CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.Р.Лангаршоев
О ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.05.2014 г.)
В весовом пространстве Бергмана , 1 < q <х>, у> 0 - измеримая весовая функция, вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских п -поперечников некоторых классов функций, аналитических в единичном круге. Полученные результаты обобщены на более общее пространство 0 < Я < 1.
Ключевые слова: наилучшее приближение - модуль гладкости - весовая функция - полином - мажоранта - п-поперечники.
К настоящему времени в задаче вычисления значения поперечников классов аналитических в единичном круге функций достигнут значительный прогресс (см., например [1] и приведённую там подробную литературу).
В настоящей работе получены новые результаты, связанные с вычислением точных значений п -поперечников классов функций, аналитических в единичном круге, принадлежащих весовому пространству Бергмана, усредненный модуль гладкости которых мажорируется заданной функцией.
Пусть N - множества натуральных чисел, Ж - множества целых неотрицательных чисел
Ж - множества положительных чисел, и С - множества комплексных чисел. Известно, что аналитическая в единичном круге функция
ад
/ (г) = £ екгк, г = рви, 0 <р< 1
к=0
принадлежит весовому пространству Бергмана B у Л — Ч <х>, если [2]
q,r
f У7 q
± {{к \z \ )\f (z) I qda
I z\<1
1 — q (1)
где у(\ г | ) - положительная весовая функция и интеграл понимается в смысле Лебега. Переходя к полярным координатам, норму (1) запишем в виде
q,r
Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: mukhtor77@mail.ru
1к \\д,/
( 1 1 У'9
- ¡¡Г(р)\/(реи рЛрЛ
К2л о о
Равенством
®2(/5 =
Г Л 12л Л1'9
= Бир
Щ<8
1 1 2 Л
-11 РУ(Р) \ /(ре1 Ь)) -2/р) + /(ре'А)) \9 йрйг
К2л о о
(2)
определим модуль гладкости в пространстве В у , 1 < 9 <ю. Легко проверить, что функция (2) обладает всеми свойствами модуля гладкости [3, с.151]. Символом
п
к
¿? = {р„(2)--Рп(2) = ?,ак2к, пеП, ак е С} к=0
обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени п. Величина
Еп(/):= {II/ - Рп-Лч,7 ■ Рп-1 е рп-}}
называется наилучшим приближением функции /(г) е ¿¡&ч , 1 < с/ < х элементами множества .
Для г е N обычную производную г -го порядка функции / ( г ) обозначим /(г) (г) ■= <^г/ ' (/(0) (г) ■= /(z)), а через /г) (г) ■= 3г/(ре" ) ' г обозначим производную г -го порядка по аргументу. При этом
/(г) = /'(г)гв и /') (г) = {/"-1) (г > 2.
Всюду далее полагаем
ски г = п(п — 1)... (п — г +1), п>г, и, г е N.
В работе [4] доказано, что для произвольной функции /(г) е В г, 1 < 9 < ю, у которой производные (г), и гг(г) также принадлежат этому пространству, при любых г, п е Н справедливы точные неравенства
1 л'(2п)
Еп(/),-2)Иг-1 { ^(/Г;(3)
л'(2п)
Еп (/)', < I ^ (г"/(г); 2?) ч, Л, п > г, (4)
п,г О
которые обращаются в равенства для функции (г) = а г", аеС, иёЖ
Приведем необходимые обозначения и определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Пусть X - банахово пространство; S - единичный шар в X; N - выпуклое центрально-
симметричное подмножество в X; Ли с X - п -мерное подпространство. Величины Ъп (Ж, X) = sup {sup {s> 0: ^S n Лп+, с Ж}: Лп+, с X},
dn (ЭТ, X) = inf {sup {inf {||f - 4 X :^еЛп}: f е 9Г }:Лп с X}
называют соответственно бернштейновским и колмогоровским п -поперечниками. Между указанными величинами выполняется неравенство [5, с. 13]
Ъ„ (N, X) < dn (N, X). (5)
Пусть Ф(и) - положительная неубывающая выпуклая вниз функция, определённая для u > 0 и удовлетворяющая условию lim Ф(и) = Ф(0) = 0.
Если N - некоторый класс функций, принадлежащий пространству B , то требуется найти
q,Y
величину
En:= sup{En(Л„: f *
Положим также
(1 - cos t\ := {1 - cos t, еслиО < t < ж; 2, если/1 > ж).
Приведённые выше неравенства (3) и (4) дают нам возможность вычислить точные значения некоторых n -поперечников классов функций, модуль гладкости которых мажорируется заданной функцией. Определим классы функций:
W(r)(Ф) = j f е :, J r);2t)q /dt < Ф(к) j
W(r)(Ф) = | f е : 1 { а2(zrf(");2t\,dt — Ф(й)|,
где re Z+, «gN и Ае R . Нам понадобится следующая
Лемма [4]. Для произвольного полинома рп (z) е P справедливы точные неравенства
®2(Рп,}а; 2t)q,r< 2(1 - cos nt).-nr\pn\q,7> 0 < nt — Л (6)
^(z^; 2t)q7— 2(1 - cos nt\-an\\\pn\\gj, 0 < nt — л (7)
м знак равенства в (6) и (7) реализуется функцией qn(z) = az", а е С.
