О нормах обобщенных сумм Абеля- Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 1

В. В. Жук, С. Ю. Пименов

О НОРМАХ ОБОБЩЕННЫХ СУММ АБЕЛЯ—ПУАССОНА*

Введение. В дальнейшем С, М, М+, Z, Z+, N суть соответственно множества комплексных, вещественных, неотрицательных вещественных, целых, неотрицательных целых, натуральных чисел. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в этой точке по непрерывности; в других случаях символ []■ понима-

+ О ОО

ется как 0. По определению У~] ¿к = ^ ¿к = ¿о +5^ (¿к + ¿—к). Через Ь\ обо-

к= — о кЕХ к= 1

значаем множество 2п-периодических функций /: М ^ С, суммируемых на отрезке [—п, п]; С — пространство непрерывных 2п-периодических функций f: М ^ С с нормой ||/1| = шах |/(х)|;

ЖЕ!

П

—гкЬ

cfc(/) = ¿ / f(t)e-iktdt (keZ)

— комплексные коэффициенты Фурье функции /.

Пусть г € Z+, а > 0, / € Ь1. Тогда полагаем

Ра,г(/,х) = ^2 <Рт(|к|а)ск(/)ег

кЕХ

где

\tk к\

М*)=е-гТ,Тг

к=0

Суммы Pa,o(f) —это классические суммы Абеля—Пуассона. Аппроксимативные свойства метода приближения Va,r(f) изучались в работе [1] (см. также с. 286-295 [2]). Через ||Pa,r|| обозначаем нормы операторов Va,r в пространстве C, т.е. полагаем

IIJV-II = SUP М.

feo ||/У

В настоящей работе доказывается, что

2 1 2 ~2 ln(r+ 1) - - < Шд \[Ра,г\\ < sup HPa,r|| < ~^Щг + 1) + 2.

^ ¿ а—>-0+ а>0 'Я

к

§ 1. Вспомогательные предложения

1. Нам понадобятся следующие известные результаты.

Теорема А (см., например, [2, с. 129]). Пусть функция р: М ^ М удовлетворяет следующим условиям: 1) р — суммируема и непрерывна на М; 2) р — четная функция;

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00742).

© В. В. Жук, С. Ю. Пименов, 2007

3) ф2(к) < <x>; 4) f f f(t) cos xtdt

keZ R R

x £ R имеет место равенство

dx < ж. Тогда для любой функции f £ C при

^ <f(k)ck (f )eikx = í f (x + t)^(t) dt,

ke Z ^

2(9e ^(t) = ^ J <£>(w) eos ut du.

n

R+

Теорема B (см., например, [3, с. 72]). Пусть последовательность an £ R (n £ N) такова, что an > 0, lim an = 0; функционалы Фп: C ^ C определены равенствами

$n(f) = J f (ant)p(t) dt,

R

где функция ф: R ^ R суммируема на R. Тогда

sup И Фп || = Ищ ||ф„|| = í \<f(t)\dt,

п£ N п—► оо J

R

где

||Ф„|| = 8ирКр.

feo | f|

Лемма A (см. [4, с. 59]). Пусть m,l — 2 £ N, h = n/m, функция g дважды дифференцируема на отрезке [h, lh/2] и на нем g'(x) ^ 0, g"(x) ^ 0. Тогда

lh/2 lh/2

J | sin шх|(/(х) dx — J g(x)d,x.

hh

2. При r £ Z+, a > 0 полагаем

Ea,r(y) = ~J <Pr{ax) cosxy dx, Er(y) = E1¡r(y).

R+

Лемма 1. Пусть r £ Z+, a > 0, y £ R. Тогда

ar+1 sin((r + 1) arctg (y/a))

Ea,r(y) = ---------------7+T-----•

7ту (a2 + y2) 2

Доказательство. Ясно, что

EaAy) = -Er(~) ■ (1)

aa

Пусть y = 0. Интегрируя по частям, находим

+ ^> r . / r k r —1 k ^

/ Sin xy —xV^ x —xV^ x

» -У—г S^+e S«,

+ R+ \ k=0 k = 0 У

sin xy

7тЬг(у) = Lpr (x) eos xy dx =----------------<£V(#)

y

f sin xy —x xr 1 [ — x r 7

------e — dx = —— (smxy)e x dx.

