CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ И^, 0<Я<1
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.10.2013 г.)
В работе для классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Харди Ид, 1 < д < да, усреднённые модули непрерывности г -й производной которых мажорируются заданной функцией, указаны наилучшие линейные методы приближения. Вычислены точные значения линейного и некоторых других п -поперечников.
Ключевые слова: наилучшие линейные методы приближения - модуль непрерывности - пространства Харди - мажоранта - п-поперечники.
1. Вопросы отыскания точных значений различных п -поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Харди И , рассматривались
в работах [1-15]. При этом для нахождения точных значений линейных п -поперечников требовались построения наилучших линейных методов (на некоторых) классов функций, реализующих на заданном классе функций точное значение линейных поперечников. В ряде работ С.Б.Вакарчука [8,10-13] изучается эта задача и приводится явный вид наилучших линейных методов для изучаемых им классов аналитических в круге функций. Аналогичная задача для некоторых классов аналитических в круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана, рассматривается в работах [13,14].
В данном сообщении, воспользовавшись некоторыми рассуждениями, приведенными в [11], продолжим исследования в этом направлении и вычислим точные значения гельфандовского и линейного п -поперечников классов функций, изучавшихся нами в работе [15].
Приводим необходимые для дальнейшего обозначения и понятия. Пусть 11к '.= <Е(С :\ г \< Щ, где 0 < Я < 1, Г/, = II. А(11к) - множество функций, аналитических в круге
и ■ Как обычно, И , 1 < д < да - пространство Харди, состоящее из функций / е А(ик ), для которых конечна норма
= lim М (f ; R),
R^-1-0
где
Г 1 1л
М (f;R) = \- j|f ( Re
Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: G [email protected]
Хорошо известно, что норма функции / е Нреализуется на ее угловых граничных значениях, которые обозначим /(¿) := /(ва). Эти граничные значения существуют почти при всех значениях t е [0,2ж\ Полагаем
Н, :={/е А(ик)= \\/(Щ\д <4 Н, -Н.
Через /г)(г) (7 е^ ) обозначим г -ю производную аналитической функции /(2) по аргументу t комплексного переменного г = Явхр(и). При этом
/ (7) = /'(7)* и )(7) = {/^(7)}'а для г > 2.
Под Н(Г) будем понимать класс аналитических в ик функций, для которых /г)(7) е Нд. Структурные свойства функции /(7) е Н(г\ характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности
/ ; 2х)ч = 8ир{||/<г)(- + к) - Лг\- к)\\д :\к\< х}
граничных значений /г)(t) := /г), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой
усредненной величины со(г); 2х) .
Пусть р - подпространство алгебраических комплексных многочленов степени < п. Символом
Еп(/)х := Е/З-Ох = 1пГ{/-рп-,\х : рп_, е
обозначим наилучшее приближение функции / е X подпространством в метрике банахова пространства X. Если М - некоторый класс функций, принадлежащий пространству X, то положим
Еп(/)х := Е(/-,4и)х = {/ -Рп-11|х : Рп-1 е ^П-х}-
Аналогичным образом, отклонение фиксированного элемента / е х от линейного непрерывного полиномиального оператора Л (/ ) обозначим через
Е(/;Л)х :=\\/-Л(/;р--1)\\х
и равенством
Еп(Ш;Л)х := вир{||/-Л(/;: / е Ш}
обозначим максимальное отклонение класса функций М в пространстве х. Величина
итх ■■= ^йдаЛ)х : А с: ДХ;^)},
где £,( Х',^ |) - множество всех линейных ограниченных операторов {Л}, отображающих X в , характеризует наилучшее линейное полиномиальное приближение множества М ^ X элементами Л с ЦХ;^).
Пусть Ф(х)(х > 0) - произвольная неубывающая выпуклая вниз функция такая, что Ф(0) = 0. Используя функцию Ф в качестве мажоранты, в [15] при любых г е N и к е ТО рассмотрены классы аналитических функций
W,) = i f(z)G : i j r), 2t)q dt < Ф(к) 1.
