CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №9-10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Ф.Д.Давлатбеков
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 24.11.2014 г.)
В пространстве Харди Ндр, 1 < д < <х>, 0 < р < 1, Нд1=Нд для классов ^ГНд(Ф), аналитических в единичном круге функций, построены наилучшие линейные методы полиномиального приближения и вычислены точные значения различных п -поперечников.
Ключевые слова: наилучшие линейные методы приближения, модуль непрерывности, пространство Харди, мажоранта, п-поперечники.
1. В последние два десятилетия найден ряд наилучших линейных методов приближения в различных банаховых пространствах аналитических функций (см., например, [1-8] и приведённую там литературу). В данной работе найден наилучший линейный метод приближения классов функций типа Л.В.Тайкова [9] и для указанного класса вычислены точные значения ряда п -поперечников.
Напомним необходимые для дальнейшего обозначения и определения. Пусть и := {г е С: | г \< р\, где 0 < р < 1, Г/, = II. А(11 ) - множество функций, аналитических в круге
и . Говорят, что функция / е А(и ) принадлежит пространству Харди Ид, 1 < д < да, если
{ 1 2л
ft = lim —— J | /(Ре") \q
1 p-»l-0 V7T J
V 2л о
dt
< да
При этом норма функций пространства И , 1 < д <да реализуется на угловых граничных значениях, которые в дальнейшем будем обозначать ¥(1) := /(в"), причём в случае р = да будем предполагать функцию /(г) непрерывной в замкнутой круге ир. Всюду далее структурные свойства функции / е Ид, 1 < д <да будем характеризовать скоростью убывания к нулю модуля непрерывности граничных значений ¥(г) производной г -го порядка /(г)(г) = / / (геМ, /(0)(7)^/(г)):
= эирЩ 1^г\х +к /2)-Р(г\х-Н12) ||?: | к \< I),
задавая эту скорость убывания посредством мажоранты некоторой усреднённой величины о( ¥(г); ^) Полагаем
Адрес для корреспонденции: Давлатбеков Фирдавс Давлатбекович. 734000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 22, Хорогский государственный университет. E-mail: firdavsdavlatbekov@mail.ru
Нър := {/ е Л{ир) :|| /{г) /{рг) со}, Нд1 = Нд
и для геМ обозначим Н(дг) := {/ е Л(1Г) : /(г) е Нд}.
Пусть Ф(X) (X > 0) - произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Используя функцию Ф( х) в качестве мажоранты, рассмотрим следующий класс функций:
W"Hq(Ф) = I / е Н? : ±h\ca(F(r\2t)qdt < Ф(к\ h е:
Всюду далее обозначим ащг = п(п -1)■ • • (п - г +1), п > г, й/е N, (sint),:={sint, если 0< t <ж/2; 1,если t >п/2}.
Пусть X - банаховое пространство; £ - единичный шар в X; N - выпуклое центрально-симметричное подмножество из X; Ли с X - и -мерное подпространство; Лп с X -
подпространство коразмерности п; L : X ^ Ли - непрерывный линейный оператор; L1 : X ^ Ли - непрерывный оператор линейного проектирования. Величины
Z>„(9t;X) = sup{sup{s>0: Ли+1 ^Х},
<9t(;X) = inf{sup{inf{|| / -д ||х: д е Лй} : / е 9Т}: Ля е X}, = mf{sup{|| // е : Л" сX},
Sn(^X) = inf{inf{sup{|| f-srf / е 9Т} : s* X с: Лй} : Лй с: X} называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандовским и линейным п -поперечниками выпуклого центрально-симметричного компакта N в банаховом пространстве X. Указанные п -поперечники связаны следующими соотношениями (см., например, [2]):
d„ (N; X)
nX) Vn(N;X) п(П (1)
Если M с X - некоторое множество, то полагаем
En (M) = sup{E (f)x : f е M},
где
а Ln - произвольное п -мерное подпространство из X.
Пусть Vn (f, •) := V(f, L;•) - линейный непрерывный оператор, переводящий X в Ln, а £( f ,Уп(/У)х - уклонения функции f е X от Vn(f) в X. Для множества ШХ<^Х также полагаем
£(m,V,Ln)x = sup{£{f,vn{f))x : / е Щ, £{Ш-Ь^х=тЦ£{Ш-Уп-Ьп)х-.Уп{Х)^Ьп}.
Из результата Л.В.Тайкова [9] следует, что если для любых п> г > 1, г е N функция Ф при любом к е К удовлетворяет условию
Ф(к)
ж
(п-г) к
Ф(ж / 2(п - г)) 2(п - г)к
(2)
то
К Жг)Ид(Ф);Ид) = йп (Ж(гГИд(Ф);Ид) = Тф
ж
п ,г V
2(п - г)
(3)
Легко проверить, что условию (2) удовлетворяет, например, функция Ф* (и) = и71'21. Отметим, что на основе соображений, изложенных в [3, с.32], результат (3) распространяется на пространства И (1 < д < да, 0 < р < 1):
Ьп (Ж(г)Ид(Ф);И, = < (Ж(г)Ид(Ф);И, = 7-Ф
п (
4а
ж
\
п ,г V
2(п - г)
(4)
Наша цель состоит в распространении результата (4) для линейных и гельфандовских п -поперечников. Для этого построим наилучшие линейные методы для изучаемого нами класса
функций Ж(гИ (Ф).