J У r\ r\y J

K+ R+

Таким образом,

ттЕг(у) = і í xre-x^^-dx. (2)

r! J у

R+

Соотношение (2) верно и при y = 0. Так как (см., например, [5], с. 72, 127)

f r sin xy r!sin((r + 1) arctg y)

x e -------dx = ----------------—T---------------,

J y (í+y^y

из (2) следует, что

-77, ^ sin((r + 1) arctg y) /o

ъЕг(у) = —-——+i-------------------------------------------• (3)

(1 +yz) 2 y

Осталось сопоставить равенства (3) и (1).

Лемма 2. Пусть функция h : [a, b] ^ R имеет непрерывную вторую производную на [a,b], причем производные h' и h" возрастают на [a,b], c G [a,b]. Тогда

h" (b)

h(b) — h'(b)(b — c) ^ h(c) ^ h(b) — h'(b)(b — c) -\- —(b — c)2.

Доказательство очевидно в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Лемма 3. Пусть я g N, а =

? а (п _ I)2 4 а а2

6г(n) = (п - 1) sin ------------ -sin g “ "g",

r 2 a 1 a2

ô2 n = nsin- + —— + —•

2 n +1 5

Тогда

n/2

/cosn P 1 1

—-----dtp - - ln(n + 1) + 1П7Г - -(ln2 - С) < ô2(n), (4)

sin p 2 2

a

где C = 0.577215 ... — постоянная Эйлера.

Доказательство. Пусть сначала G N. Имеем (см., например, [6], с. 177)

п/2

f cosn <р

Так как при 0 < x ^ п/2 справедливо неравенство

2

x2

Ini-------< insmx < mi,

5

получаем

1 1 a2

in — ^ — in sin a ^ in —|------.

a a 5

dtp = — ln sin c¿ — ---------—. (5)

n — 1

Оценим второе слагаемое в правой части (5). Рассмотрим функцию

гг — 1

^ х2к

k=1

Имеем (см., например, [6], с.599, 793)

‘« = ¿¿ = Uc+^"+1

k=1

где ф(х) = (1пГ(х)}/ —пси-функция. Далее

гг — 1

n — 1

h/(x) х

k=1

2k— 1

h/(1)

, h"(x) = J2(2k +1)x2k, h//(1)

(n — 1)2

k=0

Применяя лемму 2 к функции h, рассматриваемой на отрезке [0,1], находим

~\ (с + ^ (“У“)) +d” “ ~2 ^ ~h(cosa) ^ (С + ^ (“У“ I I + d"

где dn = ÍL2^(1 — cosa) = (n — 1) sin

Таким образом, если (n — 3)/2 Є N, то

Ы - -- (с + ф ( a 2 V V 2

d2

+ dn - <

n/2

cosn ф sin ф

1 1 / ,/n + 1

«ІП--5 C + i, ( —

+ dn H——. (6)

5

Пусть теперь n/2 Є N. Имеем (см., например, [6], с. 177)

п/2

n n/2 2k—1

cosn ф , a cos2k 1 a

Sin ф

2 2k — 1

k=1

(7)

Так как при 0 < x ^ n/6

получаем

1 a2 a 1

ln —|- ln2----------< — lntg — < ln —|- ln2.

a 8 2 a

Оценим второе слагаемое в правой части (7). Рассмотрим функцию

g(x) =

n/2 x2k—1

2k — 1

k=1

n — 1

n — 3

2

2

Имеем (см., например, [6], с. 600)

п/2

к=1

Далее,

п/2-1 п/2-1

д\х)= ^2 х2к> 9'(1) = ’^> д'\х)= X (2к)х2к~\ в"(Л) = ^-¡~

к=0 к=1

Применяя лемму 2 к функции д, рассматриваемой на отрезке [0,1], находим

1 ( (п +1 \\ 2 а п(п — 2) 4 а

~ 2 ( С + Ф -ІП2 + П8Ш---------------81П- < -д(сова) <

1 (^ , (п+ 1 , 2 а

+ ““З'

