравенством [9]

En-i(F)Bq,7 < n-rEra-1 fer)) (1 < q < то, n, r € N),

V / Ba.Y

при г = 2 запишем

Еп-1 ($)в„„ < и-2Еп-г (д;) < п Поскольку из равенства (7) вытекает, что

Ба

(12)

^ = 4и/ К ^ + т)+ (Р'* - т)}сов ПГ^Т' (13)

то, выполнив интегрирование по частям в формуле (13), затем применяя упомянутое выше неравенство Минковского, будем иметь

1

п2

За (/)

Вча 2 V 2пи

У I (Р'1 + Т) - У (Р,1 - т)

ПТ

81п — ат =

Вд ,-у 2 и

-(—У

2 2пи

/а рег('-тП - /а рег('+т)

ПТ

81п — йт. (14) 2и

Учитывая (14), из неравенства (12) получаем

Еп-1®в,„<2(4)7|/аИ-т0-/'-0 1б,„81пПи."- (15

Объединяя неравенства (11) и (14), в силу (8) запишем

Еп-1(/)вчл ^

( п \2

1

< -2

А—) \ - /' ( пР^+г) 1а \Ре / / а

ва

1 +

2пи

-1

ПТ

81п - \ "Т.

2и

Пользуясь определением модуля непрерывности, из (16) будем иметь

(16)

ЕП-1(/ ^ < ^ ^ ВдЛ 1 +

( — ) 2 - 1 2пи

ПТ

81п 2и ^йт' (17)

Из (17) вытекает, что

Еп-1(/Г1))в,„ < 2т)^[(¿и)2-^ = Ь (Щ

Если функция / € ,а (1 ^ Я ^ ж, г € М), то в силу (18) и неравенства Еп-1(/)в,,7 < п-г+1Еп (йг-1)) (1 < Я < ж, г € М),

^ ' Вп , т

и

и

и

и

и

и

учитывая (4), запишем

и __

7 п \2

и

Е«-.(/)в.,„я < / - 7 в,Л17(¿)2 - ^sta 2т Ь

0

(19)

Непосредственным вычислением легко проверить, что знак равенства в полученном неравенстве достигается для функции /o(z) = azn € Bq>7, а € C, при всех 1 ^ q ^ то, чем и завершаем доказательство теоремы 1.1.

Заметим, что если в неравенстве (19) полагать n/(2nu) = ^ (1 ^ ^ ^ то), то оно примет вид

п/(2^n)

RU Г , ,

En(f )Bq, R < 2n-T I " (/¿7 2^Bq Y {1 + - 1) sin^nr} dr. (20)

0

Наши дальнейшие результаты базируются на неравенстве (20).

2. Вычисление значений n-поперечников

Пусть X - произвольное банахово пространство; Ln С X -подпространство размерности n; Л(/, Ln) - линейный непрерывный оператор, переводящий X в Ln. Наилучшее приближение функции / € X элементами ^ € Ln определим равенством

E(/,Ln)x :=inf(У/ - p||x : ^ € Ln},

а уклонение функции / € X от линейного непрерывного оператора Л(/, Ln) в метрике пространства X обозначим

E(/, Л(/, Ln))x = ||/-Л(/, Ln)||x.

Для центрально-симметричного множества M € X полагаем

E(M, Ln)x := sup(E(/, Ln)x : / € M},

E(M, Л, Ln)x := sup(E(/, Л(/, Ln))x : / € M}.

Пусть S - единичный шар в X, а Ln - линейное подпространство коразмерности n из X. Величины

bn(M,X) = sup {sup (е > 0: eS П Lra+1 С M} : Lra+1 С X} ,

dn(M,X)=inf (sup (||/Ух : / € M П Ln} : Ln С X} ,

dra(M,X) = inf (E(M,Ln)x : Ln С X} ,

5n(M,X) = inf (inf (E(M, Л,£га )х : Л: X ^ Lra} : Lra С X} ,

соответственно называют бернштейновским, гельфандовским, колмогоровс-ким, линейным n-поперечниками.

