О нормах сумм Ахиезера-Крейна-Фавара Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. Жук, С. Ю. Пименов

О НОРМАХ СУММ АХИЕЗЕРА-КРЕЙНА-ФАВАРА *>

Введение. В дальнейшем М, Z+,N - соответственно множества вещественных, неотрицательных целых, натуральных чисел; Q = [—7г,7г]. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в ней по непрерывности; в других случаях символ jj понимается как 0. Через 'С обозначаем пространство непрерывных 2тг-периодических функций /: Е -> Е с нормой ||/|| = тах|/(ж)|; а^(/) = ^ J f(t) cos kt dt,

Ьк(1) = £ / /(*)яп Ы(Ы - коэффициенты Фурье функции /, А0(/,х) - а0(/)/2,

<э

Л*;(/,х) — а*(/) соъкх + Ьа;(/) бт кх при к £ М; Еп(/) - наилучшее приближение функции / 6 С в пространстве С тригонометрическими полиномами порядка не выше п. Полагаем

Суммы Хп,г называются суммами Ахиезера-Крейна-Фавара. Они играют важную роль в теории аппроксимации. Это в значительной степени связано с тем, что для них при г £ N выполнены соотношения ([1; 2]; см., например, [3, с. 242]; [4, с. 302]; [5, с. 148]) ‘ ^

Q

Здесь и далее С^ = {/ Е С : 3/(г) 6 С).

В настоящей работе изучается поведение величины

A(r) = sup sup ^= sup ||*n>r|l

nez+fec ll/ll

n£Z +

как функции аргумента г.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №05-01-00742).

© В. В. Жук, С. Ю. Пименов, 2006

§ 1. Вспомогательные предложения

1. Нам понадобятся следующие известные результаты.

Лемма А (неравенство П. J1. Чебышева, см., например, [6, с. 58, 59]). Пусть функции fug заданы на отрезке [а, Ь], причем / возрастает, a g убывает. Тогда

ь ь ь

j f(x)g(x)dx^ j f{x)dx J g(x)dx. (1)

а а а

Лемма В (см. [6, с. 59]). Если функции fug заданы на отрезке [а,Ь], причем / возрастает на [а, (а + Ь)/2] и симметрична относительно точки (а + Ь)/2, т. е. /(а + b — х) = f(x), a g дважды дифференцируема на [а, Ь] и д"(х) ^ 0, то имеет место неравенство (1).

Лемма С (см. [6, с. 59]). Пусть т,1 — 2 G N, h = -к/т, функция д дважды дифференцируема на отрезке [h,lh/2] и па этом отрезке д'(х) ^ 0, д"(х) ^ 0. Тогда

lh/2 lh/2

J I sinmx\g(x) dx d(,x)dx.

2. Установим ряд лемм, связанных с оценками интегралов от модуля косинус-преобразования Фурье.

Пусть Е - промежуток в М. Через С (Е) обозначаем множество функций f:E-¥ М, непрерывных на Е\ С^Г\Е) = {/ Є С(Е) : 3/М Є С(Е)}. В дальнейшем [а], где аеЕ,-целая часть числа о, 8і(ж), как обычно, - интегральный синус

X

■А.

о

ад=/=т

Лемма 1. Пусть п Є N. Тогда

/’ I sintl , /7Г\ 2 ,

J —dt>S,(-) + -\nn.

Доказательство. Положим h = пп/2 и рассмотрим интеграл

h

/

При нечетном п > 1

а при четном п

[И = и

k=i

ІНяп»!

У '

-п [к — — ) , тг ( А: 4- —

Пусть/(£) = 1 — | вт£|, д(1) = 1/Ь. На каждом из отрезков [тг (к — |),7г(А:+ |)] функции /и д удовлетворяют условиям леммы В, а на отрезке ^7Г^-П2~1^, к - условиям леммы А. Кроме того,

тг (*+§) ^

— [ (1 — | этф сИ = — [ (1 — | зт£|) сИ — ———,

ТГ J 7Г У 7Г

2

Г1

I -сіу = 7 у

1пп.

Складывая получившиеся неравенства, приходим к соотношению

и

/

1 — I эту| , 7г — 2

------------5$ -----------------ІП П.

У 77

Отсюда следует, что

Осталось заметить, что л

П

/

|ашу| , . 2

-------ау ^ -1пп.