Таким образом, если п/2 Є М, то

п/2

, 1 1 /_ (п + 1\\ а2 2 а п(п — 2) 4 а [ ео8п р

1п------( С + ф ( ------ І I-------\- п эт------------------------------зт — ^ -гір ^

а 2 V V 2 )) 8 2 2 2 У эту)

а

,1 1 (^ , (п+ 1 \\ 2 а , ч

^ 1 а _ 2 \ ( 2 / у + 7181п 2 (8>

Сопостовляя (6) и (8) и учитывая, что при х > 0

1п х----^ ф(х) ^ 1пж

х

(см., например, [7], с. 23), приходим к (4) при п > 1. Непосредственные вычисления показывают, что (4) справедливо и при п =1.

§ 2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть г Є Z+, а > 0, х Є М, / Є С. Тогда

1 Г . аг+1 яіп((г + 1) аггі^ (і/а))

'Ра,г(/,х) = /(ж-И)- _

¿і

71 1 і (а2 + і2)~

1

= — /(ж + аі)-

п ]

1 [ БІп((г + 1) arctg і)

т —|— 1

¿і.

7Г .1 ' і{1+і2)^

к

Доказательство. Опираясь на теорему А, приходим к равенству

Ра,г (/,х)=У /(х + і)Еа,г (і) ¿І.

к

Отсюда, принимая во внимание лемму 1, получаем первое из равенств (9). Для установления второго равенства достаточно в интеграле сделать замену переменной по формуле £ = аи.

Замечание 1. Нетрудно установить (например, с помощью теоремы Харди—Юнга (см. [8], с. 141)), что соотношение (9) справедливо и для любой / € Ь1.

Положим

J(r) = J\Er(t)\dt =~^J

sin((r + 1) arctg t)

dt.

Следствие 1. Пусть r £ Z+. Тогда

Дш \\Va,r\\ = sup \\Va,r\\ = J(r).

a—>-0+ a>0

Доказательство. Из второго из соотношений (9) следует, что для f £ C l|Pa,r (f )ll < Ilf \\j \Er (t)|dt = \\f \\J (r),

R

и потому

sup ||Pa,r|| < J(r).

a>0

С другой стороны, сопоставление (9) и теоремы B приводит к неравенству

J(r) < Ищ \\Va,r\\-

а—>-0+

2. Установим оценки сверху и снизу для величины J(r). Прежде всего заметим (этот факт был хорошо известен и ранее (см., например, [2], гл. 4 §7)), что J(0) = J(1) = 1, поэтому приводимые ниже результаты содержательны только при r ^ 2.

Теорема 2. Пусть r £ Z+. Тогда

2 15

J(r) < ln(r + 1) + 0.833 Н-------—.

п2 r +1

Доказательство. Будем считать r ^ 2. Положим а = n/(r + 1). Заменяя в интеграле переменную t = tg р, получаем

г-

п ¡'\ sin((r + 1) arctg t)\ ¡'\ sin(r + 1)р\ cosr р

?J{r) = J i(i+(^ л = }--------------------------5S5----------,lf-

R+ 0

п/2

Последний интеграл разбиваем на два: / и / . Так как функция убывает на

0 а

(0, п/2],

z z

(г + 1) sin--------- ^ 2 sin -

r +1 2

при z £ [0, п]. Значит,

п

\ sin(r + 1)р\ cosr р Г sin(r + 1)р Г sin z Г sin z

■dp ^ -;------dp = ------ —;--— dz ^ / —;—— dz = 2.

sinp J sinp J (r + l)sin^j J 2sin#

0 0 r+ 0

a

a

п

Перейдем к оценке второго интеграла. Положим

cosr ф

am = ——•

sm ф

Легко видеть, что при ф £ (0, п/2]

к \ r~1 cos^+V

д (р) = —г cos р-----------=--- ^ 0,

sin2 ф

п, \ , , r 2 , , _NCOSr ф „COSr+2 ф

д (р) = г (г — 1) cos psmp + (г + 1)—------------1-2-----о---^ 0.

Sin ф sin3 ф

Принимая во внимание приведенные неравенства и применяя лемму A, находим, что

п/2 п/2

Г | sin(r + 1)ф| cosr ф 2 Г cosr ф

-----------------------ар ^ — ------ар.