0
Через Ки (M; X), d (M; X), dn (M; X), 5n (M; X) обозначим соответственно бернштей-новский, колмогоровский, гельфандовский и линейный n -поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта M в банаховом пространстве X (см., например, [1,7]). Указанные n -поперечники монотонно убывают по n и связаны соотношениями
dn ( M; X )
h (M;X) < nV (M;X). (1)
n 7 dn(M;X) "V ' 7 ( )
В [15] доказано, что если при любых п G N и h G Ж+ мажоранта Ф удовлетворяет условию
nh
j (sin t). dt, (2)
<ф(И^>nh
Ф(mí (2n)) 2nh
где
(sinx)„ :={sinx, если 0 <x <mí 2; 1, если x >mí 2}, то при любом г е N имеют место равенства
К (W,);tfq ) = dn [W,);H ) = m.-L Ф| m I. (3)
'п У "п — 4 пг I 2п
Там же доказано, что ограничению (2) удовлетворяет, например, мажоранта ф ^) = ^, где X = (т / 2) — 1 Используя схему рассуждения, изложенную в [3], и известное неравенство [6]
ЕЛ\л ± (/Г\ (0 < Л < 1, г е К),
распространим оценку (3) на более общий случай И д (0 < Я < 1)
¿п КГ)^ 1 = *п (КГИдЯ , =
Е №г)(Ф) )„.. =Л- ф^
(4)
2. Каждой функции /(7) = ^ с^. (/)7к е Н (1 < Я < да) сопоставим в соответствие линей-
к=0
ный полиномиальный оператор (п -1) -й степени
п—1
Л-^(/; 7) :=Л*Кп-1(/; Рп-1,7) = со + С (/V,
где
Дк,Я,г-1 = 1 - I
2 п - к
Я
2(п - к )
1 -
к=1
1 -Г^ Г
ч 12п - к )у
к = 1, п -1
5
л/(2п)
/лк = | соб кх соб пхёх.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма. Пусть /{г) - произвольная функция из класса г е N. Тогда для любого
числа п е N выполняется неравенство
- ^ 1С г ,)| н„ ф( о < Я < 1-
(5)
Если мажорирующая функция Ф при любых И е Ж+ и йеМ удовлетворяет ограничению
(2), то неравенство (5) точно в том смысле, что существует функция / (7) ^(Ф), обращаю
Я,а
щая его в равенство.
Доказательство. В [1] доказано, что для произвольной функции / е Нда, геМ, 0 < N < 1 выполняется неравенство
-п
/-кл/;рМ ^ «т--г ¡«Аг); А*.
4пг
(6)
Учитывая определение класса ^(Ф), из правой части (6) будем иметь
Г>И л/п „и л/(2п)
г ; х)^ =— | /; 2х),* =
4 п
2
л —
4 ' пг
^ 2пл/(2п)
л
— ¡ /; 2х)чдх
77" * ^
4 пг I 2п у
г—1
0
о
Таким образом, из неравенств (6) и (7) вытекает (5). Докажем существование функции /(7) еЖг)(Ф), для которой неравенство (5) обращается в равенство. Рассмотрим функцию
/ (£) = —(ш) гФ| — 17п и покажем, что /(7) е№(^(Ф)- При доказательстве теоремы 1 из [15] 4 ^ 2п) '
мы доказали, что (п +1) -мерный шар полиномов
—={р-е р: Iр-к <—Ф(—)}
Л 1 Л 1
содержится в классе Жг](Ф). Так как в нашем случае II/II =-Ф| — |, то /(7) е Ж^(Ф)-
Следовательно,
Я н 4п 12и 1
Л Я" (л
/0-Л-,п-1( /0 ;Р-1)|| = || /Л Ная =—-Ф
НЯ,Я 4 пг 12п
чем и завершаем доказательство леммы.
Сформулируем основной результат данной работы.
Теорема. Если мажоранта Ф удовлетворяет ограничению (2), то при любых й/еМ и 0 < Я < 1 справедливы равенства
Лп
(Ф); Нчл } = Еп (^(Ф))
= Е Ка\Ф);К,пМ; Р.) ^ =—■ ^ Ф— (8)
где лп (■) - любой из перечисленных п -поперечников Ьп (■),йп (■),йп (■), 8п (■).