Перечисленные выше п-поперечники монотонно убывают по п и удовлетворяют соотношения [2, 13]:

ъп(т,х) < ) ^ (21)

Если существует подпространство Ь°п+1 С X, для которого Ъп(М, X) = 8ир{е > 0 : (еБ П Ь°п+1) С М},

то оно является экстремальным для бернштейновского п-поперечника. Аналогично, если существуют подпространства Ьп С X, на которых достигаются внешние нижние грани в определении остальных п-поперечников, то указанные подпространства называются экстремальными. Если существует линейный оператор Л* : X ^ Ьп, для которого

5п(Ш,Х) = Е(М, Л*,Ьп),

то его называют наилучшим линейным методом приближения множества М в пространстве X.

Пусть Ф(и) - произвольная возрастающая при и ^ 0 непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Для любых Н € М+, ц ^ 1 и г,п € N определим класс функций

(Г) : 1 Р /0

Введем обозначение

п 2

Теорема 2.1. Если при некотором ц ^ 1 и любых Н € М+, п € N мажоранта Ф(и) удовлетворяет условию

>в(Ф, ц) = { f G »£) : h l f, 2т )Bq„ {1 + fa2 - 1) sin dt < }

ачение

(sin t)* := jsin t, если 0 ^ t ^ n/2; если t > 2 } •

^ nf (sin nht)*{ 1 + (^2 - 1) sin n^jdt, (22)

jo ^ 2 -1

Ф(п/2цп) 2ц 70 4 ' I ^ ' 2

то при любых г € N, 1 ^ д ^ то, 0 < К ^ 1 справедливы равенства

>Ш(;1 .„(Ф, ц),В,~л) = Ъ„(«ё,,, (Ф, ц), Д,-,.н) =

=здвги* *»«.„.„ = 0 (23)

Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (22), не пусто.

Доказательство. В самом деле, для произвольной функции / € «(^ „(Ф, ц), пользуясь определением указанного класса, из неравенства

(20) при любом г, п € N 1 ^ д ^ то и 0 <К ^ 1 получаем

Кп г п/(2^п) 0

En(f )sqrhR < 2n=r o "(Ár), 2т)Bq,Y {1 + (^2 - 1) sin ^пт} dT =

(^Г f' 2т{1 + ^ - 1} Sin^} <

4^nr \ п

nR™ / п ,

< -Ф - . (24)

Из неравенства (24) и соотношения (21) между вышеперечисленными п-поперечниками получаем оценку сверху

< £га(®(г)а(Ф,^))в в = ф( М (25)

Чтобы получить оценки снизу указанных п-поперечников равной правой части (25), в множестве Рп П Д^-^д введем в рассмотрение (п + 1)-мерный шар полиномов

Г ^ ,, ,, пЕ™ / п '

»(г)

9,7

для произвольной рп € Рп доказано неравенство

и докажем, что Sn+1 С Bq;7>а(Ф,^). В [9] при любых n, r € N и 1 ^ q ^ то

^(ze^ - Ы^(ze-it)||« < 2(sinni), nr|К||вд

откуда сразу следует соотношение

и í(pn)ir), 2i) < 2(sinni), nr||рпУв,,7. (26)

Для произвольной R € (0,1) и любых pn € Pn запишем равенство [7]

R-n /"2п , , í \

Р"(реЙ) = J Pn (Rpei(í-T) J einT Í 1 + 2 k=J Rk cos kr J dr, (27)

которое легко проверяется непосредственным вычислением. Поскольку функция

^ 1 — R2

1 + 2 V Rk cos kr = ----т (28)

^ 1 — 2R cos r + R2 v 7

fc=i

- ядро Пуассона, которая неотрицательна при любых R € (0,1) и т € [0, 2п), то, применив обобщенное неравенство Минковского и используя определение нормы в пространстве Bq>7 из (27) с ученом (28), получаем

||PnК,7 < R-n||Pn||Bq,7,R. (29)

Воспользовавшись соотношением (29), неравенство (26) запишем в виде

и (Ы1г), 2i) < 2nrR-n|Ывч,7,д ■ (sinni),. (30)

V / Ba.Y

Учитывая определение класса Вд^,а(Ф,") и ограничение (22) из неравенства (30) для произвольного полинома рп € бп+1 получаем

Н Г 2()в,„ {1 + <"2 -}Л <

< 2пГ • Ф (¿И Г(8'ппЬ)* {1 +("2 -1)2Ы}■Л =

= Ф (2^) • 2" Г(8'п"Ыт{1 +("2 -1)йп т},гт ^ Ф(Ы)-

Из последнего неравенства следует включение бп+1 С В^,а(Ф,") • Отсюда, учитывая определение бернштейновского п-поперечника, сразу получаем оценки снизу указанных величин

