ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №6_
МАТЕМАТИКА
удк 517.5
К.К.Палавонов
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ¿2[0,2гс] И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.04.2014 г.)
В работе найдены точные значения различных п -поперечников для классов дифференцируемых функций в пространстве Ь2 [0,2ж], удовлетворяющих ограничению
Г 2 * V''
Tï J t< C/(r); t)dt <o(h),
Vh 0
где 0</г<оо, 2 / г < р <2, г е N, a - модуль непрерывности m -го порядка производ-
ной /(r) G L2 [0,2ж], Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.
Ключевые слова: наилучшие приближения - модуль непрерывности - точная константа - экстремальная характеристика - весовая функция - п-поперечники.
1. Обозначим через L2 := L2[0,2ж] пространство 2ж -периодических суммируемых по Лебегу действительных функций / ( x ) с конечной нормой
f -, 2— \ def 1 -
\L2[0,2—]
* 2 —
- f\f ( х)\2 dx
V- 0 J
1/2
< œ.
Пусть
ап "-1
Зи_1 = j Tn_i(х) \Tn_i(x) = + coskx + рк sinkx) !
к=1
— подпространство тригонометрических полиномов порядка < п — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции / е , имеющей формальное разложение в ряд Фурье
а 00
f(x)--- + ^(akcoskx + bksmkx),
2 к=1
величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством 3 j равна
Адрес для корреспонденции: Палавонов Курбоназар Курбонбекович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: kurbonazar-1987@mail.ru
Еп_1(/) =1пГ (|/ — Тп_1\:Тп1(х) еЗ^ )
II/ - 3 м )||=\Ер>
1/2 2 i
'к i '
[ к=п
где
3п-1(/;х) = ат+ Е (акх + ьк81п кх)
п—1
2
к=1
- частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье функции /(х), а р] = а2к + ЛГ. Через Д'', геМ обозначим множество функций / е , у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а /(г) е . Символом
1
а: (/^ = г {
С т^
к=0
V к У
Е (—1)" 7 / (х + (т — к:
, 1/2
ох
обозначим норму конечной разности т -го порядка функции / е Ь2 с шагом к и равенством
от(/;Г)=8ир{|лт(/)|| :|к|< /},
определим модуль непрерывности т -го порядка функции / е .
Всюду далее, структурные свойства функции / е Ь2 характеризуем скоростью стремления к
« л г)
нулю модуля непрерывности т -го порядка г -ой производной / , задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины сот ( /(г); ^).
Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из наиболее важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона - Стечкина
Еп_х{^<Хпгсоп{1(г)-Л ГЕ^, />0,
где % - некоторая константа, не зависящая ни от /, ни от п, но зависящая от т и г. Эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [1,2], В.И.Бердышев [3], Л.В.Тайков [4,5], А.А.Лигун [6,7], А.Г.Бабенко [8], В.И.Иванов и О.И.Смирнов [9], С.Б.Вакарчук [10,11], М.Ш.Шабозов [12], М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов [13] и многие другие.
В работе [2] Н.И.Черных отметил, что для характеристики величины Еп_^/) более естественным является не джексоновский функционал теМ, /* е Ж , 0 < И. <ж I п, а усредненный с весом (р(() > 0 (0 < I < к) функционал
Га А 11/2
(/ г); И) = Н а2Л/(г); ОКО^/} ((о4 •
Очевидно, что при любом И е (0,ж / и], Фот (/М ;И) <ют (/{г);И) Учитывая эти соображения, введем в рассмотрение экстремальную аппроксимационную характеристику следующего вида
Х
т,П,Т, р
(И) = Бир
2тп"Кп_1(/)
: / е 1%); /(г) * еотХ
( ? и V/р
-2Г | (/(г); г )йг
VИ о у
(1)
где 0<к<ж / п.