J sin ф п J sin ф

а а

Таким образом,

п/2

т, 4 f cosr ф 4

J(r) ^ —--------------ép-\-—. (10)

п2 sin ф п

п/(г+1)

Осталось воспользоваться леммой 3 и выполнить элементарные вычисления.

Теорема 3. Пусть r £ Z+. Тогда

2

J(r) ^ ^ ln(r + 1) — 0.441.

п2

Доказательство. Будем считать, что r ^ 2. Положим а = п/(г + 1). Имеем

н/2 Г r+11 a(fc+l)

П f I sin(r + 1)ф\cosr р ^ Г I sin(r + 1)ф\ COSr ф

-J г = ---:--------Лф > > -:--------dp.

2 sin ф sin ф

0 k-0 afc

Так как cos ф убывает на [0, п/2], а sinф возрастает, то

a(fc+1)

Г | sin(r + 1)р| cosr ф ^ ^ 2 cosra(A;+l)

J sin ф ^ r +1 sin а(к + 1)

ak

Таким образом,

тг/2 Гг±11 тг/2

[ | sin(r + 1)ф| cosr ф 2 cosr а(к + 1) 2 [ cosr ф

--------:------------ар >---------- > —---—-----— > — —------ар.

i sin ф r +1 sin а(к + 1) п J sin ф

0

Значит,

7г/2

. . 4 f cosr w

J(r)>— —-----dtp. (И)

п2 J sin w

а

Осталось воспользоваться леммой 3 и выполнить элементарные вычисления.

Замечание 2. Пусть r G N. Из сопоставления неравенств (10) и (11) следует, что

7г/2

т, 4 f cosr w 4

0 < J г-------2 ------dps¡,—.

п2 J sin w п2

п/(г+1)

3. Приведем небольшую таблицу величин J(r) и их первых и вторых разностей, полученную с помощью вычислительной техники.

Таблица 1. Значения величин J(r) и их разностей

r J(r) J(r + 1) - J(r) J(r + 1) — 2 J(r) + J(r — 1)

0 1.000000 0.000000

1 1.000000 0.022494 0.022494

2 1.022494 0.038539 0.016044

3 1.061033 0.034782 -0.003756

4 1.095815 0.030054 -0.004729

5 1.125869 0.026451 -0.003603

6 1.152319 0.023563 -0.002888

7 1.175882 0.021199 -0.002364

8 1.197081 0.019247 -0.001953

9 1.216328 0.017613 -0.001634

10 1.233941 0.016229 -0.001384

11 1.250169 0.015042 -0.001186

12 1.265212 0.014015 -0.001027

13 1.279227 0.013118 -0.000898

14 1.292344 0.012327 -0.000791

15 1.304671 0.011625 -0.000702

16 1.316297 0.010999 -0.000627

17 1.327295 0.010436 -0.000563

18 1.337731 0.009927 -0.000509

19 1.347658 0.009466 -0.000461

20 1.357124 0.009045 -0.000421

21 1.366169 0.008660 -0.000385

22 1.374829 0.008306 -0.000354

23 1.383135 0.007980 -0.000326

24 1.391116 0.007679 -0.000301

25 1.398794 0.007399 -0.000280

26 1.406193 0.007139 -0.000260

27 1.413333 0.006897 -0.000242

28 1.420229 0.006670 -0.000227

29 1.426899 0.006458 -0.000212

30 1.433357

Summary

V. V. Zhuk, S. Yu. Pimenov. On norms of generalized Abel—Poisson sums.

We establish two-sided bounds for supremum of norms of generalized Abel—Poisson sums.

1. Жук В. В. Об одном методе приближения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Вып. 3 (№ 13). С. 15-22.

2. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982. 366 с.

3. Жук В. В. Сильная аппроксимация периодических функций. Л., 1989. 296 с.

4. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983. 188 с.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М., 1969. 344 с. (Bateman H., Erdelyi A. Tables of integral transforms. 1954. Vol. 1).

6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М., 1981. 798 с.

7. Chaudry M. A., Zubair S. M. On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications. Chapman & Hall/CRC, 2001. 512 p.

8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 408 с.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.