■п(В«>а(Ф,"),Вд>7>д) ^ Ьп(®$,а(Ф,"), Д^.я) ^

пЕп Ф п \

> Ьп (б,,+1.Д,.-,.н) > (31)

Сравнивая неравенства (25) и (31), приходим к требуемым равенствам (23). На первый взгляд, условия (22) теоремы 2.1 выглядят неестественными. Но это не так. Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что указанные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы при любом " ^ 1 и п € N совокупность функций {п-гФ(п/(2"п)),гп} принадлежала классу В^.^Ф,"). Анализируя условия (22) теоремы 2.1 выясним значения а, при которых функция Ф*(и) = иа удовлетворяет указанным условиям. Конкретизируя в (22) мажоранту Ф*(и), будем иметь

(^Г ^ 2" Г(81п пЫЬ)* {1+("2 -1) 81п ?}

Полученное неравенство запишем в виде /2"пН\ а+1

^ п ) ' ■ 70 ^ - Г ■ - --- 2

, \ а+1 /■ 1 { пЬ }

^ пН у (вт пНЬ)* | 1 + ("2 - 1)вт —| ■Ь.

(32)

Неравенство (32) подробно исследовано в [14]. Там же выяснено, что оно выполняется для значений

/ \ 2 г 1 / (п\ ( пЬ

а(")+1 := ^(")=1+(2") [ ь«*(£) ^+("2 -1) Вш (

/о

а следовательно, в нашем случае неравенство (32) выполняется для значений

п \ 2 [1 , /пГ /о

а := а(") = (2") IЬсов (2") I1+("2 -1) Кт)] (33

Из равенства (33) вытекает, что а(1) = (п/2) — 1, Нш{а(^) : ^ ^ то} = 1 и при всех ^ € [1, то), (п/2) — 1 ^ а(^) ^ 1.

3. Наилучший линейный метод приближения

Построим наилучший линейный метод приближения функций класса В^г>а(Ф, в пространстве Дд^д и с его помощью докажем, что полученные в теореме 2.1 результаты справедливы также для гельфандовских и линейных п-поперечников. С этой целью для произвольной функции

/(*) = £ Ск(/€ А(и) к=0

запишем линейный полиномиальный оператор (п — 1)-й степени

£га—1,г—1,Д(Л := С0 +

n—lf/l. \ r—1

+ £ 1+ 2^ ^

fc=1 ^ 4

Y'-l1— I I" 1

, (34)

где

7fc,n := ^n / cos kt ■ cos ^ntdt, k = 1, 2,...,n — 1.

./0

Теорема 3.1. Если при заданном ц ^ 1, любых h € R+ и n € N мажоранта Ф(^ удовлетворяет условию (22), то для произвольных n, r € € N, 0 < R ^ 1 и 1 ^ q ^ то имеют место равенства

^(®М,о(Ф,Ц), B.YR = ¿n(®<$ >0(Ф,ц),В9>7>д) =

= E(®$ ,о(Ф,ц), Ln— i,r—1,R, Pn—l)Bq,Y,R =

4ЦПг V 2ЦП/

При этом линейный полиномиальный оператор (34) является наилучшим линейным методом приближения класса

в метрике

пространства В)7)д.

Доказательство. Введем обозначения

= sup {||/ — £n— i,r—i,r(/Ж,7,д : / € = 4ЦПФ (¿) • (35)

1 Г /к \ г—1 ^

Уга-1>г-1>д(/, г) := со + Е 1 — ( ^к) **,

^^1(ад := ^ + Ц (п1 • (36)

Применяя лемму 2.2 из [2, с.251], легко убедимся, что при всех í € [0, 2п] и п, г € М, 0 < Е ^ 1 функция Сп—1)Г—1(Д, £) ^ 0. Легко проверить, что

для произвольной функции / € ©г),а(Ф, имеет место интегральное представление разности

/(Кг) - Уп-1,г-1>д(/,Кг) = Кп 1'2п

Г'2Ж

/ /аг-1)(ге^е^п-^-^К,*)^, г € и. (37)

о

■Г-1 •>а

П .Уо

Полагая в правой части функции (6) и = п/(2^п),^ ^ 1 и разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд, имеем

