О наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

А.Г.Айдармамадов

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.12.2013 г.)

В весовом пространстве Бергмана для классов аналитических в единичном круге функций, определяемых обобщёнными модулями непрерывности высшего порядка г -х производных, по аргументу которых мажорируются функции, удовлетворяющие определённым ограничениям, получены точные значения различных п -поперечников.

Ключевые слова: аналитическая функция - обобщённый модуль непрерывности - наилучшее приближение - весовое пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином -п-поперечники.

1. Вопросам наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций в пространстве Харди Н , 1 < q < да посвящено значительное число работ (см., напр., [1-4] и приведённую там литературу). В пространстве Бергмана систематическое изучение экстремальных задач теории наилучшего полиномиального приближения начал С.Б.Вакарчук [5]. Указанная тематика в дальнейшем была продолжена в работах [6,7].

В настоящей работе изучаются аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций

/(х) = £ окгк, г = рв'<, 0 <р< 1

к=0

в весовом пространстве В 1 < q < да с конечной нормой [8]

q ,г

Г , 12, y/q

— \\py(p)\f (peu)\q dpdt

K 2ж

где /(| г | ) - неотрицательная суммируемая неэквивалентная нулю на [0,1] функция, а интеграл понимается в смысле Лебега.

Всюду далее совокупность комплексных алгебраических полиномов степени < п обозначим

а символом

Адрес для корреспонденции: Айдармамадов Алишер Гуломалиевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: alisher1805@mail.ru

обозначим величину наилучшего приближения функции / е Вч множеством Т'п. Равенством

^ (/, ^ := 8ир||АГ (/,;.)\1г :\к\< ^ =

\(л 1 2л

= Бир <

-¡¡ру(р)\А: (/;р, и) ёрёи

\1/9

V2л 0 0

:\ к \< г\

(1)

где

а: (/-р, и)(~1)кскт/(рё(и+кь))

к=0

- разность : -го порядка функции /(рей) по аргументу t с шагом к , определим модуль непрерывности : -го порядка в пространстве В 7 ■

Экстремальные задачи полиномиального приближения функций / е структурные свойства которых характеризуются модулем непрерывности (1), рассматривались, например, в работах [9-11]. При решении ряда задач аппроксимации аналитических функций часто используют различные модификации модулей гладкости (1) Например, иногда удобнее использовать следующую усредненную характеристику гладкости

* Т т

iа:(/;р,т,и)? = — |• • • |\\а:/(ре'и)||?Щ ■■■

0 0

где

к={КК-К)Л1 ^А^с.оД^ А\/ (рёи) = / (рё(И+к)) - / (рёи),

используя которую полагаем

\(Л 1 2л

(/, t)^= Бир

Г ЦрТ(р)\А: (/ ;р,т,и) \9 йрйт

\1/?

\2л 0 0

:\ и \< t \

(2)

Легко доказать, что для всех 1 < q < да выполняется отношение слабой эквивалентности Ли(/>0г>г х®и(/,0г,г, \<д <со.

Для целых неотрицательных г производную г -го порядка функции /(£) по аргументу 7 = рёг обозначим символом г) (г)■ При этом

f'a(z) = f = f -|z = f'(z) • zi, fj\Z) = {fr\z))'a, r > 2. Далее, через £>обозначим множество функций / ( z ) е Н:/, у которых

/;г) < да, 1 < ц <да.

Среди актуальных задач теории полиномиальных приближений аналитических в круге функций в пространстве Бергмана В ,1 < q < да экстремальная задача отыскания точных констант в неравенствах типа Джексона

е^(/)„<хп ип (/ ') ,т/п)„, т> 0,

является наиболее важной, где Vт - некоторая характеристика гладкости функции / е В например модули непрерывности т -го порядка Сдт или , % - некоторая константа, зависящая только

от значений г и т .

Введём в рассмотрение следующую экстремальную характеристику

Zm,„,r,v(ç,h):= sup

2m/2 • nr • En_i(f )

2,У

И '

V 0 , ,

где /'еХ, /?, /-ге!, (р - неотрицательная суммируемая на отрезке [0, /?] функция.