Теорема 1. Пусть мажоранта Ф при любых п е N и к е удовлетворяет ограничению
Ф(к) 1 л пк
Ф(л'(2п)) л-2 пй
Тогда при любых г е 1 < ц < х имеют место равенства
ъп Ж г)(Ф), в,)=< (((ф), В,
л 1 л
л
— Г (1 -СОБX).Ж. (8)
ии ^
Еп(Жа(г)(Ф)) =-л----Ф
^ 2(л- 2) пг
к 2п
(9)
ъ (Ж(г)(Ф), ВТ _ Г) = й„ (К (г)(Ф), ВТ _ г
= Е (Ж(г)(Ф)) =—---- фГл]. (10)
п( ( 2(л-2) «,г 12пJ ( )
Множество мажорантных функций Ф, удовлетворяющих ограничению (8), не пусто. Доказательство. Покажем справедливость равенств (10), поскольку получение соотношений (9) основано на практически аналогичных соображениях. Для произвольной функции / е Ж(г) (Ф) из неравенства (4) получаем
л 1
^ 2пж'(2") ^
Еп--I ^г/(г);21),
2(л- 2) ап
Чл о
<
< л 1 ( л |
< 2(л- 2) V 2п /
Из этого неравенства и соотношения (5) получаем оценку сверху для перечисленных выше п -поперечников
Ъп (Ж(г)(Ф), < йп ((М(Ф), <
< Еп (Ж(г )(Ф)) <—---- ф(—\ (11)
п( ( ))9,г 2(л-2) «п,г К2пJ ( )
С целью получения оценки снизу для указанных п -поперечников в множество р о Вчу вве-
дем в рассмотрение шар
рпе р 1 р„||„< -л^) ~ Ф( ,
и покажем, что 5и+1 принадлежит классу Ж(г) (Ф).
В самом деле, используя определение класса Ж(г)(Ф) из неравенства (7) при любом к < с учётом ограничения (8), для произвольной р (г) е 5и+1 имеем
к к
1 ®2(ггр{п);2г)?,Л < 2«п,г ■ || Рп\1г ■1 (1 - совпО.л < к 0 к 0
1 / \ пк
1 _ ( ж 1 ж
< —
Ф| — 1-—I (1 - сов г). Л <Ф(к),
ж - 2 I 2 п ^ пк
0
откуда и следует включение £и+1 с Ж(г) (Ф). Следовательно, согласно определению бернштейнов-ского п -поперечника
» <Ж<')(Ф), в,) > » К, в,)> -¿«-(ж} <'2>
Сопоставляя оценку сверху (11) и оценку снизу (12), получаем требуемые равенства (10). Непосредственным вычислением убеждаемся в том, что условию (8) удовлетворяет, например, функция
Ф* (к) = ка, где
ж
а=- (1.75 <а< 2).
ж-2
Следствие. В условиях теоремы 1 имеют место равенства
ъп (жГ(ф*), в?,)=лп ((Ф*), в?
/■ \2(ж-1)/ (ж-2)
-Еп (ЖГ(Ф* ^(и (ж-2)-1 п
ъ„ (Ж (г)(Ф*), в?, ) = Л (( М(Ф*
/- \ 2(ж-1)/(ж-2)
= Еп (Ж с )(Ф*) 1г = (ж - 2)-1< п-ж/(ж-2).
В работе [4] доказано, что для произвольной функции /(г) е В К, 1 < ? < ад, 0 < Я < 1, у
которой /(г) (г) е В /, г/(Г) (г) е В у 1 < ? < при любых г, п е N имеют место точные неравенства
Еп (г)в,л < я"п-ге„ (/?%,, (13)
е„(1)в,л <ЯЧ-Х(гГ/(%,п >г, (14)
в которых знак равенства доставляет функция = аг", аеС. Используя неравенства (13) и (14),
распространим результат, полученный в теореме 1, на более общее пространство В К.
Теорема 2. Пусть г и мажоранта Ф при любом к е удовлетворяет условию (8). Тогда для произвольной й е N и 0 < /{ < 1 имеют место равенства
Ъп (Жа(г)(Ф), л.) = йп VТ Ягл) =
q,y,R У n ( a V 7? q,y,R
ж Rn r
= Е№Г)(Ф)) =—ж--—Ф
^ 'qуR 2(ж- 2) nr
Ъя (W(r (Ф), ЩууЛ ) = J ((Г),^
ж 2n
:En (W ( r )(Ф) ) = фЖ
"V v '}q'r'R 2(ж- 2) anr 12n J
Поступило 06.05.2014г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана В2,У - Докл. РАН, 2007, т.412, №4, с. 466-469.
3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977, 511 с.
4. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. н., 2009, №3(136), с. 7-23.
5. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.
М.Р.Лангаршоев
ОИДИ ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДОИРАИ ВО^ИДЙ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар фазой вазндори Бергман Bq , 1 < q < ю, ки у > 0 - функсияи вазнии ченшаванда
мебошад, кимати аники n -к,утрх,ои бернштейнй ва колмогоровии баъзе синфи функсиях,ои дар
доираи вох,идй аналитикй х,исоб карда шудааст. Натичах,ои ба даст овардашуда дар фазои уму-
митари &qyR 0<R < 1 чамъбаст карда шудаанд.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули суфтагй - функсияи вазнй - бисё'раъзогй -
мажоранта - n -цутр^о.
M.R.Langarshoev
ON THE DIAMETERS OF CLASSES OF ANALYTICAL IN UNIT DISC FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN'S SPACE
Tajik National University In the weighted Bergman's space Bq , 1 — q < ад, where y> 0 - is weighted function, the exact value of Bernshtein and Kolmogorov's n -widths of some classes of analytical in unit disc functions are calculated. The results were summarized in a common space &qyR 0 < R — 1.
Key words: best approximation - module of smoothness - weighted function - polynomial - majorant -n-widths.