Ж/,*) := / {/Сгей) + /(¿е-*4)} сов^п* = £7к,пСк(/)гк. (38) 2 к=о

о

Из (38) сразу вытекает, что

к=1

Представим линейный оператор (34) в следующем виде:

£п-1,г-1,д(/,г) = со + ^ {1 - (^У 1 К2(п-к)} Скгк+

к=1 ^ ^ п ' >

п-1 ( /7 \ 2\ / , \ г-1

+ £ К2(п-к) 1 -

к VI / к

. 2п — к У I V 2п — к

к=1

:= Уп-1,г-1,д (/, г) +Лп-1,г-1,д(/,г). Непосредственным вычислением легко проверить, что

Лп-1,г-1,Д(/, =

Кп /"2п

к

7к,пСкг :

^п-1,2,1 (V (/(г-1)) ,.ге-й) е^п4Сп-1,г-1(К, (39)

П .У о Из (37) и (39) следует, что

/(Кг) - £п-1,г-1,д(/,Кг) =

Кп /"2п

П ./о

I* {/аг-1)(^е-й) - Уп-1,2,1 (V (/Г^)) е*п*Сп-1,г-1(К,

о (40)

Учитывая определение нормы в Вд,7 (1 ^ ц ^ то), применив обобщенное неравенство Минковского, вследствие положительности ядра (36) из (40) получаем

||/(К-) - £п-1,г-1,д(/, К-)Ув,,7 <

Кп , ч

< пг-г 11/аг-1) - кг-1,2,1 (^(/аг-1)0 к*, о < к < 1.

Из полученного неравенства следует, что

||/ - £п-1,г-1,Д(/)Увч ,7 , д ^ &п ( / \ л

< ^-г {и/аг-1) - з(/аг-1))1вп ,7 + 1з(/аг-1)) - к^д (д(/аг-1))) ¡в, ,7}.

(41)

Заменив в неравенстве (11) функцию / на /(г 1), полагая в нем и = п/(2 рп), и воспользовавшись определением модуля непрерывности (2) в пространстве , получаем

1 г п/(2^п)

/-1) - /-1))11в,,7 < 2 Уо 2т)в„7 ■ {1 - 81прпт} йт. (42)

Чтобы оценить второе слагаемое в правой части неравенства (41), следуя схеме рассуждений, приведенной в [14], будем считать функцию

З(/а 1)'^) алгебраическим полиномом рп(г) некоторой степени п. Так как множества всех полиномов всюду плотно в Вяг/ [9], то проводимые

в дальнейшем математические операции над функцией З(/а 1)) будем считать корректными. Воспользовавшись равенством [5]

1 р2п

/-1) '*) - Уп-1,2,1(д(/аг-1))'г) = - - д!/-1)'2^)^-1,2 (МЖ

П Уо

(43)

применив обобщенное неравенство Минковского и используя неотрицательность и интегрируемость функции (36), получаем

н/-1),2)-Уп-1,2,1(д(/аг-1)))ИвЧГ1 <п-2иъ"а(/аг-1))ИвЧГ1. (44)

Заменив в неравенстве (14) функцию / на /(г 1), полагая в нем и = п/(2рп), р ^ 1, и учитывая определение модуля непрерывности, имеем

12 Гп/(2Мп)

2 ./о

Таким образом, для второго слагаемого в правой части (41) выполняется неравенство

.2 г п/(2^п)

1д(/аГ-1) ,2) - Уп-1,2,1(д(/аГ-1)))Цвдп < у ] / , 2Т )81п рптйт.

0 (46)

Из (41) в силу неравенств (42) и (46) запишем

1.2 гп/(2^п)

п-2Цд"а (/^Г-1)) Цв,,7 < ^ I 2т)81п рптйт. (45)

||/ - £п-1,т-1,Я(/)|в„,7,д ^

< ^ I "(Л 2т)в,,7{1 + (р2 - 1)81прпт}йт. (47)

^п /• п/(2^п)

о

Учитывая определение класса ©(^„(Ф, ц), из (47) получаем:

||/ - £п-1,г-1,д(/)Ув.,7,д ^

< 4КГ (^ /П/(2"п) / 2т{1 + (ц2 - 1)81пцпт^т) <

< ^ф( — )• (48)

4цпг \2цп/ У '

Докажем,что существует функция /0 € «(^„(Ф, ц), удовлетворяющая условию (22), для которой в (48) достигается равенство. Рассмотрим функцию

/о(*) := ТГТ^л? Ф

4ц(гп)г \2цп/ ||^п|в.