Величина вида (1) в частном случае при р = 2/т, гаеК и весовой функции ( (г) = (г — И), 0 < г < И подробно изучена в работе [14], где доказано, что в этом случае для любых гей и любых чисел Ъ, удовлетворяющих условию 0 < И. < ж / п, справедливы равенства
Х т
(И) = Ит ^ 1 —
2Бт(иИ / 2) пк
, — т/2
Целью данной статьи является отыскание точного значения экстремальной величины (1) и использование полученного результата для вычисления точных значений различных п -поперечников. Имеет место следующая
Теорема 1. Для произвольных г е М, 2 / г < р <2, г >2, 0 < И < ж / п справедливо равенство
Х т
12 и i ^
(И)=1 ^ \18Ш т) *
1—1/р
2. Прежде чем сформулировать другие результаты, напомним необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем.
Пусть S = {д : ||#|| < 1} - единичный шар в ; М - выпуклое центрально-симметричное подмножество из ; Ли с Х2 - произвольное п -мерное подпространство; Лп с Х2 - подпространство коразмерности п\ С: /,2 —» Ли - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Ь2 в Ля; : £2 —» Лй - непрерывный оператор линейного проектирования пространства Ь2 на подпространство Лп такой, что С / = /, если /еЛв. Величины
Ьп(М,¿2) = вир¡8ир{£ > 0;^с М}: Лп+1 с Ь2},
dn(M, 4) = inf {sup{|| f\\ : f g M n Лn j: Лn с L2 j, dn (Ш, L2) = inf jsup {inf j|| f - g||: g j: f g ml }:Лп с L j, ¿„(ЯЯЛ) = inf {inf {sup{||/-£/|| :/еШ1}:£4сЛ„):Алс12},
Пй(Ши2) = inf {inf {sup {(/-Г1/]: / e ш): с: Лй}: A„ c= Z2
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным n -поперечниками. Поскольку L2 - гильбертово пространство, то между перечисленными n -поперечниками выполняются соотношения [15,16]:
bn (m, 4) < dn (m, 4) < dn (m, l) = sn (m, Z2) = пп (m, l2).
Положим ещё
En X(M) = sup {En - ¿f): f g M}.
Всюду далее через W^ h обозначим класс функций f g L(2 \ которые для любых m,n,r g N, 2 / r < ^ < 2 и произвольного h g (0, ж / n] удовлетворяют ограничению
h
4 í (/(r), , d * 1,
h 0
а через ^^ (ф) обозначим аналогичный класс функций f g Z2:), которые для тех же значений указанных параметров удовлетворяют условию
( h Л"р
Jt fr), О* <Ф*),
vh 0 J
где Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что ф(0) = 0.
Поставим целью вычислить точные значения вышеуказанных n -поперечников для сформулированных классов функций в пространстве L2. Положим также
(sin t)„ = {sin t, если 0 < t <ж/ 2; 1, если t >ж/ 2}.
Теорема 2. Пусть т,п g N, 2/r<p<2, tgN м число h> 0 удовлетворяет условию 0 < nh < ж. Тогда справедливы равенства
у2n-i [С ¿ ;L ) = у (^ % h ;L J =
л -1/р mp i ^
=м ^^ )=2-mn ■ sin ] "d,
где уп (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников. Из теоремы 2 вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда имеют место равенства
У2п—1 ( ^т,2/т,й ; ) = У2п ( ^т,2/тИ ; ¿2 ) = Еп—1 ( ^т,2/т,И ; ^2
= 2" mn~4 1 -
sin nh 1 nh 2
, г 2 . nh"
1 -I-Sin-
I nh 2 ,
-m/2
Если в частности h = ж / n, то
У2n-1 ( ,2/m,h ' L2 1 = У2п ( ,2/m,h ' L2 1 =
= E iW(r) 1 = 2-m/2 • n-r
En-1 ^ Wm,2/m,h 2 n
с ж2 V
,ж2 + 4 ,
где у (•) - любой из перечисленных выше n -поперечников.
Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 для любого п е N имеют место равенства
sup {|a„ (f) и ъп (f) |: f swm;p, h } =
' 2 w ^yp 1-1/p
J t(sin nr] dt
= 2-mn"
Vh о
где аи (/) и ЬИ (/) соответственно косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / е • Сформулируем основной результат работы.