у 7Г

/* І віп т /івіпії . /" 1 віп ІІ _ /7Г\ 2,

і '-ГЛ = 1 -ГІЛ + ] ЧЛ“^&(2) + пІПП-

1 1

Лемма 2. Пусть у € ([0,1]), у>(1) = О, А ^ > О, М ^ В =

тт{2(|у?'(1)| 4- М), |(^'(0)| + |<^'(а)| + М} > 0. Тогда

Лу<А (ад + | 11п (1 + 12ВМ1)) . (2)

+00 1 /**>.“■*»*

О о

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что </?(1) = 0, имеем при

у > 0

і

IФ)

сов ху (ІХ

(р(х) эт ху

У

1 1 1 Iі

----ір'(х) віпху СІХ —--------------4>'{х) БІПХу СІХ.

о У J У и

Пусть А; € N. Положим К = ттк/2. Считая к > 1 и применяя лемму С, при х € [0,1] находим, что

р*^Лу = р™*\Л(. уі^1л = ад + у!М(й<

ООО 7Г

^ о-/ ч 2 ? <Й _., ч 2 , к

^ 8і(тг) + -/—- = Зі(тг) + - 1п -.

7Т J І ТХ I

Непосредственно убеждаемся, что неравенство

Жу|

/І віп , /* І віл ^ I , ^ ч 2, к

----------У-±(1у ^ си < Бі 7Г + - 1п -

У У і тг 2

справедливо и при /с = 1. Таким образом, при любом А; Є N

й. 1

// <£>(ж) соэ жу СІХ

о о

к 1

сіу = [ - [ ір' (х) віп жу СІХ

У у 1 '

о о

1 / Л

/и*)|(/

о \0

| эт жу| У

2, /с

йу (1х ^ Л Зі(7г) Н— 1п - . (3)

7Г 2

Далее, интегрируя по частям, при у > 0 имеем

і і

1 [ „ ч • л ¥>'(1)(1-С08у) 1

- (р (ж) вт ху ах —------------г

У 7 1,2

2/

со $ху)<іх. (4)

Отсюда следует, что

єіп жу гіж

2 (| V3' (1)1 + М)

Таким образом,

+оо 1 +оо

£ ! ч>(х)со&ху(1х (іу ^ 2(|<//(1)| + М) J -Ці-

/і о

<1у _4(|^(1)| + М)

пк

(5)

Кроме того, 1

- [ <р' (ж) віп жу СІХ — — \ [ (р'(х)(і£08ху = \ [ ір" (ж) СОБ Жу СІХ +

у У у2 J у1 і 1

¥>40) (/?'(!) сое у

а потому

- [ <р\х)ві У J

БІП жу (ІЖ

И0)| + И1)|+М

Значит,

+оо 1

I Sv(x)cosxydx

h 0

Й!/<(И0)| + И1)| + М) [ J =

J у

Сопоставляя (3), (5), (6), находим

dy _ 2(И0)| + И1)|+М)

ттк

г , (с , ч 2 , 25

^Л(ЭД + -1п-]+-

при любом к € N. Полагая в последнем неравенстве к = 1 + [В/А], получаем (2).

При дополнительных ограничениях на функцию (р (которым удовлетворяют многие функции, встречающиеся в приложениях) лемме 2 можно придать более простой вид.

Лемма 3. Пусть (р € С^2^([0,1]) такова, что <р'(х) ^ 0, <р"(х) 0 при х е [0,1],

(р( 1) = 0, у>(0) > 0, В = тах{2|<//(0)|, 2|у?'(1)|} > 0- Тогда

+оо г 1 г /

J=I ip(x) cos жу dx dy ^ V>(0) (

0 J 0 V

7Г 7Г

■))

(П

Доказательство. Рассуждая как при доказательстве неравенства (3), приходим к соотношению

h 1

dy ^ v?(0) ( Si(7T) + - In ^

7Г Z

II tp(x) cos xydx I

о 0

В равенстве (4) слагаемые в правой части имеют разные знаки. Поэтому

2max{]t//(l)],ly/(l) - ¥>'(0)1} _ 2 тах{|</>'(1)|, |</>'(0)|}

if,' У J

(х) sin ху dx

и, следовательно,

Значит, при любом k е N

+оо 1 / 1Ф)

cos ху dx

h 0

2В

7Г к

Полагая в последнем неравенстве А: = 1 + [£?/</?(0)], получаем (7).

Лемма 4. Пусть функция <р\ [0,1] -> Е суммируема на [0,1], <р(х) = 1 + у(ж), 1

6^/ |у(ж)| dx > 0. Тогда

+ 00 1

J

= / /*>(«)

cos ху drc

о о

О А

dy ^ — ln(S + 0,159 — .

7Г 2

і

/ 9(х)созхуйх ^ / \д{х)\(кс ^ 5,

то при у > О

0 0

1 п 1 р

ір(х)с0$хус1х = (1 + <?(ж)) СОБ Жї/ СІХ «У

3 0 0

Отсюда, учитывая лемму 1, при любом А; Є N имеем 2 1

/ Ь(х)

СОБ ху (ІХ

о о

сіу ^ Бі + -\п к-

7г к5 ~2~'

Подставляя в последнее неравенство к — 1 + [^], находим

1п 1 +

п8

~2

3. Установим ряд фактов, относящихся к функциям у?г(£).