,а(Ф,ц). При док; показали, что (п + 1)-мерный шар полиномов

и покажем, что /0 € ©(г);„(Ф,ц). При доказательстве теоремы 2.1 мы

С ^ ,, ,, пК™ / п

6п+1 := | рп €рп : ЬпЬ.,^ < 4цпг

принадлежит классу ©((^;„(Ф,ц). Поскольку

пК™ / п \

/ТЧ I 1

4цпг Ф ^ 2цп ^ ,

то функция /о € 6п+ь Следовательно, /о(я) удовлетворяет ограничению (22) и принадлежит классу ©(г^ £п-1,г-1,я(/о, я) = 0, то мы имеем

(22) и принадлежит классу ©(^„(Ф, ц). Так как, кроме того, в силу (34)

пКп ( п

|/0 - £п-1,г-1,Д(/0)|Ва,^,д = У/ОУв.^д = ^ Ф

4цпг У2цп а потому

е(©($ ,„(Ф,ц), £п-1,г-1,д, Рп-0 =

= вир {||/ - £п-1,г-1,д(/)||в„7,д : / € ©(Г)(Ф,ц)} =

пКп / п \

= И/о - £»-1.,-1,я(/о)||в„.„ = ^ (49)

Равенство (49) означает, что линейный полиномиальный оператор (34) является наилучшим линейным методом приближения класса ©(^;„(Ф,ц) в метрике пространства В()7)я. Из (49) следует оценка сверху для линейного п-поперечника:

йп (©(Г)>0(Ф,ц),В,>7>^ <

< Е л(ф,д),р„) = Ф • (50)

Аналогичную оценку сверху получим для гельфандовского п-поперечника. В самом деле, для произвольной функции / € ,а(Ф, д) П Ь; в силу (40) и соотношений 1

Ск(/)= А;! /(к)(°) = 0' к = 0,- 1

запишем

/(Ярей) = ^^ х пгг—1

х I* {/аг-1)(ре-г0) - РП—1,2,1 ,ре*} е_С„_1>г_1(Д,т - 0)^0.

° (51)

Из (21), (48), (50), (51) и определения гельфандовского п-поперечника получаем

<г « 8ир{В/Ив,.,.* : / € <В£>(Ф,р) П ь;} «

< ^Ф ( —) • (52)

Сопоставляя (50), (52) с неравенствами снизу (31), в силу соотношения (21) между п-поперечниками, получаем требуемые равенства (35), причем подпространство

ь; = {/ : / € Д,>7 : /(к)(0) = 0, к = 0,1,..., п - 1}

коразмерности п является экстремальным для гельфандовского п-поперечника. Теорема 3.1 доказана.

4. Наилучший метод кодирования и восстановления функций класса а(Ф, м)

Полученные точные значения п-поперечников классов функций можно интерпретировать как задачи оптимального восстановления и кодирования функций в постановке Н.П. Корнейчука [15, 16]. Экстремальная задача отыскания оптимальных методов восстановления, гарантирующих минимальную погрешность на заданном классе функций, является наиболее важной для различных вопросов вычислительной математики вариационного содержания. Приведем необходимые понятия и определения из [15, 16].

Пусть в нормированном функциональном пространстве X задан набор М; := {д1, д2, • • •, функционалов д € X*, ] = 1,п, где X* -пространство, сопряженное с X. Множество М; можно рассматривать как метод кодирования, сопоставляющий элементу / € X числовой вектор

T(/, Mn) = (f),^2(/), • • • )}• Задачу восстановления функции / € X по информации T решают, сопоставляя вектору T(/, Mn) функцию

п

Ф(/; Mn,Gn, Гп; z) = ^ 7fc № (/)gk (z), (53)

fc=i

где Gn = (z)}n=1 и Гп = }П=1 С T - соответственно произвольные системы линейно независимых функций из X и набор числовых коэффициентов, позволяющий наилучшим образом воспроизводить элементы класса M С X, T = {Гп} - вектор числовых коэффициентов, для которых (53) имеет смысл. Погрешность восстановления на классе M считают равной

R(M; M, Gn) =

= inf {sup {||/- Ф(/, Mn, Gn, Гп; z)||x : / € M} : Гп С T} (54) и полагают

R(M, X) = inf {R(M, Mn, Gn) : Mn, Gn} •

Пусть Mn - набор заданных на X линейных ограниченных функционалов. Тогда рассматривают величину