Теорема 3. Если для всех /л> 0, т/еМ, 2 / /* < р < 2, г > 2 мажоранта Ф для любого и е удовлетворяет условию
V1
Фp(и)
цж/2
ж/2
J t(sin t)mpdtl J t(sin t)mpdt
(2)
mo для любого n e N справедливы равенства
у2n-1 (W ГР(Ф); L ] = У2n (W ГР(Ф); L ] = En-! (w 2(Ф))
¿2
A ж/2
= 2-( m+3/p)
1 ж / 2
^ J t(sin t)mpdt
2
4-1/p
Чж о
Ф
ж
n
Множество мажорант {Ф}, удовлетворяющих условию (2), не пусто.
Этому условию удовлетворяет, например, функция Ф„ (h) = hal p, где
_\2 (ж/2 V1
а = \ - I J t(sin t)mpdt
- 2.
,2,
Следствие 3. При любых m,n,r G N, 2 / г < р <2 справедливы равенства
у2n-i (оф.); L2 ]=r2n (Оф.); L2 ]=En-iW rp (ф. ))
L2
1/Р
2 21
_ 2-(m+3/p) | a + 2 I ж"/p n r-a!p
где уп (•) - любой из вышеперечисленных n -поперечников.
Поступило 29.05.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2. - Приближение функций в среднем. Сб. работ. - Тр. МИАН СССР, 1967, №88, с. 71-74.
2. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2. - Матем. заметки, 1967, №2(5), c.513-522.
3. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp. - Труды МИАН СССР. 1967, №88, c.3-16.
4. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2. - Матем. заметки, 1976, №20(3), c.433-438.
5. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2. - Матем. заметки, 1979, №25(2), c.217-223.
6. Лигун А.А.Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2. - Матем. заметки, 1978, №24(6), c.785-592.
7. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2. -Матем. заметки, 1988, №43(6), c.757-769.
8. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2. - Матем. заметки, 1986, №39(5), c.651-664.
9. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. - Тула: ТулГу, 1995, c.192.
10. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых классов функций. - Укр. матем. журнал, 2004, №56(11) c.1458-1466.
11. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2. - Матем. заметки, 2006, 80(1), c.11-19.
12. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2n]. - Матем. заметки, 2010, №87(4), c.616-623.
13. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2л>периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, №90(5), c.764-775.
14. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2. - Analysis Mathematica, 2012, №38(2), c.154-165.
15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - M.: МГУ, 1976, c.325.
16. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Springer, Berlin, 1985.
К-К-Палавонов
НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ ДАР Ь[0,2гс] ВА КИМАТИ КУТР^ОИ БАЪЗЕ
СИНФИ ФУНКСИЯ^О
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники n -кутрхо барои баъзе синфи функсиях,ои дифференсиронида-шавандаи дар фазои L [0,2ж], ки шарти зеринро каноат мекунад
( h V7 Р
Jr(fr);
Vh 0 )
х,исоб карда шудааст. Дар инчо 0 < /z < go, 2 / г < р <2, г е N, G>m{f{r)\t) - модули бефосила-гии тартиби m -и ихтиии функсияи f(r) е L2 [0,2ж], Ф(и) - ихтиёрии функсияи бефосила аф-зуншаванда ва барои Ф(0) = 0 аст.
Калима^ои калидй: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - доимии анщ - характеристикаи экстремали. - функсияи вазндор - n -цутр^о.
Q.Q.Palavonov
APPROXIMATION OF FUNCTIONS IN L2[0,2n] AND THE VALUES OF WIDTHS
FOR SOME CLASSES FUNCTIONS
Tajik National University The exact values of diverse n -widths of periodical functions belong Z2[0,2ж] space and satisfying the condition of
f 2 h Vp
,2
J tam (f(r); t)dt <0(h),
h 0 У
where 0 < h < x, 2 / г < p < 2, reN, om (/i');/) is the module of continuity of m -order derivative
f r g Z2[0,2^], O(u) is an arbitrary increasing function and O(0) = 0 were found in the article.
Key words: the best approximation - modulus of continuity - exact constant - extreme characteristic weight function - n-widths.