CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №8_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.Р.Лангаршоев
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ И ЗНАЧЕНИИ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
БЕРГМАНА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 03.04.2014 г.)
В работе найдены точные значения бернштейновских и колмогоровских п-поперечников некоторых классов, аналитических в круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана В ГА — Я < где у - положительная весовая функция.
Ключевые слова: наилучшее приближение - модуль непрерывности - весовая функция - полином -мажоранта - п-поперечники.
1. Вычислению точных значений п -поперечников классов функций, аналитических в круге, в различных банаховых пространствах посвящён целый ряд работ (см., например, [1]-[14]).
В пространстве Харди Н ,1 — Я — да, первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п -поперечников, найдены в работах [1-3]. Затем исследования в этом направлении продолжены в [6-10]. С.Б.Вакарчук начал изучать аналогичные задачи в пространстве Бергмана и Гварадзе [7] для целой серии п -поперечников и в последующих работах [8,9] построил наилучшие линейные методы классов функций для вычисления точных значений линейных п -поперечников. Ряд окончательных результатов в этом направлении ранее был получен в [4,5]. Отметим, что в весовом пространстве Бергмана аналогичные задачи рассмотрены в работах [11-14].
В настоящей статье получены новые результаты, связанные с вычислением точных значений п -поперечников классов функций, аналитических в круге, принадлежащих весовому пространству Бергмана, усредннный модуль непрерывности которых мажорируется заданной функцией. Говорят, что аналитическая в единичном круге функция
да
/ (г) = £ О^, Г = Рв'<, 0 <р< 1
к=0
принадлежит весовому пространству Бергмана В/, 1 — Я < с конечной нормой [11], если
q,r
г 1 .. v'q
— {{к \z \ )\f (z) \q da
2ж. .
I z\<1
< да, 1 < q < да, (1)
Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: mukhtor77@mail.ru
где у(\ г |) - положительная весовая функция, dG - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега. Ясно, что норму (1) также можно записать в виде
Г л 12* V9
—\\ру(р)\/ Р
д,г
V2* о о
В пространстве , 1 < 9 < да введём интегральный модуль непрерывности равенством
/ . 12* V'9
= Бир
Щ<3
12*
—11 РУ(Р) \ I(ре1 ()) - Iр) \ 9 dрdt
V2* о о
(2)
Легко проверить, что функция (2) обладает всеми свойствами модуля непрерывности [15]. Пусть С - множество комплексных чисел, N - множество натуральных чисел, 2 - множество целых неотрицательных чисел, Е - множество положительных чисел. Через
п
*п={рп{?у.рп{£) = «еК, а,еС}
к=0
обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени п. Символом
Еп (1)9,г ■ = {||1 - Рп-АРп-1 е Р-1}
определим наилучшее приближение функции е ,, 1 < С[ < х элементами множества 'Рп ,.
Для г е N обычную производную г -го порядка функции f{z) обозначим через /(г)(г) ■= drI /dzr(/(0)(г) ■= /(г)), а через /г)(г) ■= дг/(ре11) / д1 обозначим производную г -го порядка по аргументу, причём
/(г) = /(г)я и /(г) = /"-1) г > 2.
Всюду далее полагаем
апг=п(п — Х)...(п — г + Х), п>г,
В [12] доказано, что для произвольной функции /(г) е В г, 1 < 9 < да, у которой производные 2грг){2) е ^ ,, 1 < £/ < х при любых !\п е И, справедливы точные неравенства
1 */(2п)
(/),<— | г);21)?,1, (3)
Е
п - 2п
о
я-/(2и)
En (f)?,<T^ j ®(zrf( r); 2t),, n > r. (4)
2an,r 0
Неравенства (3) и (4) обращаются в равенства для функции f0(z) = az", а е 'С, йеМ.
2. Приведённые неравенства (3) и (4) обеспечивают возможность вычисления точных значений некоторых n -поперечников классов функций, усреднённый модуль непрерывности которых мажорируется заданной функцией. Приводим обозначения, необходимые для дальнейшего определения.
Пусть X - банахово пространство; S - единичный шар в X; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; Ли с X - n -мерное подпространство. Величины
bn (ШГ, X) = sup{sup{^ > 0: ^S о Л„+: с ШГ}: Л„+: с X},
dn(Ж,X) = inf{sup{inf{||f}: f е Щ: Лп с X}
называют соответственно бернштейновским и колмогоровским n -поперечниками. Между указанными величинами выполняется неравенство [5]
bn (M, X) < dn (M, X). (5)
Пусть Ф(и) - положительная неубывающая выпуклая вниз функция, определённая для u > 0 и удовлетворяющая условию lim Ф(и) = Ф(0) = 0.
Если M - некоторый класс функций, принадлежащий пространству Bq у, то требуется найти величину
Еп(Ж)ч,г ■= sup{En(f)q,r (6)
Положим также
(sint)„ := {sint, если 0 < t <ж; 1, если t >ж).