Доказательство. Используя неравенство (5) и определения линейного п -поперечника, получаем оценку сверху
*п (кг (Ф); Нч-К|] < Еп (Жа (Ф); Л-,п-1 (/; рп-1) <—■ Я- (9)
Для получения оценки снизу во множество Р ^ Н?д введём в рассмотрение (п +1) -мерный шар полиномов
* 1 :={р. ер 1: |р.^ <—■ £Ф(—]}
и докажем включение ^ Ж (Ф). Нам понадобится неравенство [3]
(р )аг \ < п^|р^н, (10)
справедливое для произвольного полинома ри (г) е р и любого натурального числа п > г, а также неравенство
«((р„)(;г;Г - 2(§1Пп*)^|рП2Г • (11)
Воспользовавшись (10) и неравенством (см., например, [7])
ЫНч - к-пЫНчл. (12)
неравенство (11) запишем в виде
«((р„ );Г); 2х) - 2(81П их).-пгЯ-п\\р}н • (13)
1 11 |нд,Л
Учитывая определение класса ЖГ)(Ф) и ограничение (2), из неравенства (13) для произвольного Рп е полУчаем
\ } «((Л £); 2 *) - 2пгЯ ~п1рДн \ } (яп пх). дх -
п 0 1 к п 0
х \ пк
- Ф| — Г (б1пх).д* - Ф(к), ^ 2п J 2пк Г
откуда следует включение ^ ЖГ)(Ф)^ Из доказанного включения и определения бернштейнов-ского п -поперечника получаем оценку снизу
К (Оф); )> К (х- н„8|> — - £ — (14)
Сопоставив оценку сверху (9) и оценку снизу (14), с учетом неравенства (1) между указанными п -поперечниками, получаем требуемое соотношение (8). Теорема доказана.
Поступило 02.10.2013 г
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. - Успехи матем. наук, 1960, т.15, №3, с. 81-120.
2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. -Матем. заметки, 1967, т.1, №2, с. 155-162.
3. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций. - Матем.заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-294.
4. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. - Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с. 341-351.
5. Двейрин М.З. Поперечники и s-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. // В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, вып. 23, с. 32-46.
6. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций. // В кн.: Теория отображений и приближение функций. - Киев: Наукова думка, 1983, с. 62-73.
7. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. I. -Укр. мат. журнал, 1990, т.42, №7, с. 873-881.
9. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 - Матем. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.
10. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. - Матем. заметки, 1995, т.57, №1, с. 30-39.
11. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций. - Матем. заметки, 1999, т.65, №2, с. 186-193.
12. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди Hqp, q > 1, 0 <p < 1. - Матем. заметки, 2009, т.85, №3, с. 323329.
13. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
14. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. - ДАН России, 2013, т.450, №5, с. 518-521.
15. Юсупов Г.А. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. -ДАН РТ, 2013, т.56, №11.
Г.А.Юсупов
ОИДИ МЕТОД^ОИ НАЗДИККУНИИ БЕТАРИНИ ХАТТИИ ФУНКСИЯ^О
ДАР ФАЗОИ ХАРДИ Hq,R, 0<R<1
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола барои синфи функсияхои дар давраи вохиди аналитикй, ки ба фазой Харди
H , 1 < p < да тааллук доранд ва модули бефосилагии миёнакардашудаи тартиби r -ум бо фун-
ксияи дода шуда, махдуд карда мешавад, бехтарин методхои наздиккунии хаттй нишон дода
шудаанд. ^имати аники кутри хаттй ва дигар n -кутрхо хисоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: методи наздиккунии буетарини хаттй - модули бефосилагй - циматуои
саруадй - мажоранта - n -цутруо.
G.A.Yusupov
ABOUT THE BEST LINE METHODS OF APPROXIMATIONS FUNCTIONS IN
HARDY SPACES HqR, 0<R<1
Tajik National University In the work for classes analytical in the unit disc function related to the Hardy spaces H , 1 < p < », average modulus of continuity of r th derivative which are majorized by the given function and the best linear method approximation are shown. The exact value od linear and some other n -widths are calculated.
Key words: the line method of best approximation - modulus of continuity - boundary value - majorant -n-widths.