Лемма 5. Пусть г 6 N. Тогда у>г(0) = 1, </?г(1) = 0, ^(О) = 0» ФгО-) = ~^уКг! <р'г(Ь) ^ 0, ^ 0 при Ь 6 [0,1].

Доказательство. Положим 1/>г(£) = 1 — <рг^), к = 7г£/2. Пусть сначала г - четное число: г = 2п. Имеем

■02п(О = 1 ~ 92п(і) =

7Г*2п Й2”-1

тгі2п / (2п — 1)! 2 (і271-1 , Л

+(со8есЧ) =

(2п — 1)! 2 (Й2п_1 \8Іп/і И}

При |і| < 2 (см., например, [7, с. 49]) справедливо равенство

1 1 ^2(2м-‘-1)|Вг>|^_,

єіп /і /г

*=і

(2*)!

(8)

где Ві - числа Бернулли. Учитывая скзанное, легко видеть, что ^2п(0) = 0, ,02п(О) = 0) т. е. <р2п (0) = 1, Ч>2п(0) = 0- Так как все коэффициенты в ряде (8) положительны, то Тр2п № ^ 0 (а значит, (і) ^ 0) при £ Є [0,1] и к Є N.

Пусть п Є й+, тогда

7г£2п+1 с12п [I \

ф2п+\&) = 1 -¥>2п+і(і) = 77Т-ТТ7Г3^7 Г - с18Л •

(2п)!2 сІі2п

Принимая во внимание формулу (см., например, [7, с. 49])

i(i<2 ^

и рассуждая, как и выше, получаем, что v?2n+i(0) = 1, <^2n+i(0) — 0> v4n+iW ^ 0 при te[0,1], fc € N.

Вычислим </?г(1) и </?г(1)- Для этого разложим функции cosec h и ctg h в ряд Тейлора в точке t = 1. Ясно, что sin (|- + h) — cos h, ctg + h) = —tg h. Имеем (см., например, [7, с. 50]) ' "

sec

TTt _ 4 у, (—l)fc(2fc + 1) _ 4 у, / (-i)fc ~ + \

9. 7г f 9 4- 1 ^ 2 — +2 I fO.it 4- Я 1

2 7Г ^ (2А: + I)2 - Р п ^ \(2к + 1) ^ \2к + 1

к—О К ' к=О Ч4 ' 1=0 4

/=го V к=о 4 ' / г=о

Из сказанного легко следует, что <£2п(1) = 0. Далее

, , . 2тгЬ2п~1 (12п-1 , ТГ*2п (12п

МоМ) = — уг-—Г— —гт;-^СОвеСП — —-——г СОЭеС П.

Г2п\ > (2п _ 1)12 м2п~1 (2п-1)\2сИ2п

Отсюда, используя (9), находим, что

^„(1) = - (2п^1)!2(2п)Ж2„ = -|(2п)К2п. Рассмотрим случай нечетного г = 2п + 1. Имеем

tg

7xt 41 °°

_ 41 _ 4£ ^ 1 -л

7Г ' J (9.h 4-1^2 — +2 A—с Oh 4-1^2 A—/

2 * ^ (2* + 1)2 _ «2 п£,(2к+1)2^К2к+1 . ОО 1 ОС

= ^ ^ (2Л + 1)2'+2 = ^ К21+1?1+1.

1=0 к ' 1=0

Учитывая (10), нетрудно понять, что ф2п+\{Х) = 0. Далее,

, . . (2п + 1)тг£2п £п , тгЬ2п+1 с12п+1 ,

<Р2п+1 О- (2п)12 ^2 п Л + ^2п+! ^

Отсюда, применяя (10), находим, что

(/32п+1(1) = ~ (2п)! 2^П ^'^2п+1 = ~2^П ^•^2п+1'

Лемма 6. Пусть г € N. Гоада

1

J |1 -¥>г(01<Й <

(10)

тxtr

(г — 1)! 2

ar(t).

Из соотношений (8) и (9) следует, что на отрезке [0,1] функция аг(£) разлагается в ряд с положительными коэффициентами, а значит, она возрастает на [0,1]. Поскольку фг( 1) = 1, то

- /1\ _ (г — 1)! 2 — 1 *

7Г

Следовательно, ^ при t е [0,1] и

§ 2. Основные результаты

1. Пусть Ф - множество функций <£> 6 С([0,1]) таких, что <^(0) = 1, (р( 1) = 0. Положим при п € 2+

п / £■ \

Ып(1,х) =И<р,пи,х) = (—— ) Ак(/,х).