Целью данной работы является распространение известного неравенства А.А.Лигуна [12], доказанного для множества ЁГ) [0,2ж] -периодических г -раз дифференцируемых функций / на случай аналитических в круге функций, принадлежащих пространству В^у т и ег0 последующее применение в задачах вычисления точных значений различных п -поперечников. Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Пусть т,иеМ, ге2+, 0<р<2, 0 <И < ж / п, (р - неотрицательная суммируемая на отрезке [0, И] не эквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство

Хш,п,г,p (V, h) = {bn,m,r,p (<Р\h)Y\

где

bn,m,r, p (Г, h) =

(h / • Л"Р'2 V7p

lf 1 -^ -md<

l nt ) J

Из теоремы 1 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Пусть (p{t) = l, т,п eN, reZ+, 0< р<2 и 0<к<3ж / (4 ri). Тогда имеет место равенство

и-lly )2,У _

2m 2nr-i/pEn j(/) sup -

Г г

l p

í(i - "

,mp/2 Л 1 p dt

В частности, при р = 2/ т, гаеМ, г >т 12 из (3) следует, что

(3)

su 2m/2 • nr-m • En-i (/\y =_

/Sp,„ Г hf 2/ M lm/2 (nh - &(nh))

V 0 y

m/2 '

. „., N f sin t

гое o/(x) = J-dt - интегральный синус.

Следствие 2. Пусть (р{С) = 1, m,nGN, р = 21т, г>т/2, 0<к<7г/п. Тогда

справедливо равенство

sup —

ч(0 А

»• m

П Т En-iC/)2,y

\ т/2

/ев{г> in ^

¡tc%m(/?\t)2,dt

V 0 y

= {(nh)2 - 2(1 - cosnh)}-m/2.

Теорема 2. Пусть т,п е М, 5 = 1,2,..., г, 0 < /г < Зл" / (4и), ср > 0 - суммируемая на

отрезке [0, к] не эквивалентная нулю функция. Тогда имеет место равенство

sup

íh

fa^^COnst

2m/2 • ns • En-i(/r-s))

n-1 Ve/ a /2,y _

\OFn{f-\t\y-<p{t)dt

Ni/p

J ( i

mp 2

sin nt 1

N-i/p

nt y

(p(t )dt

2. Всюду далее через Ъп (М, В2у ), ¿п (М, В2/), < (М, В^), ¿П (М, В^) и П„ (М, В2, ) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого центрально-симметричного множества М из В (см., например, [13,14]).

Посредством модуля непрерывности (2) определим следующие классы функций. Пусть ^ ^) (/ = 1,2,3; 0 < t < да) - непрерывные, неубывающие функции такие, что ^ (0) = 0^ Символом ^раС^т^^О = 1,3), 0 < р < 2, т е М, г <=Ъ+ обозначим класс функций / е В2г)га, для которых при любом /г е ТО соответственно имеют место неравенства

h

J"m (/ Г ), t )2 ,y dt <^i(h),

x

1 h

1 J^ (/r), Г )2 , dt <^2(h),

О h

- jtnm (/ar), t )2 , dt <^3(h).

Если Ш - некоторый класс функций / е а, то наилучшее приближение этого класса в простран-

2 ,у,а

стве B v обозначим

2,7

Полагая при t = 0 значение функции (sin t) /1 равным 1, обозначим через t„ величину её аргумента, при котором эта функция достигает на полупрямой IR := [0, со) своего наименьшего значения. При этом t„ (4,49 < 4 < 4,51) есть минимальный положительный корень уравнения t = tg t. Следуя обозначениям [15], полагаем

1 - sint) .=<

1 sin t

1--, если 0 < t < t,,

t

л sin t„

1--, если t„ < t < го.

L

Сформулируем основные результаты второго пункта.

Теорема 3. Пусть /и,й,геК, 0 < р < 2 и функция 1Р1 при любых значениях И е Ж+ удовлетворяет условию

r % (h) Y -

xmp/2 \л

nh / • , i л / .

* J (1 - ^ dt .Jjfi

, mp/2

% (л/n)

Тогда выполняются равенства

К [Ка te-.^l)»^,) = ClK^fi^,)),

dt > .

(4)

-1/p

= 2-

-m/2

✓ . \mp/2 :j(1 -siní) ^

л

n

где Л(-) - любой из вышеперечисленных п -поперечников. При этом множество мажорант удовлетворяющих ограничению (4), не пусто.