R' (M,X) = inf{R(M,Mn,Gn): M^Gn} •

О О О \ f ' о о

Методы восстановления ( Mn, Gn, Гп ) , ( Mn, Gn, Гп ), для которых

Rn(M, X) = sup <j II/- Ф ( /; Mn, Gn, ГОп ) Ух : / € M

Rn(M, X) = sup ||/ - Ф /; Mn, Gn, Г J ||х : / € M

называют соответственно оптимальным и оптимальным линейным методом восстановления функций класса М. Н.П. Корнейчук [16, с.375-388] доказал, что

ЭТп(М, X) ^ ^«(М, X), X) = А«(М, X),

причем, если М = М ® Ь, где 9Л - компакт, а Ь - конечномерное подпространство, то и в первом соотношении имеет место знак равенства. Параллельно с (54) рассматривают также величину

К(М, М„)х = 8ПР (||А - /2Ух : /1, /2 € М, Т(А, Мга) = Т/ М„)} ,

которую можно интерпретировать как погрешность метода кодирования на классе М с помощью фиксированного набора функционалов Мп. Полагая

Ап(М, X) = (К(М, Мп) : Мп},

где нижняя грань берется по всем наборам Мп линейных функционалов, определенных на сопряженном пространстве X, получаем

Ап(М,Х) < 2^п(М,Х),

а если М - центрально-симметричное и выпуклое множество, то

Ап(М,Х) = 2^п(М,Х).

Теорема 4.1. Наилучший метод кодирования функций из класса

7 ,а(Ф,") в

функционалов

в банаховом пространстве доставляет набор Nj

^fc(f) = cfc(f), k = 0,1,...,n - 1. Оптимальным линейным методом восстановления ( Nj, Mn, Гп ) функций

/(г) из класса В^,а(Ф,") в пространстве Вд7д является определённая равенством (34) функция £п_1;Г_1;д(/, г). При этом для любых п € N и Е € (0,1] справедливы равенства

1 2'

<(®й,а(Ф^),в>7>д) = ^Ф/ П

4^nr \ 2^n

Список литературы

1. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций. Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка. 1983. С. 62-73.

2. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo. 1985. 252 p.

3. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // УМН. 1990. Т. 45. №5. С. 197-198.

4. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42. №7. С. 873-881.

5. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 1995. Т. 57. №1. С. 30-39.

6. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. Т. 383. №2. С. 171-174.

7. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости. // Укр. мат. журн. 2004. Т. 56. №9. С. 1155-1171.

8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближения некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // Докл. РАН. 2007. Т. 412. №4. С. 466-469.

9. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2009. №3 (136). С. 7-23.

10. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Матем. сб. 2010. Т. 201. №8. С. 3-22.

11. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана В2,7 // Докл. РАН. 2013. Т. 450. №5. С. 518-521.

12. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближение и значении поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып.2 С. 76-89.

13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ. 1976. 324 с.

14. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки, 1986. Т. 40. №3. С. 341-351.

15. Корнейчук Н.П. Поперечники в Ьр классов непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановлений функций и их производных // Изв. АН СССР. 1981. Т. 45. №2. С. 266-290.

16. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 424 с.

Шабозов Мирганд Шабозович ([email protected]), д.ф.-м.н., академик АН Республики Таджикистан, отдел теории функций и функционального анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.

Саидусайнов Муким Саидусайнович ([email protected]), к.ф.-м.н., старший преподаватель, кафедра функционального анализа и дифференциальных уравнений, Таджикский национальный университет, Душанбе.

The values of n-widths and best linear methods of approximation for some analytic classes functions in the weighted Bergman space

M. Sh. Shabozov, M. S. Saidusaynov

Abstract. In this paper the exact values of Bernstein, Gelfand, Kolmogorov and linear n-widths were found. To find the exact values of Gelfand and linear n-widths for considered classes functions the best linear methods of approximation was constructed.

Keywords: best approximation, modulus of continuity, polyoma, weight function, linear method, n-widths.

Shabozov Mirgand ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics, Dushanbe.

Saidusaynov Mukim ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher, department of functional analysis and differential equations, Tajik State University, Dushanbe.

Поступила 25.08.2014