к=О Vп + /

Хорошо известно, что

||м""= /“с ТТЛ = * /

Имеет место (см., например, [6, с. 168]) следующее утверждение. Теорема Ю. Если € Ф, то

dt.

+оо 1

sup \\Un\\ = ip(t) cos tx dt

nez+ 7Г J J

о 0

dx.

Положим, так же как и во введении,

||*„,г|| = SUP 1!%^: fee ll/ll

А(г) = эир \\Хп,г\\-

Теорема 1. Пусть г £ N. Тогда

Мг) ^ —о ^n(r + 1) + 1)951.

Доказательство. Принимая во внимание теорему Б, леммы 5 и 3, имеем

Замечание 1. Из определения Кг непосредственно следует, что К0 = 1, К1 = п/2,

Кх> К3> К5> К0 <К2<К4

7Г 7Г

Таким образом, при г е 2+ имеют место неравенства 1 Кг ^ п/2.

Теорема 2. Пусть г € N. Тогда

Мг) ^ \ 1п(г + 1) + 0,1----.

7Г Г + I

Доказательство. Сопоставляя леммы 4 и б, при <5 = 1/(гН- 1) имеем

Мг) ^ А 1п(г+1)+од - 1

г + 1

2. Приведем небольшую таблицу величин А (г) и их первых и вторых разностей, полученных с помощью вычислительной техники (табл. 1).

Таблица 1. Значения величин А(г) и их разностей

г А{г) А(г + 1) — А(г) А(г + 1) — 2 А{г) + А(г — 1)

1 1,2848 0,1557

2 1,4405 0,2262 0,0705

3 1,6668 0,1144 -0,1118

4 1,7812 0,1041 —0,0103

5 1,8853 0,0782 -0,0258

6 1,9636 0,0674 -0,0107

7 2,0311 0,0573 -0,0101

8 2,0884 0,0504 -0,0068

9 2,1388 0,0448 -0,0056

10 2,1836 0,0403 -0,0044

11 2,2240 0,0367 -0,0036

12 2,2608 0,0336 -0,0030

13 2,2945 0,0311 -0,0025

14 2,3256 0,0288 -0,0022

15 2,3545

3. Приведем еще один пример приложений результатов, установленных в § 2. Пусть фг(Ь) — 1 ~ £г,

^п,гС/,®) = 53^ (^тг) ^(^,а;)

суммы Рисса (при г = 1 - суммы Фейера),

1|К»,г(/)Н 2

В (г) = вир вир п£2+/еС

сов сИ

с1х.

5(г) ^ ~2 1п (г + + 1)59’ (П)

В(г) ^ 41п(г + 1) + 0>1--ХТ- (12)

7Г Г + 1

Доказательство. Чтобы установить (11), достаточно применить лемму 3 к функции фг и принять во внимание, что фг(0) = 1, ф'г(1) = —г. Для доказательства

’ X

(12) надо применить к функции фг лемму 4, считая, что 6 — / Ьг (И — 1/(г + 1).

о

Замечание 2. В [6] на с. 181 приведена оценка

В (г) < { + ’ вСЛИ 1 ^ Г б2’

|^у^|(2 + Зе1пг), если г ^ е2.

4. Приведем небольшую таблицу величин В(г) и их первых и вторых разностей, полученных с помощью вычислительной техники (табл. 2).

Таблица 2. Значения величин В (г) и их разностей

r B(r) B(r + 1) - B(r) B(r + 1) — 2B(r) + B{r — 1)

1 1,000 0,233

2 1,233 0,171 -0,061

3 1,404 0,122 -0,049

4 1,526 0,094 -0,028

5 1,620 0,077 -0,018

6 1,697 0,065 -0,012

7 1,762 0,056 -0,009

8 1,817 0,049 -0,007

9 1,867 0,044 -0,005

10 1,911 0,040 -0,004

11 1,950 0,036 -0,004

12 1,986 0,033 -0,003

13 2,019 0,031 -0,003

14 2,050 0,029 -0,002

15 2,079

Summary

Zhuk V. V., Pimenov S. Yu. On norms of Ahiezer-Krein-Favard sums.

We establish two-sided bounds for supremum of norms of Ahiezer-Krein-Favard sums. Литература

1. Favard J. Sur les meilleures procedes d’approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes trigonometrique // Bull, de Sciences Math. 1937. Vol. 61. P. 209-224, 243-256.

2. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении периодических функций //

Докл. АН СССР. 1937. Т. 15, №3. С. 107-112.

3. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.

4. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физмат-

гиз, 1960. 624 с.

5. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 366 с.

6. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 188 с.

7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В. Ф. Демьяновым.

Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.