Исходя из неравенств (3) и (4), для любых ne N и Ае М определим следующие классы
функций:
W(Г)(Ф) = j f е :, j f;2t)q,dt < Ф(й) [,
0
W(r)(Ф) = \f , j®(z"f(r);2t)„df < Ф(й) [.
h 0
Имеет место следующее утверждение
Теорема 1. Пусть г е и мажоранта Ф при любом к е М+ удовлетворяет условию
пк
—— > [ фи 1). dt. Ф(*/ (2п)) 2пк ^ '
Тогда для произвольной п е N имеют место равенства
(7)
Ъп(Жа(Г)(Ф),ВТ,) = < (ж(г)(Ф),в,
=-■—фГ—
"V « ^ 4 пг \2п
(8)
Ъп (Ж(Г)(Ф) ВТ ?) = dn [ Ж (Г)(Ф), г ] =
(9)
Множество мажорант Ф, удовлетворяющих условию (7), не пусто.
Доказательство. Не умаляя общности, докажем равенство (9), поскольку доказательства соотношения (8) приводится по той же схеме. Учитывая определение класса Ж(г)(Ф), для произвольной функции / е Ж(г)(Ф) имеем
( 0„ л/(2п) Л
Еп (/)й,У <
*
4а
2п' *
| ; 21),
*
<-Ф
4а
у п,г
* 2п
(10)
Используя неравенство (5) и равенство (6), из (10) имеем оценку сверху для указанных п -поперечников
ъп (Ж(Г)(Ф), в,) < < ( ж (Г)(Ф),
' п
Л г)/
<
<
£п(Ж(г\Ф))
* * ) <-Ф| — I.
4а I 2п I
(11)
Для получения оценки снизу указанных п -поперечников во множестве Р ^ В вводим в рассмотрение шар
■=] Рп е Рп ■) Рп
II *
<-Ф
Чг 4а ,
К 2 п
и покажем, что 5и+1 ^ Ж г)(Ф). С этой целью воспользуемся неравенством [12]
а(ггр(пг); 21)^ < а(зт М\ • ||р± ,
(12)
справедливым для произвольного полинома ри е Рп. Из (12), учитывая определение класса W(г)(Ф), для любого рп е | и произвольного И. е М , в силу условия (7), получаем
-\со(ггр«); 2)? ,Я < г -||Р«||?,, ■ -{ фп«)*Я <
^ 0 0
\ А
Ж 1 Ж
<Ф[ (^«)* с <Ф(А)'
и ^ 2пА '0
откуда и следует, что £и+1 ^ W(г )(Ф). Отсюда, согласно определению бернштейновского и -поперечника, имеем:
Ья(W(г)(ф),щ,) > Ь« [(13)
Сопоставляя оценку сверху (11) и оценку снизу (13), получаем требуемые равенства (9). Непосредственным вычислением убеждаемся, что ограничению (7) удовлетворяет, например, функция
Ф* (0 = I\ где
Ж
а=--1« 0.57.
2
Используя тот факт, что для произвольной функции /(2) е В к, 1 < д < да, 0 < Я < 1, у которой /^'(г) 6 В , , 1 < д < да, при любых г, п е N имеют место точные неравен-
ства [14]
Е(Лв„. *я'п-е(/Гв,,
е(/\,гл < ((г%,,п > г
в которых знак равенства доставляет функция = аг", ае С. Распространим результаты теоре-
мы 1 на более общее пространство В к.
Теорема 2. Пусть г е и мажоранта Ф при любом к е М+ удовлетворяет условию (7). Тогда для произвольной п е N и 0 < Я< 1 имеют место равенства
Ь«^а(г)(Ф),) = с« (г)(Ф),щ9
Ь«(W(г)(Ф),в) = с« {W(г)(Ф),
п 1 V /
=-.—ф(—\ 4 ащг
Поступило 03.04.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. - Успехи матем. наук, 1960, т.15, 3, с. 81-120.
2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. -Матем. заметки, 1967, т.1, 2, с. 155-162.
3. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. - Матем. заметки, 1986, т.40, 3, с. 341-351.
4. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, т.22, 5, с. 631-640.
5. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
6. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространствах Харди H2. - Украинский матем. журнал, 1989, т.41, 6, с. 799-803.
7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. I. -Украинский матем. журнал, 1990, т.42, 7, с. 873-881.
8. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. - Матем. заметки, 1995, т.57, 1, с. 21-27.
9. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций. - Матем. заметки, 1999, т.65, 2, с. 186-193.
10. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2. - Матем. заметки, 2000, т.68, 5, с.796-800.
11. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана B2,y - Докл. РАН, 2007, т.412, 4, с. 466-469.
12. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. н., 2009, 3(136), с. 7-23.
13. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, 8, с.3-22.
14. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. - ДАН России, 2013, т.450, 5, с. 518-521.
15. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977, 511 с.
М.Р.Лангаршоев
ОИДИ НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИН ВА ЦИМАТИ БАЪЗЕ ЦУТРХОИ СИНФИ ФУНКСИЯХО ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники n -кутрх,ои бернштейнй ва колмогоровии баъзе синфи функсиях,ои дар доираи аналитикй, ки ба фазои вазндори Бергман B у 1 - q ки у -функсияи вазнии мусбат мебошад, х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - бисёраъзоги - мажоранта - n-куутрХ/О.
M.R.Langarshoev
ON THE BEST APPROXIMATION AND THE VALUE OF DIAMETERS OF SOME CLASSES FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN'S SPACE
Tajik National University In the article for some classes of analytical in disc functions which belong to weighted Bergman's space B у > 1 - 4 <<x>, where у - positive weighted function the exact value of Bernshtein and Kolmogo-rov's n -widths are calculated.
Key words: best approximation - module continuity - weighted function - polynomial - majorant - n-widths.