Теорема 4. Пусть 0 < р <2 и функция при любых значениях И е

удовлетворяет ограничению

о

2,7

' т (к) I р. л [пк

ч :р/2

(Т 2 (л / п)

Тогда выполняются равенства

>

У

пк

пп / - л / ,

I (1 - - 1-11(1

, :р/2

Л \ ■

(5)

= 2-:/2

л

1 К-

б1П t

ч :р/2

-1/р

Л \ - пг -Т

Гл

( П у

где Ли(-) - любой из п -поперечников Ъп(-), (-), 5п(-), йп(-), Пп(-)■ Мажоранта Т*) = Iар, где

а :=

л

И1 - ^

--1

у :р/2 '

I Л

удовлетворяет условию (5).

Теорема 5. Пусть т,п<Е~М, О < р < 2, г е . Если функция при любом И е удовлетворяет ограничению (5), то для s = 0,1,..., г справедливы равенства

8ир

1 г Г б1П t

( t

= 2-:/2 - п 8

л

:р / 2 ) 1/р ^

Л \ -Т

л

( п у

Теорема 6. Пусть т,п<Е~М, м функция при любых значениях И е М+ удовлетво-

ряет ограничению

' Т(к) Т>Г~ л2 |пк

'У

л пк

•и-(1 -I -Ж -(1-

, :р/2

(Тз(л/п)

Тогда имеют место равенства

Б1П t

у :р/2

л \ ■

_-(:+!) I 1

=2 "л

<:р/2

-1/р

-(1 -^ I сИ\ -п г-Т

л

п

где Лп (-) - любой из перечисленных выше п -поперечников.

Поступило 16.12.2013 г.

В

Хг

ЛИТЕРАТУРА

1. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. -Матем.заметки 1967, т. 1, №2, с. 155-162.

2. Айнулоев Н., Тайков Л.В. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функции. - Матем.заметки, 1986, т. 40, №3, с.341-351.

3. Вакарчук С.Б. О поперечника некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 - Укр.мат.журнал, 1989, т. 41, №26, с.799-802.

4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций. - ДАН России, 2002, т. 382, №6, с.747-749.

5. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. - Матем.заметки, 1995, т. 57, №1, с. 30-39.

6. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана. - ДАН России, 2002, т. 383, №2, с. 171-174.

7. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана. -ДАН РТ, 2006, т.49, №9, с.798-802.

8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана. - ДАН России, 2007, т. 412, №4, с. 466-469.

9. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Матем. сборник, 2010, т. 201, №8, с. 3-22.

10. Лангаршоев М.Р. Неравенства типа А.А.Лигуна для весогого пространство Бергмана В2,у и некоторые его приложения. - ДАН РТ, 2010, т. 53, №12, с. 897-901.

11. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. - ДАН России, 2013, т. 450, №5, с. 518-521.

12. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 - Матем.заметки, 1978. т. 24, №6, с. 785-792.

13. Pinkus A. «-widths in approximation theory - Berlin: Springer -Verlag., 1985.

14. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1976, 324 с.

15. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences : Sofia, 2008, v. 14, №4, p. 29-39.

А.Г.Айдармамадов

ОИДИ НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ ФУНКСИЯХОИ АНАЛИТИКИ ДАР

ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Донишго^и миллии Тоикистон

Дар фазой вазндори Бергман барои синфи функсияхои дар доираи вохидй аналитикй, ки

модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби олии хосилаи тартиби r -ум аз руи аргумента-

шон ба воситаи функсияи мажорантй махдуд аст, кимати аники n -кутрхои гуногун хисоб карда

шудааст.

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилагии умумикардашуда - наздиккунии беутарин - фазои вазндори Бергман - бисёраъзогии алгебравии комплект - n -цутр^о.

A.G.Aydarmamadov

ON THE BEST APPROXIMATION OF ANALYTIC FUNCTIONS IN WEIGHT

BERGMAN'S SPACE

Tajik national university

In the weighted Bergman space for classes of analytic in the unit circle function defined by generalized modules continuity of higher order r -th derivatives on argument are bounded by functions which satisfy certain constraints the exact values of various n -widths were obtained .

Key words: analytical function - the generalized modulus of continuity of m-th order - best approximation -weight Bergman's space - complex algebraic polynomial - n-widths.