2. Для произвольной функции /(г) = (/)гк е А(и), следуя работе [6], запишем линейный полиномиальный оператор:
к=0
А мр(1; г ) = ^ (/) +
г—1
к=0
1+
а
к=г I а2п-к,1
к,г ^2(п-к)
Укг,
к - г
1 -
ч 2п - к - г .
V 4 у J
2
-1
Ск (/) 2к,
(5)
где п > г и числа ук г определены равенством
ж/(2(п-г ))
Укг=(п-1~) | со$(к - соз(и -к > г, ¿ёМ.
Теорема 1. Пусть / - произвольная функция из класса Ж(г)И (Ф), 1 < д < да, п, г - любые
натуральные числа, п > г и 0< р < 1. Тогда
п (
ч-р 4а,
ж
п ,г V
2(и - г)
0
да
0
Если мажорирующая функция Ф при любом И е удовлетворяет условию (2), то неравенство (6) является точным в том смысле, что существует функция £ \¥(Г)Н ч(Ф) (г е N,1 < < оо)7 для которой неравенство (6) обращается в равенство. Доказательство. Доказательство теоремы основывается на следующем неравенстве
рп(п-г)
л/2(п-г )
Ч'Р 2 а,
(7)
п,г 0
которое получается буквальным повторением схемы рассуждений работы [6]. Из правой части неравенства (7), учитывая определение класса Ж(г) И (Ф), запишем
п л/2(п-г )
Р
2а,
| о)(Е(г);2г)чаг
<
<
лрп
4а
2(п - г)
п ,г 0
л/2(п-г)
л
<
лр"
4а
Ф
л
п, V
2(п - г)
(8)
Таким образом, из (7) получаем
тер
ч-р 4а,
п ( -ф
п ,г V
п
2 (п - г)
(9)
Докажем существование функции / е Ж(г)И (Ф), для которой неравенство (9) обращается в равенство. Рассмотрим функцию
/1( *) =
л
4а
Ф
л
п ,г V
2(п - г)
где Ф удовлетворяет условию (2). Непосредственным вычислением легко проверить, что / е Ж(г)И (Ф), причём для этой функции в силу (5) Лп-1 г-1 (/1; г) = 0, а потому
А-К-ыоШЬ =\\А\\н =
жр"
ч,р
ч-р 4а,
-Ф
л
п ,г V
2(п - г)
откуда и следует утверждение теоремы 1.
Воспользовавшись результатом теоремы 1, сформулируем
Теорема 2. Пусть мажоранта Ф(К) при любом И е удовлетворяет условию (2) и пусть
7Гп{) - любой из п-поперечников ^„('Х ^"('Х ^и(')- Тогда для всех п,г>1Я, п>г
справедливы равенства
лп (Жгч(Ф);#„) = Еп_, (Жгч(Ф)) =
пр
ч,р 4а
n (
Ф
п
n ,r V
2(n - r)
Поступило 24.11.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций. - В кн.: Теория отображений и приближение функций. - Киев: Наукова думка, 1983, с. 62-73.
2. Pinkus A. n -Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
3. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. - Матем. заметки, 1995, т.57, №1, с. 30-39.
4. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций. - Матем. заметки, 1999, т.65, №2, с. 186-193.
5. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди H q > 1, 0< р< 1. - Матем. заметки, 2009, т.85, №3, с. 323-329.
6. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
7. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. - ДАН России, 2013, т.450, №5, с. 518-521.
8. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости - Укр. мат. ж., 2004, т.56, №9, с.1155-1171.
9. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций. - Матем. заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-294.
Ф.Д.Давлатбеков
ОИДИ УСУЛХОИ НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ ХАТТИИ БАЪЗЕ СИНФИ
ФУНКСИЯХОИ АНАЛИТИКИ
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Дар фазой Харди Hqp, 1 < q < да, 0 < р < 1, Hq>1=Hq, барои синфи Wr/lHq(0) функсияхои
дар давраи вохиди аналитикй , усулхои наздиккунии бехтарини полиномиалй сохта шуда,
киматхои аники n -кутрхои гуногун хисоб карда шудааст.
Калима^ои калидй: усули наздиккунии бехтарини хатти, модули бефосилагй, фазой Харди,
мажоранта, n -цутр^о.
F.D.Davlatbekov
ABOUT THE BEST LINEAR APPROXIMATION METHODS OF SOME CLASSES
ANALYTICAL FUNCTIONS
Khorog State University by name M.Nazarshoev
In Hardy space Hqp, 1 < q < 0 < p < 1, Hq,i=Hq for classes W^r)Hq(O) analytical in the unit disc functions, built the best linear methods by polynomials approximation and also find exact values of different n -widths.
Key words: best linear approximation methods, the modulus of continuity, Hardy space, majorant, n-widths.
